材料力學(xué)復(fù)習(xí)重點總結(jié)報告一、引言材料力學(xué)是研究變形固體在載荷作用下的內(nèi)力、應(yīng)力、應(yīng)變、位移及強度、剛度、穩(wěn)定性的基礎(chǔ)學(xué)科，是工程設(shè)計（如機械、土木、航空）的核心理論依據(jù)。其知識體系邏輯清晰（載荷→內(nèi)力→應(yīng)力→變形→性能），復(fù)習(xí)的關(guān)鍵是抓核心概念、記關(guān)鍵公式、明適用條件、練解題方法，注重理論與工程實際的結(jié)合。二、基本概念與假設(shè)（一）研究對象變形固體：需考慮彈性變形（卸載后恢復(fù)）和塑性變形（卸載后殘留），區(qū)別于剛體（無變形）。（二）基本假設(shè)（簡化分析的前提）1.連續(xù)性假設(shè)：材料內(nèi)部無空隙，均勻充滿空間（可用微積分描述）。2.均勻性假設(shè)：材料各點力學(xué)性能相同（如彈性模量\(E\)、剪切模量\(G\)為常數(shù)）。3.各向同性假設(shè)：材料在任意方向的力學(xué)性能一致（如低碳鋼、鑄鐵，區(qū)別于木材、纖維材料）。4.小變形假設(shè)：變形遠小于構(gòu)件尺寸（可按原始尺寸計算內(nèi)力，疊加原理適用）。（三）核心物理量1.內(nèi)力：構(gòu)件內(nèi)部因載荷產(chǎn)生的相互作用力（用截面法計算：截開→代替→平衡）。2.應(yīng)力：單位面積上的內(nèi)力（正應(yīng)力\(\sigma=\DeltaF_N/\DeltaA\)，垂直于截面；剪應(yīng)力\(\tau=\DeltaF_Q/\DeltaA\)，平行于截面）。3.應(yīng)變：單位長度的變形（線應(yīng)變\(\varepsilon=\Deltal/l\)，縱向變形；剪應(yīng)變\(\gamma=\theta\)，直角改變量）。4.胡克定律（線性彈性關(guān)系）：拉壓：\(\sigma=E\varepsilon\)（\(E\)為彈性模量，衡量抗線變形能力）；剪切：\(\tau=G\gamma\)（\(G\)為剪切模量，衡量抗剪變形能力）；關(guān)系：\(G=E/[2(1+\mu)]\)（\(\mu\)為泊松比，\(\mu=|\varepsilon_{\text{橫向}}|/\varepsilon_{\text{縱向}}\)，\(0<\mu<0.5\)）。三、軸向拉壓（最簡單的基本變形）（一）內(nèi)力計算軸力\(F_N\)：沿桿軸線的內(nèi)力（拉力為正，壓力為負）。軸力圖：表示軸力沿桿長分布的圖形（截面法分段計算，標(biāo)注數(shù)值與符號）。（二）應(yīng)力分析1.橫截面上的正應(yīng)力：\(\sigma=F_N/A\)（均勻分布，適用于等截面直桿）。2.斜截面上的應(yīng)力（\(\alpha\)為斜截面與橫截面夾角，逆時針為正）：正應(yīng)力：\(\sigma_\alpha=\sigma\cos^2\alpha\)（最大正應(yīng)力在橫截面，\(\alpha=0^\circ\)）；剪應(yīng)力：\(\tau_\alpha=\sigma\sin\alpha\cos\alpha\)（最大剪應(yīng)力在\(\alpha=45^\circ\)，\(\tau_{\text{max}}=\sigma/2\)）。（三）變形計算1.絕對變形：\(\Deltal=F_Nl/(EA)\)（\(EA\)為抗拉/壓剛度，越大變形越?。?.相對變形：\(\varepsilon=\Deltal/l=\sigma/E\)（線應(yīng)變）；3.疊加原理：多個載荷作用時，總變形為各載荷單獨作用變形的代數(shù)和（線性彈性結(jié)構(gòu)適用）。（四）強度條件\(\sigma_{\text{max}}=F_{N\text{max}}/A\leq[\sigma]\)（\([\sigma]\)為許用應(yīng)力，\([\sigma]=\sigma_u/n\)，\(\sigma_u\)為極限應(yīng)力，\(n\)為安全系數(shù)）。三類問題：強度校核：計算\(\sigma_{\text{max}}\)與\([\sigma]\)比較；截面設(shè)計：\(A\geqF_{N\text{max}}/[\sigma]\)；許可載荷：\([F_N]\leq[\sigma]A\)。四、扭轉(zhuǎn)（圓軸的主要變形）（一）內(nèi)力計算扭矩\(T\)：繞軸軸線的內(nèi)力偶矩（右手螺旋法則，拇指指向截面外為正）。扭矩圖：表示扭矩沿桿長分布的圖形（截面法分段計算）。（二）剪應(yīng)力分析1.圓軸扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力公式：\(\tau=T\rho/I_p\)（\(\rho\)為點到圓心距離，\(I_p\)為極慣性矩）。分布規(guī)律：線性分布，最大剪應(yīng)力在表面（\(\rho=r\)）：\(\tau_{\text{max}}=Tr/I_p=T/W_t\)（\(W_t=I_p/r\)為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)）。2.空心圓軸（\(D\)為外徑，\(d\)為內(nèi)徑）：\(I_p=\pi(D^4-d^4)/32\)，\(W_t=\pi(D^4-d^4)/(16D)\)；優(yōu)勢：相同材料與重量下，\(I_p\)、\(W_t\)更大，剛度與強度更高（工程中常用空心軸減輕重量）。（三）變形計算1.扭轉(zhuǎn)角：\(\phi=Tl/(GI_p)\)（\(rad\)，\(GI_p\)為抗扭剛度）；2.單位長度扭轉(zhuǎn)角：\(\theta=\phi/l=T/(GI_p)\)（\(rad/m\)，衡量扭轉(zhuǎn)剛度）。（四）強度與剛度條件1.強度條件：\(\tau_{\text{max}}=T_{\text{max}}/W_t\leq[\tau]\)（\([\tau]\)為許用剪應(yīng)力，\([\tau]=(0.5-0.7)[\sigma]\)）；2.剛度條件：\(\theta_{\text{max}}=T_{\text{max}}/(GI_p)\leq[\theta]\)（\([\theta]\)為許用單位長度扭轉(zhuǎn)角，如\(1^\circ/m\)）。五、彎曲（最常見的基本變形）（一）基本概念彎曲變形：構(gòu)件受垂直于軸線的載荷或力偶作用，軸線變?yōu)榍€（平面彎曲：載荷作用在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，軸線變?yōu)槠矫媲€）。內(nèi)力：彎矩\(M\)：繞中性軸的力偶矩（使構(gòu)件下部受拉為正）；剪力\(V\)：沿截面切線方向的內(nèi)力（使隔離體順時針轉(zhuǎn)動為正）。剪力圖與彎矩圖：表示\(V\)、\(M\)沿桿長分布的圖形（常用微分關(guān)系法簡化計算：\(dV/dx=-q\)，\(dM/dx=V\)，\(q\)為均布載荷集度）。（二）純彎曲正應(yīng)力（無剪力，僅彎矩）1.公式推導(dǎo)：基于平面假設(shè)（橫截面變形后仍為平面且垂直軸線）和胡克定律，得：\[\sigma=\frac{My}{I_z}\]\(y\)：點到中性軸的距離（拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負）；\(I_z\)：截面對中性軸的慣性矩（衡量截面抵抗彎曲的幾何參數(shù)）；中性軸：通過截面形心（\(\int\sigmadA=0\Rightarrow\intydA=0\)）。2.抗彎截面系數(shù)：\(W_z=I_z/y_{\text{max}}\)（\(y_{\text{max}}\)為截面邊緣到中性軸的距離，\(W_z\)越大，抗彎能力越強）。常見截面\(W_z\)：矩形：\(bh^2/6\)（\(b\)為寬，\(h\)為高）；圓形：\(\pid^3/32\)（\(d\)為直徑）；工字形：由翼緣和腹板慣性矩疊加（\(I_z=I_{z\text{翼緣}}+I_{z\text{腹板}}\)）。（三）橫力彎曲剪應(yīng)力（有剪力，彎矩沿桿長變化）1.公式（適用于矩形、圓形、工字形等截面）：\[\tau=\frac{VQ}{I_zb}\]\(Q\)：所求點以上（或以下）面積對中性軸的靜矩（\(Q=\intydA\)）；\(b\)：所求點的截面寬度。2.分布規(guī)律：矩形截面：拋物線分布，最大剪應(yīng)力在中性軸（\(\tau_{\text{max}}=3V/(2A)\)，\(A=bh\)）；圓形截面：最大剪應(yīng)力在中性軸（\(\tau_{\text{max}}=4V/(3A)\)）；工字形截面：剪應(yīng)力主要由腹板承擔(dān)（翼緣剪應(yīng)力很?。畲蠹魬?yīng)力在中性軸。（四）強度條件1.正應(yīng)力強度條件（控制彎曲破壞的主要條件）：\[\sigma_{\text{max}}=\frac{M_{\text{max}}}{W_z}\leq[\sigma]\]塑性材料（如低碳鋼）：\([\sigma_t]=[\sigma_c]\)（拉、壓許用應(yīng)力相等）；脆性材料（如鑄鐵）：\([\sigma_t]<[\sigma_c]\)（需分別校核拉、壓應(yīng)力）。2.剪應(yīng)力強度條件（僅當(dāng)剪力較大時需校核，如短梁、薄壁梁）：\[\tau_{\text{max}}=\frac{V_{\text{max}}Q_{\text{max}}}{I_zb_{\text{min}}}\leq[\tau]\]（五）彎曲變形（撓度與轉(zhuǎn)角）1.定義：撓度\(y\)：截面形心沿垂直軸線方向的位移（向下為正）；轉(zhuǎn)角\(\theta\)：截面繞中性軸的轉(zhuǎn)角（順時針為正，\(\theta=dy/dx\)）。2.計算方法：積分法：通過撓曲線微分方程\(EIy''=-M(x)\)（小變形，忽略剪力影響），積分得\(\theta=EIy'\)、\(y=\int\int(-M(x)/EI)dxdx+Cx+D\)（\(C\)、\(D\)由邊界條件確定，如固定端\(y=0\)、\(\theta=0\)）；疊加法：將復(fù)雜載荷分解為簡單載荷（如集中力、均布載荷），利用已知位移公式疊加（適用于線性彈性結(jié)構(gòu)，效率高）。3.剛度條件（控制變形過大）：\[y_{\text{max}}\leq[y],\quad\theta_{\text{max}}\leq[\theta]\]\([y]\)：許用撓度（如梁的\([y]=l/200\siml/500\)，\(l\)為跨度）；\([\theta]\)：許用轉(zhuǎn)角（如轉(zhuǎn)軸的\([\theta]=0.001\sim0.005rad\)）。六、應(yīng)力狀態(tài)與強度理論（連接應(yīng)力與強度的橋梁）（一）應(yīng)力狀態(tài)分類單向應(yīng)力狀態(tài)：只有一個主應(yīng)力不為零（如軸向拉壓、純彎曲）；二向應(yīng)力狀態(tài)：兩個主應(yīng)力不為零（如扭轉(zhuǎn)、橫力彎曲、彎扭組合）；三向應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力都不為零（如厚壁圓筒、接觸應(yīng)力）。（二）平面應(yīng)力狀態(tài)分析（二向應(yīng)力狀態(tài)的核心）1.解析法（\(\sigma_x\)、\(\sigma_y\)為橫、縱截面正應(yīng)力，\(\tau_{xy}\)為剪應(yīng)力）：斜截面\(\alpha\)處的正應(yīng)力：\[\sigma_\alpha=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\alpha-\tau_{xy}\sin2\alpha\]斜截面\(\alpha\)處的剪應(yīng)力：\[\tau_\alpha=\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin2\alpha+\tau_{xy}\cos2\alpha\]主應(yīng)力（主平面上剪應(yīng)力為零）：\[\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}\]最大剪應(yīng)力（所在平面與主平面成\(45^\circ\)）：\[\tau_{\text{max}}=\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}\]2.圖解法（莫爾圓）：圓心坐標(biāo)：\(C\left(\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2},0\right)\)；半徑：\(R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}\)；意義：圓上任意點對應(yīng)某斜截面的應(yīng)力\((\sigma_\alpha,\tau_\alpha)\)，與\(x\)軸夾角為\(2\alpha\)（逆時針轉(zhuǎn)）。（三）強度理論（判斷材料破壞的準(zhǔn)則）1.第一強度理論（最大拉應(yīng)力理論）：假設(shè)：最大拉應(yīng)力是脆性材料破壞的主要原因；條件：\(\sigma_1\leq[\sigma]\)（適用于鑄鐵等脆性材料拉伸）。2.第二強度理論（最大拉應(yīng)變理論）：假設(shè)：最大拉應(yīng)變是破壞的主要原因；條件：\(\sigma_1-\mu(\sigma_2+\sigma_3)\leq[\sigma]\)（適用于脆性材料受拉壓組合，如混凝土）。3.第三強度理論（最大剪應(yīng)力理論）：假設(shè)：最大剪應(yīng)力是塑性材料屈服的主要原因；條件：\(\sigma_{r3}=\sigma_1-\sigma_3\leq[\sigma]\)（適用于低碳鋼等塑性材料，計算簡單）。4.第四強度理論（形狀改變比能理論）：假設(shè)：形狀改變比能（單位體積內(nèi)因形狀改變儲存的能量）是塑性材料屈服的主要原因；條件：\(\sigma_{r4}=\sqrt{\frac{1}{2}[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2]}\leq[\sigma]\)（適用于塑性材料，更符合實驗結(jié)果，工程中常用）。七、組合變形（工程中最常見的變形形式）（一）基本概念組合變形：構(gòu)件同時發(fā)生兩種或兩種以上基本變形（如拉彎組合、彎扭組合、壓彎組合）。分析步驟：1.分解載荷：將復(fù)雜載荷分解為引起基本變形的載荷（如拉彎組合→軸向力+橫向力）；2.計算各基本變形的應(yīng)力：分別計算拉壓應(yīng)力、彎曲應(yīng)力、扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力等；3.疊加應(yīng)力：正應(yīng)力代數(shù)疊加，剪應(yīng)力代數(shù)疊加（注意符號）；4.確定危險點：找出應(yīng)力最大的點（如拉彎組合的最大拉應(yīng)力點，彎扭組合的表面點）；5.強度校核：用相應(yīng)的強度理論計算相當(dāng)應(yīng)力，判斷是否滿足許用應(yīng)力。（二）拉（壓）彎組合1.應(yīng)力計算：\(\sigma=\sigma_N+\sigma_M=\frac{F}{A}+\frac{My}{I_z}\)（正應(yīng)力疊加）；2.危險點：最大拉應(yīng)力點（拉彎組合）或最大壓應(yīng)力點（壓彎組合）；3.強度條件：\(\sigma_{\text{max}}\leq[\sigma]\)（脆性材料需分別校核拉、壓應(yīng)力）。（三）彎扭組合（如轉(zhuǎn)軸受橫向載荷與扭矩）1.應(yīng)力計算：危險點處于二向應(yīng)力狀態(tài)（\(\sigma=\frac{M}{W_z}\)，\(\tau=\frac{T}{W_t}\)）；2.相當(dāng)應(yīng)力（用強度理論計算）：第三強度理論：\(\sigma_{r3}=\sqrt{\sigma^2+4\tau^2}\leq[\sigma]\)；第四強度理論：\(\sigma_{r4}=\sqrt{\sigma^2+3\tau^2}\leq[\sigma]\)（更常用，因為更符合塑性材料的屈服實驗）。八、壓桿穩(wěn)定（區(qū)別于強度的重要性能）（一）基本概念穩(wěn)定：構(gòu)件保持原有平衡狀態(tài)的能力（壓桿失穩(wěn)：從直線平衡突然變?yōu)榍€平衡，破壞時應(yīng)力遠低于強度極限，如細長柱斷裂）。臨界力\(P_{\text{cr}}\)：壓桿保持穩(wěn)定的最大軸向壓力（超過則失穩(wěn)）。（二）歐拉臨界力（彈性失穩(wěn)的核心公式）1.公式（適用于大柔度桿，\(\lambda\geq\lambda_p\)）：\[P_{\text{cr}}=\frac{\pi^2EI}{(\mul)^2}\]\(\mu\)：長度因數(shù)（反映支撐條件對穩(wěn)定的影響）：兩端鉸支：\(\mu=1\)；一端固定一端自由：\(\mu=2\)；兩端固定：\(\mu=0.5\)；一端固定一端鉸支：\(\mu=0.7\)；\(l\)：桿長；\(EI\)：抗彎剛度（\(I\)取最小慣性矩，因為壓桿繞弱軸失穩(wěn)）。2.臨界應(yīng)力：\(\sigma_{\text{cr}}=\frac{P_{\text{cr}}}{A}=\frac{\pi^2E}{\lambda^2}\)（\(\lambda=\frac{\mul}{i}\)，\(i=\sqrt{\frac{I}{A}}\)為慣性半徑，\(\lambda\)為柔度，衡量壓桿細長程度）。（三）壓桿分類與臨界應(yīng)力大柔度桿（\(\lambda\geq\lambda_p\)）：彈性失穩(wěn)，歐拉公式適用（\(\lambda_p=\pi\sqrt{\frac{E}{\sigma_p}}\)，\(\sigma_p\)為比例極限）；中柔度桿（\(\lambda_s\leq\lambda<\lambda_p\)）：彈塑性失穩(wěn)，用經(jīng)驗公式（如直線公式\(\sigma_{\text{cr}}=a-b\lambda\)，\(a\)、\(b\)為材料常數(shù)）；小柔度桿（\(\lambda<\lambda_s\)）：強度破壞，\(\sigma_{\text{cr}}=\sigma_s\)（\(\lambda_s=\sqrt{\frac{\sigma_s}{\sigma_{\text{cr0}}}}\)，\(\sigma_{\text{cr0}}\)為短桿臨界應(yīng)力）。（四）穩(wěn)定條件1.安全系數(shù)法：\(P\leq\frac{P_{\text{cr}}}{n_{\text{st}}}\)（\(n_{\text{st}}\)為穩(wěn)定安全系數(shù)，\(n_{\text{st}}>n\)，因為失穩(wěn)破壞更突然）；2.臨界應(yīng)力法：\(\sigma=\frac{P}{A}\leq\frac{\sigma_{\text{cr}}}{n_{\text{st}}}=[\sigma]_{\text{st}}\)（\([\sigma]_{\text{st}}\)為許用穩(wěn)定應(yīng)力）。九、能量方法（計算位移與內(nèi)力的有效工具）（一）應(yīng)變能（彈性變形儲存的能量）1.定義：\(U=W\)（\(W\)為外載荷做功，線性彈性結(jié)構(gòu)中\(zhòng)(W=\frac{1}{2}F\Delta\)）；2.計算：拉壓：\(U=\int\frac{F_N^2}{2EA}dx=\frac{\sigma^2V}{2E}\)（\(V\)為構(gòu)件體積）；扭轉(zhuǎn)：\(U=\int\frac{T^2}{2GI_p}dx=\frac{\tau^2V}{2G}\)；彎曲：\(U=\int\frac{M^2}{2EI}dx\)（橫力彎曲忽略剪應(yīng)變能）。（二）單位載荷法（計算位移的核心方法）1.原理：線性彈性結(jié)構(gòu)中，某點的位移\(\Delta\)等于單位載荷（求撓度加單位力，求轉(zhuǎn)角加單位力偶）在該位移方向上所做