第14講全等三角形全章復(fù)習(xí)與測試

1【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進(jìn)行證明，掌握綜合法證明的格式；

$【基礎(chǔ)知識】

i.全等圖形

C1）全等形的概念

能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.

（2）全等三角形

能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.

（3）三角形全等的符號

“全等”用符號“會”表示.注意：在記兩個三角形全等時，通常把對應(yīng)頂點寫在對應(yīng)位置上.

（4）對應(yīng)頂點、對應(yīng)邊、對應(yīng)角

把兩個全等三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應(yīng)頂點；重合的邊叫做對應(yīng)邊；重合的角叫做對應(yīng)角.

2.全等三角形的性質(zhì)

（1）性質(zhì)1：全等三角形的對應(yīng)邊相等

性質(zhì)2：全等三角形的對應(yīng)角相等

說明：①全等三角形的對應(yīng)邊上的高、中線以及對應(yīng)角的平分線相等

②全等三角形的周長相等，面積相等

③平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等

（2）關(guān)于全等三角形的性質(zhì)應(yīng)注意

①全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應(yīng)用時要會找對應(yīng)角和對應(yīng)邊.

②要正確區(qū)分對應(yīng)邊與對邊，對應(yīng)角與對角的概念，一般地：對應(yīng)邊、對應(yīng)角是對兩個三角形而言，而對

邊、對角是對同一個三角形的邊和角而言的，對邊是指角的對邊，對角是指邊的對角.

3.全等三角形的判定

（1）判定定理1：SSS--三條邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

（2）判定定理2：SAS--兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

（3）判定定理3：ASA--兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

（4）判定定理4：A4S--兩角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

（5）判定定理5：/遼--斜邊與直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.

方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)

相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾

邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)鄰邊.

4.直角三角形全等的判定

1、斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“乩”）.

2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時，直角三角形又是特殊的三

角形，有它的特殊性，作為“乩”公理就是直角三角形獨有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多，

使用時應(yīng)該抓住“直角”這個隱含的已知條件.

5.全等三角形的判定與性質(zhì)

（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，關(guān)

鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形.

6.全等三角形的應(yīng)用

（1）全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用

用全等尋找下一個全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認(rèn)真分析題目

的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系.

（2）作輔助線構(gòu)造全等三角形

常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個三角形中是解決中線問題的基

本規(guī)律.②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補(bǔ)短法”，這些問題經(jīng)常用到全等三

角形來證明.

（3）全等三角形在實際問題中的應(yīng)用

一般方法是把實際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為

三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵.

W【考點剖析】

全等圖形（共1小題）

1.（2021春?太康縣期末）下列說法中正確的是（）

A.兩個面積相等的圖形，一定是全等圖形

B.兩個等邊三角形是全等圖形

C.兩個全等圖形的面積一定相等

D.若兩個圖形周長相等，則它們一定是全等圖形

全等三角形的性質(zhì)（共2小題）

2.（2021秋?儀征市期末）若AABC三則根據(jù)圖中提供的信息，可得出x的值為（）

A.30B.27C.35D.40

3.（2019秋?孝義市期末）已知：如圖，AABC=/SDEF,AM>DV分別是AA5C、ADEF的對應(yīng)邊上的

高.求證：AM=DN.

三.全等三角形的判定（共1小題）

4.（2021秋?新吳區(qū)期末）如圖3x3的正方形網(wǎng)格中，AABC的頂點都在小正方形的格點上，這樣的三角

形稱為格點三角形，則在此網(wǎng)格中與AA5c全等的格點三角形（不含AAB。共有（）

A.5個B.6個C.7個D.8個

四.直角三角形全等的判定（共1小題）

5.（2021秋?如皋市期中）如圖，用紙板擋住部分直角三角形后，能畫出與此直角三角形全等的三角形,

其全等的依據(jù)是（）

A.SSSB.SASC.A&4D.HL

五.全等三角形的判定與性質(zhì)（共4小題）

6.（2021秋?如皋市期末）如圖，C是至上一點，點。，E分別在的兩側(cè)，40//3￡,且4）=3€7,BE=AC.

（1）求證CD=EC；

（2）連接DE,若ZDCE=60°,DC=4,求DE的長.

7.(2022?宿城區(qū)校級開學(xué))如圖，AD,3c相交于點O,AD=BC,ZC=ZD=90°.

(1)求證：AABD=ABAC；

(2)若NABC=35。，求NC4O的度數(shù).

----------------------

O

D

8.（2021秋?丹陽市期末）在AABC中，AB=AC,ZBAC=45°,邊AC、3c上的高BE、AD交點、F.若

BD=&,則AF的長為（）

A.1B.0C.+D.2A/2

9.（2021秋?沐陽縣校級期末）如圖，已知AT>=AE,AB^AC.求證：BE=CD.

六.全等三角形的應(yīng)用（共1小題）

10.（2021秋?邛江區(qū)期末）如圖，小虎用10塊高度都是3c機(jī)的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直

的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個等腰直角三角板（AC=3C,NACB=90。），點C在DE上，點A和3分

別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為cm.

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）（2004?濰坊）如圖，己知AABC的六個元素，則下列甲、乙、丙三個三角形中和AABC全等的

乙

2.（3分）（2020秋?封開縣期末）已知=A3。，ZA=8O°,/B=40。,那么NC的度數(shù)為（

）

A.80°B.40°C.60°D.120°

3.（3分）（2011春?滕州市期末）如圖，ZA=ZD,ZACB:ZDFE.下列條件中，能使

AABCwADEF的是（）

A.ZE=ZBB.ED=BCC.AB=EFD.AF=CD

4.（3分）（2013?賀州）如圖，在AA5c中，ZABC=45°,AC^Scm,F是高和巫的交點，則所

的長是（）

R

A.4cmB.6cmC.8cmD.9cm

5.（3分）（2014秋?南陵縣校級期末）如圖，AB^AC,AD=AE,欲證AABD三AACE,可補(bǔ)充條件（

)

A.Z1=Z2B.NB=NCC.ZD=ZED.NBAE=NCAD

6.（3分）（2020秋?撫順縣期末）下列各組中的兩個圖形屬于全等圖形的是（）

7.（3分）（2021?柳南區(qū)校級模擬）小聰在用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角時，具體過程是這樣的:

已知：ZAOB.

求作：ZAOB,使=

作法：（1）如圖，以點。為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交03于點C,D；

（2）畫一條射線O7V,以點。為圓心，OC長為半徑畫弧，交于點C，；

（3）以點C為圓心，CD長為半徑畫弧，與第（2）步中所畫的弧相交于點Z7；

(4)過點D'畫射線O'B',則ZAOB=ZAOB.

小聰作法正確的理由是（）

A.由SSS可得△OC77三AOCD,進(jìn)而可證NA'O?=NAQB

B.由S4S可得△OCOvAOCD,進(jìn)而可證NAY78=NAOB

C.由ASL4可得△OC77三AOCD,進(jìn)而可證NA'OB'=NAQB

D.由“等邊對等角”可得NAY78=NA0B

8.（3分）如圖所示，在等腰RtAABC中，ZABC=90°,BA=BC=10,直線/過點8,分別過點A、C作

直線/的垂線，垂足分別為E、F,若3E=8,AE=6,則CF的長為（）

A.5B.6C.7D.8

9.（3分）（2020秋?福田區(qū)期末）已知，如圖，C為線段AE上一動點（不與A,E重合），在？1E同側(cè)

分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE,AD與BE交于點O,AD與3c交于點P,BE與CD交于點、Q,

連接P。，OC,以下四個結(jié)論：①AD=BE；②ACP。是等邊三角形；③ADL3C；④OC平分ZAOE.其

中正確的結(jié)論是（）

A.①、②B.③、④C.①、②、③D.①、②、④

10.（3分）如圖，在NBAC的兩邊上截取AB=AC,AD^AE.連接BD,EC交于點P,則下列結(jié)論正

確的是（）

?/SABD=AACE；?AB￡P(guān)=ACDP；@AAPB=AAPC；?/SAPE=\APD.

A.①②③④B.①②③C.②③④D.①③④

二.填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）

11.（3分）（2019春?工業(yè)園區(qū)期末）連接正方形網(wǎng)格中的格點，得到如圖所示的圖形，則4+N2+N3+N4=

12.（3分）（2019秋?東臺市月考）如圖①，已知AABC的六個元素，則圖②中甲、乙、丙三個三角形中

與圖①中AABC全等的圖形是

62

甲

乙5

圖②

13.（3分）（2021秋?梅里斯區(qū)期末）小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標(biāo)有

1、2、3、4的四塊）,你認(rèn)為將其中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來一樣大小的三角形？應(yīng)該帶第塊.

14.（3分）如圖，AABC和ADE戶中，AB=DE,BC=EF,在下列條件中：?ZA=ZD,?ZB=ZE,

③NC=NF,選擇添加一個條件，使AABC三ADEF的是.

15.（3分）（2009?河北）如圖，等邊AABC的邊長為law,D、E分別是AB、AC上的點，將AADE沿

直線上折疊，點A落在點A處，且點A，在AA5c外部，則陰影部分圖形的周長為—cm.

16.（3分）（2019秋?海州區(qū)期中）如圖，AABC^AADE,3c的延長線經(jīng)過點E,交?ID于尸，ZAED=105°,

ZC4D=1O°,ZB=50°,則=

E

D

17.（3分）（2019春?海淀區(qū)校級期末）如圖，已知Z4BC=NDCB,增加下列條件:①AB=CD；②4C=￡?；

③NA=ND；?ZACB=ZDBC-,能判定AABC三ADCB的是.（填序號）

18.（3分）（2019秋?辛集市期末）如圖，AB^6cm,AC=BD=4cm.NG4B=NDR4,點P在線段AB

上以2s/s的速度由點A向點5運(yùn)動，同時，點。在線段50上由點3向點。運(yùn)動.它們運(yùn)動的時間為

t（s）.設(shè)點。的運(yùn)動速度為xcw/s,若使得AACP與ABP。全等，則x的值為.

A

三.解答題（共7小題，滿分46分）

19.（6分）（2019秋?裕安區(qū)期末）如圖，AACF=AADE,AD=12,AE=5,求小的長.

20.（6分）（2021秋?鄲州區(qū)期末）如圖，AABC中，。是BC延長線上一點，滿足CD=,過點C作CE7/AB

且CE=3C,連接DE并延長，分別交AC、AB于點尸、G.

（1）求證：AABC=ADCE；

（2）若NB=50。，"=22。，求ZAFG的度數(shù).

A

21.（6分）（2018秋?無錫期末）如圖，點3、F、C、E在同一直線上，且BF=CE,ZB=ZE,AC,

DF相交于點O,且。尸=OC,求證:

(1)AABC=ADEF；

(2)OA=OD.

22.（6分）（2020秋?饒平縣校級期末）如圖，在AABC中，AB=AC,DE是過點A的直線，BDLDE

于。，CEJLDE于前E；

（1）若3、C在DE的同側(cè)（如圖所示）且AD=CE.求證：AB±AC；

E

（2）若B、C在DE的兩側(cè)（如圖所示），且AD=CE,其他條件不變，AB與AC仍垂直嗎？若是請給

出證明；若不是，請說明理由.

23.（6分）（2021秋?龍口市期末）如圖，在AABC中，AB=AC=3,NB=NC=5O。，點。在邊3C上

運(yùn)動（點。不與點3,C重合），連接4）,作N4DE=5O。，Z組交邊AC于點E.

（1）當(dāng)ZBZM=100。時，ZEDC=°,ZDEC=°.

（2）當(dāng)DC等于多少時，MBD=ADCE,請說明理由；

(3)在點。的運(yùn)動過程中，AADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出加4的度數(shù)；若不可以,

請說明理由.

24.(8分)(2020秋?增城區(qū)期中)如圖，CA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=a,AD.BE交于點、

H,連CH.

(1)求證：/\ACD=ABCE；

(2)求證：HC平分ZAHE；

(3)求NCHE的度數(shù).(用含&的式子表示)

25.(8分)(2020?黃州區(qū)校級模擬)如圖，ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF±CB,垂

足為F.

(1)求證：AABCMAADE；

(2)求NE4E的度數(shù)；

(3)求證：CD=2BF+DE.

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第14講全等三角形全章復(fù)習(xí)與測試

N【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進(jìn)行證明，掌握綜合法證明的格式；

【基礎(chǔ)知識】

1.全等圖形

(1)全等形的概念

能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.

(2)全等三角形

能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.

(3)三角形全等的符號

“全等”用符號“0”表示.注意：在記兩個三角形全等時，通常把對應(yīng)頂點寫在對應(yīng)位置上.

(4)對應(yīng)頂點、對應(yīng)邊、對應(yīng)角

把兩個全等三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應(yīng)頂點；重合的邊叫做對應(yīng)邊；重合的角叫做對應(yīng)角.

2.全等三角形的性質(zhì)

(1)性質(zhì)1：全等三角形的對應(yīng)邊相等

性質(zhì)2：全等三角形的對應(yīng)角相等

說明：①全等三角形的對應(yīng)邊上的高、中線以及對應(yīng)角的平分線相等

②全等三角形的周長相等，面積相等

③平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等

(2)關(guān)于全等三角形的性質(zhì)應(yīng)注意

①全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應(yīng)用時要會找對應(yīng)角和對應(yīng)邊.

②要正確區(qū)分對應(yīng)邊與對邊，對應(yīng)角與對角的概念，一般地：對應(yīng)邊、對應(yīng)角是對兩個三角形而言，而對

邊、對角是對同一個三角形的邊和角而言的，對邊是指角的對邊，對角是指邊的對角.

3.全等三角形的判定

(1)判定定理1：SSS--三條邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

(2)判定定理2：SAS--兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

(3)判定定理3：ASA--兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

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(4)判定定理4：A4S--兩角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

(5)判定定理5：HL--斜邊與直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.

方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)

相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾

邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)鄰邊.

4.直角三角形全等的判定

1、斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“/遼”).

2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時，直角三角形又是特殊的三

角形，有它的特殊性，作為“乩”公理就是直角三角形獨有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多,

使用時應(yīng)該抓住“直角”這個隱含的已知條件.

5.全等三角形的判定與性質(zhì)

(1)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，關(guān)

鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

(2)在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形.

6.全等三角形的應(yīng)用

(1)全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用

用全等尋找下一個全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認(rèn)真分析題目

的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系.

(2)作輔助線構(gòu)造全等三角形

常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個三角形中是解決中線問題的基

本規(guī)律.②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補(bǔ)短法”，這些問題經(jīng)常用到全等三

角形來證明.

(3)全等三角形在實際問題中的應(yīng)用

一般方法是把實際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為

三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵.

一「

W【考點剖析】

全等圖形(共1小題)

1.(2021春?太康縣期末)下列說法中正確的是()

A.兩個面積相等的圖形，一定是全等圖形

B.兩個等邊三角形是全等圖形

C.兩個全等圖形的面積一定相等

D.若兩個圖形周長相等，則它們一定是全等圖形

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【分析】依據(jù)全等圖形的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：全等的兩個圖形的面積、周長均相等，但是周長、面積相等的兩個圖形不一定全等.

故選：C.

【點評】本題主要考查的是全等圖形的性質(zhì)，掌握全等圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二.全等三角形的性質(zhì)（共2小題）

2.（2021秋?儀征市期末）若AABCvADEF,則根據(jù)圖中提供的信息，可得出尤的值為（）

A.30B.27C.35D.40

【分析】直接利用全等三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊相等進(jìn)而得出答案.

【解答】解：MBC=ADEF,

：.BC=EF=3O,

故選：A.

【點評】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，正確得出對應(yīng)邊是解題關(guān)鍵.

3.（2019秋?孝義市期末）已知：如圖，AABC=ADEF,AM.DV分別是AABC、ADEF的對應(yīng)邊上的

高.求證：AM-DN.

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出帥=ZE=ZB,利用A45證明與ADEN全等，進(jìn)而證明

即可.

【解答】方法一：

證明：M￡C=/SDEF,

:.AB=DE,ZB=AE,

AM,ON分別是AA5C,ADEF的對應(yīng)邊上的高,

即AM_LBC,DNVEF,

:.ZAMB=NDNE=90。,

ZAMB=ZDNE

在MBM和ADEN中|=/￡,

AB=DE

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AABM=ADEN(AAS),

:.AM=DN.

方法二：

:.BC=EF,

AM.分別是AABC、ADEF的對應(yīng)邊上的高，

:.BC.AM=EF.DN,

:.AM=DN.

【點評】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出=ZE=ZB.

三.全等三角形的判定（共1小題）

4.（2021秋?新吳區(qū)期末）如圖3x3的正方形網(wǎng)格中，A4BC的頂點都在小正方形的格點上，這樣的三角

形稱為格點三角形，則在此網(wǎng)格中與AABC全等的格點三角形（不含AAB。共有（）

A.5個B.6個C.7個D.8個

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理畫出符合的三角形，再得出選項即可.

【解答】解：如圖所示：與AABC全等的三角形有ADEF、AHIJ、XGMN、MEM、bHAF、ABDG.ACJN,

共7個，

【點評】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等

三角形的判定定理有S4S,AS4,AAS,SSS,兩直角三角形全等還有等.

四.直角三角形全等的判定（共1小題）

5.（2021秋?如皋市期中）如圖，用紙板擋住部分直角三角形后，能畫出與此直角三角形全等的三角形，

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其全等的依據(jù)是（）

A.SSSB.SASC.ASAD.HL

【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法解決此題.

【解答】解：由圖得：遮擋住的三角形中露出兩個角及其夾邊.

根據(jù)三角形的判定方法AS4可解決此題.

故選：C.

【點評】本題主要考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解決本題的關(guān)鍵.

五.全等三角形的判定與性質(zhì)（共4小題）

6.（2021秋?如皋市期末）如圖，C是AS上一點，點。，E分別在AB兩側(cè)，AD//3E,且AD=3C,BE=AC.

（1）求證CD=EC；

（2）連接DE,若NDCE=6O°,DC=4,求DE的長.

【分析】（1）由平行線的性質(zhì)，結(jié)合條件可證明=即可得出CD=CE；

（2）證明ADCE是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得出答案.

【解答】（1）證明：AD//BE,

:.ZA=ZB,

在AADC和ABCE中，

AD=BC

<ZA=ZB,

AC=BE

:.AADC=ABCE（SAS）,

:.CD=CE；

（2）解：CD=CE,NDCE=60。，

是等邊三角形，

;.DE=DC=4.

【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握全等三

角形的判定方法，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?宿城區(qū)校級開學(xué)）如圖，AD,3c相交于點O,AD=BC,ZC=ZD=90°.

21/47

(1)求證：AABD=ABAC;

【分析】（1）由NC=NZ）=90?？芍狝ABD和ABAC都是直角三角形，因為項=54,AD=BC,所以根

據(jù)“”可以判定RtAABD=RtABAC；

（2）先根據(jù)“直角三角形的兩個銳角互余”求出44c的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等求出ZB4Z）

的度數(shù)，則由NC4O=NBAC—44。即可求出NC4O的度數(shù).

【解答】（1）證明：如圖，ZC=ZD=90°,

在RtAABD和RtABAC中，

UB=BA

[AD=BC'

RtAABD=RtABAC（HL）,

即AABDvABAC；

（2）解：ZC=90°,ZABC=35°,

Z&4C=90°-ZABC=90°-35°=55°,

ZBAD=ZABC=35°,

ZCAO=ABAC-ZBAD=55°-35°=20°,

.?.NC4O的度數(shù)為20。.

【點評】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及其推論等知識，根據(jù)“有斜邊和一條直

角邊分別相等的兩個直角三角形全等”證明RtAABD三RtABAC是解題的關(guān)鍵.

8.（2021秋?丹陽市期末）在AABC中，AB=AC,ZBAC=45°,邊AC、BC上的高BE、4）交點F.若

BD=4i,則AF的長為（）

A.1B.72C.73D.2瓶

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出3C,進(jìn)而利用全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可.

【解答】解：AB=AC,AD±BC,

22/47

:.BD=DC=-BC,

2

BD=y/2,

BC=2A/2,

BE±AC,ZBAC=A5°,

:.BE=AE,

ZC+ZEAF=90°fZC+Z￡BC=90°,

..ZEAF=/EBC,

在AE4尸和AEBC中，

ZAEF=NBEC=90°

<AE=BE,

ZEAF=NEBC

:.\EAF=\EBC{ASA）,

：.AF=BC=2y/2,

故選：D.

【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，解此題的關(guān)鍵是推出AEAF=AEBC,注意：全等三角形的

判定定理有SAS,A&l,A4S,SSS,全等三角形的對應(yīng)邊相等.

9.（2021秋?沐陽縣校級期末）如圖，已知">=隹，AB=AC.求證：BE=CD.

【分析】已知兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等，由SAS即可判定兩三角形全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解

答.

【解答】證明：在與AADC中，

AB=AC

<NA=ZA,

AE=AD

:.\AEB=\ADC(SAS),

:.BE=CD.

【點評】本題主要考查全等三角形的判定方法.證明全等尋找條件時，要善于觀察題目中的公共角，公共

邊.

23/47

六.全等三角形的應(yīng)用（共1小題）

10.（2021秋?祁江區(qū)期末）如圖，小虎用10塊高度都是3c“2的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直

的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個等腰直角三角板（AC=BC,NACB=90。），點C在DE上，點A和3分

別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為30cm.

B

DCE

【分析】根據(jù)題意可得AC=3C,ZACB=90°,AD±DE,BEVDE,進(jìn)而得到NADC=NCEB=90。，

再根據(jù)等角的余角相等可得4CE=NQ4C,再證明AADC三ACEB即可，利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答.

【解答】解：由題意得：AC^BC,NACB=90。，AD±DE,BE工DE,

:.ZADC=NCEB=90°,

ZACD+ZBCE=90°,ZACD+ZDAC=90°,

:.ZBCE=ZDAC,

在AADC和AC￡B中，

ZADC=ZCEB

<ZDAC=/BCE,

AC=BC

AADC=ACEB(AAS)；

由題意得：AD=EC=9cm,DC=BE=21cm,

DE=DC+CE=30(cm),

答：兩堵木墻之間的距離為30cm.

故答案為：30.

【點評】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確找出證明三角形全等的條件.

力【過關(guān)檢測】

選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）（2004?濰坊）如圖，已知AABC的六個元素，則下列甲、乙、丙三個三角形中和AABC全等的

圖形是（）

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【分析】甲不符合三角形全等的判斷方法，乙可運(yùn)用必S判定全等，丙可運(yùn)用AAS證明兩個三角形全等.

【解答】解：由圖形可知，甲有一邊一角，不能判斷兩三角形全等，

乙有兩邊及其夾角，能判斷兩三角形全等，

丙得出兩角及其一角對邊，能判斷兩三角形全等，

根據(jù)全等三角形的判定得，乙丙正確.

故選：C.

【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS.ASA.AAS.

HL.

注意：AM、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對

應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角.

2.（3分）（2020秋?封開縣期末）已知=A3。，ZA=80°,N3=40。，那么NC的度數(shù)為（

）

A.80°B.40°C.60°D.120°

【分析】在AABC中由三角形內(nèi)角和定理可求得/C,再由全等三角形的性質(zhì)可知NC=NC,可求得答案.

【解答】解：

在AABC中，44=80°,NB=40°,

ZC=180°-80°—40°=60°,

AABC三△A8C,

.-.ZC,=ZC=60°,

故選：C.

【點評】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

3.（3分）（2011春?滕州市期末）如圖，ZA=ZD,ZACB^ZDFE.下列條件中，能使

AABCMADE/的是（

A.ZE=ZBB.ED=BCC.AB=EFD.AF=CD

25/47

【分析】AABC和AD所中，已知了兩組對應(yīng)角相等，如果使兩三角形全等，必須再有一組對

應(yīng)邊相等.可據(jù)此進(jìn)行判斷.

【解答】解：A選項，要使兩三角形全等，就必須有邊的參與，因此A選項是錯誤的；

3選項，雖然ED=BC,有相等邊的參與，但不是對應(yīng)相等，因此3選項是錯誤的；

C選項同8,也是錯誤的；

。選項，由AF=CD,^AC=DF,又ZA=ND,ZACB=ZDFE,即可根據(jù)ASA,判定

AABC=ADEF.

故選：D.

【點評】本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即A4S、

ASA、SAS.SSS,直角三角形可用HL定理，但A4A、S&1,無法證明三角形全等.

4.（3分）（2013?賀州）如圖，在AABC中，ZABC=45°,AC=Scm,尸是高AD和BE1的交點，則班1

的長是（）

【分析】求出NEBD=NC4D,AD=BD,證ADBFMADAC,推出3尸=AC,代入求出即可.

【解答】解：尸是高AD和BE的交點，

ZADC=ZADB=ZAEF=90°,

.-.ZCAD+ZAFE=90°,ZDBF+ZBFD=90°,

ZAFE=ZBFD,

:.ZCAD=ZFBD,

ZAD3=90°,ZABC=45°,

:.ZBAD^45°=ZABD,

AD=BD,

在ADB尸和AZMC中

ZFBD=ZCAD

<DB=AD

ZFDB=ZCDA

:.M)BF=M)AC(ASA)f

BF=AC=8cm,

26/47

故選：c.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是

推出△DBFMAD4c.

5.（3分）（2014秋?南陵縣校級期末）如圖，AB=AC,AD^AE,欲證=AACE,可補(bǔ)充條件（

）

A.Z1=Z2B.ZB=ZCC.ZD=ZED.ZBAE=Z.CAD

【分析】AB=AC,AD=AE,欲證AABD三AACE,只需找到兩邊的夾角即可.

【解答】解：Z1=Z2,

:.Z[+ZDAC^Z2+ZDAC,

即ZEAC=ZDAB,

在A/幽和AACE中，

AB=AC

<ZDAB=ZEAC,

AD=AE

:./SABD=\ACE{SAS）.

故選：A.

【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA.AAS.

HL.

注意：A4A、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對

應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角.

6.（3分）（2020秋?撫順縣期末）下列各組中的兩個圖形屬于全等圖形的是（）

【分析】利用全等圖形的概念可得答案.

【解答】解：A、兩個圖形不能完全重合，故本選項錯誤;

B>兩個圖形能夠完全重合，故本選項正確；

27/47

C、兩個圖形不能完全重合，故本選項錯誤；

。、兩個圖形不能完全重合，故本選項錯誤；

故選：B.

【點評】本題考查的是全等形的識別、全等圖形的基本性質(zhì)，屬于較容易的基礎(chǔ)題.

7.（3分）（2021?柳南區(qū)校級模擬）小聰在用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角時，具體過程是這樣的:

已知：ZAOB.

求作：ZAOB,使=

作法：（1）如圖，以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交03于點C,D；

（2）畫一條射線。A,以點。為圓心，OC長為半徑畫弧，交。A于點C，；

（3）以點C'為圓心，CD長為半徑畫弧，與第（2）步中所畫的弧相交于點D；

（4）過點畫射線O萬，則/4。笈=/4。8.

A.由SSS可得三AOCD,進(jìn)而可證=

B.由S4S可得三AOCD,進(jìn)而可證=

C.由ASA可得△OC'OMAOCD,進(jìn)而可證NA'CTB7=NAOB

D.由“等邊對等角”可得

【分析】先利用作法得到8=OC=OZ7=OC,CD=CD,然后根據(jù)全等三角形的判定方法對各選項進(jìn)

行判斷.

【解答】解：由作圖得。0=0。=。。=。。，CD=CD,

則根據(jù)“SSS"可判斷△COD=NCOD.

故選：A.

【點評】本題考查了作圖-基本作圖：基本作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何

圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.也考查了全等三角形的判定.

8.（3分）如圖所示，在等腰RtAABC中，NABC=90。，BA=BC=10,直線/過點3,分別過點A、C作

直線/的垂線，垂足分別為E、F,若BE=8,AE=6,則C尸的長為（）

A.5B.6C.7D.8

28/47

【分析】由“A4S”可證AAB石二ABCF,可得CF=B_E=8.

【解答】解：,直線/過點5,分別過點A、。作直線/的垂線，

.?.ZAEB=ZCFB=ZABC=90°,

.?.ZABE+ZCBF=90°=Z.CBF+ZBCF,

:.ZABE=NCBF,

在AABE和ABCF中，

NAEB=ZCFB=90°

</ABE=ZCBF,

AB=BC

,\AABE=ABCF（AAS）,

:.CF=BE=8,

故選：D.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

9.（3分）（2020秋?福田區(qū)期末）已知，如圖，。為線段AE上一動點（不與A,石重合），在AE同側(cè)

分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE,AD與師交于點O,AO與3。交于點P,BE與CD交于點、Q,

連接尸Q,OC,以下四個結(jié)論：?AD=BE；②ACP。是等邊三角形；@AD±BC；④OC平分NAOE.其

中正確的結(jié)論是（）

A.①、②B?③、④C.①、②、③D.①、②、④

【分析】先由SAS判定AACDwABCE,證得①正確；再由ASA證AAC尸2ABCQ,得到CP=CQ,②正確,

同理證得CM=OV,得到④正確；易得③不正確.

【解答】解：AABC和ADCE均是等邊三角形，

:.BC=AC,CD=CE,ZACB=ZECD=60°,

ZACB+ZBCD=ZBCD+NECD,ZBCD=60。,

:.ZACD=ZBCE,

:.AACD=ABCE(SAS),

:.AD=BE,故①正確；

ZCAD=ZCBEf

ZBCA=ZBCD=60°,AC=BC,

.\AACP=ABCQ(ASA),

29/47

:.CP=CQ,

又一NPCQ=60°,

，ACP。是等邊三角形，故②正確；

過C作。0_1_鹿于M,CN1AD于N,

AACD=ABCE,

:.ZADC=ZBEC,

CD=CE,NCND=NCMA=9Q。,

\CDN=ACEM(A4S),

:.CM=CN,

CMLBE,CN1AD,

平分ZAOE,故④正確；

當(dāng)AC=CE時，"平分NBAC,

貝ijAPAC=30°,止匕時ZAPC=180°-30°-60°=90°,

則AD_L3C,故③不正確；

故選：D.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握等邊三角形的

判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型.

10.（3分）如圖，在NBAC的兩邊上截取AB=AC,AD=AE.連接班＞,EC交于點尸，則下列結(jié)論正

確的是（）

@AABD=AACE；@ABEP=ACDP；?AAPB=AAPC；?^APE=AAPD.

A.①②③④B.①②③C.②③④D.①③④

【分析】根據(jù)題目中的條件，可以證明題目中的各個小題中的三角形是否全等，從而可以解答本題.

【解答】解：在AABD和AACE中，

30/47

AB=AC

<ABAD=ZCAE,

AD=AE

:.AABD=AACE(SAS)f故①正確；

:.ZB=ZC,

AB=AC,AD=AE,

BE=CD，

在和ACDP中，

ZB=ZC

<ZBPE=ZCPD,

BE=CD

/.ABEP=ACZ)P(A4S),故②正確;

:.BP=CP,

在APB和AAPC中，

AB=AC

<AP=AP,

BP=CP

:.APB=AAPC(SSS),故③正確；

,\ZBAP=ZCAP,

:.ZEAP=ZDAP,

在AAPE和AAPD中，

AE=AD

<ZEAP=ZDAP,

AP=AP

:.AAPE=AAPD(SAS),故④正確；

故選：A.

【點評】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用全等三角形的判定解答.

二.填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）

11.（3分）（2019春?工業(yè)園區(qū)期末）連接正方形網(wǎng)格中的格點，得到如圖所示的圖形，則Nl+N2+N3+N4=

180°.

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【分析】直接利用網(wǎng)格結(jié)合全等三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)得出答案.

【解答】解：由網(wǎng)格可得：AAFE=ABDA,

貝!M=N5,

AC=BC=^/5,AB=y/10,

AACB是直角三角形，

故NC4B=NCB4=45°,

Z4+Z5=Z4+Z1=180°-45°=135°,

N2+N3=90°—45°=45°,

二Zl+N2+Z3+N4=135°+45°=180°.

故答案為：180.

E

【點評】此題主要考查了全等圖形，正確掌握全等三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

12.（3分）（2019秋?東臺市月考）如圖①，已知AABC的六個元素，則圖②中甲、乙、丙三個三角形中

與圖①中AA5C全等的圖形是丙.

圖①圖②

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理（SAS,ASA,A4S,SSS）逐個判斷即可.

【解答】解：已知圖①的AABC中，ZB=62°,BC=a,AB=c,AC=b,ZC=58°,ZA=60°,

圖②中，甲：只有一個角和NB相等，沒有其它條件，不符合三角形全等的判定定理，即和AABC不全等；

乙：只有一個角和相等，還有一條邊，沒有其它條件，不符合三角形全等的判定定理，即和AABC不全

等；

丙：符合A4S定理，能推出兩三角形全等；

故答案為：丙.

【點評】本題考查了全等三角形的判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有S4S,AS4,A45,SSS.

32/47

13.（3分）（2021秋?梅里斯區(qū)期末）小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標(biāo)有

1、2、3、4的四塊），你認(rèn)為將其中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來一樣大小的三角形？應(yīng)該帶第，

塊.

【分析】本題應(yīng)先假定選擇哪塊，再對應(yīng)三角形全等判定的條件進(jìn)行驗證.

【解答】解：1、3、4塊玻璃不同時具備包括一完整邊在內(nèi)的三個證明全等的要素，所以不能帶它們?nèi)ィ?/p>

只有第2塊有完整的兩角及夾邊，符合ASA,滿足題目要求的條件，是符合題意的.

故答案為：2.

【點評】本題主要考查三角形全等的判定，看這4塊玻璃中哪個包含的條件符合某個判定.判定兩個三角

形全等的一般方法有：SSS、SAS.ASA.AAS.HL.

14.（3分）如圖，AABC和ADEF中，AB=DE,BC=EF,在下列條件中：?ZA=ZD,②ZB二NE,

@ZC=ZF,選擇添加一個條件，使AA3C三ADEF的是②.

【分析】根據(jù)題目中的條件和全等三角形的判定方法，可以判斷哪個小題中條件符合題意，本題得以解決.

【解答】解：.,在，AABC和ADEF中，AB=DE,BC=EF,

添加=則不能判斷AABC三ADEF,故①不符合題意；

添加=則AABC三ADEF（S4S）,故②符合題意；

添加INC=",則不能判斷AABCvADEF,故③不符合題意；

故答案為：②.

【點評】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用全等三角形的判定解答.

15.（3分）（2009?河北）如圖，等邊AABC的邊長為low,D、E分別是"、AC上的點，將AADE沿

直線DE折疊，點A落在點A，處，且點從在AABC外部，則陰影部分圖形的周長為—

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【分析】由題意得AE=AE,AD=AD,故陰影部分的周長可以轉(zhuǎn)化為三角形ABC的周長.

【解答】解：將AADE沿直線DE折疊，點A落在點A，處，

所以AT）=Ar>,AE=AE.

則陰影部分圖形的周長等于BC+BD+CE+AD+AE,

=BC+BD+CE+AD+AE,

=BC+AB+AC,

=3cm?

故答案為：3.

【點評】折疊問題的實質(zhì)是“軸對稱”，解題關(guān)鍵是找出經(jīng)軸對稱變換所得的等量關(guān)系.

16.（3分）（2019秋?海州區(qū)期中）如圖，MBC=AADE,3c的延長線經(jīng)過點E,交4）于F,ZAED