學習目標

(1)了解根軌跡的概念,會用根軌跡法分析系統(tǒng)性能。

(2)了解頻率特性的概念,會用頻率曲線分析系統(tǒng)性能。

(3)會用MATLAB繪制根軌跡及頻率曲線。

4.1根軌跡分析法

4.1.1根軌跡的概念自動控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性由它的閉環(huán)極點唯一確定。當閉環(huán)傳遞函數的極點均處于復數平面的左半平面時,系統(tǒng)絕對穩(wěn)定。反饋控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性也與系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數極點在復數平面上的位置有關。

以二階系統(tǒng)為例,其極點就是系統(tǒng)的特征方程s2+2ξωns+ω2n=0的根。如圖4－1所示,參數不同,方程的根也不同,不同的根對應的單位階躍響應曲線也表現(xiàn)出不一樣的穩(wěn)態(tài)與動態(tài)性能。圖4－1不同極點對系統(tǒng)新能的影響

1948年,伊萬斯(W.R.EVANS)提出了直接由開環(huán)函數判別閉環(huán)特征根的圖解法,解決了復雜系統(tǒng)的性能分析的難題,這就是著名的根軌跡法。所謂根軌跡,就是開環(huán)系統(tǒng)某

一參數從零變到無窮時,閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根在s平面上變化的軌跡。由于根軌跡圖直觀、完整,且可以推算出系統(tǒng)參數的變化對系統(tǒng)閉環(huán)極點的影響趨勢,所以對研究及改

善系統(tǒng)性能都具有重要意義。其分析問題的思路如圖4－2所示。圖4－2根軌跡法的基本思路

4.1.2根軌跡繪制

1.開/閉環(huán)傳遞函數零極點表達式

圖4－3所示為一個常見的負反饋控制系統(tǒng),其開環(huán)函數為Gks()=G(s)H(s)。開環(huán)傳遞函數中分子多項式方程的根稱為開環(huán)零點,分母多項式方程的根稱為開環(huán)極點。圖4－3反饋系統(tǒng)框圖

為了直觀獲取自控系統(tǒng)傳遞函數的零點和極點,我們習慣性地將n階負反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數表達為以下零、極點形式

式中,zi為開環(huán)零點;pj為開環(huán)極點;Kg為根軌跡增益。

閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益也等于開環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌跡增益。一般我們研究的就是Kg變化時的根軌跡。在根軌跡圖中,“×”表示開環(huán)極點,“○”表示開環(huán)零點,實線表示根軌跡,箭頭表示參數增加的方向。

例4－1在復平面上標出開環(huán)傳遞函數

的零、極點。

解由開環(huán)函數,求得零點s=-1

極點:s=0,s=-4,s=1±j1

所以,零極點分布圖如圖4－4所示。圖4－4例4－1

2.繪制根軌跡

繪制根軌跡有兩種常用方法,其中一種是伊文斯圖解法。利用伊文斯圖解法(手工畫法)獲得系統(tǒng)根軌跡是一種很實用的工程方法,只需要依據幾條規(guī)則做簡單的計算,不需要求解系統(tǒng)特征方程。其繪制方法如下:

1)連續(xù)性與對稱性

系統(tǒng)根軌跡的各條分支是連續(xù)的,而且由于特征方程的根為實數或共軛復數(包括一對純虛根),所以根軌跡必然對稱于實軸。

2)根軌跡的分支數n階系統(tǒng)根軌跡的分支數為n。開環(huán)傳遞函數為n階,故開環(huán)極點和閉環(huán)極點數目都為n個,當Kg從0→+∞變化時,n個根在s平面上連續(xù)形成n條根軌跡。一條根軌跡對應一個閉環(huán)極點隨Kg的連續(xù)變化軌跡。注:根軌跡的分支數=系統(tǒng)的階數。

3)根軌跡的起點和終點

系統(tǒng)的特征方程為

即

化簡后可以得到

4)實軸上的根軌跡

在s平面實軸的線段上存在根軌跡的條件是,在這些線段右邊的開環(huán)零點和開環(huán)極點的數目之和為奇數。假設一個特征根為s1,若它右邊的實數零、極點(開環(huán))個數的總和為

奇數,則s1位于根軌跡上。

5)根軌跡的漸近線

當特征根沿根軌跡無限遠離原點或無限接近間斷點時,即到一條直線的距離無限趨近于零,那么這條直線稱為這條根軌跡的漸近線。若n>m,當Kg從0→+∞時,有(n-m)條根軌跡分支沿著實軸正方向夾角為θ、截距為σ的一組漸近線趨向無窮遠處。

其中,

與實軸交點坐標為(σ,j0),且

常見的漸近線如圖4－5所示。圖4－5常見漸近線

6)根軌跡的分離點和會合點

若兩條根軌跡在復平面上的某一點相遇后又分開,則稱該點為根軌跡的分離點或會合點。此點對應于二重根(實根和共軛復數根),一般多出現(xiàn)在實軸上。分離點的求解在本書

中不做要求。

7)根軌跡的出射角和入射角

出射角是指始于開環(huán)極點的根軌跡在起點的切線與正實軸的夾角。入射角是指止于開環(huán)零點的根軌跡在終點的切線與正實軸的夾角。出射角和入射角的求解在本書中不做要求。

8)根軌跡與虛軸的交點

隨著Kg的增大,根軌跡可能由s左半平面變到右半平面,系統(tǒng)會從穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定,根軌跡與虛軸產生交點,即閉環(huán)特征方程出現(xiàn)純虛根,出現(xiàn)臨界穩(wěn)定。由此根求解出的增益稱為臨界根軌跡增益。

9)閉環(huán)極點的和

當n-m≥2時,開環(huán)極點之和=閉環(huán)極點之和=常數。圖4－6例4－2根軌跡

例4－3已知例4－2中根軌跡在實軸上的分離點為s=-0.423,分離角為90°,試畫出根軌跡圖,并求臨界根軌跡增益。

解閉環(huán)特征方程為

將s=jω代入方程,舍去不可能的解,得因此臨界根軌跡增益為6。根軌跡如圖4－7所示。圖4－7例4－3根軌跡圖48例44根軌跡

4.1.3根軌跡與系統(tǒng)性能

由根軌跡分析閉環(huán)控制系統(tǒng)性能的一般步驟如下:

(1)由給定參數確定閉環(huán)系統(tǒng)的零極點的位置;

(2)分析參數變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響;

(3)分析系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能;

(4)根據性能要求確定系統(tǒng)的參數;

(5)對系統(tǒng)進行校正。

1.穩(wěn)定性

由根軌跡在s平面的分布情況就可以分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果全部根軌跡都位于s平面左半部分,則說明系統(tǒng)是穩(wěn)定的;如果根軌跡有一條或一條以上的分支全部位于s平面的右半平面,則說明系統(tǒng)始終不穩(wěn)定;如果根軌跡有一條或一條以上的分支有部分進入s平面的右半平面,則說明系統(tǒng)是有條件的穩(wěn)定,可以求出臨界參數,為系統(tǒng)的設計和優(yōu)化提供依據。

例如,開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數為

其根軌跡如圖4－9所示,當0<Kg<14和64<Kg<195時,系統(tǒng)是穩(wěn)定的;當Kg>195和14<Kg<64時,系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。圖4－9根軌跡

通過上述分析,可以得出以下兩條結論:

(1)開環(huán)放大系數K影響閉環(huán)極點分布;

(2)K與閉環(huán)極點一一對應,進而可確定系統(tǒng)穩(wěn)定性及其他各項性能指標。

2.動態(tài)性能

理論研究表明,系統(tǒng)的超調量、調整時間等動態(tài)性能指標與控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數極點的位置有關。

首先,閉環(huán)極點越遠離虛軸,系統(tǒng)調節(jié)時間就越小,快速性也越好。

其次,閉環(huán)極點越靠近實軸,系統(tǒng)超調量就越小,系統(tǒng)穩(wěn)定性也越高。圖4－10二階系統(tǒng)極點分布

分析動態(tài)性能時需要注意以下三點:

(1)若非主導極點與主導極點實部比大于5,且主導極點附近又無閉環(huán)零點,則非主導極點可忽略。

(2)當主導共軛復數極點位于β=±45°等阻尼線上,其對應最佳阻尼系數為ζ=0.707,系統(tǒng)的平穩(wěn)性較好。

(3)閉環(huán)零點可以抵消或削弱附近閉環(huán)極點的作用。

3.增加開環(huán)零、極點對根軌跡和系統(tǒng)性能的影響

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數增加-p=-2或z=-2,分別畫出三幅零極點圖,討論對系統(tǒng)根軌跡和動態(tài)性能的影響。圖4－11(a)為原系統(tǒng)的零極點分布圖,圖4－11(b)為原系統(tǒng)增加極點后的零極點分布圖,圖4－11(c)為原系統(tǒng)增加零點后的零極點分布圖。圖4－11開環(huán)零、極點對根軌跡和系統(tǒng)性能的影響

綜上所述,增加開環(huán)零點對根軌跡的影響可以總結為以下四點:

(1)改變了根軌跡在實軸上的分布。增加開環(huán)零點會使根軌跡向左半s平面彎曲或移動,增加開環(huán)極點會使根軌跡向右半s平面彎曲或移動。

(2)改變了根軌跡漸近線的條數、傾角和截距。

(3)可構成開環(huán)偶極子,改善系統(tǒng)性能。

(4)根軌跡曲線向左偏移。

4.2頻域分析法

4.2.1頻率特性對于一個穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng),在其輸入端施加一個正弦信號時,當動態(tài)過程結束后,在其輸出端必然得到一個與輸入信號同頻率的正弦信號,其幅值和初始相位為輸入信號頻率的函數。對于不穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng),在正弦信號作用下,其輸出信號的瞬態(tài)分量不可能消逝,瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量始終存在。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量是無法觀察到的,但穩(wěn)態(tài)分量是與輸入信號同頻率的正弦信號。

所以,可以將線性定常系統(tǒng)的正弦信號的幅值與輸入信號的幅值之比定義為幅頻特性A(ω),相位之差定義為相頻特性φ(ω)。系統(tǒng)的頻率特性就是指系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性,通常用復數來表示

4.2.2圖示方法

在工程分析和設計中,通常把頻率特性畫成一些曲線,從頻率特性曲線出發(fā)進行研究。這些曲線包括幅頻特性和相頻特性曲線、幅相頻率特性曲線、對數頻率特性曲線以及對數

幅相曲線等。

為例,我們可以根據相關定義作出幾種常用的頻率特性曲線,如圖4－12~圖4－14所示。圖4－12幅相曲線圖4－13幅頻和相頻特性曲線圖4－14對數幅頻特性和對數相頻特性曲線

4.2.3奈奎斯特穩(wěn)定判據

前面介紹了兩種判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法,代數判據法是根據特征方程根和系數的關系判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,根軌跡法是根據特征方程式的根隨系統(tǒng)參量變化的軌跡來判斷系統(tǒng)的

穩(wěn)定性。本節(jié)介紹另一種重要并且實用的方法———奈奎斯特穩(wěn)定判據。這種方法可以根據系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,并能確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數的頻率特性稱為開環(huán)頻率特性。設系統(tǒng)的特征方程為F(s)=1+G(s)H(s)=0。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是特征方程的根,即F(s)的零點,都位于

s平面的左半部?？梢赃x擇如圖4－15所示的一條包圍整個s平面右半部的按順時針方向運動的封閉曲線。圖4－15奈奎斯特回線

當s沿著s平面上的奈奎斯特回線移動一周時,F(s)的值隨s的變化而變化,在F(s)平面得到相應的映射曲線ΓF。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為G(s)H(s)=F(s)-1,其映射曲線

ΓGH可以由ΓF向左平移一個單位得到。兩個曲線的關系如圖4－16所示。圖416ΓGH和ΓF的關系

奈奎斯特穩(wěn)定判據(簡稱奈氏判據)表述如下:閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是,當ω從-∞變化到+∞時,系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線G(jω)H(jω)按逆時針方向包圍(-1,j0

)點N周,N等于位于s平面右半部的開環(huán)極點數目P。

在實際應用中,常常只需畫出ω從0變化到+∞時的曲線,此時系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線G(jω)H(jω)按逆時針方向包圍(-1,j0)點N周。這時穩(wěn)定判據改寫為:

Z=P-2N=0

其中,Z為閉環(huán)系統(tǒng)位于右半部的極點數。

例4-5根據系統(tǒng)的幅相曲線及開環(huán)傳遞函數,判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數有一極點在s平面的原點處,因此ω從0到0+時,幅相曲線應以無窮大半徑順時針補畫

1/4周。)

解(1)由圖4－17可知,當0<K<1時,其幅相曲線不包圍(-1,j0)點,N=0,閉環(huán)系統(tǒng)位于右半部的極點數Z=P-2N=1,系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當K>1時,幅相曲線逆時針包圍(-1,

j0)點1/2周,N=1/2,Z=P-2N=0,系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

(2)在幅相曲線上順時針補畫1/4周后可以發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數在右半s平面沒有極點,開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)又不包圍(-1,j0)點,閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。圖4－17例4－5幅相曲線

4.2.4穩(wěn)定裕量

1.幅相曲線和伯德圖之間的關系

系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的幅相曲線和伯德圖(Bode圖)之間存在著一定的對應關系。奈氏圖上|G(jω)H(jω)|=1的單位圓與伯德圖對數幅頻特性的零分貝線相對應,單位圓以外對應于L(ω)>0;奈氏圖上的負實軸對應于伯德圖上相頻特性的-π線,如圖4－18所示。圖4－18幅相曲線和伯德圖之間的關系

2.伯德圖和系統(tǒng)相對穩(wěn)定性

利用這種方法不僅可以定性地判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性,而且可以定量地反映系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性,即穩(wěn)定的裕度。后者與系統(tǒng)的暫態(tài)響應指標有著密切的關系。

系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性通常用相角裕度γ和幅值裕度Gm來衡量。

相角裕度γ在頻率特性上對應于幅值A(ω)=1的角頻率稱為剪切頻率ωc(或稱截止頻率)。在剪切頻率ωc處,使系統(tǒng)達到穩(wěn)定的臨界狀態(tài)所要附加的相角遲后量稱為相角

裕度,以γ或ρm表示。不難看出γ=180°+φ(ωc),其中φ(ωc)為開環(huán)相頻特性在ω=ωc處的相角。

幅值裕度Gm在頻率特性上對應于相角φ(ω)=-π弧度處的角頻率稱為相角交界頻率ωg,開環(huán)幅頻特性的倒數1/A(ωg)稱為幅值裕度,以Gm表示,即

圖4－19將穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性進行對比。幅值裕度Gm是一個系數,若開環(huán)增益增加該系數倍,則開環(huán)頻率特性曲線將穿過(-1,j0)點,閉環(huán)系統(tǒng)達到穩(wěn)定的臨界狀態(tài)。開環(huán)增益增大有可能會導致系統(tǒng)不穩(wěn)定。在伯德圖上,幅值裕度用分貝數來表示:h=-20lgA(ωg)(dB)。圖4－19穩(wěn)定和不穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性

保持適當的穩(wěn)定裕度,可以預防系統(tǒng)中元件性能變化可能帶來的不利影響,提高相對穩(wěn)定性。為了得到較滿意的暫態(tài)響應,一般相角裕度γ應當在30°至70°之間,而幅值裕度應大于6dB。在大多數實際系統(tǒng)中,要求開環(huán)對數幅頻曲線在截止頻率ωc附近的斜率為-20dB/dec,且有一定的寬度。如果此斜率設計為-40dB/dec,系統(tǒng)即使穩(wěn)定,相角裕度也過小;如果此斜率為-60dB/dec或更小,則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

4.3MATLAB仿真

1.直接求特征多項式的根設p為特征多項式的系數向量,則MATLAB函數roots()可以直接求出方程p=0在復數范圍內的解v,該函數的調用格式為

2.由根創(chuàng)建多項式

如果已知多項式的因式分解式或特征根,可由MATLAB函數poly()直接得出特征多項式的系數向量,其調用格式為:

3.利用MATLAB繪制系統(tǒng)單位階躍響應曲線

命令格式:

step(num,den)

step(num,den,t)

[y,x]=step(num,den)

函數格式l:給定num、den,求系統(tǒng)的階躍響應。時間向量t的范圍自動設定。

函數格式2:時間向量t的范圍可以人工給定(例如,t=0∶0.1∶10)。

函數格式3:返回變量格式。計算所得的輸出y、狀態(tài)x及時間向量t返回至命令窗口,不作圖。

4.繪制系統(tǒng)根軌跡

命令格式:

rlocus(sys)

rlocus(num,den)

注意:如果開環(huán)傳遞函數寫成零極點的形式,則需要用下列語句先將該形式寫成多項式形式

[num,den]=zp2tf(z,p,k)

5.繪制奈氏曲線

控制系統(tǒng)工具箱中提供了一個MATLAB函數nyquist(),該函數可以用來直接求解Nyquist陣列或繪制奈氏圖。

命令格式

nyquist(num,den)

nyquist(G)

6.利用MATLAB繪制系統(tǒng)伯德圖

命令格式:

bode(num,den)

bode(num,den,w)

[mag,phase,w]=bode(mun,den)

函數格式1:在當前圖形窗口中直接繪制系統(tǒng)的伯德圖,角頻率的范圍自動設定。

函數格式2:用于繪制系統(tǒng)的伯德圖,為輸入給定角頻率,定義繪制伯德圖時的頻率范圍或者頻率點。

函數格式3:返回變量格式,不作圖。

7.計算穩(wěn)定裕度

命令格式:

margin(num,den)

[Gm,Pm,g,c]=margin(num,den)(Gm指相角裕度,Pm指幅值裕度)

函數格式1:給定開環(huán)系統(tǒng)的數學模型,作伯德圖,并在圖上標注增益裕度和對應頻率,相位裕度和對應頻率。

函數格式2:返回變量格式,不作圖。

例4－6某一控制對象的傳遞函數為

畫出根軌跡并判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。

解由題意可知系統(tǒng)沒有零點,有兩個極點λ1=6.9498,λ2=-6.9498。系統(tǒng)傳遞函數的根軌跡如圖4－20所示,可以看出傳遞函數的一個極點位于右半平面,并且有一條根軌跡起始于該極點,并沿著實軸向左到位于原點的零點處,然后沿著虛軸向上。這意味著無論增益如何變化,這條根軌跡總是位于右半平面,即系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的。圖4－20系統(tǒng)開環(huán)根軌跡圖4－21系統(tǒng)階躍響應曲線

例4－7繪制例4－6中系統(tǒng)的伯德圖和奈奎斯特圖,并分析系統(tǒng)性能。

解用MATLAB繪制系統(tǒng)的伯德圖如圖4－22所示,程序如下:

?clear;

num=[4.9];

den=[1,0,-48.3];

G=tf(num.den);

bode(G);grid圖4－22伯德圖

MATLAB繪制系統(tǒng)的奈奎斯特圖如圖4-23所示,程序如下:

?clear;

num=[4.9];

den=[1,0,-48.3];

G=tf(num.den);

nyquist(G);grid圖4－23奈奎斯特圖

從圖4－23可知系統(tǒng)沒有零點,但存在兩個極點,其中一個極點位于s右半平面,根據奈奎斯特穩(wěn)定性判據,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是當ω從-∞到+∞變化時,開環(huán)傳遞函數G(jω)H(jω)沿逆時針方向包圍-1點P圈,其中P為開環(huán)傳遞函數在s右半平面內的極點數。對于例4－6中的控制系統(tǒng),開環(huán)傳遞函數在s右半平面有一個極點,因