平行四邊形定理及培優(yōu)練習(xí)題詳解一、引言平行四邊形是初中幾何的核心圖形之一，其性質(zhì)與判定定理貫穿于后續(xù)矩形、菱形、正方形等特殊四邊形的學(xué)習(xí)，也是解決線段相等、角度計(jì)算、圖形面積等問題的重要工具。生活中，平行四邊形的應(yīng)用隨處可見——伸縮門利用了其對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，籬笆、防護(hù)網(wǎng)則體現(xiàn)了其穩(wěn)定性與靈活性。掌握平行四邊形的定理體系，不僅能提升幾何推理能力，更能為高中立體幾何、解析幾何的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。二、平行四邊形的核心定理體系（一）定義：平行四邊形的基本判定定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，記作?ABCD（讀作“平行四邊形ABCD”）。*注*：定義既是平行四邊形的本質(zhì)屬性，也是最基本的判定方法（“兩組對(duì)邊分別平行”→“平行四邊形”）。（二）性質(zhì)定理：平行四邊形的固有屬性平行四邊形的性質(zhì)可概括為“對(duì)邊平行且相等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分”，具體如下：1.對(duì)邊平行且相等：若四邊形ABCD是平行四邊形，則AB∥CD，AD∥BC，且AB=CD，AD=BC。*證明思路*：由定義知對(duì)邊平行，通過構(gòu)造對(duì)角線AC，證明△ABC≌△CDA（ASA），可得對(duì)邊相等。2.對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)：若四邊形ABCD是平行四邊形，則∠A=∠C，∠B=∠D；且∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°（鄰角互補(bǔ)）。*證明思路*：由AB∥CD，得∠A+∠D=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）；由AD∥BC，得∠A+∠B=180°，故∠B=∠D，同理可得∠A=∠C。3.對(duì)角線互相平分：若四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，則OA=OC，OB=OD。*證明思路*：利用AB∥CD且AB=CD，得∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，通過△AOB≌△COD（ASA），可得OA=OC，OB=OD。4.中心對(duì)稱性：平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為對(duì)角線的交點(diǎn)O（即繞O旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形重合）。（三）判定定理：平行四邊形的判定方法判定平行四邊形的關(guān)鍵是“滿足兩組對(duì)邊平行”或其等價(jià)條件，常用判定定理如下：1.定義判定：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形（最直接的判定）。2.兩組對(duì)邊分別相等：四邊形ABCD中，若AB=CD且AD=BC，則ABCD是平行四邊形。*證明思路*：連接AC，由SSS證明△ABC≌△CDA，得∠BAC=∠DCA，故AB∥CD；同理AD∥BC，由定義判定。3.一組對(duì)邊平行且相等：四邊形ABCD中，若AB∥CD且AB=CD，則ABCD是平行四邊形（最常用的判定之一）。*證明思路*：連接AC，由SAS證明△ABC≌△CDA，得AD=BC，再由“兩組對(duì)邊分別相等”判定。4.對(duì)角線互相平分：四邊形ABCD中，若對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，且OA=OC，OB=OD，則ABCD是平行四邊形。*證明思路*：由OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD（對(duì)頂角相等），得△AOB≌△COD（SAS），故AB=CD且AB∥CD，由“一組對(duì)邊平行且相等”判定。5.兩組對(duì)角分別相等：四邊形ABCD中，若∠A=∠C且∠B=∠D，則ABCD是平行四邊形。*證明思路*：由四邊形內(nèi)角和為360°，得∠A+∠B=180°，故AD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）；同理AB∥CD，由定義判定。（四）重要推論：性質(zhì)的延伸應(yīng)用1.平行四邊形的對(duì)角線將四邊形分成四個(gè)面積相等的三角形（如?ABCD中，S△AOB=S△BOC=S△COD=S△DOA）。2.過平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分其面積（如直線EF過O點(diǎn)，交AB于E、CD于F，則S四邊形AEFD=S四邊形BCFE）。3.平行四邊形的對(duì)邊之間的距離相等（即高相等，如AB與CD之間的距離等于AD與BC之間的距離）。三、培優(yōu)練習(xí)題詳解（一）基礎(chǔ)鞏固：定理的直接應(yīng)用例1：在?ABCD中，∠A=60°，AB=4，BC=6，求：（1）其他三個(gè)角的度數(shù)；（2）對(duì)角線AC的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）。思路分析：（1）利用平行四邊形“對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)”的性質(zhì)；（2）構(gòu)造三角形，用余弦定理或勾股定理計(jì)算對(duì)角線（過A作AE⊥BC于E，將AC轉(zhuǎn)化為Rt△AEC的斜邊）。解答：（1）∠C=∠A=60°（對(duì)角相等）；∠B=∠D=180°-60°=120°（鄰角互補(bǔ)）。（2）過A作AE⊥BC于E，則∠AEB=90°。在Rt△ABE中，∠B=120°，故∠BAE=30°，BE=AB/2=2，AE=AB·cos30°=4×(√3/2)=2√3。EC=BC-BE=6-2=4，在Rt△AEC中，AC=√(AE2+EC2)=√((2√3)2+42)=√(12+16)=√28=2√7。技巧總結(jié)：求平行四邊形的對(duì)角線長(zhǎng)度時(shí)，常通過作高將其轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，結(jié)合三角函數(shù)或勾股定理求解。（二）能力提升：定理的綜合應(yīng)用例2：如圖，在?ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接BE、DF，求證：四邊形BEDF是平行四邊形。思路分析：要證四邊形BEDF是平行四邊形，需滿足判定定理中的一個(gè)條件。已知ABCD是平行四邊形，故AD∥BC且AD=BC；E、F是中點(diǎn)，故DE=BF，且DE∥BF（AD∥BC的延伸），因此可通過“一組對(duì)邊平行且相等”判定。解答：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC（平行四邊形對(duì)邊平行且相等）?！逧、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴DE=AD/2，BF=BC/2，故DE=BF（等量代換）。又∵DE∥BF（AD∥BC的一部分），∴四邊形BEDF是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）。技巧總結(jié)：遇到中點(diǎn)問題，優(yōu)先考慮線段的倍分關(guān)系，結(jié)合平行四邊形的對(duì)邊性質(zhì)，尋找“平行且相等”的線段組合。（三）拓展創(chuàng)新：動(dòng)態(tài)與坐標(biāo)系問題例3：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,1)，B(5,1)，C(4,3)，點(diǎn)D在坐標(biāo)軸上，且四邊形ABCD是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)。思路分析：平行四邊形的對(duì)角線互相平分，故對(duì)角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同。設(shè)D(x,y)，分三種情況討論：1.以AB為對(duì)角線；2.以AC為對(duì)角線；3.以BC為對(duì)角線。結(jié)合中點(diǎn)公式（若線段端點(diǎn)為(x?,y?)、(x?,y?)，則中點(diǎn)坐標(biāo)為((x?+x?)/2,(y?+y?)/2)）求解。解答：情況1：以AB為對(duì)角線AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為((2+5)/2,(1+1)/2)=(3.5,1)。對(duì)角線CD的中點(diǎn)也為(3.5,1)，故C(4,3)與D(x,y)的中點(diǎn)滿足：(4+x)/2=3.5→x=3；(3+y)/2=1→y=-1。此時(shí)D(3,-1)，在x軸上，符合條件。情況2：以AC為對(duì)角線AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為((2+4)/2,(1+3)/2)=(3,2)。對(duì)角線BD的中點(diǎn)也為(3,2)，故B(5,1)與D(x,y)的中點(diǎn)滿足：(5+x)/2=3→x=1；(1+y)/2=2→y=3。此時(shí)D(1,3)，在y軸上嗎？x=1≠0，y=3≠0，不在坐標(biāo)軸上，舍去（題目要求D在坐標(biāo)軸上）。情況3：以BC為對(duì)角線BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為((5+4)/2,(1+3)/2)=(4.5,2)。對(duì)角線AD的中點(diǎn)也為(4.5,2)，故A(2,1)與D(x,y)的中點(diǎn)滿足：(2+x)/2=4.5→x=7；(1+y)/2=2→y=3。此時(shí)D(7,3)，不在坐標(biāo)軸上，舍去。補(bǔ)充情況：可能遺漏“以AD為對(duì)角線”？不，上述三種情況已覆蓋所有對(duì)角線組合（平行四邊形有兩條對(duì)角線，任意兩邊為鄰邊時(shí)，對(duì)角線為另外兩邊的連線）。但需注意題目要求D在坐標(biāo)軸上，故只有情況1的D(3,-1)符合條件？等等，再檢查情況2：D(1,3)不在坐標(biāo)軸上，情況3：D(7,3)不在，那有沒有其他情況？比如以AB為邊，AD為邊，此時(shí)BD為對(duì)角線？不，平行四邊形的對(duì)角線是連接不相鄰頂點(diǎn)的線段，所以正確的三種對(duì)角線情況是AB與CD、AC與BD、AD與BC，其中AD與BC為對(duì)角線時(shí)，中點(diǎn)是A和D、B和C的中點(diǎn)相等，即((2+x)/2,(1+y)/2)=((5+4)/2,(1+3)/2)=(4.5,2)，解得x=7，y=3，確實(shí)不在坐標(biāo)軸上。那有沒有可能我漏掉了“以AB為邊，BC為邊”的情況？不，平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)是按順序排列的，ABCD是平行四邊形，所以頂點(diǎn)順序是A-B-C-D-A，故邊為AB、BC、CD、DA，對(duì)角線為AC、BD，所以正確的對(duì)角線組合是AC和BD，那之前的三種情況是不是有誤？哦，對(duì)，平行四邊形的對(duì)角線是兩條，即AC和BD，所以正確的討論應(yīng)該是：當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，BD為另一條對(duì)角線，中點(diǎn)相同；當(dāng)AB為邊時(shí)，AD和BC為對(duì)邊，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)可通過向量計(jì)算：AB向量為(3,0)，所以AD向量=BC向量=(-1,2)，故D=A+BC向量=(2-1,1+2)=(1,3)，即情況2；當(dāng)AB為邊時(shí)，BC為邊，此時(shí)AD=BC=(-1,2)，所以D=A+BC=(1,3)，或者DC=AB=(3,0)，所以D=C+AB=(4+3,3+0)=(7,3)，即情況3；當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，D=C-AB=(4-3,3-0)=(1,3)？不對(duì)，應(yīng)該用中點(diǎn)公式：AB中點(diǎn)=(3.5,1)，所以D=2×中點(diǎn)-C=(7-4,2-3)=(3,-1)，即情況1，這個(gè)是對(duì)的。哦，原來我之前的三種情況是對(duì)的，只是情況2和3的D點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，只有情況1的D(3,-1)在x軸上，對(duì)嗎？再檢查一下：四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)D(3,-1)時(shí)，AB的坐標(biāo)是(2,1)-(5,1)=(3,0)，CD的坐標(biāo)是(3,-1)-(4,3)=(-1,-4)？不對(duì)，應(yīng)該是向量AB=向量DC，向量AB=(5-2,1-1)=(3,0)，向量DC=(4-3,3-(-1))=(1,4)，不對(duì)，哦，頂點(diǎn)順序錯(cuò)了！平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)順序應(yīng)該是順時(shí)針或逆時(shí)針，所以向量AB=向量DC，向量AD=向量BC。比如情況1：D(3,-1)，則向量AB=(5-2,1-1)=(3,0)，向量DC=(4-3,3-(-1))=(1,4)，不相等，說明頂點(diǎn)順序錯(cuò)了，應(yīng)該是四邊形ABDC是平行四邊形？哦，對(duì)，我之前犯了一個(gè)錯(cuò)誤：當(dāng)以AB為對(duì)角線時(shí)，四邊形應(yīng)該是ACBD，而不是ABCD，所以頂點(diǎn)順序很重要！正確的做法應(yīng)該是：設(shè)四邊形ABCD是平行四邊形，頂點(diǎn)按順序排列，故有以下三種情況：1.AB和AD為鄰邊：此時(shí)向量AB=向量DC，向量AD=向量BC。向量AB=(5-2,1-1)=(3,0)，向量BC=(4-5,3-1)=(-1,2)，故向量AD=向量BC=(-1,2)，所以D=A+向量AD=(2-1,1+2)=(1,3)，即情況2，此時(shí)D(1,3)，不在坐標(biāo)軸上。2.AB和BC為鄰邊：此時(shí)向量AB=向量DC，向量BC=向量AD。向量AB=(3,0)，向量BC=(-1,2)，故向量DC=向量AB=(3,0)，所以D=C-向量AB=(4-3,3-0)=(1,3)，和情況1一樣？不對(duì)，應(yīng)該是向量AB=向量DC，即C-D=B-A→D=C-(B-A)=(4-(5-2),3-(1-1))=(4-3,3-0)=(1,3)，對(duì)，還是情況2。3.AC和AB為鄰邊：不，應(yīng)該是考慮不同的對(duì)角線組合，正確的三種平行四邊形情況是：以AB、BC為鄰邊，頂點(diǎn)為A、B、C、D1；以AB、AC為鄰邊，頂點(diǎn)為A、B、C、D2；以BC、AC為鄰邊，頂點(diǎn)為A、B、C、D3。用向量法更清晰：D1：AB+BC=AC→不，平行四邊形法則是AB+AD=AC，所以AD=AC-AB=(4-2,3-1)-(5-2,1-1)=(2,2)-(3,0)=(-1,2)，故D1=A+AD=(-1+2,2+1)=(1,3)，即情況2。D2：BA+BC=BD→BA=(-3,0)，BC=(-1,2)，故BD=(-4,2)，D2=B+BD=(5-4,1+2)=(1,3)，和D1一樣？不對(duì)，應(yīng)該是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)是A、B、D、C，此時(shí)向量AB=向量DC，向量AD=向量BC，所以D=A+BC=(2-1,1+2)=(1,3)，沒錯(cuò)。D3：AB+AC=AD→AB=(3,0)，AC=(2,2)，故AD=(5,2)，D3=A+AD=(2+5,1+2)=(7,3)，即情況3，此時(shí)D3(7,3)，不在坐標(biāo)軸上。D4：以AC為對(duì)角線，此時(shí)D=B+C-A=(5+4-2,1+3-1)=(7,3)，和D3一樣；D5：以BC為對(duì)角線，此時(shí)D=A+C-B=(2+4-5,1+3-1)=(1,3)，和D1一樣；D6：以AB為對(duì)角線，此時(shí)D=A+B-C=(2+5-4,1+1-3)=(3,-1)，即情況1，此時(shí)D6(3,-1)，在x軸上，且四邊形ACBD是平行四邊形（頂點(diǎn)順序A-C-B-D-A），符合平行四邊形的定義。哦，對(duì)，當(dāng)以AB為對(duì)角線時(shí)，四邊形是ACBD，而不是ABCD，所以題目中的“四邊形ABCD是平行四邊形”允許頂點(diǎn)順序不同嗎？通常來說，四邊形ABCD的頂點(diǎn)是按順序排列的，但在坐標(biāo)系問題中，有時(shí)會(huì)忽略順序，只要求四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，所以此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)有三個(gè)：(1,3)、(7,3)、(3,-1)，其中只有(3,-1)在坐標(biāo)軸上（x軸），對(duì)嗎？修正解答：設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，分三種情況：1.對(duì)角線為AC和BD：中點(diǎn)坐標(biāo)：AC中點(diǎn)=(3,2)，BD中點(diǎn)=(3,2)，故D=(3×2-5,2×2-1)=(1,3)（不在坐標(biāo)軸上）。2.對(duì)角線為AB和CD：中點(diǎn)坐標(biāo)：AB中點(diǎn)=(3.5,1)，CD中點(diǎn)=(3.5,1)，故D=(3.5×2-4,1×2-3)=(3,-1)（在x軸上，符合條件）。3.對(duì)角線為AD和BC：中點(diǎn)坐標(biāo)：BC中點(diǎn)=(4.5,2)，AD中點(diǎn)=(4.5,2)，故D=(4.5×2-2,2×2-1)=(7,3)（不在坐標(biāo)軸上）。綜上，點(diǎn)D在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)為(3,-1)。