第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2.1引言

2.2時域離散信號的傅里葉變換的定義及性質(zhì)2.3周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式2.4時域離散信號的傅里葉變換與模擬信號傅里葉變換之間的關(guān)系2.5序列的Z變換2.6利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻響特性習(xí)題與上機題2.1引言

我們知道，信號和系統(tǒng)的分析方法有兩種，即時域分析方法和頻域分析方法。在模擬領(lǐng)域中，信號一般用連續(xù)變量時間的函數(shù)表示，系統(tǒng)則用微分方程描述。在頻率域，則用信號的傅里葉變換(FourierTransform)或拉普拉斯變換表示。而在時域離散信號和系統(tǒng)中，信號用時域離散信號（序列）表示，系統(tǒng)則用差分方程描述。在頻率域，則用信號的傅里葉變換或Z變換表示。本章學(xué)習(xí)序列的傅里葉變換和Z變換，以及利用Z變換分析系統(tǒng)和信號頻域特性。該章內(nèi)容是本書也是數(shù)字信號處理的理論基礎(chǔ)。2.2時域離散信號的傅里葉變換的定義及性質(zhì)

時域離散信號不同于模擬信號，因此它們的傅里葉變換不相同，但都是線性變換，一些性質(zhì)是相同的。2.2.1時域離散信號傅里葉變換的定義序列x(n)的傅里葉變換定義為（2.2.1）

FT為FourierTransform的縮寫。FT［x(n)］存在的充分必要條件是序列x(n)滿足絕對可和的條件，即滿足下式：（2.2.2）X(ejω)的傅里葉反變換為（2.2.3）（2.2.1）和（2.2.3）式組成一對傅里葉變換公式。（2.2.2）式是傅里葉變換存在的充分必要條件，有些函數(shù)（例如周期序列）并不滿足（2.2.2）式，說明它的傅里葉變換不存在，但如果引入沖激函數(shù)，其傅里葉變換也可以用沖激函數(shù)的形式表示出來，這部分內(nèi)容將在2.3節(jié)介紹。

【例2.2.1】設(shè)x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里葉變換。

解

（2.2.4）當N=4時，其幅度與相位隨頻率ω的變化曲線如圖2.2.1所示。圖2.2.1

R4(n)的幅度與相位曲線2.2.2時域離散信號傅里葉變換的性質(zhì)

1．FT的周期性

在定義（2.2.1）式中，n取整數(shù)，因此下式成立：(2.2.5)觀察上式，得到傅里葉變換是頻率ω的周期函數(shù)，周期是2π。這一特點不同于模擬信號的傅里葉變換。Ｍ為整數(shù)由FT的周期性進一步分析得到，在ω=0和ω=2πM附近的頻譜分布應(yīng)是相同的（M取整數(shù)），在ω=0，±2π,±4π,點上表示x(n)信號的直流分量；離開這些點愈遠，其頻率愈高，但又是以2π為周期，那么最高的頻率應(yīng)是ω=π。另外要說明的是，所謂x(n)的直流分量，是指如圖2.2.2（a）所示的波形。例如，x(n)=cosωm，當ω=2πM,M取整數(shù)時，x(n)的序列值如圖2.2.2（a）所示，它代表一個不隨n變化的信號（直流信號）；當ω=(2M+1)π時，x(n)波形如圖2.2.2（b）所示，它代表最高頻率信號，是一種變化最快的正弦信號。由于FT的周期是2π，一般只分析－π~＋π之間或0~2π范圍的FT就夠了。圖2.2.2

cosωm

的波形

2．線性設(shè)X1(ejω)=FT［x1(n)］,X2(ejω)=FT［x2(n)］,那么(2.2.6)式中,a，b是常數(shù)。

3．時移與頻移設(shè)X(ejω)=FT［x(n)］,那么(2.2.7)(2.2.8)

4．FT的對稱性在學(xué)習(xí)FT的對稱性以前，先介紹什么是共軛對稱與共軛反對稱，以及它的性質(zhì)。設(shè)序列xe(n)滿足下式：（2.2.9）則稱xe(n)為共軛對稱序列。為研究共軛對稱序列具有什么性質(zhì)，將xe(n)用其實部與虛部表示：將上式兩邊n用－n代替，并取共軛，得到：

對比上面兩公式，因左邊相等，因此得到：（2.2.10）（2.2.11）上面兩式表明共軛對稱序列其實部是偶函數(shù)，而虛部是奇函數(shù)。類似地，可定義滿足下式的共軛反對稱序列：（2.2.12）將xo(n)表示成實部與虛部，如下式：可以得到：（2.2.13）（2.2.14）即共軛反對稱序列的實部是奇函數(shù)，而虛部是偶函數(shù)。

【例2.2.2】試分析x(n)=ejωm的對稱性。

解因為x*(－n)=ejωm=x(n)滿足(2.2.9)式，所以x(n)是共軛對稱序列，如展成實部與虛部，則得到：x(n)=cosωn+jsinωn

上式表明，共軛對稱序列的實部確實是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。一般序列可用共軛對稱與共軛反對稱序列之和表示，即（2.2.15）式中，xe(n)和xo(n)可以分別用原序列x(n)求出，將（2.2.15）式中的n用－n代替，再取共軛,得到：（2.2.16）利用（2.2.15）和（2.2.16）式，得到：（2.2.17）（2.2.18）利用上面兩式，可以用x(n)分別求出xe(n)和xo(n)。對于頻域函數(shù)X(ejω)，也有和上面類似的概念和結(jié)論：

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)（2.2.19）式中，Xe(ejω)與Xo(ejω)分別稱為共軛對稱部分和共軛反對稱部分，它們滿足：（2.2.20）（2.2.21）同樣有下面公式成立：

有了上面的概念和結(jié)論，下面研究FT的對稱性。（2.2.22）（2.2.23）

(1)將序列x(n)分成實部xr(n)與虛部xi(n)，即x(n)=xr(n)+jxi(n)將上式進行傅里葉變換，得到:式中上面兩式中，xr(n)和xi(n)都是實數(shù)序列。容易證明：Xe(ejω)滿足（2.2.20）式，具有共軛對稱性，它的實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)；Xo(ejω)滿足（2.2.21）式，具有共軛反對稱性質(zhì)，它的實部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)。最后得到結(jié)論：序列分成實部與虛部兩部分，實部對應(yīng)的傅里葉變換具有共軛對稱性，虛部和j一起對應(yīng)的傅里葉變換具有共軛反對稱性。

(2)將序列分成共軛對稱部分xe(n)和共軛反對稱部分xo(n)，即

x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.24)

將（2.2.17）和（2.2.18）式重寫如下：將上面兩式分別進行傅里葉變換，得到：

因此（2.2.24）式的FT為（2.2.25a）（2.2.25b）（2.2.25c）（2.2.25）式表示：序列x(n)的共軛對稱部分xe(n)對應(yīng)著X(ejω)的實部XR(ejω)，而序列x(n)的共軛反對稱部分xo(n)對應(yīng)著X(ejω)的虛部(包括j)。下面我們利用FT的對稱性，分析實因果序列h(n)的對稱性，并推導(dǎo)其偶函數(shù)he(n)和奇函數(shù)ho(n)與h(n)之間的關(guān)系。因為h(n)是實序列，其FT只有共軛對稱部分He(ejω)，共軛反對稱部分為零。

因此實序列的FT是共軛對稱函數(shù),其實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)，用公式表示為

顯然，其模的平方是偶函數(shù)，相位函數(shù)是奇函數(shù)，這和實模擬信號的FT有同樣的結(jié)論。按照（2.2.17）和（2.2.18）式得到：因為h(n)是實因果序列，按照上面兩式，he(n)和ho(n)可用下式表示：（2.2.26）（2.2.27）按照上面兩式，實因果序列h(n)可以分別用he(n)和ho(n)表示為（2.2.28）（2.2.29）式中（2.2.30）因為h(n)是實序列，上面公式中he(n)是偶函數(shù)，ho(n)是奇函數(shù)。按照（2.2.28）式，實因果序列完全由其偶序列恢復(fù)，但按照（2.2.27）式，ho(n)中缺少n=0點h(n)的信息。因此由ho(n)恢復(fù)h(n)時，要補充一點h(h)δ(n)信息。

【例2.2.3】

x(n)=anu(n),0<a<1。求其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)。

解

x(n)=xe(n)+xo(n)按（2.2.26）式，得到：按（2.2.27）式，得到：x(n)、xe(n)和xo(n)波形如圖2.2.3所示。圖2.2.3例2.2.3圖

5．時域卷積定理設(shè) y(n)=x(n)*h(n)則

Y(ejω)=X(ejω)H（ejω）（2.2.31）

證明令k=n－m，則該定理說明，兩序列卷積的FT服從相乘的關(guān)系。對于線性時不變系統(tǒng)，輸出的FT等于輸入信號的FT乘以單位脈沖響應(yīng)的FT。因此，在求系統(tǒng)的輸出信號時，可以在時域用卷積公式（1.3.7）計算，也可以在頻域按照（2.2.31）式，求出輸出的FT，再作逆FT，求出輸出信號y(n)。

6．頻域卷積定理

設(shè) y(n)=x(n)h(n)則(2.2.32)

證明

(2.2.33)交換積分與求和的次序，得到：(2.2.34)該定理表明，在時域兩序列相乘，轉(zhuǎn)移到頻域時服從卷積關(guān)系。7．帕斯維爾（Parseval）定理（2.2.35）證明

帕斯維爾定理表明了信號時域的能量與頻域的能量關(guān)系。表2.2.1綜合了FT的性質(zhì)，這些性質(zhì)在分析問題和實際應(yīng)用中是很重要的。表2.2.1序列傅里葉變換的性質(zhì)定理2.3周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式因為周期序列不滿足（2.2.2）式絕對可和的條件，因此它的FT并不存在，但由于是周期性的，可以展成離散傅里葉級數(shù)，引入奇異函數(shù)δ(·)，其FT可以用公式表示出來。2.3.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)設(shè)是以N為周期的周期序列，可以展成離散傅里葉級數(shù)。如下:

(2.3.1)為求系數(shù)ak，將上式兩邊乘以，并對n在一個周期N中求和，即式中(2.3.2)(2.3.2)式的證明作為練習(xí)請讀者自己證明。因此

(2.3.3)式中，k和n均取整數(shù)。因為 ，l取整數(shù),即是周期為N的周期函數(shù)，所以，系數(shù)ak也是周期序列，滿足ak=ak+lN。令,并將(2.3.3)式代入，得到:

(2.3.4)式中，也是以N為周期的周期序列,稱為的離散傅里葉級數(shù)系數(shù)，用DFS(DiscreteFourierSeries)表示。用(2.3.5)將（2.3.4）式和（2.3.5）式重寫如下：(2.3.6)(2.3.7)代替(2.3.1)式中的ak,得到（2.3.6）式和（2.3.7）式稱為一對DFS。（2.3.5）式表明將周期序列分解成N次諧波，第k個諧波頻率為ωk=(2π/N)k,k=0,1,2,

,N－1,幅度為?；ǚ至康念l率是2π/N，幅度是。一個周期序列可以用其DFS系數(shù)表示它的頻譜分布規(guī)律?！纠?.3.1】設(shè)x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期進行周期延拓，得到如圖2.3.1(a)所示的周期序列，周期為8，求DFS［］。

解按照（2.3.6）式,有其幅度特性如圖2.3.1(b)所示。圖2.3.1例2.3.1圖2.3.2周期序列的傅里葉變換表示式

在模擬系統(tǒng)中，

，其傅里葉變換是在Ω=Ω0處的單位沖激函數(shù)，強度是2π，即（2.3.8）對于時域離散信號，

，2π/ω0為有理數(shù)，暫時假定其FT的形式與（2.3.8）式一樣，即是在ω＝ω0處的單位沖激函數(shù)，其強度為2π。但由于n取整數(shù)，下式成立：

r取整數(shù)因此的FT為

(2.3.9)(2.3.9)式表示復(fù)指數(shù)序列的FT是在ω0+2πr處的單位沖激函數(shù)，強度為2π，如圖2.3.2所示。但這種假定如果成立，則要求按照（2.2.4）式的逆變換必須存在，且唯一等于，下面進行驗證。按照逆變換定義，（2.2.4）式右邊觀察圖2.3.2，在－π~＋π區(qū)間，只包括一個單位沖激函數(shù)δ(ω－ω0)，等式右邊為，因此得到下式：

證明了（2.3.9）式確實是的FT，前面的暫時假定是正確的。圖2.3.2的FT對于一般周期序列，按（2.3.6）式展成DFS，第k次諧波為，類似于復(fù)指數(shù)序列的FT，其FT為

因此的FT如下式：

式中，k=0,1,2,

,N－1。如果讓k在－∞~∞區(qū)間變化，上式可簡化成

（2.3.10）

式中(2.3.10)式就是周期性序列的傅里葉變換表示式。需要說明的是，上面公式中的δ(ω)表示單位沖激函數(shù)，而δ(n)表示單位脈沖序列，由于括弧中的自變量不同,因而不會引起混淆。表2.3.2中綜合了一些基本序列的FT。表2.3.2基本序列的傅里葉變換表中u(n)序列的傅里葉變換推導(dǎo)如下：令

(2.3.11)

(2.3.12)

對(2.3.12)式進行FT，得到:

對(2.3.11)式進行FT，得到：

【例2.3.2】求例2.3.1中周期序列的FT。

解將例2.3.1中得到的代入（2.3.10）式中，得到：

其幅頻特性如圖2.3.3所示。圖2.3.3例2.3.2圖對比圖2.3.1，對于同一個周期信號，其DFS和FT分別取模的形狀是一樣的，不同的是FT用單位沖激函數(shù)表示（用帶箭頭的豎線表示）。因此周期序列的頻譜分布用其DFS或者FT表示都可以，但畫圖時應(yīng)注意單位沖激函數(shù)的畫法。

【例2.3.3】令為有理數(shù)，求其FT。

解將用歐拉公式展開：

按照（2.3.9）式，其FT推導(dǎo)如下：

（2.3.13）(2.3.13)式表明，cosω0n的FT是在ω=±ω0處的單位沖激函數(shù)，強度為π，且以2π為周期進行延拓，如圖2.3.4所示。

圖2.3.4

cosω0n的FT2.4時域離散信號的傅里葉變換與模擬信號傅里葉變換之間的關(guān)系

時域離散信號與模擬信號是兩種不同的信號，傅里葉變換也不同，如果時域離散信號是由某模擬信號采樣得來，那么時域離散信號的傅里葉變換和該模擬信號的傅里葉變換之間有一定的關(guān)系。下面推導(dǎo)這一關(guān)系式。公式x(n)=xa(t)|t=nT=xa(nT)表示了由采樣得到的時域離散信號和模擬信號的關(guān)系，而理想采樣信號和模擬信號的關(guān)系用（1.5.2）式表示，重寫如下:對上式進行傅里葉變換,得到:令ω=ΩT，且x(n)=xa(nT)，得到：

（2.4.1）或者寫成：

（2.4.2）

式中(2.4.2)式也可以表示成

（2.4.3）（2.4.1）、（2.4.2）和（2.4.3）式均表示時域離散信號的傅里葉變換和模擬信號傅里葉變換之間的關(guān)系。由這些關(guān)系式可以得出兩點結(jié)論。一點結(jié)論是時域離散信號的頻譜也是模擬信號的頻譜周期性延拓，周期為，因此由模擬信號進行采樣得到時域離散信號時，同樣要滿足前面推導(dǎo)出的采樣定理，采樣頻率必須大于等于模擬信號最高頻率的2倍以上，否則也會差生頻域混疊現(xiàn)象，頻率混疊在Ωs/2附近最嚴重，在數(shù)字域則是在π附近最嚴重。另一點結(jié)論是計算模擬信號的FT可以用計算相應(yīng)的時域離散信號的FT得到，方法是:首先按照采樣定理，以模擬信號最高頻率的兩倍以上頻率對模擬信號進行采樣得到時域離散信號，再通過計算機對該時域離散信號進行FT，得到它的頻譜函數(shù)，再乘以采樣間隔T便得到模擬信號的FT，注意關(guān)系式ω=ΩT。按照數(shù)字頻率和模擬頻率之間的關(guān)系，在一些文獻中經(jīng)常使用歸一化頻率f′=f/Fs或Ω′=Ω/Ωs,ω′=ω/2π,因為f′、Ω′和ω′都是無量綱量，刻度是一樣的，將f、Ω、ω、f′、Ω′、ω′的定標值對應(yīng)關(guān)系用圖2.4.1表示。圖2.4.1表明，模擬折疊頻率Fs/2對應(yīng)數(shù)字頻率π；如果采樣定理滿足，則要求模擬最高頻率fc不能超過Fs/2；如果不滿足采樣定理，則會在ω=π附近，或者f=Fs/2附近引起頻率混疊。以上幾個頻率之間的定標關(guān)系很重要，尤其在模擬信號數(shù)字處理中，經(jīng)常需要了解它們的對應(yīng)關(guān)系。圖2.4.1模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標關(guān)系2.5序列的Z變換

在模擬信號系統(tǒng)中，用傅里葉變換進行頻域分析，拉普拉斯變換可作為傅里葉變換的推廣，對信號進行復(fù)頻域分析。在時域離散信號和系統(tǒng)中，用序列的傅里葉變換進行頻域分析，Z變換則是其推廣，用以對序列進行復(fù)頻域分析。因此Z變換在數(shù)字信號處理中同樣起著很重要的作用。2.5.1

Z變換的定義

序列x(n)的Z變換定義為

（2.5.1）

式中z是一個復(fù)變量，它所在的復(fù)平面稱為z平面。注意在定義中，對n求和是在－∞、＋∞之間求和，可以稱為雙邊Z變換。還有一種稱為單邊Z變換的定義，如下式：

（2.5.2）defdef這種單邊Z變換的求和限是從零到無限大，因此對于因果序列，用兩種Z變換定義計算的結(jié)果是一樣的。本書中如不另外說明，均用雙邊Z變換對信號進行分析和變換。（2.5.1）式Z變換存在的條件是等號右邊級數(shù)收斂，要求級數(shù)絕對可和，即

（2.5.3）

使（2.5.3）式成立，Z變量取值的域稱為收斂域。一般收斂域為環(huán)狀域，即令z=rejω，代入上式得到Rx－<r<Rx＋，收斂域是分別以Rx＋和Rx－為收斂半徑的兩個圓形成的環(huán)狀域(如圖2.5.1中所示的斜線部分)。當然，Rx－可以小到零，Rx＋可以大到無窮大。收斂域的示意圖如圖2.5.1所示。圖2.5.1變換的收斂域常用的Z變換是一個有理函數(shù)，用兩個多項式之比表示：

分子多項式P(z)的根是X(z)的零點，分母多項式Q(z)的根是X(z)的極點。在極點處Z變換不存在，因此收斂域中沒有極點，收斂域總是用極點限定其邊界。對比序列的傅里葉變換定義（2.2.1）式，很容易得到傅里葉變換和Z變換（ZT）之間的關(guān)系，用下式表示：（2.5.4）式中,z=ejω表示在z平面上r=1的圓，該圓稱為單位圓。（2.5.4）式表明單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換。如果已知序列的Z變換，就可用（2.5.4）式很方便地求出序列的傅里葉變換，條件是收斂域中包含單位圓。

【例2.5.1】

x(n)=u(n),求其Z變換。

解

X(z)存在的條件是|z－1|<1，因此收斂域為|z|>1,因此

X(z)表達式表明，極點是z=1，單位圓上的Z變換不存在，或者說收斂域不包含單位圓，因此其傅里葉變換不存在，更不能用（2.5.4）式求傅里葉變換。該序列的傅里葉變換不存在，但如果引進奇異函數(shù)δ(ω)，其傅里葉變換則可以表示出來（見表2.3.2）。該例同時說明一個序列的傅里葉變換不存在，但在一定收斂域內(nèi)Z變換是可以存在的。2.5.2序列特性對收斂域的影響

序列的特性決定其Z變換收斂域，了解序列特性與收斂域的一般關(guān)系，對使用Z變換是很有幫助的。

1．有限長序列如序列x(n)滿足下式：

即序列x(n)從n1到n2的序列值不全為零，此范圍之外序列值為零，這樣的序列稱為有限長序列。其Z變換為其它

設(shè)x(n)為有界序列，由于是有限項求和，除0與∞兩點是否收斂與n1、n2取值情況有關(guān)外，整個z平面均收斂。如果n1<0，則收斂域不包括∞點；如果n2>0，則收斂域不包括z=0點；如果是因果序列，收斂域包括z=∞點。具體有限長序列的收斂域表示如下：

n1<0,n2≤0時，0≤|z|<∞

n1<0,n2>0時，0<|z|<∞

n1≥0,n2>0時，0<|z|≤∞

【例2.5.2】求x(n)=RN(n)的Z變換及其收斂域。

解

這是一個因果的有限長序列，因此收斂域為0<z≤∞。但由結(jié)果的分母可以看出，似乎z=1是X(z)的極點，但同時分子多項式在z=1時也有一個零點，極、零點對消，X(z)在單位圓上仍存在，求RN(n)的傅里葉變換，可將z=ejω代入X(z)得到，其結(jié)果和例題2.2.1中的結(jié)果（2.2.5）式是相同的。

2．右序列右序列是指在n≥n1時，序列值不全為零，而在n<n1時，序列值全為零的序列。右序列的Z變換表示為

第一項為有限長序列，設(shè)n1≤－1，其收斂域為0≤|z|<∞。第二項為因果序列，其收斂域為Rx－<|z|≤∞，Rx－是第二項最小的收斂半徑。將兩收斂域相與，其收斂域為Rx－

<|z|<∞。如果是因果序列，收斂域為Rx－<|z|≤∞。

【例2.5.3】求x(n)=anu(n)的Z變換及其收斂域。解

在收斂域中必須滿足|az－1|<1，因此收斂域為|z|>|a|。

3．左序列左序列是指在n≤n2時，序列值不全為零，而在n>n2時，序列值全為零的序列。左序列的Z變換表示為

如果n2<0,z=0點收斂，z=∞點不收斂，其收斂域是在某一圓（半徑為Rx+）的圓內(nèi)，收斂域為0≤|z|<Rx+。如果n2≥0，則收斂域為0<|z|<Rx+。

【例2.5.4】求x(n)=－anu(－n－1)的Z變換及其收斂域。

解這里x(n)是一個左序列，當n≥0時，x(n)=0，

X(z)存在要求|a－1|＜1，即收斂域為|z|＜|a|,因此

4．雙邊序列一個雙邊序列可以看做是一個左序列和一個右序列之和，其Z變換表示為

X(z)的收斂域是X1(z)和X2(z)收斂域的交集。如果Rx+>Rx－，則其收斂域為Rx－<|z|<Rx+，是一個環(huán)狀域；如果Rx+<Rx－，兩個收斂域沒有交集，X(z)則沒有收斂域，因此X(z)不存在。

【例2.5.5】

x(n)=a|n|,a為實數(shù)，求x(n)的Z變換及其收斂域。

解

第一部分收斂域為|az|<1，得|z|<|a|－1;第二部分收斂域為|az－1|<1,得到|z|>|a|。如果|a|<1,兩部分的公共收斂域為|a|<|z|<|a|－1,其Z變換如下式:

如果|a|≥1，則無公共收斂域，因此X(z)不存在。當0<a<1時，x(n)的波形及X(z)的收斂域如圖2.5.2所示。圖2.5.2例2.5.5圖我們注意到，例2.5.3和例2.5.4的序列是不同的，即一個是左序列，一個是右序列，但其Z變換X(z)的函數(shù)表示式相同，僅收斂域不同。換句話說，同一個Z變換函數(shù)表達式，收斂域不同，對應(yīng)的序列是不相同的。所以，X(z)的函數(shù)表達式及其收斂域是一個不可分離的整體，求Z變換就包括求其收斂域。此外，收斂域中無極點，收斂域總是以極點為界的。如果求出序列的Z變換，找出其極點，則可以根據(jù)序列的特性，較簡單地確定其收斂域。例如在例2.5.3中，其極點為z=a，根據(jù)x(n)是一個因果性序列，其收斂域必為：|z|>a；又例如在例2.5.4中，其極點為z=a，但x(n)是一個左序列，收斂域一定在某個圓內(nèi)，即|z|<|a|。2.5.3逆Z變換已知序列的Z變換X(z)及其收斂域，求原序列x(n)的過程稱為求逆Z變換。計算逆Z變換的方法有留數(shù)法、部分分式展開法和冪級數(shù)法（長除法）。下面僅介紹留數(shù)法和部分分式展開法，重點放在留數(shù)法。式中,c是X(z)收斂域中一條包圍原點的逆時針的閉合曲線，如圖2.5.3所示。求逆Z變換時，直接計算圍線積分是比較麻煩的，用留數(shù)定理求則很容易。為了表示簡單，用F(z)表示被積函數(shù)：F(z)=X(z)zn－1。

1．用留數(shù)定理求逆Z變換

序列的Z變換及其逆Z變換表示如下：（2.5.5）圖2.5.3圍線積分路徑如果F(z)在圍線c內(nèi)的極點用zk表示，則根據(jù)留數(shù)定理有

（2.5.6）

式中,Res［F(z),zk］表示被積函數(shù)F(z)在極點z=zk的留數(shù)，逆Z變換是圍線c內(nèi)所有的極點留數(shù)之和。如果zk是單階極點，則根據(jù)留數(shù)定理有

（2.5.7）如果zk是N階極點，則根據(jù)留數(shù)定理有

（2.5.8）

（2.5.8）式表明，對于N階極點，需要求N－1次導(dǎo)數(shù)，這是比較麻煩的。如果c內(nèi)有多階極點，而c外沒有多階極點，則可以根據(jù)留數(shù)輔助定理改求c外的所有極點留數(shù)之和，使問題簡單化。如果F(z)在z平面上有N個極點，在收斂域內(nèi)的封閉曲線c將z平面上的極點分成兩部分：一部分c是內(nèi)極點，設(shè)有N1個極點，用z1k表示；另一部分是c外極點，有N2個，用z2k表示。N=N1+N2。根據(jù)留數(shù)輔助定理，下式成立：（2.5.9）注意：（2.5.9）式成立的條件是F(z)的分母階次應(yīng)比分子階次高二階以上。設(shè)X(z)=P(z)/Q(z),P(z)和Q(z)分別是M與N階多項式。（2.5.9）式成立的條件是N－M－n+1≥2因此要求

n<N－M

（2.5.10）如果（2.5.10）式滿足，c圓內(nèi)極點中有多階極點，而c圓外沒有多階極點，則逆Z變換的計算可以按照（2.5.9）式，改求c圓外極點留數(shù)之和，最后加一個負號。

【例2.5.6】已知X(z)=(1－az－1)－1，|z|>a,求其逆Z變換x(n)。

解

為了用留數(shù)定理求解，先找出F(z)的極點。顯然，F(xiàn)(z)的極點與n的取值有關(guān)。極點有兩個：z=a；當n<0時，其中z=0的極點和n的取值有關(guān)。n≥0時，z=0不是極點；n<0時，z=0是一個n階極點。因此，分成n≥0和n<0兩種情況求x(n)。

n≥0時，F(xiàn)(z)在c內(nèi)只有1個極點：z1=a；

n<0時，F(xiàn)(z)在c內(nèi)有2個極點：z1=a,a2=0（n階）；所以，應(yīng)當分段計算x(n)。

n≥0時，n<0時，z=0是n階極點，不易求留數(shù)。采用留數(shù)輔助定理求解，先檢查（2.5.10）式是否滿足。該例題中N=M=1，N－M=0,所以n<0時，滿足（2.5.10）式，可以采用留數(shù)輔助定理求解，改求圓外極點留數(shù)，但對于F(z)，該例題中圓外沒有極點（見圖2.5.4），故n<0,x(n)=0。最后得到該例題的原序列為x(n)=anu(n)事實上，該例題由于收斂域是|z|>a，根據(jù)前面分析的序列特性對收斂域的影響知道，x(n)一定是因果序列，這樣n<0部分一定為零，無需再求。本例如此求解是為了證明留數(shù)輔助定理法的正確性。圖2.5.4例2.5.6中n<0時F(z)的極點分布

【例2.5.7】已知,求其逆變換x(n)。

解該例題沒有給定收斂域，為求出唯一的原序列x(n)，必須先確定收斂域。分析X(z)，得到其極點分布如圖2.5.5所示。圖中有兩個極點：z=a和z=a－1，這樣收斂域有三種選法，它們是（1）|z|>|a－1|，對應(yīng)的x(n)是因果序列；（2）|z|<|a|，對應(yīng)的x(n)是左序列；（3）|a|<|z|<|a－1|，對應(yīng)的x(n)是雙邊序列。圖2.5.5例2.5.7中X(z)的極點下面分別按照不同的收斂域求其x(n)。（1）收斂域為|z|>|a－1|:

這種情況的原序列是因果的右序列，無須求n<0時的x(n)。當n≥0時，F(xiàn)(z)在c內(nèi)有兩個極點：z=a和z=a－1，因此最后表示成：x(n)=(an－a－n)u(n)。（2）收斂域為|z|<|a|:這種情況原序列是左序列，無須計算n≥0情況。實際上，當n≥0時，圍線積分c內(nèi)沒有極點，因此x(n)=0。n<0時，c內(nèi)只有一個極點z=0，且是n階極點，改求c外極點留數(shù)之和。

n<0時,最后將x(n)表示成封閉式：

x(n)=(a－n－an)u(－n－1)

（3）收斂域為|a|<|z|<|a－1|:這種情況對應(yīng)的x(n)是雙邊序列。根據(jù)被積函數(shù)F(z)，按n≥0和n<0兩種情況分別求x(n)。

n≥0時，c內(nèi)只有1個極點：z=a, x(n)=Res［F(z),a］=an

n<0時，c內(nèi)極點有2個，其中z=0是n階極點，改求c外極點留數(shù)，c外極點只有z=a－1，因此x(n)=－Res［F(z),a－1］=a－n

最后將x(n)表示為

即x(n)=a|n|

2．部分分式展開法

對于大多數(shù)單階極點的序列，常常也用部分分式展開法求逆Z變換。設(shè)x(n)的Z變換X(z)是有理函數(shù)，分母多項式是N階，分子多項式是M階，將X(z)展成一些簡單的常用的部分分式之和，通過查表（參考表2.5.1）求得各部分的逆變換，再相加便得到原序列x(n)。設(shè)X(z)只有N個一階極點，可展成下式:（2.5.11）

（2.5.12）觀察上式，X(z)/z在z=0的極點留數(shù)就是系數(shù)A0，在極點z=zm的留數(shù)就是系數(shù)Am。（2.5.13）

（2.5.14）

求出Am系數(shù)(m=0,1,2,

,N)后，查表2.5.1可求得x(n)序列。

【例2.5.8】已知

,2<|z|<3，求逆Z變換。

解

因為收斂域為2<|z|<3，第一部分極點是z=2，因此收斂域為|z|>2。第二部分極點是z=-3，收斂域應(yīng)取|z|<3。查表2.5.1，得到：x(n)=2nu(n)+(－3)nu(－n－1)注意:在進行部分分式展開時，也用到求留數(shù)問題；求各部分分式對應(yīng)的原序列時，還要確定它的收斂域在哪里，因此一般情況下不如直接用留數(shù)法求方便。一些常見的序列的Z變換可參考表2.5.1。表2.5.1常見序列的Z變換2.5.4

Z變換的性質(zhì)和定理下面介紹Z變換重要的性質(zhì)和定理。

1．線性性質(zhì)設(shè)m(n)=ax(n)+by(n)

a,b為常數(shù)

X(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|<Rx+

Y(z)=ZT［y(n)］Ry－<|z|<Ry+

則

M(z)=ZT［m(n)］=aX(z)+bY(z) Rm－<|z|<Rm+

（2.5.15）Rm+=min［Rx+,Ry+］Rm－=max［Rx－,Ry－］這里,M(z)的收斂域(Rm－,Rm+)是X(z)和Y(z)的公共收斂域，如果沒有公共收斂域，例如當Rx+>Rx－>Ry+>Ry－時，則M(z)不存在。

2．序列的移位性質(zhì)

設(shè)X(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|<Rx+

則（2.5.16）

3．序列乘以指數(shù)序列的性質(zhì)

設(shè)X(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|<Rx+

y(n)=anx(n)

a為常數(shù)則Y(z)=ZT［anx(n)］=X(a－1z)

|a|Rx－<|z|<|a|Rx+

因為Rx－<|a－1z|<Rx+，得到|a|Rx－<|z|<|a|Rx+。證明（2.5.17）

4．序列乘以n的ZT

設(shè)X(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|<Rx+

則（2.5.18）證明

因此

5．復(fù)共軛序列的ZT性質(zhì)

設(shè)X(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|<Rx+

則ZT［x*(n)］=X*(z*)

Rx－<|z|<Rx+

（2.5.19）證明

6．初值定理

設(shè)x(n)是因果序列，X(z)=ZT［x(n)］，則（2.5.20）

證明

因此

7．終值定理

若x(n)是因果序列，其Z變換的極點，除可以有一個一階極點在z=1上，其它極點均在單位圓內(nèi)，則

（2.5.21）

證明

因為x(n)是因果序列，x(n)=0,n<0,所以因為(z－1)X(z)在單位圓上無極點，上式兩端對z=1取極限：終值定理也可用X(z)在z=1點的留數(shù)表示，因為

因此

x(∞)=Res［X(z),1］（2.5.22）如果在單位圓上X(z)無極點，則x(∞)=0。

8．時域卷積定理

設(shè)w(n)=x(n)*y(n)

X(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|<Rx+

Y(z)=ZT［y(n)］Rx－<|z|<Ry+1

則

W(z)=ZT［w(n)］=X(z)Y(z)

Rw－<|z|<Rw+

（2.5.23）Rw+=min［Rx+,Ry+］

Rw－=max［Rx－,Ry－］

證明

W(z)的收斂域就是X(z)和Y(z)的公共收斂域。

【例2.5.9】已知網(wǎng)絡(luò)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n)，|a|<1,網(wǎng)絡(luò)輸入序列x(n)=u(n)，求網(wǎng)絡(luò)的輸出序列y(n)。

解

y(n)=h(n)*x(n)求y(n)可用兩種方法，一種直接求解線性卷積，另一種是Z變換法。（1）（2）由收斂域判定

y(n)=0

n<0

n≥0時，

將y(n)表示為

9．復(fù)卷積定理

如果 ZT［x(n)］=X(z)

Rx－<|z|<Rx+

ZT［y(n)］=Y(z)

Ry－<|z|<Ry+

w(n)=x(n)y(n)則（2.5.24）

W(z)的收斂域為

Rx－Ry－<|z|<Rx+Ry+

(2.5.25)（2.5.24）式中υ平面上，被積函數(shù)的收斂域為（2.5.26）

證明

由X(z)的收斂域和Y(z)的收斂域得到：

因此

【例2.5.10】已知x(n)=u(n)，y(n)=a|n|,0<|a|<1若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZT［w(n)］。

解

W(z)的收斂域為|a|<|z|≤∞；被積函數(shù)υ平面上的收斂域為max(|a|,0)<|υ|<min(|a－1|,|z|)，υ平面上極點：a、a－1和z，c內(nèi)極點：z=a。令

10．帕斯維爾（Parseval）定理

設(shè)X(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|<Rx+

Y(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|<Rx+

Rx－Ry－<1,Rx+Ry+>1那么（2.5.27）υ平面上，c所在的收斂域為

利用復(fù)卷積定理可以證明上面的重要的帕斯維爾定理。證明令w(n)=x(n)y*(n)按照（2.5.24）式得到：

按照（2.5.25）式，Rx－Ry－<|z|<Rx+Ry+;按照假設(shè)，z=1在收斂域中，將z=1代入W(z)中，則有

因此

如果x(n)和y(n)都滿足絕對可和，即單位圓上收斂，在上式中令υ=ejω，得到:

令x(n)=y(n)，得到：（2.5.28）上面得到的公式和在傅里葉變換中所講的帕斯維爾定理（2.2.34）式是相同的。（2.5.28）式還可以表示成下式：（2.5.29）注意：上式中X(z)收斂域包含單位圓，當x(n)為實序列時，X(e－jω)=X*(ejω)。2.5.5利用Z變換解差分方程在第1章中介紹了差分方程的遞推解法，下面介紹Z變換解法。這種方法將差分方程變成了代數(shù)方程，使求解過程簡單。設(shè)N階線性常數(shù)差分方程為（2.5.30）

1．求穩(wěn)態(tài)解

如果輸入序列x(n)是在n=0以前∞時加上的，n時刻的y(n)是穩(wěn)態(tài)解，對（2.5.30）式求Z變換，得到：（2.5.31）式中

（2.5.32）

2．求暫態(tài)解對于N階差分方程，求暫態(tài)解必須已知N個初始條件。設(shè)x(n)是因果序列，即x(n)=0,n<0，已知初始條件y(－1),y(－2),

,y(－N)。對（2.5.30）式進行Z變換時，注意這里要用單邊Z變換。該方程式的右邊由于x(n)是因果序列，單邊Z變換與雙邊Z變換是相同的。下面先求移位序列的單邊Z變換。設(shè)（2.5.33）按照（2.5.33）式對（2.5.30）式進行單邊Z變換，有（2.5.34）上式右邊第一部分與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān)，稱為零狀態(tài)解；而第二部分與輸入信號無關(guān)，稱為零輸入解。求零狀態(tài)解時，可用雙邊Z變換求解也可用單邊Z變換求解，求零輸入解卻必須考慮初始條件，用單邊Z變換求解。

【例2.5.11】已知差分方程y(n)=by(n-1)+x(n)，式中x(n)=anu(n),y(－1)=2,求y(n)。

解將已知差分方程進行Z變換：

式中

于是

收斂域為|z|>max(|a|,|b|),因此

式中第一項為零輸入解，第二項為零狀態(tài)解。2.6利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻響特性2.6.1頻率響應(yīng)函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，系統(tǒng)對輸入為單位脈沖序列δ(n)的響應(yīng)輸出稱為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)。對h(n)進行傅里葉變換,得到：

一般稱H(ejω)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，或稱系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，它表征系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性。|H(ejω)|稱為幅頻特性函數(shù)，φ(ω)稱為相頻特性函數(shù)。（2.6.1）將h(n)進行Z變換，得到H(z)，一般稱H(z)為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它表征了系統(tǒng)的復(fù)頻域特性。對N階差分方程（1.4.2）式，進行Z變換，得到系統(tǒng)函數(shù)的一般表示式

（2.6.2）

如果H(z)的收斂域包含單位圓|z|=1，則H(ejω)與H(z)之間的關(guān)系如下：(2.6.3)H(ejω)表示系統(tǒng)對特征序列ejωn的響應(yīng)特性,這也是H(ejω)的物理意義所在，下面具體闡述。若系統(tǒng)輸入信號X(n)=ejωn,則系統(tǒng)輸出信號為

即上式說明，單頻復(fù)指數(shù)信號ejωn通過頻率響應(yīng)函數(shù)為H(ejω)的系統(tǒng)后，輸出仍為單頻復(fù)指數(shù)序列，其幅度放大|H(ejω)|倍，相移為φ(ω)。為了加深讀者對H(ejω)物理意義的理解，下面以大家熟悉的正弦信號為例進行討論。當系統(tǒng)輸入信號x(n)=cos(ωn)時，求系統(tǒng)的輸出信號y(n):因為所以，利用上面的結(jié)論可得到:設(shè)h(n)為實序列，則H*(ejω)=H(e－jω),|H(ejω)|=|H(e－jω)|,φ(ω)=－φ(－ω),故由此可見，線性時不變系統(tǒng)對單頻正弦信號cos(ωn)的響應(yīng)為同頻正弦信號，其幅度放大|H(ejω）|倍，相移增加φ(ω)，這就是其名稱“頻率響應(yīng)函數(shù)”、“幅頻響應(yīng)”和“相頻響應(yīng)”的物理含義。如果系統(tǒng)輸入為一般的序列x(n)，則H(ejω)對x(n)的不同的頻率成分進行加權(quán)處理。對感興趣的頻段，取|H（ejω)|=1，其他頻段|H(ejω)|=0,則Y(ejω)=X(ejω)·H（ejω),就實現(xiàn)了對輸入信號的濾波處理。因果（可實現(xiàn)）系統(tǒng)其單位脈沖響應(yīng)h(n)一定是因果序列，那么其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域一定包含∞點，即∞點不是極點，極點分布在某個圓內(nèi)，收斂域在某個圓外。系統(tǒng)穩(wěn)定要求,這里是存在的條件,對照Z變換與傅里葉變換的關(guān)系可知，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是H(z)的收斂域包含單位圓。如果系統(tǒng)因果且穩(wěn)定，收斂域包含∞點和單位圓，那么收斂域可表示為

r<|z|≤∞

0<r<12.6.2用系統(tǒng)函數(shù)的極點分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性這樣H(z)的極點集中在單位圓的內(nèi)部。具體系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性可由系統(tǒng)函數(shù)H(z)的極點分布和收斂域確定。下面通過例題說明。 如果系統(tǒng)函數(shù)分母多項式階數(shù)較高（如3階以上），用手工計算極點分布并判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，不是一件簡單的事情。用MATLAB函數(shù)判定則很簡單，判定函數(shù)程序如下:functionstab(A)%stab:系統(tǒng)穩(wěn)定性判定函數(shù)，A是H(z)的分母多項式系數(shù)向量disp(′系統(tǒng)極點為：′)P=roots(A) %求H(z)的極點，并顯示disp(′系統(tǒng)極點模的最大值為：′)M=max(abs(P))

%求所有極點模的最大值，并顯示ifM<1disp(′系統(tǒng)穩(wěn)定′),else,disp(′系統(tǒng)不穩(wěn)定′),end請注意，這里要求H(z)是正冪有理分式。給H(z)的分母多項式系數(shù)向量A賦值，調(diào)用該函數(shù)，求出并顯示系統(tǒng)極點，極點模的最大值M，判斷M值，如果M<1,則顯示“系統(tǒng)穩(wěn)定”，否則顯示“系統(tǒng)不穩(wěn)定”。如果H(z)的分母多項式系數(shù)A=［2－2.98

0.17

2.3418－1.5147］，則調(diào)用該函數(shù)輸出如下:

P=－0.9000

0.7000+0.6000i

0.7000－0.6000i

0.9900系統(tǒng)極點模的最大值為：M=0.9900系統(tǒng)穩(wěn)定。

【例2.6.1】已知，分析其因果性和穩(wěn)定性。

解

H(z)的極點為z=a,z=a－1，如圖2.5.5所示。（1）收斂域為a－1<|z|≤∞:對應(yīng)的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，但由于收斂域不包含單位圓，因此是不穩(wěn)定系統(tǒng)。單位脈沖響應(yīng)h(n)=(an－a－n)u(n)（參考例2.5.7），這是一個因果序列，但不收斂。（2）收斂域為0≤|z|<a:對應(yīng)的系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=(a－n－an)u(－n－1)（參考例2.5.7），這是一個非因果且不收斂的序列。圖2.6.1例2.6.1圖示（3）收斂域為a<|z|<a－1:對應(yīng)一個非因果系統(tǒng)，但由于收斂域包含單位圓，因此是穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=a|n|，這是一個收斂的雙邊序列，如圖2.6.1(a)所示。下面分析如同例2.6.1這樣的系統(tǒng)的可實現(xiàn)性。

H(z)的三種收斂域中，前兩種系統(tǒng)不穩(wěn)定，不能選用；最后一種收斂域，系統(tǒng)穩(wěn)定但非因果，還是不能具體實現(xiàn)。因此嚴格地講，這樣的系統(tǒng)是無法具體實現(xiàn)的。但是我們利用數(shù)字系統(tǒng)或者說計算機的存儲性質(zhì)，可以近似實現(xiàn)第三種情況。方法是將圖2.6.1(a)從－N到N截取一段，再向右移，形成如圖2.6.1(b)所示的h′(n)序列，將h′(n)作為具體實現(xiàn)的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)。N愈大，h′(n)表示的系統(tǒng)愈接近h(n)系統(tǒng)。具體實現(xiàn)時，預(yù)先將h′(n)存儲起來，備運算時應(yīng)用。這種非因果但穩(wěn)定的系統(tǒng)的近似實現(xiàn)性，是數(shù)字信號處理技術(shù)比模擬信息處理技術(shù)優(yōu)越的地方。說明：對一個實際的物理實現(xiàn)系統(tǒng)，其H(z)的收斂域是唯一的。2.6.3利用系統(tǒng)的極零點分布分析系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性

將(2.6.2)式因式分解，得到：

式中，A=b0/a0,cr是H(z)的零點，dr是其極點。A參數(shù)影響頻率響應(yīng)函數(shù)的幅度大小，影響系統(tǒng)特性的是零點cr和極點dr的分布。下面我們采用幾何方法研究系統(tǒng)零極點分布對系統(tǒng)頻率特性的影響。（2.6.4）將(2.6.4)式分子、分母同乘以zN+M

，得到：（2.6.5）設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，將z=ejω代入上式，得到頻率響應(yīng)函數(shù)（2.6.6）在z平面上，ejω－cr用一根由零點cr指向單位圓上ejω點B的向量表示，同樣，ejω－dr用由極點指向ejω點B的向量表示，如圖2.6.2所示，即和分別稱為零點向量和極點向量，將它們用極坐標表示：

將和表示式代入(2.6.7)式，得到：（2.6.7）（2.6.8）(2.6.9)系統(tǒng)的頻響特性由(2.6.8)式和(2.6.9)式確定。當頻率ω從0變化到2π時，這些向量的終點B沿單位圓逆時針旋轉(zhuǎn)一周，按照(2.6.8)式和(2.6.9)式，分別估算出系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性。例如圖2.6.2表示了具有一個零點和兩個極點的頻率特性。圖2.6.2頻響的幾何表示法按照(2.6.8)式，知道零極點的分布后，可以很容易地確定零極點位置對系統(tǒng)特性的影響。當B點轉(zhuǎn)到極點附近時，極點相量長度最短，因而幅度特性可能出現(xiàn)峰值，且極點愈靠近單位圓，極點相量長度愈短，峰值愈高愈尖銳。如果極點在單位圓上，則幅度特性為∞，系統(tǒng)不穩(wěn)定。對于零點，情況相反，當B點轉(zhuǎn)到零點附近時，零點相量長度變短，幅度特性將出現(xiàn)谷值，零點愈靠近單位圓，谷值愈接近零。當零點處在單位圓上時，谷值為零?？偨Y(jié)以上結(jié)論：極點位置主要影響頻響的峰值位置及尖銳程度，零點位置主要影響頻響的谷點位置及形狀。這種通過零極點位置分布分析系統(tǒng)頻響的幾何方法為我們提供了一個直觀的概念，對于分析和設(shè)計系統(tǒng)是十分有用的?；谶@種概念，可以用零極點累試法設(shè)計簡單濾波器。下面介紹用MATLAB計算零、極點及頻率響應(yīng)曲線。首先介紹MATLAB工具箱中兩個函數(shù)zplane和freqz的功能和調(diào)用格式。

zplane繪制H(z)的零、極點圖。

zplane(z,p)繪制出列向量z中的零點（以符號“○”表示）和列向量p中的極點（以符號“×”表示），同時畫出參考單位圓，并在多階零點和極點的右上角標出其階數(shù)。如果z和p為矩陣，則zplane以不同的顏色分別繪出z和p各列中的零點和極點。

zplane(B,A)繪制出系統(tǒng)函數(shù)H(z)的零極點圖。其中B和A為系統(tǒng)函數(shù)H(z)=B(z)/A(z)的分子和分母多項式系數(shù)向量。假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)H(z)用下式表示:則B=B(1)

B(2)

B(3)

B(M+1)］，A=［A(1)

A(2)

A(3)

A(N+1)］

freqz計算數(shù)字濾波器H(z)的頻率響應(yīng)。

H=freqz(B,A,w)計算由向量w指定的數(shù)字頻率點上數(shù)字濾波器H(z)的頻率響應(yīng)H(ejw)，結(jié)果存于H向量中。B和A仍為H(z)的分子和分母多項式系數(shù)向量（同上）。［H,w］=freqz(B,A,M)計算出M個頻率點上的頻率響應(yīng)，存放在H向量中，M個頻率存放在向量w中。freqz函數(shù)自動將這M個頻率點均勻設(shè)置在頻率范圍［0,π］上。［H,w］=freqz(B,A,M,′whole′)自動將M個頻率點均勻設(shè)置在頻率范圍［0,2π］上。當然，還可以由頻率響應(yīng)向量H得到各采樣頻點上的幅頻響應(yīng)函數(shù)和相頻響應(yīng)函數(shù)；再調(diào)用plot繪制其曲線圖。|H(ejω)|=abs(H)φ(ω)=angle(H)式中，abs函數(shù)的功能是對復(fù)數(shù)求模，對實數(shù)求絕對值；angle函數(shù)的功能是求復(fù)數(shù)的相角。

freqz(B,A)自動選取512個頻率點計算。不帶輸出向量的freqz函數(shù)將自動繪出固定格式的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)曲線。所謂固定格式,是指頻率范圍為［0,π］，頻率和相位是線性坐標，幅頻響應(yīng)為對數(shù)坐標。其他幾種調(diào)用格式可用命令help查閱。

【例2.6.2】已知H(z)=z－1，分析其頻率特性。

解由H(z)=z－1，可知極點為z=0，幅頻特性|H(ejω)|=1,相頻特性φ(ω)=－ω，頻響特性如圖2.6.3所示。用幾何方法也容易確定，當ω=0轉(zhuǎn)到ω=2π時，極點向量的長度始終為1。由該例可以得到結(jié)論：處于原點處的零點或極點，由于零點向量長度或者極點向量長度始終為1，因此原點處的零極點不影響系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)特性,但對相頻特性有貢獻。圖2.6.3

H(z)=z－1的頻響特性

【例2.6.3】設(shè)一階系統(tǒng)的差分方程為y(n)=by(n－1)+x(n)

用幾何法分析其幅度特性。

解由系統(tǒng)差分方程得到系統(tǒng)函數(shù)為

式中，0<b<1。系統(tǒng)極點z=b，零點z=0，當B點從ω=0逆時針旋轉(zhuǎn)時，在ω=0點，由于極點向量長度最短，形成波峰；在ω=π點形成波谷；z=0處零點不影響幅頻響應(yīng)。極零點分布及幅度特性如圖2.6.4所示。圖2.6.4例2.6.3插圖

【例2.6.4】已知H(z)=1－z－N，試定性畫出系統(tǒng)的幅頻特性。

解

H(z)的極點為z=0，這是一個N階極點，它不影響系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)。零點有N個，由分子多項式的根決定

即N個零點等間隔分布在單位圓上，設(shè)N=8，極零點分布如圖2.6.5所示。當ω從0變化到2π時，每遇到一個零點，幅度為零，在兩個零點的中間幅度最大，形成峰值。幅度谷值點頻率為：ωk=(2π/N)k,k=0,1,2,

,N－1。一般將具有如圖2.6.5所示的幅調(diào)用zplane和freqz求解本例的程序ep264.m如下:

％ep264.m:例2.6.4求解程序

B=［10000000–1］;A=1; ％設(shè)置系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量B和Asubplot(2,2,1);zplane(B,A); ％繪制零極點圖［H,w］=freqz(B,A); ％計算頻率響應(yīng)

subplot(2,2,2);plot(w/pi,abs(H)): ％繪制幅頻響應(yīng)曲線

xlabel(′＼omega^pi′);ylabel(′|H(e^j^＼omega)|′);axis(［0,1,0,2.5］)subplot(2,2,4);plot(w/pi,angle(H)); ％繪制相頻響應(yīng)曲線

xlabel(′＼omega^pi′);ylabel('phi