壓軸數(shù)學(xué)高考試卷及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=2^x\)的定義域是（）A.\((0,+\infty)\)B.\([0,+\infty)\)C.\((-\infty,0)\)D.\((-\infty,+\infty)\)2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-1,1)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec\)的值為（）A.1B.-1C.3D.-33.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d\)為（）A.1B.2C.3D.44.拋物線(xiàn)\(y^2=8x\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.\((2,0)\)B.\((-2,0)\)C.\((0,2)\)D.\((0,-2)\)5.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)6.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的極大值點(diǎn)是（）A.1B.-1C.2D.-27.若復(fù)數(shù)\(z=1+2i\)，則\(\vertz\vert\)等于（）A.\(\sqrt{5}\)B.\(\sqrt{3}\)C.5D.38.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{3,4\}\)D.\(\{1,4\}\)9.直線(xiàn)\(y=x+1\)與圓\(x^2+y^2=1\)的位置關(guān)系是（）A.相切B.相交C.相離D.不確定10.從\(5\)名男生和\(3\)名女生中選\(3\)人參加活動(dòng)，至少有\(zhòng)(1\)名女生的選法有（）種A.46B.56C.66D.76二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是奇函數(shù)（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=x+1\)2.下列說(shuō)法正確的是（）A.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)B.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，則\(a-c\gtb-d\)C.若\(a\gtb\gt0\)，則\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}\)D.若\(a\gtb\)，\(c\gt0\)，則\(ac\gtbc\)3.關(guān)于橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)，以下正確的有（）A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為\(2a\)B.短軸長(zhǎng)為\(2b\)C.離心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c^2=a^2-b^2\)）D.焦點(diǎn)坐標(biāo)為\((\pmc,0)\)4.下列函數(shù)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增的是（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\lnx\)C.\(y=2^x\)D.\(y=\frac{1}{x}\)5.已知\(\triangleABC\)，角\(A\)、\(B\)、\(C\)所對(duì)邊分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)，則以下能使三角形有兩解的是（）A.\(a=10\)，\(b=15\)，\(A=30^{\circ}\)B.\(a=30\)，\(b=25\)，\(A=150^{\circ}\)C.\(a=7\)，\(b=8\)，\(A=45^{\circ}\)D.\(a=6\)，\(b=9\)，\(A=60^{\circ}\)6.下列與\(180^{\circ}\)終邊相同的角是（）A.\(-180^{\circ}\)B.\(540^{\circ}\)C.\(-540^{\circ}\)D.\(720^{\circ}\)7.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=n^2\)，則（）A.\(a_1=1\)B.\(a_2=3\)C.\(a_n=2n-1\)D.\(\{a_n\}\)是等差數(shù)列8.對(duì)于函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，以下說(shuō)法正確的是（）A.最小正周期為\(\pi\)B.圖象關(guān)于直線(xiàn)\(x=\frac{\pi}{12}\)對(duì)稱(chēng)C.圖象關(guān)于點(diǎn)\((-\frac{\pi}{6},0)\)對(duì)稱(chēng)D.在\([-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}]\)上單調(diào)遞增9.已知\(a\)，\(b\)為正實(shí)數(shù)，且\(a+b=1\)，則（）A.\(ab\leqslant\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geqslant4\)C.\(a^2+b^2\geqslant\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt\leqslant\sqrt{2}\)10.以下哪些曲線(xiàn)是圓錐曲線(xiàn)（）A.圓B.橢圓C.雙曲線(xiàn)D.拋物線(xiàn)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的真子集。（）2.若\(f(x)\)的定義域?yàn)閈([1,3]\)，則\(f(x+1)\)的定義域?yàn)閈([0,2]\)。（）3.直線(xiàn)\(y=kx+b\)中，\(k\)越大直線(xiàn)越陡。（）4.若\(\overrightarrow{AB}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{AC}=(3,4)\)，則\(\overrightarrow{BC}=(2,2)\)。（）5.對(duì)數(shù)函數(shù)\(y=\log_ax\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的圖象恒過(guò)點(diǎn)\((1,0)\)。（）6.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta+2k\pi\)，\(k\inZ\)。（）7.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(q=2\)，則\(a_3=4\)。（）8.橢圓\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\)的焦點(diǎn)在\(x\)軸上。（）9.函數(shù)\(y=x^3\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=3x^2\)。（）10.已知\(A\)，\(B\)為互斥事件，則\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)在區(qū)間\([0,3]\)上的最值。答案：對(duì)函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)配方得\(y=(x-1)^2+2\)。對(duì)稱(chēng)軸為\(x=1\)，在區(qū)間\([0,3]\)內(nèi)。當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\(y_{min}=2\)；當(dāng)\(x=3\)時(shí)，\(y_{max}=6\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_5=10\)，求\(a_n\)通項(xiàng)公式。答案：設(shè)公差為\(d\)，由\(a_5=a_1+4d\)，即\(10=2+4d\)，解得\(d=2\)。則\(a_n=a_1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n\)。3.計(jì)算\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx\)。答案：根據(jù)積分公式\(\int(x^n)dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(n\neq-1)\)，\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx=(\frac{1}{3}x^3+x)\big|_{0}^{1}=(\frac{1}{3}+1)-(0+0)=\frac{4}{3}\)。4.已知\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=4\)，\(C=60^{\circ}\)，求\(c\)邊的長(zhǎng)度。答案：根據(jù)余弦定理\(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC\)，將\(a=3\)，\(b=4\)，\(C=60^{\circ}\)代入得\(c^2=9+16-2\times3\times4\times\frac{1}{2}=13\)，所以\(c=\sqrt{13}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的單調(diào)性和值域。答案：定義域?yàn)閈(x\neq1\)。在\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)上，對(duì)\(y\)求導(dǎo)\(y^\prime=-\frac{1}{(x-1)^2}\lt0\)，所以在這兩個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減。當(dāng)\(x\to1^-\)，\(y\to-\infty\)；\(x\to1^+\)，\(y\to+\infty\)，值域?yàn)閈((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。2.已知直線(xiàn)\(l\)過(guò)點(diǎn)\((1,2)\)，討論直線(xiàn)\(l\)斜率的不同取值對(duì)直線(xiàn)傾斜角的影響。答案：設(shè)直線(xiàn)\(l\)斜率為\(k\)，傾斜角為\(\alpha\)，\(k=\tan\alpha\)。當(dāng)\(k\gt0\)，\(0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}\)；\(k=0\)，\(\alpha=0\)；\(k\lt0\)，\(\frac{\pi}{2}\lt\alpha\lt\pi\)；\(k\)不存在時(shí)，\(\alpha=\frac{\pi}{2}\)。3.討論在立體幾何中，如何判斷一條直線(xiàn)與一個(gè)平面垂直。答案：可根據(jù)定義，若直線(xiàn)與平面內(nèi)任意一條直線(xiàn)都垂直，則直線(xiàn)與平面垂直；也可用判定定理，若直線(xiàn)與平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)都垂直，那么這條直線(xiàn)與這個(gè)平面垂直。4.討論在概率問(wèn)題中，互斥事件與對(duì)立事件的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：對(duì)立事件一定是互斥事件。區(qū)別：互斥事件是兩事件不能同時(shí)發(fā)生，對(duì)立事件不僅不能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生。即互斥事件不一定是對(duì)立