初中數(shù)學(xué)幾何證明專項(xiàng)練習(xí)題全集引言幾何證明是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，它不僅考查學(xué)生對(duì)幾何概念、定理的掌握，更培養(yǎng)邏輯推理、空間想象和嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)的能力。中考中，幾何證明題占比約20%-30%，題型涵蓋三角形、四邊形、圓及綜合應(yīng)用，難度梯度分明。本全集按知識(shí)點(diǎn)分類、難度分層設(shè)計(jì)，旨在幫助學(xué)生系統(tǒng)鞏固幾何證明方法，提升解題能力。一、三角形證明專項(xiàng)三角形是幾何的基礎(chǔ)，重點(diǎn)考查全等三角形、等腰（等邊）三角形、直角三角形的性質(zhì)與判定。1.1全等三角形證明考點(diǎn)梳理判定定理：SSS（三邊對(duì)應(yīng)相等）、SAS（兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等）、ASA（兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等）、AAS（兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等）、HL（直角三角形斜邊直角邊對(duì)應(yīng)相等）。性質(zhì)：全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)中線/角平分線/高相等?；A(chǔ)題（直接應(yīng)用判定定理）題1如圖，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，AC=DF，求證：△ABC≌△DEF。證明：在△ABC和△DEF中，\[\begin{cases}AB=DE（已知）\\BC=EF（已知）\\AC=DF（已知）\end{cases}\]∴△ABC≌△DEF（SSS）。題2如圖，∠1=∠2，AB=AD，AC=AE，求證：△ABC≌△ADE。證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC（等式性質(zhì)），即∠BAC=∠DAE。在△ABC和△ADE中，\[\begin{cases}AB=AD（已知）\\∠BAC=∠DAE（已證）\\AC=AE（已知）\end{cases}\]∴△ABC≌△ADE（SAS）。提升題（需添加輔助線）題3如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，求證：AB+AC>2AD。解題思路：中線倍長法——延長AD至E，使DE=AD，構(gòu)造全等三角形轉(zhuǎn)移邊。證明：延長AD到E，使DE=AD，連接BE?！逜D是BC中線，∴BD=CD（中線定義）。在△ADC和△EDB中，\[\begin{cases}AD=ED（構(gòu)造）\\∠ADC=∠EDB（對(duì)頂角相等）\\CD=BD（已證）\end{cases}\]∴△ADC≌△EDB（SAS）?！郃C=BE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）。在△ABE中，AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊），∴AB+AC>AD+DE=2AD（等量代換）。題4如圖，AB=CD，∠B=∠D，求證：△ABC≌△CDA。解題思路：作輔助線連接AC，將四邊形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形。證明：連接AC。在△ABC和△CDA中，\[\begin{cases}AB=CD（已知）\\∠B=∠D（已知）\\AC=CA（公共邊）\end{cases}\]？（注意：SSA不能判定全等，需調(diào)整思路）修正：∵AB=CD，∠B=∠D，AC=CA，無法直接用SSA，需補(bǔ)充條件？不，原題條件足夠，可通過角邊角證明：∵AB∥CD（假設(shè)？不，需從條件推導(dǎo)），等一下，正確方法：∵AB=CD，∠B=∠D，AC=CA，無法直接判定，需添加輔助線：過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，過點(diǎn)C作CF⊥AD于F，證明△ABE≌△CDF，再證明△AEC≌△CFA，過程較復(fù)雜，建議換題：題4（調(diào)整后）如圖，AB∥CD，AB=CD，求證：△ABC≌△CDA。證明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。在△ABC和△CDA中，\[\begin{cases}AB=CD（已知）\\∠BAC=∠DCA（已證）\\AC=CA（公共邊）\end{cases}\]∴△ABC≌△CDA（SAS）。拓展題（全等與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合）題5如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC上一點(diǎn)，且AD=BD，求證：∠BAD=∠CAD。證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C（等腰三角形底角相等）?！逜D=BD，∴∠BAD=∠B（等腰三角形底角相等）?！唷螧AD=∠C（等量代換）?！摺螦DC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=2∠BAD（外角性質(zhì)）。又∵∠ADC=∠C+∠CAD（三角形內(nèi)角和），∴2∠BAD=∠C+∠CAD（等量代換）?！摺螩=∠BAD，∴2∠BAD=∠BAD+∠CAD（等量代換），∴∠BAD=∠CAD（等式性質(zhì)）。1.2等腰三角形與等邊三角形證明考點(diǎn)梳理等腰三角形：兩腰相等、底角相等；三線合一（頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合）。等邊三角形：三邊相等、三角均為60°；任意一邊的中線/角平分線/高均三線合一?；A(chǔ)題題1如圖，AB=AC，∠A=30°，求∠B和∠C的度數(shù)。解：∵AB=AC，∴∠B=∠C（等腰三角形底角相等）。∠A+∠B+∠C=180°（三角形內(nèi)角和），∴30°+2∠B=180°，∴∠B=∠C=75°。題2如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，求證：BD=CD。證明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD是BC邊上的中線（等腰三角形三線合一），∴BD=CD。提升題題3如圖，△ABC是等邊三角形，D是AB邊上一點(diǎn)，DE⊥BC于E，求證：BE=BD/2。證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°（等邊三角形內(nèi)角為60°）?！逥E⊥BC，∴∠DEB=90°（垂直定義）。在Rt△DEB中，∠B=60°，∴∠BDE=30°（直角三角形兩銳角互余）?！郆E=BD/2（30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半）。拓展題題4如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，求證：AD=AB/2。證明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=60°（三線合一），∠ADB=90°（垂直定義）。在Rt△ADB中，∠BAD=60°，∴∠ABD=30°（直角三角形兩銳角互余）?！郃D=AB/2（30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半）。1.3直角三角形與勾股定理證明考點(diǎn)梳理直角三角形：兩銳角互余；斜邊上的中線等于斜邊的一半；30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半。勾股定理：a2+b2=c2（c為斜邊）；逆定理：若a2+b2=c2，則三角形為直角三角形。基礎(chǔ)題題1如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求AB的長。解：由勾股定理得，AB2=AC2+BC2=32+42=25，∴AB=5。題2如圖，在△ABC中，∠A=90°，AD是BC邊上的中線，求證：AD=BC/2。證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE、CE?！逜D是BC中線，∴BD=CD（中線定義）?！嗨倪呅蜛BEC是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）?！摺螦=90°，∴平行四邊形ABEC是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）?！郃E=BC（矩形對(duì)角線相等），∴AD=AE/2=BC/2（等量代換）。提升題題3如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求BC邊上的高AD的長。證明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=BC/2=3（三線合一）。在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2（勾股定理），∴AD2+32=52，∴AD2=16，∴AD=4。拓展題題4如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD，BC=CD，求證：四邊形ABCD是正方形。證明：連接BD。在Rt△ABD和Rt△CBD中，\[\begin{cases}AB=AD（已知）\\BD=BD（公共邊）\\BC=CD（已知）\end{cases}\]∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL）。∴AB=BC=CD=DA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）。∴四邊形ABCD是菱形（四邊相等的四邊形是菱形）。又∵∠A=90°，∴菱形ABCD是正方形（有一個(gè)角是直角的菱形是正方形）。二、四邊形證明專項(xiàng)四邊形是三角形的延伸，重點(diǎn)考查平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定。2.1平行四邊形證明考點(diǎn)梳理判定定理：1.兩組對(duì)邊分別平行（定義）；2.一組對(duì)邊平行且相等；3.兩組對(duì)邊分別相等；4.對(duì)角線互相平分?；A(chǔ)題題1如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，求證：四邊形ABCD是平行四邊形。證明：∵AB∥CD且AB=CD（已知），∴四邊形ABCD是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）。題2如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，求證：四邊形AECF是平行四邊形。證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD（平行四邊形對(duì)邊平行且相等）?！逧、F是AB、CD中點(diǎn)，∴AE=AB/2，CF=CD/2（中點(diǎn)定義）?！郃E=CF（等量代換）。又∵AE∥CF（AB∥CD的一部分），∴四邊形AECF是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）。提升題題3如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，OA=OC，OB=OD，求證：四邊形ABCD是平行四邊形。證明：在△AOB和△COD中，\[\begin{cases}OA=OC（已知）\\∠AOB=∠COD（對(duì)頂角相等）\\OB=OD（已知）\end{cases}\]∴△AOB≌△COD（SAS）?！郃B=CD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等），∠OAB=∠OCD（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）?！郃B∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）?！嗨倪呅蜛BCD是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）。拓展題題4如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，延長DE至F，使EF=DE，求證：四邊形BCFD是平行四邊形。證明：∵E是AC中點(diǎn)，∴AE=EC（中點(diǎn)定義）。在△ADE和△CFE中，\[\begin{cases}DE=FE（已知）\\∠AED=∠CEF（對(duì)頂角相等）\\AE=EC（已證）\end{cases}\]∴△ADE≌△CFE（SAS）?！郃D=CF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等），∠ADE=∠CFE（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）?！郃D∥CF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）?！逥是AB中點(diǎn)，∴AD=BD（中點(diǎn)定義）?！郆D=CF（等量代換）。又∵BD∥CF（AD∥CF的延伸），∴四邊形BCFD是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）。2.2矩形、菱形、正方形證明考點(diǎn)梳理矩形：1.有一個(gè)角是直角的平行四邊形；2.對(duì)角線相等的平行四邊形；3.三個(gè)角是直角的四邊形。菱形：1.有一組鄰邊相等的平行四邊形；2.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形；3.四邊相等的四邊形。正方形：1.有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形；2.既是矩形又是菱形的四邊形。基礎(chǔ)題題1如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A=90°，求證：四邊形ABCD是矩形。證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠A=90°（已知），∴四邊形ABCD是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）。題2如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC=BD，求證：四邊形ABCD是矩形。證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD（平行四邊形對(duì)邊平行且相等）。在△ABC和△DCB中，\[\begin{cases}AB=CD（已證）\\BC=CB（公共邊）\\AC=BD（已知）\end{cases}\]∴△ABC≌△DCB（SSS）?！唷螦BC=∠DCB（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）?！逜B∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）?！?∠ABC=180°，∴∠ABC=90°?！嗨倪呅蜛BCD是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）。提升題題3如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，延長AD至E，使DE=AD，求證：四邊形ABEC是矩形。證明：∵AD是BC中線，∴BD=CD（中線定義）?！逥E=AD（已知），∴四邊形ABEC是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）?！逜B=AC，AD是BC中線，∴AD⊥BC（等腰三角形三線合一）?！唷螦DB=90°（垂直定義）?！嗥叫兴倪呅蜛BEC是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）。題4如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC=BD，求證：四邊形ABCD是正方形。證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴四邊形ABCD是平行四邊形（菱形定義），且AB=BC（菱形鄰邊相等）?！逜C=BD（已知），∴平行四邊形ABCD是矩形（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形）?！嗨倪呅蜛BCD是正方形（既是矩形又是菱形的四邊形是正方形）。拓展題題5如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，求證：DE=DF。證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA（正方形四邊相等），∠A=∠B=90°（正方形四角為直角）?！逧、F是AB、BC中點(diǎn)，∴AE=AB/2，BF=BC/2（中點(diǎn)定義）?！郃E=BF（等量代換）。在△ADE和△BAF中，\[\begin{cases}AD=BA（正方形邊相等）\\∠A=∠B（正方形角相等）\\AE=BF（已證）\end{cases}\]∴△ADE≌△BAF（SAS）?！郉E=DF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）。三、圓的證明專項(xiàng)圓是幾何的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)考查圓的基本性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)、圓與多邊形的位置關(guān)系。3.1圓的基本性質(zhì)證明考點(diǎn)梳理垂徑定理：平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，且平分弦所對(duì)的弧；圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角相等，等于圓心角的一半；直徑所對(duì)的圓周角是直角?；A(chǔ)題題1如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD于E，求證：CE=DE。證明：∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD（已知），∴CE=DE（垂徑定理：平分弦的直徑垂直于弦）。題2如圖，在⊙O中，弧AB=弧CD，求證：∠AOB=∠COD。證明：∵弧AB=弧CD（已知），∴∠AOB=∠COD（同圓中，等弧所對(duì)的圓心角相等）。提升題題3如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，求證：∠ACB=90°。證明：連接OC?！逴A=OB=OC（圓的半徑相等），∴△AOC和△BOC都是等腰三角形?！唷螼AC=∠OCA，∠OBC=∠OCB（等腰三角形底角相等）。∵∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°（三角形內(nèi)角和），∴∠OCA+∠OCB+∠ACB=180°（等量代換），即2∠ACB=180°，∴∠ACB=90°。拓展題題4如圖，在⊙O中，弦AB=弦CD，求證：弧AB=弧CD。證明：連接OA、OB、OC、OD?！逴A=OB=OC=OD（圓的半徑相等），AB=CD（已知），∴△AOB≌△COD（SSS）?！唷螦OB=∠COD（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）?！嗷B=弧CD（同圓中，等圓心角所對(duì)的弧相等）。3.2切線的判定與性質(zhì)證明考點(diǎn)梳理切線判定：過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線（“連半徑，證垂直”）；切線性質(zhì)：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（“連半徑，得垂直”）?；A(chǔ)題題1如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在⊙O上，過點(diǎn)P作PQ⊥AB于Q，求證：PQ是⊙O的切線。證明：∵PQ⊥AB（已知），OP是⊙O的半徑（點(diǎn)P在圓上），∴PQ是⊙O的切線（切線判定定理）。題2如圖，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，求證：PA⊥OA。證明：∵PA是⊙O的切線，A是切點(diǎn)（已知），∴PA⊥OA（切線性質(zhì)定理）。提升題題3如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于點(diǎn)D，求證：AD是⊙O的切線。解題思路：需證明AD⊥OA（OA是半徑），即AD⊥AB。證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°（直徑所對(duì)圓周角是直角）?！逜B=AC，∴△ABC是等腰三角形，AD是BC邊上的高（三線合一）。∴AD⊥BC（垂直定義）。？（修正：要證明AD是切線，需證明AD⊥OA，即∠OAD=90°。）正確證明：連接OA、OD?！逜B=AC，∴∠B=∠C（等腰三角形底角相等）?！逴B=OD（圓的半徑相等），∴∠B=∠ODB（等腰三角形底角相等）?！唷螼DB=∠C（等量代換）?！郞D∥AC（同位角相等，兩直線平行）?！逜D⊥BC（等腰三角形三線合一），∴∠ADC=90°（垂直定義）?！唷螼DA=∠ADC=90°（兩直線平行，同位角相等）。∴AD⊥OD（垂直定義）。又∵OD是⊙O的半徑（已知），∴AD是⊙O的切線（切線判定定理）。拓展題題4如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O外，連接OC交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AC于E，且∠C=∠COD，求證：DE是⊙O的切線。證明：∵∠C=∠COD（已知），∴OD∥AC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）?！逥E⊥AC（已知），∴OD⊥DE（兩直線平行，同位角相等）。又∵OD是⊙O的半徑（已知），∴DE是⊙O的切線（切線判定定理）。3.3圓與多邊形位置關(guān)系證明考點(diǎn)梳理圓內(nèi)接四邊形：對(duì)角互補(bǔ)；三角形外接圓：外心是三邊垂直平分線的交點(diǎn)；三角形內(nèi)切圓：內(nèi)心是三角角平分線的交點(diǎn)。基礎(chǔ)題題1如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，求證：∠A+∠C=180°。證明：連接OB、OD?！摺螦是弧BCD所對(duì)的圓周角，∠C是弧BAD所對(duì)的圓周角，弧BCD+弧BAD=360°（圓的周長），∴∠A+∠C=1/2×360°=180°（圓周角定理）。題2如圖，△ABC的外接圓⊙O中，AB=AC，求證：OA平分∠BAC。證明：連接OB、OC?！逜B=AC（已知），∴弧AB=弧AC（同圓中，等弦所對(duì)的弧相等）?！唷螦OB=∠AOC（同圓中，等弧所對(duì)的圓心角相等）。∵OA=OB=OC（圓的半徑相等），∴△AOB≌△AOC（SAS）?！唷螼AB=∠OAC（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等），即OA平分∠BAC。提升題題3如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙I與AB、BC、AC分別相切于D、E、F，求證：AD=AF=(AB+AC-BC)/2。證明：設(shè)AD=AF=x，BD=BE=y，CE=CF=z（切線長定理：從圓外一點(diǎn)到圓的兩條切線長相等）。則AB=AD+BD=x+y，BC=BE+CE=y+z，AC=AF+CF=x+z?！郃B+AC-BC=(x+y)+(x+z)-(y+z)=2x，∴x=(AB+AC-BC)/2，即AD=AF=(AB+AC-BC)/2。四、幾何綜合證明專項(xiàng)綜合題考查多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的融合，重點(diǎn)培養(yǎng)知識(shí)遷移和邏輯串聯(lián)能力。4.1綜合題示例題1如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，以AB為直徑作⊙O，交CD于點(diǎn)E、F，求證：DE=FC。證明：作OG⊥CD于G（輔助線：作垂線）?！咚倪呅蜛BCD是矩形，∴AB∥CD，OG=BC=2（矩形對(duì)邊相等），AG=GD=AB/2=2（中點(diǎn)性質(zhì)）。∵AB是⊙O的直徑，∴OA=OB=2（半徑等于直徑的一半）。在Rt△OGE中，OE=2（半徑），OG=2（已證），∴GE=√(OE2-OG2)=0？（修正：BC=1，這樣OG=1，GE=√(22-12)=√3）調(diào)整后題目：矩形ABCD中，AB=4，BC=1，以AB為直徑作⊙O，交CD于E、F，求證：DE=FC。證明：作OG⊥CD于G，則OG=BC=1，AG=GD=2（矩形性質(zhì)）?！袿的半徑OE=2，在Rt△OGE中，GE=√(OE2-OG2)=√(4-1)=√3（勾股定理）?！郉E=GD-GE=2-√3，F(xiàn)C=CG-FG=2-√3（同理），∴DE=FC（等量代換）。題2如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O，交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，求證：DE是⊙O的切線。證明：連接OD（輔助線：連半徑）?！逜B=AC，∴∠B=∠C（等腰三角形底角相等）。∵OC=OD（圓的半徑相等），∴∠C=∠ODC（等腰三角形底角相等）?！唷螼DC=∠B（等量代換）?！郞D∥AB（同位角相等，兩直線平行）。∵DE⊥AB（已知），∴OD⊥DE（兩直線平行，同位角相等）。又∵OD是⊙O的半徑（已知），∴D