2025年彈性力學試題及答案一、選擇題（每題3分，共15分）1.彈性力學中“小變形假設(shè)”的核心含義是：A.物體變形后的幾何尺寸可以忽略不計B.變形量遠小于物體原尺寸，變形對平衡方程和幾何方程的影響可忽略C.材料的彈性模量很小D.物體只發(fā)生彈性變形，無塑性變形2.關(guān)于一點的應(yīng)力狀態(tài)，以下說法正確的是：A.應(yīng)力狀態(tài)由6個獨立的應(yīng)力分量完全描述B.應(yīng)力張量的第一不變量與坐標系選擇無關(guān)C.正應(yīng)力的極值一定出現(xiàn)在主平面上D.最大切應(yīng)力等于兩個主應(yīng)力之差的一半3.平面應(yīng)變問題中，以下哪項成立？A.所有應(yīng)力分量沿厚度方向（z軸）不變B.所有應(yīng)變分量ε_z=0C.材料的彈性模量E與平面應(yīng)力問題相同D.體積應(yīng)變等于零4.應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（相容方程）的物理意義是：A.保證應(yīng)力與應(yīng)變滿足胡克定律B.保證物體變形后的連續(xù)性，無裂隙或重疊C.保證平衡微分方程的可解性D.保證邊界條件的一致性5.圣維南原理的適用條件是：A.只能應(yīng)用于彈性體的小邊界B.必須滿足力的大小和方向完全等效C.適用于所有邊界條件的簡化D.僅適用于靜力學平衡問題二、填空題（每題3分，共15分）1.彈性力學的基本假設(shè)包括連續(xù)性、均勻性、各向同性、__________和__________。2.空間問題的平衡微分方程中，σ_x對x的偏導(dǎo)數(shù)加上__________對y的偏導(dǎo)數(shù)，加上τ_xz對z的偏導(dǎo)數(shù)，再加上體積力X等于__________。3.廣義胡克定律在平面應(yīng)力問題中的表達式為ε_x=（σ_x-νσ_y）/E，ε_y=（σ_y-νσ_x）/E，__________。4.極坐標下，軸對稱問題的應(yīng)力分量σ_r、σ_θ、τ_rθ滿足的平衡微分方程為__________。5.用逆解法求解彈性力學問題時，通常先假設(shè)滿足__________的應(yīng)力函數(shù)形式，再由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量，最后驗證是否滿足__________。三、簡答題（每題8分，共24分）1.簡述彈性力學與材料力學在研究對象和方法上的主要區(qū)別。2.說明平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題的定義及各自的應(yīng)力、應(yīng)變特點。3.推導(dǎo)平面問題中應(yīng)力函數(shù)（艾里應(yīng)力函數(shù)）的引入過程，并說明其需滿足的條件。四、計算題（每題15分，共45分）1.已知某彈性體中的應(yīng)力分量為σ_x=ax+by，σ_y=cx+dy，τ_xy=ey+fx，其中a、b、c、d、e、f為常數(shù)，體積力X=Y=0。試求：（1）滿足平衡微分方程的系數(shù)關(guān)系；（2）若物體為單連通區(qū)域，寫出應(yīng)變協(xié)調(diào)方程對應(yīng)的條件（用應(yīng)力表示）。2.一受內(nèi)壓p的厚壁圓筒，內(nèi)半徑為a，外半徑為b，材料的彈性模量為E，泊松比為ν。試求：（1）用彈性力學方法推導(dǎo)圓筒的徑向應(yīng)力σ_r、環(huán)向應(yīng)力σ_θ分布；（2）當外半徑b→∞時（半無限體受圓孔內(nèi)壓），求σ_r和σ_θ的簡化形式。3.如圖所示矩形板（0≤x≤l，0≤y≤h），上下邊界（y=0和y=h）自由，左邊界（x=0）受線性分布荷載τ=ky（k為常數(shù)），右邊界（x=l）無荷載，體積力不計。試選用二次多項式應(yīng)力函數(shù)φ=Ax2y+Bxy3，并求解板內(nèi)的應(yīng)力分量（需驗證應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程）。五、綜合分析題（10分）某重力壩簡化為平面應(yīng)變問題，壩體材料容重為γ，上游面受靜水壓力q(y)=γ_wy（y為深度，向下為正），下游面自由。試分析：（1）如何選擇應(yīng)力函數(shù)形式；（2）寫出主要邊界條件（包括上下游面和壩底）；（3）簡述求解壩體應(yīng)力分布的主要步驟。彈性力學試題答案一、選擇題1.B（小變形假設(shè)的核心是變形量遠小于原尺寸，因此在建立平衡方程和幾何方程時可忽略變形引起的坐標變化，僅用原坐標描述。）2.B（應(yīng)力張量的第一不變量I?=σ_x+σ_y+σ_z，與坐標系無關(guān)；A錯誤，應(yīng)為6個分量但對稱，獨立分量為6；C錯誤，正應(yīng)力極值一定在主平面，但主平面可能不唯一；D錯誤，最大切應(yīng)力為（σ?-σ?）/2，需三個主應(yīng)力中的最大差。）3.B（平面應(yīng)變問題中，ε_z=0，σ_z=ν(σ_x+σ_y)；A錯誤，應(yīng)為應(yīng)變沿厚度不變；C錯誤，平面應(yīng)變問題的等效彈性模量為E/(1-ν2)，泊松比為ν/(1-ν)；D錯誤，體積應(yīng)變不為零。）4.B（應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的物理意義是保證變形后的連續(xù)性，即由應(yīng)變分量積分得到的位移場單值連續(xù)，無裂隙或重疊。）5.A（圣維南原理適用于小邊界（局部邊界）上的力系簡化，用靜力等效的力系代替原荷載，對遠離邊界的區(qū)域應(yīng)力分布影響可忽略。）二、填空題1.完全彈性；小變形（或線彈性）2.τ_xy；0（平衡微分方程為?σ_x/?x+?τ_xy/?y+?τ_xz/?z+X=0，體積力X=0時右側(cè)為0）3.γ_xy=2(1+ν)τ_xy/E（平面應(yīng)力問題中，τ_xy與γ_xy的關(guān)系）4.dσ_r/dr+(σ_r-σ_θ)/r=0（軸對稱問題中τ_rθ=0，平衡方程簡化為此式）5.相容方程（或應(yīng)變協(xié)調(diào)方程）；邊界條件三、簡答題1.彈性力學與材料力學的區(qū)別：研究對象：材料力學主要研究桿類構(gòu)件（如梁、軸、柱），假設(shè)截面變形符合平截面等簡化條件；彈性力學研究任意形狀的彈性體（如板、殼、塊體），無額外幾何假設(shè)。研究方法：材料力學通過引入簡化假設(shè)（如平截面、單向應(yīng)力）將問題簡化為一維或二維問題；彈性力學直接從微分體的平衡、幾何、物理關(guān)系出發(fā)，建立偏微分方程組，嚴格滿足所有基本方程。精度：彈性力學結(jié)果更精確，可揭示材料力學中被忽略的局部應(yīng)力（如孔邊應(yīng)力集中）。2.平面應(yīng)力與平面應(yīng)變的定義及特點：-平面應(yīng)力問題：物體為等厚度薄板，荷載平行于板面且沿厚度均勻分布。應(yīng)力特點：σ_z=τ_xz=τ_yz=0，σ_x、σ_y、τ_xy僅為x、y的函數(shù)；應(yīng)變特點：ε_z≠0（由σ_x、σ_y引起），ε_x、ε_y、γ_xy為平面應(yīng)變分量。-平面應(yīng)變問題：物體為長柱體，荷載平行于橫截面且沿長度不變。應(yīng)變特點：ε_z=0（由約束引起），ε_x、ε_y、γ_xy僅為x、y的函數(shù)；應(yīng)力特點：σ_z=ν(σ_x+σ_y)≠0，σ_x、σ_y、τ_xy為平面應(yīng)力分量。3.應(yīng)力函數(shù)的引入過程及條件：在平面問題（無體積力或體積力為常數(shù)）中，平衡微分方程為：?σ_x/?x+?τ_xy/?y=0，?τ_xy/?x+?σ_y/?y=0。由于應(yīng)力分量滿足上述齊次方程，可引入艾里應(yīng)力函數(shù)φ，使：σ_x=?2φ/?y2，σ_y=?2φ/?x2，τ_xy=-?2φ/?x?y。此定義自動滿足平衡微分方程（代入后恒成立）。應(yīng)力函數(shù)需滿足的條件：（1）相容方程：對于平面應(yīng)力問題，??φ=0（四階拉普拉斯方程）；對于平面應(yīng)變問題，??φ=0（形式相同，因彈性常數(shù)已等效轉(zhuǎn)換）。（2）邊界條件：在物體邊界上，應(yīng)力分量需與面力分量滿足靜力等效關(guān)系（直接邊界條件或圣維南原理的簡化邊界條件）。四、計算題1.解答：（1）平衡微分方程為：?σ_x/?x+?τ_xy/?y=0，?τ_xy/?x+?σ_y/?y=0（體積力X=Y=0）。代入應(yīng)力分量：?σ_x/?x=a，?τ_xy/?y=e，故第一式為a+e=0；?τ_xy/?x=f，?σ_y/?y=d，故第二式為f+d=0。因此，系數(shù)關(guān)系為e=-a，d=-f。（2）平面問題的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（用應(yīng)力表示）為：?2(σ_x+σ_y)=0（平面應(yīng)力，無體積力）。σ_x+σ_y=(a+c)x+(b+d)y，代入d=-f，得σ_x+σ_y=(a+c)x+(b-f)y。其拉普拉斯算子?2(σ_x+σ_y)=?2/?x2+?2/?y2=0（因x和y的一次項二階導(dǎo)數(shù)為0），故自然滿足協(xié)調(diào)方程。2.解答：（1）厚壁圓筒為軸對稱問題，應(yīng)力分量僅與r有關(guān)，τ_rθ=0。平衡微分方程為：dσ_r/dr+(σ_r-σ_θ)/r=0（式1）。幾何方程：ε_r=du/dr，ε_θ=u/r（u為徑向位移）。物理方程（平面應(yīng)力）：ε_r=(σ_r-νσ_θ)/E，ε_θ=(σ_θ-νσ_r)/E。由幾何方程得ε_θ=u/r=(du/dr)+rd(ε_r)/dr（錯誤，正確推導(dǎo)應(yīng)為：由ε_r=du/dr，ε_θ=u/r，消去u得d(rε_θ)/dr=ε_r，即rdε_θ/dr+ε_θ=ε_r）。代入物理方程：rd/dr[(σ_θ-νσ_r)/E]+(σ_θ-νσ_r)/E=(σ_r-νσ_θ)/E。兩邊乘E并整理：r(dσ_θ/dr-νdσ_r/dr)+σ_θ-νσ_r=σ_r-νσ_θ，r(dσ_θ/dr-νdσ_r/dr)=(1+ν)(σ_r-σ_θ)（式2）。由式1得σ_θ=σ_r+rdσ_r/dr，代入式2：r[d(σ_r+rdσ_r/dr)/dr-νdσ_r/dr]=(1+ν)(σ_r-σ_r-rdσ_r/dr)，展開左邊：r[dσ_r/dr+dσ_r/dr+rd2σ_r/dr2-νdσ_r/dr]=r[(2-ν)dσ_r/dr+rd2σ_r/dr2]，右邊：(1+ν)(-rdσ_r/dr)=-r(1+ν)dσ_r/dr，整理得：(2-ν)dσ_r/dr+rd2σ_r/dr2=-(1+ν)dσ_r/dr，即rd2σ_r/dr2+(3-ν)dσ_r/dr=0。令dσ_r/dr=p，則rdp/dr+(3-ν)p=0，解得p=C?/r^(3-ν)。但更簡單的方法是假設(shè)σ_r=A+B/r2（軸對稱問題通解），代入式1得σ_θ=A-B/r2。邊界條件：r=a時，σ_r=-p（壓應(yīng)力為負）；r=b時，σ_r=0（外邊界自由）。代入得：A+B/a2=-p，A+B/b2=0。解得A=-pa2/(b2-a2)，B=pa2b2/(b2-a2)。因此，σ_r=-pa2(b2-r2)/[r2(b2-a2)]，σ_θ=-pa2(b2+r2)/[r2(b2-a2)]（注意符號，內(nèi)壓p為正，σ_r在r=a時為-p，故正確形式應(yīng)為σ_r=pa2(1/r2-1/b2)/(1/a2-1/b2)=pa2(b2-r2)/(r2(b2-a2))，σ_θ=pa2(b2+r2)/(r2(b2-a2))，符號為正表示拉應(yīng)力）。（2）當b→∞時，1/b2≈0，故σ_r≈pa2/r2，σ_θ≈pa2/r2（此時圓孔周圍的徑向和環(huán)向應(yīng)力均隨r增大而減小，符合半無限體受圓孔內(nèi)壓的應(yīng)力集中現(xiàn)象）。3.解答：應(yīng)力函數(shù)φ=Ax2y+Bxy3，驗證相容方程??φ=0：?2φ/?x2=2Ay+6Bxy，?2φ/?y2=2Ax+6Bxy，?2φ=?2φ/?x2+?2φ/?y2=2Ay+6Bxy+2Ax+6Bxy=2Ax+2Ay+12Bxy，??φ=??φ/?x?+2??φ/?x2?y2+??φ/?y?。計算各階導(dǎo)數(shù)：??φ/?x?=0（φ對x的四階導(dǎo)數(shù)為0），??φ/?y?=0（φ對y的四階導(dǎo)數(shù)為0），??φ/?x2?y2=?2/?x2(?2φ/?y2)=?2/?x2(2Ax+6Bxy)=?/?x(2A+6By)=0，故??φ=0+0+0=0，滿足相容方程。應(yīng)力分量：σ_x=?2φ/?y2=2Ax+6Bxy，σ_y=?2φ/?x2=2Ay+6Bxy，τ_xy=-?2φ/?x?y=-(2Ax+3By2)。邊界條件：（1）上下邊界y=0和y=h自由，即面力為0：y=0時，σ_y=0，τ_xy=0。σ_y(0)=2A·0+6Bx·0=0（滿足）；τ_xy(0)=-(2Ax+0)=-2Ax=0（對所有x成立，故A=0）。y=h時，σ_y=0，τ_xy=0。σ_y(h)=2A·h+6Bx·h=0（A=0，故6Bxh=0，對所有x成立，故B=0？矛盾，說明假設(shè)的應(yīng)力函數(shù)可能需要調(diào)整，或邊界條件處理有誤。實際應(yīng)檢查τ_xy在y=h時的條件：τ_xy(h)=-(2Ax+3Bh2)=0（對所有x成立，故A=0，且3Bh2=0→B=0，這顯然不合理，說明二次多項式可能不夠，應(yīng)選擇φ=Bxy3（A=0））。修正：令A(yù)=0，φ=Bxy3，則：σ_x=?2φ/?y2=6Bxy，σ_y=?2φ/?x2=0，τ_xy=-?2φ/?x?y=-3By2。邊界條件：y=0時，σ_y=0，τ_xy=0（滿足）；y=h時，σ_y=0（滿足），τ_xy=-3Bh2=0→B=0（仍矛盾，說明應(yīng)考慮荷載在x=0處的τ=ky，即x=0時，τ_xy=ky（注意符號，彈性力學中τ_xy的正向為x面y向正，y面x向正，故邊界條件應(yīng)為x=0時，面力τ=ky，即τ_xy=ky）。正確邊界條件：x=0時，σ_x=0（自由？題目未說明x=0的σ_x，僅τ=ky），x=l時，σ_x=0，τ_xy=0（無荷載）。由τ_xy=-?2φ/?x?y=ky（x=0），即-?2φ/?x?y|_{x=0}=ky。若φ=Bxy3，則?2φ/?x?y=3By2，故-3By2=ky（x=0時），這要求3B=-k/y2（與y有關(guān)，矛盾），說明應(yīng)選擇φ=Bxy3+Cxy（線性項）。令φ=Bxy3+Cxy，則：σ_x=?2φ/?y2=6Bxy，σ_y=?2φ/?x2=0，τ_xy=-?2φ/?x?y=-(3By2+C)。邊界條件：x=0時，τ_xy=ky→-(3By2+C)=ky→3By2+C=-ky（對所有y成立，故B=0，C=-ky，但C為常數(shù)，矛盾）。正確方法應(yīng)選擇φ為三次多項式，如φ=Ay3+By2x+Cyx3（可能更復(fù)雜），但題目指定二次多項式，可能存在設(shè)定誤差。假設(shè)題目中的τ=ky為x=0處的切向面力，即τ_xy=ky（x=0），則由τ_xy=-?2φ/?x?y=ky，積分得?φ/?y=-∫kydx+f(y)=-kxy+f(y)，再積分得φ=-kxy2/2+∫f(y)dy。選擇f(y)=0，則φ=-kxy2/2，此時：σ_x=?2φ/?y2=-kx，σ_y=?2φ/?x2=0，τ_xy=-?2φ/?x?y=ky。驗證平衡微分方程（體積力為0）：?σ_x/?x+?τ_xy/?y=-k+k=0（滿足），?τ_xy/?x+?σ_y/?y=0+0=0（滿足）。相容方程??φ=0（