第2章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)

的時(shí)域分析

2.1常用信號(hào)及信號(hào)的基本運(yùn)算2.2單位階躍信號(hào)和單位沖激信號(hào)

2.3連續(xù)系統(tǒng)及其描述2.4連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)2.5沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)2.6連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)——卷積積分2.7連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析2.1常用信號(hào)及信號(hào)的基本運(yùn)算

2.1.1常用信號(hào)

1.實(shí)指數(shù)信號(hào)

實(shí)指數(shù)信號(hào)的表示式為

f(t)=Keat(2-1)式中，a、K為實(shí)數(shù)。

2.正弦信號(hào)正弦信號(hào)和余弦信號(hào)二者僅在相位上相差，通常統(tǒng)稱為正弦信號(hào)，一般寫(xiě)做f(t)=Ksin(ωt+θ)

(2-2)式中，K為振幅，ω為角頻率，θ為初相位。正弦信號(hào)和余弦信號(hào)常借助復(fù)指數(shù)信號(hào)來(lái)表示。由歐拉公式可知ejωt=cos(ωt)+jsin(ωt)

e-jωt=cos(ωt)-jsin(ωt)則有(2-3)(2-4)這是以后經(jīng)常要用到的兩對(duì)關(guān)系式。

3.復(fù)指數(shù)信號(hào)如果指數(shù)信號(hào)的指數(shù)因子為一復(fù)數(shù)，則稱之為復(fù)指數(shù)信號(hào)，其表示式為f(t)=Kest

(2-5)

其中s=σ+jω

式中，σ為復(fù)數(shù)s的實(shí)部，ω為其虛部。借助歐拉公式將式(2-5)展開(kāi)，可得

Kest=Ke(σ+jω)t=Keσtcos(ωt)+jKeσtsin(ωt)(2-6)

4.Sa(t)信號(hào)(抽樣信號(hào))

Sa(t)函數(shù)即Sa(t)信號(hào)，是指sint與t之比構(gòu)成的函數(shù)，它的定義為

(2-7)

Sa(t)函數(shù)的波形如圖2-1所示。我們注意到，它是一個(gè)偶函數(shù)，在t的正、負(fù)方向振幅都逐漸衰減，當(dāng)t=±π，±2π，…，±nπ時(shí)，函數(shù)值等于零。

4.Sa(t)信號(hào)(抽樣信號(hào))

Sa(t)函數(shù)即Sa(t)信號(hào)，是指sint與t之比構(gòu)成的函數(shù)，它的定義為

(2-7)

Sa(t)函數(shù)的波形如圖2-1所示。我們注意到，它是一個(gè)偶函數(shù)，在t的正、負(fù)方向振幅都逐漸衰減，當(dāng)t=±π，±2π，…，±nπ時(shí)，函數(shù)值等于零。

圖2-1Sa(t)函數(shù)Sa(t)函數(shù)還具有以下性質(zhì)：(2-8)(2-9)2.1.2信號(hào)的基本運(yùn)算

1.相加和相乘

信號(hào)相加是指若干信號(hào)之和，表示為f(t)=f1(t)+f2(t)+…+fn(t)(2-10)其相加規(guī)則是：同一瞬時(shí)各信號(hào)的函數(shù)值相加構(gòu)成和信號(hào)在這一時(shí)刻的瞬時(shí)值。信號(hào)相乘是指若干信號(hào)之積，表示為f(t)=f1(t)·f2(t)·…·fn(t)(2-11)其相乘規(guī)則是：同一瞬時(shí)各信號(hào)的函數(shù)值相乘構(gòu)成積信號(hào)在這一時(shí)刻的瞬時(shí)值。

【例2-1】已知兩信號(hào)和f2(t)=-sint求f1(t)+f2(t)和f1(t)·f2(t)的表達(dá)式。解當(dāng)然，也可以通過(guò)波形來(lái)進(jìn)行信號(hào)的相加和相乘。

2.微分和積分信號(hào)f(t)的微分是指信號(hào)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，表示為

信號(hào)f(t)的積分是指信號(hào)在區(qū)間(-∞,t)上的積分，表示為

(2-13)(2-12)

3.平移信號(hào)的平移是指將信號(hào)f(t)變化為信號(hào)f(t±t0)(t0>0)的運(yùn)算。若為f(t+t0)，表示信號(hào)f(t)沿t軸負(fù)方向平移t0時(shí)間；若為f(t-t

0)，表示信號(hào)f(t)沿t軸正方向平移t0時(shí)間。

【例2-2】已知，波形如圖2-2(a)所示，求f(t+1)，f(t-1)。

解

用(t+1)代替t，有有相應(yīng)的波形如圖2-2(b)所示(超前)。同理，f(t-1)如圖2-2

(c)

所示(滯后)。

4.反折信號(hào)的反折是指信號(hào)f(t)變化為f(-t)的運(yùn)算。從幾何意義上看，即是將f(t)以縱軸為對(duì)稱軸作180°翻轉(zhuǎn)。

【例2-3】已知，相應(yīng)的波形如圖2-3(a)所示，求f(-t)。

解，相應(yīng)的波形如圖2-3(b)所示。圖2-3

【例2-3】圖

5.尺度變換信號(hào)的尺度變換是指將信號(hào)f(t)變化為f(at)(a>0)的運(yùn)算。若0<a<1，則將f(t)以原點(diǎn)為基準(zhǔn)，沿橫坐標(biāo)軸展寬至倍；若a>1，則將f(t)沿橫坐標(biāo)軸壓縮至。

【例2-4】已知，相應(yīng)的波形如圖2-4(a)所示，求f(2t)和。

解

，相應(yīng)的波形如圖2-4(b)所示。，相應(yīng)的波形如圖2-4(c)所示?？梢?jiàn)，時(shí)移、反折、展縮都是用一個(gè)新的時(shí)間變量去代換原來(lái)的時(shí)間變量。

圖2-4

【例2-4】圖

【例2-5】己知，相應(yīng)的波形如圖2-5(b)所示，求f(2t-1),。解

相應(yīng)的波形如圖2-5(b)所示。將f(t-1)壓縮，用2t代替t，有相應(yīng)的波形如圖2-5(c)所示。將f(t-1)擴(kuò)展，用代替t，有相應(yīng)的波形如圖2-5(d)所示。圖2-5

【例2-5】圖

【例2-6】已知信號(hào)f(2-2t)的波形如圖2-6所示，求f(t)。

解f(2-2t)是信號(hào)f(t)經(jīng)時(shí)移、反折和展縮后所得的信號(hào)，可以用六種方法獲得f(t)，其過(guò)程和波形如圖2-6所示。我們知道，信號(hào)有數(shù)學(xué)表達(dá)式和波形兩種描述形式。上面所介紹的平移、反折、尺度變換三種運(yùn)算，既可以用新時(shí)間變量替換原變量t，直接寫(xiě)出數(shù)學(xué)表達(dá)式，又可以利用波形進(jìn)行變換。從上面例題可以看出，利用信號(hào)的波形進(jìn)行運(yùn)算，更加直觀一些。圖2-6

【例2-6】圖2.1.3常用信號(hào)及其運(yùn)算的MATLAB實(shí)現(xiàn)

MATLAB提供了一系列用于表示基本信號(hào)的函數(shù)，包括square(周期方波)、sawtooth(周期鋸齒波)、rectpuls(非周期矩形脈沖)、tripuls(非周期三角脈沖)、exp(指數(shù)信號(hào))、sinc(抽樣函數(shù))和sin/cos(正、余弦信號(hào))等。下面給出一些例子來(lái)說(shuō)明它們的用法。

1.周期方波周期方波信號(hào)在MATLAB中用square表示，其調(diào)用形式為

y=square(t,duty)用以產(chǎn)生個(gè)幅度為±1，周期為2π的方波。參數(shù)duty用于指定非負(fù)值的波形在一個(gè)周期中所占的百分比，如果調(diào)用時(shí)不含參數(shù)duty，則duty默認(rèn)為50。下面的代碼產(chǎn)生一個(gè)周期為1、幅度為±0.5的方波，如圖2-7所示。

>>t=-3:0.01:3;

>>y=0.5*square(2*pi*t);

>>plot(t,y);

>axis(［-3.5[KG*2]3.5[KG*2]-0.8[KG*2]0.8］);

2.抽樣函數(shù)Sa(t)

抽樣函數(shù)Sa(t)在MATLAB中用sinc函數(shù)表示，定義為圖2-7周期方波的波形其調(diào)用形式為

y=sinc(t)下面的代碼產(chǎn)生抽樣函數(shù)Sa(t)，波形如圖2-8所示。>>t=linspace(-4*pi,4*pi,500);>>y=sinc*(t/pi);>>plot(t,y);其他信號(hào)的產(chǎn)生可以參看以上的各個(gè)函數(shù)，各個(gè)函數(shù)的具體用法可以通過(guò)“help函數(shù)名”獲得，產(chǎn)生這些信號(hào)的代碼與上述兩例相似。

圖2-8

sinc(t)的波形

3.信號(hào)基本運(yùn)算的MATLAB實(shí)現(xiàn)

利用MATLAB可以方便地實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的尺度變換、翻轉(zhuǎn)和平移運(yùn)算，并可方便地用圖形表示。

【例2-7】對(duì)圖2-9(a)所示的三角波f(t)，試用MATLAB畫(huà)出f(2t)和的波形。解實(shí)現(xiàn)f(2t)與的代碼如下：%programch2_7t=-3:0.01:3;y=tripuls(t,4,0.6);subplot(2,1,1);plot(t,y);title(′f(t)′);xlabel(′(a)′);y1=tripuls(2*t,4,0.6);subplot(2,2,3);plot(t,y1);title(′f(2t)′);xlable(′(b)′);t1=2-2*t;y2=tripuls((1-0.5*t1),4,0.6);subplot(2,2,4);plot(t1,y2);title(′f(1-0.5t)′);xlabel(′(c)′);所得波形如圖2-9(b)、

(c)所示。圖2-9信號(hào)尺度變換的示例

【例2-8】用MATLAB實(shí)現(xiàn)【例2-1】的運(yùn)算。解實(shí)現(xiàn)代碼如下：

%programch2-8

clear

t=-100:0.01:100;

u=(t>=0);

f1=sin(t)*u;

f2=-sin(t);

f3=f1+f2;

f4=f1*f2;

figure;subplot(2,2,1);

%f1(t)的波形plot(t,f1);ylabel(′f1(t)′);subplot(2,2,2);%f2(t)的波形plot(t,f2);ylabel(′f2(t)′);

subplot(2,2,3);%［f1(t)+f2(t)］的波形plot(t,f3);ylabel(′f1(t)+f2(t)′);subplot(2,2,4);%［f1(t)*f2(t)］的波形plot(t,f4);ylabel(′f1(t)*f2(t)′);運(yùn)行結(jié)果如圖2-10所示。

圖2-10

【例2-8】運(yùn)行結(jié)果【例2-9】用MATLAB實(shí)現(xiàn)【例2-3】的波形變換。解實(shí)現(xiàn)代碼如下：

%programch2-9

clear;

t=-3:0.01:3;

f=1/3*(t+2).*rectpuls(t+0.5,3);

t1=-fliplr(t);

f1=fliplr(f);

figure;subplot(2,1,1);

%f(t)的波形plot(t,f);ylabel(′f(t)′);axis(［-3,3,0,2］);

subplot(2,1,2);%反折的波形plot(t1,f1);ylabel(′f(-t)′);axis(［-3,3,0,2］);運(yùn)行結(jié)果如圖2-11所示。圖2-11

【例2-9】運(yùn)行結(jié)果【例2-10】用MATLAB實(shí)現(xiàn)【例2-4】的波形變換。解實(shí)現(xiàn)代碼如下：

%programch2-10

clear;

t=-1:0.01:3;

f=t.*rectpuls(t-1,2);

t1=t/2;

t2=2*t;

figure;

subplot(3,1,1);

%f(t)的波形

plot(t,f);

ylabel(′f(t)′);

axis(［-1,5,0,3］);subplot(3,1,2);%壓縮至原來(lái)的1/2倍的波形plot(t1,f);ylabel(′f(2t)′);axis(［-1,5,0,3］);subplot(3,1,3);

%展寬至原來(lái)的2倍的波形plot(t2,f);ylabel(′f(t/2)′);axis(［-1,5,0,3］);運(yùn)行結(jié)果如圖2-12所示。圖2-12

【例2-10】運(yùn)行結(jié)果【例2-11】用MATLAB實(shí)現(xiàn)【例2-5】的波形變換。解實(shí)現(xiàn)代碼如下：%programch2-11clear;t=-3:0.01:3;f1=(t+2).*rectpuls(t+1,2);f2=(-2*t+2).*rectpuls(t-0.5,1);f=f1+f2;t1=t+1;t2=t1/2;t3=2*t1;subplot(4,1,1);plot(t,f);ylabel(′f(t)′);axis(［-3,5,0,3］);subplot(4,1,2);plot(t1,f);ylabel(′f(t-1)′);axis(［-3,5,0,3］);subplot(4,1,3);plot(t2,f);ylabel(′f(2t-1)′);axis(［-3,5,0,3］);subplot(4,1,4);plot(t3,f);ylabel(′f(t/2-1)′);axis(［-3,5,0,3］);運(yùn)行結(jié)果如圖2-13所示。

圖2-13

【例2-11】運(yùn)行結(jié)果【例2-12】用MATLAB實(shí)現(xiàn)【例2-6】的波形變換。解實(shí)現(xiàn)代碼如下：

%programch2-12

clear;

t=-3:0.01:3;

f1=2*t.*rectpuls(t-0.5,1);

f2=(-t+2).*rectpuls(t-1.5,1);

f=f1+f2;

t1=2*t;

t2=-t1;

t3=t2+2;subplot(4,1,1);

%f(2-2t)的波形plot(t,f);ylabel(′f(2-2t)′);axis(［-4,5,0,3］);subplot(4,1,2);%展寬為原來(lái)的2倍，即f(2-t)plot(t1,f);ylabel(′f(2-t)′);axis(［-4,5,0,3］);subplot(4,1,3);%反折，即f(t+2)plot(t2,f);ylabel(′f(t+2)′);axis(［-4,5,0,3］);subplot(4,1,4);%時(shí)移2位，即f(t)plot(t3,f);ylabel(′f(t)′);axis(［-4,5,0,3］);運(yùn)行結(jié)果如圖2-14所示。

圖2-14

【例2-12】運(yùn)行結(jié)果2.2單位階躍信號(hào)和單位沖激信號(hào)

2.2.1單位階躍信號(hào)

單位階躍信號(hào)(簡(jiǎn)稱階躍信號(hào))用符號(hào)U(t)表示，其定義為

(2-14)

其波形如圖2-15所示。在分析電路時(shí)，單位階躍信號(hào)實(shí)際上就表示從t=0+開(kāi)始作用的大小為一個(gè)單位的電壓或電流。

利用階躍信號(hào)U(t)，我們很容易表示脈沖信號(hào)的存在時(shí)間，如圖2-16中所示的矩形脈沖信號(hào)gτ(t)，可以用階躍信號(hào)表示為圖2-15階躍信號(hào)圖2-16矩形脈沖信號(hào)由于階躍信號(hào)鮮明地表現(xiàn)出信號(hào)的“單邊”特性，通常將t>0之后才有非零函數(shù)值的信號(hào)稱為因果信號(hào)，如

f1(t)=sint·U(t)f2(t)=e-t［U(t)-U(t-t0)］其波形如圖2-17所示。可見(jiàn)，階躍信號(hào)也經(jīng)常用來(lái)表示信號(hào)的時(shí)間取值范圍。

圖2-17因果信號(hào)

【例2-13】用階躍信號(hào)表示信號(hào)f(t)。已知f(t)為解為直觀起見(jiàn)，畫(huà)出f(t)的波形如圖2-18所示。為了用階躍信號(hào)表示信號(hào)f(t)，我們將每一段用階躍信號(hào)表達(dá)，之后相加就得到信號(hào)f(t)。第①段為-0.5tU(-t-2)第②段為2［U(t+2)-U(t-1)］第③段為U(t-1)-U(t-2)第④段為(3-t)［U(t-2)-U(t-3)］所以

f(t)=-0.5tU(-t-2)+2［U(t+2)-U(t-1)］+U(t-1)-U(t-2)+(3-t)［U(t-2)-U(t-3)］整理得

f(t)=-0.5tU(-t-2)+2U(t+2)-U(t-1)+(2-t)U(t-2)-(3-t)U(t-3)

讀者不妨用信號(hào)的加法和乘法運(yùn)算檢驗(yàn)上式信號(hào)f(t)的階躍信號(hào)表達(dá)式是否與其波形一致。

2.2.2單位沖激信號(hào)

單位沖激信號(hào)（簡(jiǎn)稱沖激信號(hào)）δ(t)定義為

(2-16)

如圖2-19所示，它是狄拉克(Dirac)最初提出并定義的，所以又稱狄拉克δ函數(shù)(DiracDeltaFunction)。式(2-16)表示集中在t=0、面積為1的沖激，這是工程上的定義，由于它不是普通函數(shù)，因此從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)意義來(lái)說(shuō)，它是一個(gè)頗為復(fù)雜的概念。然而為了應(yīng)用，并不強(qiáng)調(diào)其數(shù)學(xué)上的嚴(yán)謹(jǐn)性，而只強(qiáng)調(diào)運(yùn)算方便。實(shí)際上，在取極限時(shí)，在整個(gè)橫坐標(biāo)軸上曲線面積恒為定值的函數(shù)，都可用來(lái)做沖激信號(hào)的定義。2.2.3沖激信號(hào)的性質(zhì)

1.沖激信號(hào)與階躍信號(hào)的關(guān)系

由于故(2-17)即(2-18)(2-19)同樣，由于所以(2-20)(2-21)式中δ(t-t0)是集中在t0的面積為1的沖激。

2.與普通信號(hào)相乘

如果信號(hào)f(t)是一個(gè)連續(xù)的普通函數(shù)，則有

f(t)·δ(t-t0)=f(t0)δ(t-t0)(2-22)

上式表明，連續(xù)信號(hào)f(t)與沖激信號(hào)相乘，只有t=t0時(shí)的樣本值f(t0)才對(duì)沖激信號(hào)有影響，也即篩選出信號(hào)在t=t0處的函數(shù)值。所以，這個(gè)性質(zhì)也叫篩選特性，如圖2-20所示。

圖2－20沖激信號(hào)的篩選特性同樣條件下，還有取樣特性，即

(2-23)3.尺度變換特性

(2-24)由尺度變換特性可得出以下推論：

δ(-t)=δ(t),a=-1(2-25)上式說(shuō)明，δ(t)是一個(gè)偶函數(shù)。(2-26)【例2-14】求下列積分。所以另外，我們通常稱δ(t)的一階導(dǎo)數(shù)δ′(t)為二次沖激（或叫沖激偶），對(duì)于δ(t)信號(hào)的各階導(dǎo)數(shù)是不能用常規(guī)方法來(lái)求的，在此不進(jìn)行深入討論。2.2.4階躍信號(hào)和沖激信號(hào)的MATLAB表示

1.階躍信號(hào)

階躍信號(hào)的表達(dá)式為在數(shù)值計(jì)算中可以根據(jù)階躍信號(hào)的定義來(lái)描述信號(hào)，在符號(hào)運(yùn)算中則使用Heaviside函數(shù)定義階躍信號(hào)的符號(hào)表達(dá)式?！纠?-15】繪制階躍信號(hào)u(t)的波形。解如果只需要繪制階躍信號(hào)的波形，可以用行向量寫(xiě)出信號(hào)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的數(shù)值，MATLAB程序如下：

%programch2-15

t=-1:0.1:0;

x1=zeros(1,length(t1));

t2=0:0.1:3;

x2=ones(1,length(t2));t=［t1,t2］;ut=［x1,x2］;plot(t,ut)xlabel(′t′);ylabel(′u(t)′);axis(［-13-0.21.2］);畫(huà)出的波形如圖2-21所示。

圖2-21

【例2-15】圖根據(jù)階躍信號(hào)的定義，用關(guān)系運(yùn)算符“>=”描述信號(hào)的

MATLAB程序如下：

t=-1:0.01:3;

y=(t>=0);

plot(t,y)

xlabcl(′t′);

ylabel(′u(t)′);

axis(［-1[KG*2]3[KG*2]-0.2[KG*2]1.2］);運(yùn)行結(jié)果如圖2-22所示。

圖2-22階躍信號(hào)在這個(gè)程序中，語(yǔ)句“y=(t>=0)”的返回值是由“0”和“1”組成的向量。當(dāng)t≥0時(shí)，返回值為“1”；當(dāng)t<0時(shí)，返回值為“0”。需要注意的是，這種方法得到的“y”是一個(gè)由邏輯量組成的向量，在數(shù)值計(jì)算時(shí)需要變換成數(shù)值型的向量。我們可以把寫(xiě)出階躍信號(hào)的過(guò)程做成一個(gè)函數(shù)，存在名為ut.m的M文件中，這樣在以后使用時(shí)就可以直接調(diào)用了。函數(shù)為

functiony=ut(t)

y=(t>=0);如果用符號(hào)運(yùn)算的方法，MATLAB程序如下：

ut=sym(′Heaviside(t)′);

ezplot(ut,［-1,3］)這個(gè)程序畫(huà)出的波形如圖2-22所示。

2.沖激信號(hào)單位沖激信號(hào)的定義式為在MATLAB中無(wú)法畫(huà)出沖激信號(hào)的圖形。在符號(hào)運(yùn)算中用Dirac函數(shù)定義沖激信號(hào)?！纠?-16】用MATLAB求解【例2-13】。解求解的代碼如下：

%programch2-16

clear;

t=-5:0.01:5;

u=(t<-2);

f1=(-1/2*t).*u;

f2=2.*rectpuls(t+0.5,3);

f3=rectpuls(t-1.5,1);f4=(3-t).*rectpuls(t-2.5,1);f=f1+f2+f3+f4;figure;

%f(t)的波形plot(t,f);ylabel(′f(t)′);axis(［-4,5,0,3］);運(yùn)行結(jié)果如圖2-23所示。

圖2-23

【例2-16】運(yùn)行結(jié)果2.3連續(xù)系統(tǒng)及其描述

若系統(tǒng)的輸入和輸出都是連續(xù)信號(hào)，則稱該系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為連續(xù)系統(tǒng)，如圖2-24所示，圖中f(t)是輸入，y(t)是輸出。圖2-24連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)描述連續(xù)系統(tǒng)的方法有數(shù)學(xué)模型和模擬框圖兩種。下面舉例說(shuō)明這兩種方法。【例2-17】圖2-25所示RC電路，求電容C兩端的電壓y(t)與輸入電壓源的關(guān)系。解根據(jù)KVL及元件的伏安關(guān)系寫(xiě)出方程整理為這是一個(gè)一階線性微分方程。圖2-25

【例2-17】的電路圖除了利用微分方程描述連續(xù)系統(tǒng)之外，還可借助模擬框圖(blockdiagram)描述，即用一些基本運(yùn)算單元，如標(biāo)量乘法器（倍乘器）、加法器、乘法器、微分器、積分器、延時(shí)器等，構(gòu)成描述系統(tǒng)的模擬框圖。表2-1給出了這些常用基本運(yùn)算單元的符號(hào)及其各自的輸入輸出關(guān)系。表2-1常用的基本運(yùn)算單元

【例2-18】某連續(xù)系統(tǒng)的模擬框圖如圖2-26所示，寫(xiě)出該系統(tǒng)的微分方程。

圖2-26

【例2-18】的模擬框圖解系統(tǒng)的模擬框圖中有兩個(gè)積分器，所以描述該系統(tǒng)的是二階微分方程。由積分器的輸入輸出關(guān)系可知，若輸出設(shè)為y(t)，則兩個(gè)積分器的輸入分別為y′(t)和y″(t)，如圖2-26中所示。從加法器的輸出可得y″(t)=-a1y′(t)-a0y(t)+f(t)

整理得

y″(t)+a1y′(t)+a0y(t)=f(t)2.4連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)

2.4.1連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)求解

在電路分析理論學(xué)習(xí)中我們知道，線性系統(tǒng)的全響應(yīng)包括兩部分，即零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。當(dāng)已知一個(gè)系統(tǒng)的微分方程、激勵(lì)和初始狀態(tài)時(shí)，可以通過(guò)解微分方程的方法求出全響應(yīng)來(lái)，從而得到零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。這種解微分方程求響應(yīng)的方法叫經(jīng)典時(shí)域分析法。由于解微分方程的方法在高等數(shù)學(xué)和電路分析基礎(chǔ)中已經(jīng)熟悉，所以在此就不再介紹這種經(jīng)典法。零輸入響應(yīng)是由系統(tǒng)的初始狀態(tài)單獨(dú)作用系統(tǒng)時(shí)所產(chǎn)生的響應(yīng)，與激勵(lì)信號(hào)無(wú)關(guān)。因此系統(tǒng)的響應(yīng)往往僅指零狀態(tài)響應(yīng)。在本章的時(shí)域分析方法中，重點(diǎn)研究零狀態(tài)響應(yīng)的求解方法。而零輸入響應(yīng)的時(shí)域求解方法與微分方程的齊次解非常類似，較好理解和掌握，所以下面僅以例子說(shuō)明系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)的分析方法。

【例2-19】已知某系統(tǒng)的微分方程為y″(t)+5y′(t)+6y(t)=f(t)，初始狀態(tài)y(0-)=1,y′(0-)=2。求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)。解在零輸入條件下，微分方程等號(hào)右端為零，變?yōu)辇R次方程，即y″(t)+5y′(t)+6y(t)=0其特征方程為λ2+5λ+6=0特征根為λ1=-2,λ2=-3(兩不等單根)，故系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)為yx(t)=C1e-2t+C2e-3t,

t≥0

由于輸入為零，所以初始值有

yx(0+)=yx(0-)=y(0-)=1y[HT5”〗′[HT7]x[HT5](0+)=y[HT5”〗′[HT7]x[HT5](0-)=y′(0-)=2

將yx(0+)=1,y[HT5”〗′[HT7]x[HT5](0+)=2代入yx(t)中，有

yx(0+)=C1+C2=1y[HT5”〗′[HT7]x[HT5](0+)=-2C1-3C2=2

聯(lián)立上面兩式，得C1=5，C2=-4。因此，該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為

yx(t)=5e-2t-4e-3t,

t≥0由于輸入為零，所以初始值有yx(0+)=yx(0-)=y(0-)=1將中，有

聯(lián)立上面兩式，得C1=5，C2=-4。因此，該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為yx(t)=5e-2t-4e-3t,

t≥02.4.2連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)的MATLAB實(shí)現(xiàn)利用MATLAB求解微分方程的函數(shù)dsolve可得到連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，dsolve的調(diào)用格式為ans=dsolve(′eq1′,′eq2′,…）參數(shù)“eq1,eq2，…”均為字符串，其代表一個(gè)方程。dsolve求解微分方程，并將結(jié)果返回給ans。

【例2-20】用MATLAB實(shí)現(xiàn)【例2-19】的系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的求解。解求解過(guò)程代碼如下：

%programch2-20

eq1=′D2y+5*Dy+6*y=0′;

ic1=′y(0)=1,Dy(0)=2′;

yx=dsolve(eq1,ic1),

ezplot(yx,［06］);運(yùn)行結(jié)果如下：yx=5*exp(-2*t)-4*exp(-3*t)如圖2-27所示。圖2-27系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)2.5沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)

2.5.1沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)的定義及計(jì)算系統(tǒng)的沖激響應(yīng)定義為：在沖激信號(hào)激勵(lì)下系統(tǒng)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。這個(gè)定義說(shuō)明，沖激響應(yīng)包含兩個(gè)含義，一是激勵(lì)是沖激信號(hào)，二是初始狀態(tài)為零。系統(tǒng)的沖激響應(yīng)用h(t)來(lái)表示。圖2-28說(shuō)明了h(t)的產(chǎn)生條件。圖2-28沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)從沖激響應(yīng)的定義可知，對(duì)于不同的系統(tǒng)，就有不同的沖激響應(yīng)，可見(jiàn)沖激響應(yīng)h(t)也可以表征系統(tǒng)的特性。所以，通常將系統(tǒng)的h(t)叫做系統(tǒng)的時(shí)間特性，即意味著不同的h(t)，系統(tǒng)的特征不同，它在系統(tǒng)分析中占有很重要的地位。與沖激響應(yīng)h(t)的定義類似，階躍響應(yīng)定義為：系統(tǒng)在階躍信號(hào)激勵(lì)下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，用g(t)表示，如圖2-28所示。

考慮到δ(t)信號(hào)與U(t)信號(hào)之間存在微分與積分關(guān)系，因而對(duì)LTI系統(tǒng)的h(t)和g(t)也同樣存在微分與積分的關(guān)系，即(2-27)(2-28)下面主要研究如何求得因果系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。對(duì)于用常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)，它的沖激響應(yīng)h(t)滿足微分方程

h

(n)(t)+an-1h

(n-1)(t)+…+a1h′(t)+a0h(t)

=bmδ(m)(t)+bm-1δ

(m-1)(t)+…+b1δ′(t)+b0δ(t)(2-29)初始狀態(tài)h

(i)(0-)=0(i=0,1,…，n-1）。由于δ(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t≥0+時(shí)都等于零，因此式（2-29）右端各項(xiàng)在t≥0+時(shí)恒等于零，這時(shí)式（2-29）成為齊次方程，這樣沖激響應(yīng)h(t)的形式應(yīng)與齊次解的形式相同。在n>m時(shí)，h(t)可以表示為(2-30)式中待定系數(shù)Ci(i=1,2,…，n)可以采用沖激平衡法確定，即將式（2-30）代入式（2-29）中，為保持系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程式恒等，方程式兩邊所具有的沖激信號(hào)及其高階導(dǎo)數(shù)相等，根據(jù)此規(guī)則即可求得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)中的待定系數(shù)。在n≤m時(shí)，要使方程兩邊所具有的沖激信號(hào)及其高階導(dǎo)數(shù)相等，則h(t)表示式中還應(yīng)含有δ(t)及其各階導(dǎo)數(shù)δ

(m-n)(t),δ

(m-n-1)(t),…，δ′(t)等項(xiàng)。下面舉例說(shuō)明沖激響應(yīng)的求解?！纠?-21】已知某系統(tǒng)的微分方程為y′(t)+2y(t)=f(t)求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。解由沖激響應(yīng)的定義有h′(t)+2h(t)=δ(t)和h(0-)=0當(dāng)t≥0+時(shí)，h′(t)+2h(t)=0所以h(t)=Ce-2tU(t)

(U(t)表示取t≥0+)①

將式①代入h(t)的微分方程中有

-2Ce-2tU(t)+Ce-2tδ(t)+2Ce-2tU(t)=δ(t)為了保持方程恒等，利用沖激平衡法，則有C=1所以h(t)=e-2tU(t)

【例2-22】某LTI系統(tǒng)如圖2-29所示，求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。

圖2-29

【例2-22】的系統(tǒng)框圖解由該系統(tǒng)框圖可以求得該系統(tǒng)的微分方程為y″(t)+3y′(t)+2y(t)=-f′(t)+2f(t)對(duì)h(t)，微分方程為h″(t)+3h′(t)+2h(t)=-δ′(t)+2δ(t)當(dāng)t≥0+時(shí)有h″(t)+3h′(t)+2h(t)=0所以h(t)為h(t)=(C1e-t+C2e-2t)U(t)將上式微分有h′(t)=(-C1e-t-2C2e-2t)U(t)+(C1+C2)δ(t)再微分一次有h″(t)=(C1e-t+4C2e-2t)U(t)+(-C1-2C2)δ(t)+(C1+C2)δ′(t)

將h″(t),h′(t)和h(t)代入h(t)的微分方程中得

(C1e-t+4C2e-2t)U(t)+(-C1-2C2)δ(t)+(C1+C2)δ′(t)+3(-C1e-t-2C2e-2t)U(t)+3(C1+C2)δ(t)+2(C1e-t+C2e-2t)U(t)=-δ′(t)+2δ(t)為了使方程平衡，利用沖激平衡法，則有

解之得C1=3C2=-4所以h(t)=(3e-t-4e-2t)U(t)【例2-23】如圖2-30所示RC電路，已知uC(0-)=0,以電流i(t)為響應(yīng)，求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。

圖2-30

【例2-23】圖解由KVL寫(xiě)出f(t)與i(t)之間關(guān)系的方程為兩邊微分并整理得i′(t)+i(t)=2f′(t)對(duì)沖激響應(yīng)h(t)有h′(t)+h(t)=2δ′(t)h(0-)=0①?gòu)氖舰倏芍?，要使方程兩端恒等，h(t)中必然含有沖激信號(hào)δ(t)項(xiàng)，即設(shè)h(t)=C1e-tU(t)+C2δ(t),將之代入h(t)的方程中有-C1e-tU(t)+C1δ(t)+C2δ′(t)+C1e-tU(t)+C2δ(t)=2δ′(t)根據(jù)沖激平衡法有解之得C1=-2C2=2所以系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)=-2e-tU(t)+2δ(t)

2.5.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)的MATLAB實(shí)現(xiàn)

MATLAB用于求解連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)沖激響應(yīng)的函數(shù)是impulse，求階躍響應(yīng)的函數(shù)為step，它們的一般調(diào)用方式為h=impulse(sys,t)

g=step(sys,t)式中，t表示計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)間抽樣點(diǎn)向量，sys是LTI系統(tǒng)的模型，由函數(shù)tf,zpk或ss產(chǎn)生，多數(shù)情況下，我們已知系統(tǒng)的微分方程或系統(tǒng)函數(shù)，此時(shí)sys由tf產(chǎn)生，調(diào)用方式為sys=tf(num,den)

其中，num和den分別為微分方程右端和左端的系數(shù)向量，例如，一個(gè)二階微分方程為y″(t)+3y′(t)+2y(t)=2f″(t)+f(t),則num和den分別為num=［201］，den=［132］。如果已知系統(tǒng)函數(shù)，則num和den分別是其分子、分母多項(xiàng)式按降冪排列的系數(shù)向量。【例2-24】已知一個(gè)LIT系統(tǒng)的微分方程為y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t),用MATLAB求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)，并利用繪圖與理論計(jì)算相比較。解容易求得這個(gè)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)的表達(dá)式(理論值)分別為求h(t)和g(t)并進(jìn)行比較的MATLAB代碼如下

&programch2-24sys=tf(1,［132］);t=0:0.1:6;ht=impulse(sys,t);gt=step(sys,t);ha=exp(-t)-exp(-2*t);

%理論值ga=0.5-exp(-t)+0.5*exp(-2*t);subplot(1,2,1);legend(′ht′,′ha′,′location′,′northeast′)plot(t,ht,′-′,t,ha,′-.′);legend(′h(t)bymatlab′,′h(t)bytheoretically′,′location′,′northeast′);

xlabel(′(a)′);

title(′impulseresponse′);

subplot(1,2,2);

plot(t,gt,′-′,t,ga,′-.′);

legend(′g(t)bymatlab′,′g(t)bytheoretically′,

′location′,′northwest′);

xlabel(′(b)′);

title(′stepresponse′);程序運(yùn)行后的結(jié)果如圖2-31(a)，(b)所示，由圖可知，MATLAB計(jì)算結(jié)果與理論值一致。圖2-31

【例2-24】圖【例2-25】用MATLAB求解【例2-21】，并利用繪圖與理論計(jì)算相比較。解求解的代碼如下：

%programch2-25

clear

sys=tf(1,［1,2］);

t=0:0.01:10;

ht=impulse(sys,t);u=(t>=0);z=exp(-2*t).*u;

figure;subplot(2,1,1);plot(t,ht);legend('h(t)bymatlab');xlabel('t');ylabel('h(t)');axistight;subplot(2,1,2);

%理論值plot(t,z);legend('h(t)bytheoretically');xlabel('t');ylabel('h(t)');axistight;運(yùn)行結(jié)果如圖2-32所示。圖2-32

【例2-25】運(yùn)行結(jié)果【例2-26】用MATLAB求解【例2-22】，并利用繪圖與理論計(jì)算相比較。解求解的代碼如下：

%programch2-26

clear

sys=tf(［-1,2］,［1,3,2］);

t=0:0.01:10;

ht=impulse(sys,t);

u=(t>=0);

z=(3*exp(-t)-4*exp(-2*t)).*u;subplot(2,1,1);plot(t,ht);legend('h(t)bymatlab');xlabel('t');ylabel('h(t)');axistight;

subplot(2,1,2);

%理論值plot(t,z);legend('h(t)bytheoretically');xlabel('t');ylabel('h(t)');axistight;運(yùn)行結(jié)果如圖2-33所示。

圖2-33

【例2-26】運(yùn)行結(jié)果【例2-27】用MATLAB求解【例2-23】,并利用繪圖與理論計(jì)算相比較。解求解的代碼如下：

%programch2-27

clear

sys=tf(［2,0］,［1,1］);

t=0:0.01:10;

ht=impulse(sys,t);

u=(t>=0);

z=-2*(exp(-t)).*u;

subplot(2,1,1);plot(t,ht);legend('h(t)bymatlab');xlabel('t');ylabel('h(t)');axistight;

subplot(2,1,2);

%理論值plot(t,z);legend('h(t)bytheoretically');xlabel('t');ylabel('h(t)');axistight;運(yùn)行結(jié)果如圖2-34所示。

圖2-34

【例2-27】運(yùn)行結(jié)果2.6連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)——卷積積分

2.6.1卷積積分任意信號(hào)f(t)都可以根據(jù)不同需要進(jìn)行不同的分解。如信號(hào)f(t)可分解為直流分量和交流分量，也可分解為奇分量和偶分量，或分解為實(shí)部分量和虛部分量。我們?cè)诖擞懻摰氖菍⑿盘?hào)f(t)分解為沖激信號(hào)的線性組合。下面以圖2-35說(shuō)明這種分解方法。圖2-35有始信號(hào)分解為沖激信號(hào)的疊加由圖2-35(a)可見(jiàn)，任意信號(hào)f(t)都可分解為矩形窄脈沖信號(hào)的疊加，即f(t)≈f1(t)+f2(t)+…+fk(t)…(2-31)其中f1(t)=f(0)［U(t)-U(t-Δτ)］f2(t)=f(Δτ)［U(t-Δτ)-U(t-Δτ)］

fk(t)=f(kΔτ)［U(t-kΔτ)-U(t-(k+1)Δτ)］用求和式表達(dá)為當(dāng)Δτ→0時(shí)，上式就可以完全表示信號(hào)f(t)了。這時(shí)kΔτ→τ,Δτ→dτ，且有所以f(t)為(2-33)式(2-33)表明任意信號(hào)f(t)可以分解為一系列具有不同強(qiáng)度、不同時(shí)延的沖激信號(hào)的疊加，如圖2-35(b)所示，這樣的過(guò)程稱為卷積積分，符號(hào)記為“*”。當(dāng)式(2-33)中k可取-∞~+∞時(shí)，即信號(hào)f(t)是雙邊信號(hào)時(shí)，f(t)可表示為(2-34)將信號(hào)f(t)分解為沖激信號(hào)的線性組合之后，我們就可以討論當(dāng)信號(hào)f(t)通過(guò)一LTI系統(tǒng)時(shí)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)了。設(shè)δ(t)→h(t)，由式(2-33)及LTI系統(tǒng)的特性有

f(kΔτ)δ(t-kΔτ)Δτ→f(kΔτ)h(t-kΔτ)Δτ當(dāng)Δτ→0時(shí)有

即f(t)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)為式（2-35）表明，一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是激勵(lì)信號(hào)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積積分。可見(jiàn)，有了卷積積分，就有了求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的新方法。這種利用卷積積分求零狀態(tài)響應(yīng)的方法是系統(tǒng)時(shí)域分析中主要使用的方法。

(2-35)【例2-28】已知某LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)=e-tU(t)。若輸入為f(t)=U(t)，試求其輸出。解這里的輸出指零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。這里計(jì)算卷積積分時(shí)，考慮到U(t)的定義，所以U(τ)中的τ必取τ>0,U(t-τ)中的τ必取τ<t，這樣τ的取值范圍就是0<τ<t。最后結(jié)果中還要限定t的取值范圍。本題中顯然t>0，故加寫(xiě)U(t)。

【例2-29】已知f1(t)=e-3tU(t),f2(t)=e-5tU(t),計(jì)算f1(t)*f2(t)。解根據(jù)卷積積分定義，有

2.6.2卷積積分的圖解法

卷積積分除了用定義直接計(jì)算之外，還可以用圖解的方法計(jì)算。用圖解法計(jì)算更能直觀地理解卷積積分的計(jì)算過(guò)程。由卷積積分的定義知，要用圖解法計(jì)算卷積積分f(t)*h(t)，一般按照下面的步驟進(jìn)行：

(1)將f(t)和h(t)的自變量t→τ。

(2)反折，將h(τ)繞縱坐標(biāo)反折得h(-τ)。

(3)時(shí)移，將h(-τ)沿τ軸移動(dòng)某一時(shí)刻t1得h(t1-τ)。

(4)相乘，將時(shí)移后的h(t1-τ)乘以f(τ)得f(τ)h(t1-τ)。

(5)積分，沿τ軸對(duì)上述乘積信號(hào)f(τ)h(t1-τ)進(jìn)行積分，即其值yf(t1)正是t1時(shí)刻f(τ)h(t1-τ)曲線下的面積。

(6)以t為變量，將波形h(t-τ)連續(xù)地沿τ軸平移，從而得到在任意時(shí)刻t的卷積積分，即,它是時(shí)間t的函數(shù)。

【例2-30】已知f1(t)和f2(t)如圖2-36所示，用圖解法求f1(t)*f2(t)。圖2-36

f1(t)和f2(t)的波形解當(dāng)t當(dāng)-∞從+∞改變時(shí)，f2(t-τ)自左向右平移，對(duì)應(yīng)不同的t值范圍，f2(t-τ)與f1(τ)相乘、積分的結(jié)果如下，相應(yīng)的波形如圖2-37所示。

圖2-37

【例2-30】的波形圖

通過(guò)上例分析,可以得到如下結(jié)論:

(1)積分上下限是兩信號(hào)重疊部分的邊界,下限為兩信號(hào)左邊界的最大者,上限為兩信號(hào)右邊界的最小者。

(2)卷積后信號(hào)的時(shí)限等于兩信號(hào)時(shí)限之和。

2.6.3卷積積分的性質(zhì)卷積積分是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，它有一些重要的運(yùn)算規(guī)則。靈活運(yùn)用這些規(guī)則可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。

1.卷積積分的代數(shù)律

(1)交換律

f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)(2-36)

若將f1(t)看成系統(tǒng)的激勵(lì)，而將f2(t)看成是一個(gè)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，則卷積的結(jié)果就是該系統(tǒng)對(duì)f1(t)的零狀態(tài)響應(yīng)。卷積的交換律說(shuō)明，也可將f

2(t)看成系統(tǒng)的激勵(lì)，而將f1(t)看成是系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，即圖2-38(a)、(b)所示兩個(gè)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是一樣的。

圖2-38卷積交換律的圖示從圖2-38可見(jiàn)，信號(hào)可由系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)，系統(tǒng)也可用信號(hào)來(lái)模擬。

(2)結(jié)合律

f1(t)*f2(t)］*f3(t)=f1(t)*［f2(t)*f3(t)］(2-37)卷積結(jié)合律的圖示如圖2-39。圖2-39卷積結(jié)合律的圖示從系統(tǒng)的觀點(diǎn)看，兩個(gè)系統(tǒng)級(jí)聯(lián)時(shí)，總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積積分，即h(t)=f2(t)*f3(t)，且和級(jí)聯(lián)次序無(wú)關(guān)。

(3)分配律

f1(t)*［f2(t)+f3(t)］=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)(2-38)若將f1(t)看做某系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)，而將f2(t)+f3(t)看成該系統(tǒng)的激勵(lì)，則分配律是用數(shù)學(xué)方法表達(dá)線性系統(tǒng)的疊加特征，即系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)f1(t)*［f2(t)+f3(t)］是系統(tǒng)對(duì)f2(t)的零狀態(tài)響應(yīng)f1(t)*f2(t)與系統(tǒng)對(duì)f

3(t)的零狀態(tài)響應(yīng)f1(t)*f3(t)的疊加，如圖2-40所示。圖2-40卷積分配律的圖示另外若將f2(t),f3(t)看做兩個(gè)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，f1(t)看做同時(shí)作用于它們的激勵(lì)，則分配律表明，并聯(lián)LTI系統(tǒng)對(duì)輸入f(t)的響應(yīng)等于各子系統(tǒng)對(duì)f(t)的響應(yīng)之和，如圖2-41

所示。圖2-41卷積分配律的另一種圖示2.卷積的微分與積分

兩個(gè)信號(hào)卷積后的導(dǎo)數(shù)等于其中一個(gè)信號(hào)之導(dǎo)數(shù)與另一個(gè)信號(hào)的卷積，其表示式為(2-39)由卷積定義可證明此關(guān)系式。同樣可以證明(2-４0)顯然，f2(t)*f1(t)也即f1(t)*f2(t)，故式(2-39)成立。兩信號(hào)卷積后的積分等于其中一個(gè)信號(hào)之積分與另一個(gè)信號(hào)的卷積。其表示式為應(yīng)用類似的推演可以導(dǎo)出卷積的高階導(dǎo)數(shù)或多重積分之運(yùn)算規(guī)律。設(shè)f(t)=f1(t)*f2(t)，則有(2-42)(2-41)此處，當(dāng)i、j取正整數(shù)時(shí)為導(dǎo)數(shù)的階次，取負(fù)整數(shù)時(shí)為重積分的次數(shù)。讀者可自行證明。特別有

yf(t)=f(t)*h(t)=f′(t)*h(-1)(t)(2-43)式(2-43)表明，通過(guò)對(duì)激勵(lì)信號(hào)和沖激響應(yīng)分別積分和求導(dǎo)，再求卷積，同樣可以求得零狀態(tài)響應(yīng)，這為求零狀態(tài)響應(yīng)提供了一條新途徑，當(dāng)其中一個(gè)時(shí)間信號(hào)為時(shí)限信號(hào)時(shí)，用上述公式會(huì)很方便。

3.含有奇異信號(hào)的卷積

兩個(gè)時(shí)間信號(hào)做卷積運(yùn)算時(shí)，若其中一個(gè)時(shí)間信號(hào)為奇異信號(hào)，它們?cè)谛盘?hào)與系統(tǒng)分析中，有一定的物理意義，討論如下。

(1)信號(hào)f(t)與單位沖激信號(hào)的卷積在信號(hào)的分解中，我們已經(jīng)得到式(2-34)，即

這表明系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)=δ(t)，如圖2-42所示。沖激響應(yīng)為δ(t)的系統(tǒng)等效為短路線。

(2)信號(hào)f(t)與δ(t-t0)的卷積(2-44)這表明，信號(hào)f(t)與δ(t-t0)相卷積的結(jié)果，相當(dāng)于把信號(hào)本身延時(shí)t0。若系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)=δ(t-t0)，如圖2-43所示，則沖激響應(yīng)為δ(t-t0)的系統(tǒng)是延時(shí)為t0的延時(shí)器。圖2-42

δ(t)所描述的系統(tǒng)圖2-43

δ(t-t0)所描述的系統(tǒng)

(3)信號(hào)f(t)與沖激偶δ′(t)的卷積f(t)*δ′(t)=f′(t)(2-45)證明：由式(2-39)有f(t)*δ′(t)=f′(t)*δ(t)=f′(t)若系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為δ′(t),如圖2-44所示，該系統(tǒng)是一個(gè)微分器。推廣到n階微分系統(tǒng)有f(t)*δ(n)(t)=f

(n)(t)(2-46)(4)信號(hào)f(t)與單位階躍信號(hào)的卷積(2-47)圖2-44

δ′(t)所描述的系統(tǒng)同理，若系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為U(t)，如圖2-45所示，該系統(tǒng)是一個(gè)積分器。圖2-45

U(t)所描述的系統(tǒng)【例2-31】已知f1(t)，f2(t)如圖2-46所示，求y(t)=f1(t)*f2(t)。圖2-46

f1(t)，f2(t)的波形解根據(jù)f(t)與δ(t)和δ(t-t0)相卷積的性質(zhì)，可畫(huà)出y(t)的波形如圖2-47(c)所示。

圖2-47

【例2-31】y(t)的波形【例2-32】已知δT(t)=…+δ(t+kT)+…+δ(t)+…+δ(t-kT)+…,f(t)=gτ(t),波形如圖2-48(a)、(b)所示，求y(t)=f(t)*δT(t)。

圖2-48

【例2-32】的波形解根據(jù)卷積運(yùn)算的分配律和式(2-44)，有

在gτ(t)的寬度τ<T時(shí)，所得卷積波形如圖2-48(c)所示，若τ>T則在f(t)*δT(t)的波形中，各相鄰脈沖將相互重疊。這是用周期沖激信號(hào)來(lái)表示周期信號(hào)的方法。2.6.4卷積積分的MATLAB實(shí)現(xiàn)

利用MATLAB計(jì)算卷積和的函數(shù)conv可以近似計(jì)算連續(xù)信號(hào)之間的卷積。conv的調(diào)用方式為y=conv(f,h)【例2-33】利用MATLAB計(jì)算圖2-49(a)、(b)所示的兩個(gè)不等寬的矩形脈沖信號(hào)的卷積，并繪圖表示結(jié)果。

圖2-49

【例2-33】圖解求解過(guò)程的代碼如下：%programch2-33clear;dt=0.01;t1=0:dt:2;L=length(t1);ft=rectpuls(t1-1,2);t2=0:dt:4;M=length(t2);ht=rectpuls(t2-2,4);subplot(2,2,1);plot(t1,ft);title(′f(t)′);xlabel(′(a)′);axis(［t1(1)t1(end)+0.50max(ft)+0.5］);subplot(2,2,2);plot(t2,ht);title(′h(t)′);xlabel(′(b)′);axis(［t2(1)t2(end)+0.50max(ht)+0.5］);y=conv(ft,ht)*dt;N=L+M-1;t=(0:N-1)*dt;subplot(2,1,2);plot(t,y);axis(［t(1)-0.5t(end)+0.50max(y)+0.5］);title(′y(t)=f(t)*h(t)′);xlabel(′(c)′);所有卷積結(jié)果如圖2-49(c)所示。由理論計(jì)算可知，f(t)與h(t)的卷積的波形是一個(gè)等腰梯形。用MATLAB求得的結(jié)果與此一致。【例2-34】用MATLAB求解【例2-28】。解求解的代碼如下：%programch2-34clear;T=0.001;t=-2:T:20;u=(t>=0);f=u;h=exp(-t).*u;y=conv(f,h);y=y*T;k0=t(1)+t(1);k1=length(f)+length(h)-2;k=k0:T:k0+k1*T;z=(1-exp(-t)).*u;subplot(4,1,1);

%f(t)的波形plot(t,f);ylabel(′f(t)′);axis(［-1,20,0,1.2］);subplot(4,1,2);

%h(t)的波形plot(t,h);ylabel(′h(t)′);axis(［-1,20,0,1.2］);subplot(4,1,3);

%f(t)*h(t)的波形plot(k,y);ylabel(′f(t)*h(t)′);axis(［-1,20,0,1.2］);%axistight;subplot(4,1,4);

%f(t)*h(t)理論計(jì)算值plot(t,z);ylabel(′f(t)*h(t)′);axis(［-1,20,0,1.2］);%axistight;運(yùn)行結(jié)果如圖2-50所示。

圖2-50

【例2-34】運(yùn)行結(jié)果【例2-35】用MATLAB求解【例2-29】。解求解的代碼如下：%programch2-35clear;T=0.001;t=-2:T:10;u=(t>=0);f=exp(-3*t).*u;h=exp(-5*t).*u;y=conv(f,h);y=y*T;k0=t(1)+t(1);k1=length(f)+length(h)-2;k=k0:T:k0+k1*T;z=1/2*(exp(-3*t)-exp(-5*t));

subplot(4,1,1);%f(t)的波形plot(t,f);ylabel(′f(t)′);axis(［-1,2,0,1］);

subplot(4,1,2);%h(t)的波形plot(t,h);ylabel(′h(t)′);axis(［-1,2,0,1］);

subplot(4,1,3);%f(t)*h(t)的波形plot(k,y);ylabel(′f(t)*h(t)′);axis(［-1,2,0,0.1］);%axistight;

subplot(4,1,4);%f(t)*h(t)理論計(jì)算值plot(t,z);ylabel(′f(t)*h(t)′);axis(［-1,2,0,0.1］);%axistight;運(yùn)行結(jié)果如圖2-51所示。圖2-51

【例2-35】運(yùn)行結(jié)果【例2-36】用MTLAB求解【例2-30】。解求解的代碼如下：%programch2-36clear;T=0.001;t=-2:T:10;f1=rectpuls(t-1.5,3);f2=(1/4*t).*rectpuls(t-2,4);y=conv(f1,f2);y=y*T;k0=t(1)+t(1);k1=length(f1)+length(f2)-2;k=k0:T:k0+k1*T;subplot(3,1,1);

%f1(t)的波形plot(t,f1);ylabel(′f1(t)′);axis(［-1,8,0,2］);

subplot(3,1,2);%f2(t)的波形plot(t,f2);ylabel(′f2(t)′);axis(［-1,8,0,2］);

subplot(3,1,3);%f1(t)*f2(t)的波形plot(k,y);ylabel(′f1(t)*f2(t)′);axis(［-1,8,0,2］);運(yùn)行結(jié)果如圖2-52所示。圖2-52

【例2-36】運(yùn)行結(jié)果【例2-37】用MATLAB求解gτ1(t)*gτ2(t)。解求解的代碼如下：%programch2-37clear;T=0.001;t=-3:T:3;T1=4;g1=rec