14.3角的平分線第1課時(shí)角的平分線的性質(zhì)教師備課素材示例●置疑導(dǎo)入如圖是小勛制作的風(fēng)箏，他根據(jù)AB＝AD，BC＝DC，不用度量就知道AC是∠DAB的平分線，你知道其中的道理嗎？【教學(xué)與建議】教學(xué)：以風(fēng)箏為例導(dǎo)入，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．建議：引導(dǎo)學(xué)生利用三角形“SSS”判定全等，得到AC是∠DAB的平分線．●置疑導(dǎo)入用折紙的方法作角平分線時(shí)，將∠AOB對(duì)折，再折成直角三角形，然后展開(kāi)（如圖所示），觀察兩個(gè)直角三角形全等嗎？?jī)蓷l直角邊PD，PE與該角的兩邊有什么關(guān)系？你能歸納角平分線的性質(zhì)嗎？你能證明這個(gè)性質(zhì)嗎？請(qǐng)用數(shù)學(xué)符號(hào)描述此性質(zhì)．【教學(xué)與建議】教學(xué)：動(dòng)手折紙使學(xué)生從實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)角平分線的作圖方法及性質(zhì)．建議：運(yùn)用教具（或動(dòng)畫(huà)）直觀地進(jìn)行講述，提出探究的問(wèn)題．·命題角度1角的平分線的作圖根據(jù)題目要求，利用尺規(guī)作圖的方法作一個(gè)角的平分線，其依據(jù)是全等三角形的判定方法“SSS”．【例1】如圖，鐵路OA和鐵路OB交于O處，河道AB與鐵路分別交于A處和B處，試在河岸上建一座水廠M，要求M到鐵路OA，OB的距離相等，則該水廠M應(yīng)建在圖中什么位置？請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出M點(diǎn)的位置．解：作∠AOB的平分線交AB于點(diǎn)M，即M處為水廠的位置．·命題角度2利用角平分線的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題利用角的平分線的性質(zhì)解決問(wèn)題的關(guān)鍵：尋找角的平分線上的一點(diǎn)到角兩邊的垂線段，利用角平分線的性質(zhì)計(jì)算線段長(zhǎng)度或面積．【例2】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝4，AB＝11，則△ABD的面積等于(B)A．30B．22C．44D．10eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例2題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例3題圖）))【例3】如圖，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，AD過(guò)點(diǎn)P，且與AB垂直．若AD＝7，則點(diǎn)P到BC的距離是3.5.【例4】如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于點(diǎn)E，BD＝DF，求證：CF＝EB.證明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC.在Rt△CDF和Rt△EDB中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(DF＝DB，,DC＝DE，))∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴CF＝EB.高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．讓學(xué)生學(xué)會(huì)用尺規(guī)作一個(gè)已知角的平分線．2．探索并證明角平分線的性質(zhì)．3．讓學(xué)生學(xué)會(huì)用角平分線的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題．▲重點(diǎn)掌握角平分線的性質(zhì)．▲難點(diǎn)靈活運(yùn)用角平分線的性質(zhì)解決問(wèn)題．◆活動(dòng)1新課導(dǎo)入如圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB＝AD，BC＝DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫(huà)一條射線AE，AE就是這個(gè)角的平分線．你能說(shuō)明它的道理嗎？◆活動(dòng)2探究新知1．教材P48探究．提出問(wèn)題：(1)當(dāng)OM＝ON時(shí)，PM與PN有什么關(guān)系？(2)當(dāng)OM≠ON時(shí)，PM與PN有什么關(guān)系？(3)反過(guò)來(lái)，當(dāng)已知OM＝ON，PM＝PN時(shí)，點(diǎn)P在什么位置？學(xué)生完成并交流展示．2．教材P48思考．提出問(wèn)題：(1)你知道怎么畫(huà)一個(gè)角的平分線嗎？(2)在作圖過(guò)程中為什么要以大于eq\f(1,2)MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)??？(3)為什么OC是∠AOB的平分線？理論依據(jù)是什么？學(xué)生完成并交流展示．3．教材P49探究．提出問(wèn)題：(1)觀察圖形14.3－4，比較P1D1與P1E1，P2D2與P2E2，P3D3與P3E3…，你有什么發(fā)現(xiàn)？(2)通過(guò)上面的探索你能歸納出角的平分線的性質(zhì)嗎？(3)你能證明這個(gè)性質(zhì)嗎？學(xué)生完成并交流展示．◆活動(dòng)3知識(shí)歸納1．作已知角的平分線的方法有很多，主要有折疊法和尺規(guī)作圖法.2．角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.3．一般情況下，要證明一個(gè)幾何命題時(shí)，可以按照以下的步驟進(jìn)行：(1)明確命題中的已知和求證；(2)根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示已知和求證；(3)經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫(xiě)出證明過(guò)程.◆活動(dòng)4例題與練習(xí)例1如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F.求證：∠B＝∠C.證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(DB＝DC，,DE＝DF，))∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴∠B＝∠C.例2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，且CD＝CB，∠ABC＋∠ADC＝180°.求證：AE＝eq\f(1,2)(AB＋AD).證明：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF.又∵CD＝CB，∴Rt△CEB≌Rt△CFD(HL)，∴DF＝BE.∵CE＝CF，AC＝AC，∴Rt△AEC≌Rt△AFC(HL)，∴AF＝AE，∴DF＝AF－AD＝AE－AD.∵BE＝AB－AE，DF＝BE，∴AE－AD＝AB－AE，∴AE＝eq\f(1,2)(AB＋AD).練習(xí)1．教材P50練習(xí)第1，2題．2．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且AB＝6cm，則△DEB的周長(zhǎng)為(B)A．4cmB．6cmC．8cmD．10cmeq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3題圖）))3．如圖，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，AD過(guò)點(diǎn)P且與AB垂直．若AD＝8，則點(diǎn)P到BC的距離是(C)A．8B．6C．4D．24．如圖，已知OD平分∠AOB，P是OD上一點(diǎn)，在OA，OB邊上取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分別為M，N.求證：PM＝PN.證明：∵OD平分∠AOB，∴∠1＝∠2.又∵