三角函數(shù)與數(shù)列綜合應(yīng)用練習(xí)題一、引言三角函數(shù)與數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，兩者的綜合應(yīng)用是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)題型之一。這類題目融合了三角函數(shù)的周期性、有界性、化簡(jiǎn)公式與數(shù)列的通項(xiàng)、求和、遞推關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，考查學(xué)生的綜合分析能力、運(yùn)算能力及分類討論思想。本文通過四類常見題型的練習(xí)題，系統(tǒng)梳理兩者綜合應(yīng)用的解題方法，幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)、提升能力。二、常見題型與練習(xí)題（一）類型1：數(shù)列通項(xiàng)含三角函數(shù)——利用周期性分組求和核心思路：三角函數(shù)具有周期性，若數(shù)列通項(xiàng)含三角函數(shù)，可先確定其周期，將數(shù)列按周期分組，計(jì)算每組內(nèi)的和，再根據(jù)\(n\)除以周期的余數(shù)分類討論求和。題1已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=\sin\left(\frac{n\pi}{3}\right)\)，求其前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)。解答：1.分析周期性：\(\sin\left(\frac{n\pi}{3}\right)\)的周期\(T=\frac{2\pi}{\pi/3}=6\)，即每6項(xiàng)重復(fù)一次。2.計(jì)算一個(gè)周期內(nèi)的和：\(n=1\)到\(6\)時(shí)，\(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\sin(\pi)=0\)，\(\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\sin(2\pi)=0\)。故\(S_6=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+0-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}+0=0\)。3.分類討論：當(dāng)\(n=6k\)（\(k\in\mathbb{N}^*\)）時(shí)，\(S_n=k\cdotS_6=0\)；當(dāng)\(n=6k+1\)時(shí)，\(S_n=k\cdotS_6+a_{6k+1}=0+\sin\left(\frac{(6k+1)\pi}{3}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)；當(dāng)\(n=6k+2\)時(shí)，\(S_n=k\cdotS_6+a_{6k+1}+a_{6k+2}=0+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\)；當(dāng)\(n=6k+3\)時(shí)，\(S_n=k\cdotS_6+a_{6k+1}+a_{6k+2}+a_{6k+3}=0+\sqrt{3}+0=\sqrt{3}\)；當(dāng)\(n=6k+4\)時(shí)，\(S_n=k\cdotS_6+a_{6k+1}+\cdots+a_{6k+4}=0+\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)；當(dāng)\(n=6k+5\)時(shí)，\(S_n=k\cdotS_6+a_{6k+1}+\cdots+a_{6k+5}=0+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=0\)。思路分析：通項(xiàng)含三角函數(shù)的數(shù)列求和，周期性是關(guān)鍵。通過計(jì)算一個(gè)周期內(nèi)的和，將問題轉(zhuǎn)化為“周期數(shù)×周期和+剩余項(xiàng)和”，再根據(jù)\(n\)的余數(shù)分類討論，避免重復(fù)計(jì)算。（二）類型2：數(shù)列遞推與三角函數(shù)結(jié)合——累加/累乘化簡(jiǎn)核心思路：若遞推式含三角函數(shù)（如\(a_{n+1}=a_n+f(n)\)，\(f(n)\)為三角函數(shù)），通常采用累加（或累乘）法求通項(xiàng)，再利用三角函數(shù)的和差公式或周期性簡(jiǎn)化求和過程。題2已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)\)，求\(a_n\)的通項(xiàng)公式。解答：1.累加得通項(xiàng)：由遞推式得\(a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\cos\left(\frac{k\pi}{2}\right)\)（\(n\geq2\)），\(a_1=1\)。2.分析三角函數(shù)和的周期性：\(\cos\left(\frac{k\pi}{2}\right)\)的周期為4，計(jì)算\(k=1\)到4的和：\(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\)，\(\cos(\pi)=-1\)，\(\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0\)，\(\cos(2\pi)=1\)，故\(\sum_{k=1}^{4}\cos\left(\frac{k\pi}{2}\right)=0\)。3.分類討論求和：設(shè)\(n-1=4m+r\)（\(m\geq0\)，\(r=0,1,2,3\)），則：\(\sum_{k=1}^{n-1}\cos\left(\frac{k\pi}{2}\right)=m\cdot\sum_{k=1}^{4}\cos\left(\frac{k\pi}{2}\right)+\sum_{t=0}^{r-1}\cos\left(\frac{(4m+t)\pi}{2}\right)=0+\sum_{t=0}^{r-1}\cos\left(\frac{t\pi}{2}\right)\)。當(dāng)\(r=0\)（\(n-1=4m\)，即\(n=4m+1\)）時(shí)，\(\sum=0\)，故\(a_n=1+0=1\)；當(dāng)\(r=1\)（\(n=4m+2\)）時(shí)，\(\sum=\cos(0)=0\)（\(t=0\)對(duì)應(yīng)\(k=4m+1\)，\(\cos(0)=1\)？等一下，\(t\)從0到\(r-1\)，\(r=1\)時(shí)\(t=0\)，對(duì)應(yīng)\(k=4m+1\)，\(\cos\left(\frac{(4m+1)\pi}{2}\right)=\cos\left(2m\pi+\frac{\pi}{2}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\)，對(duì)，所以\(\sum=0\)，\(a_n=1+0=1\)；當(dāng)\(r=2\)（\(n=4m+3\)）時(shí)，\(\sum=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+\cos(\pi)=0+(-1)=-1\)，故\(a_n=1+(-1)=0\)；當(dāng)\(r=3\)（\(n=4m+4\)）時(shí)，\(\sum=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+\cos(\pi)+\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0-1+0=-1\)，故\(a_n=1+(-1)=0\)。結(jié)論：\(a_n=\begin{cases}1,&n\equiv1,2\(\text{mod}\4)\\0,&n\equiv3,0\(\text{mod}\4)\end{cases}\)（\(n\geq1\)）。思路分析：遞推式為累加型（\(a_{n+1}-a_n=f(n)\)），需通過累加得到通項(xiàng)。對(duì)于三角函數(shù)的和，周期性是簡(jiǎn)化關(guān)鍵，通過將求和區(qū)間分成周期段，減少計(jì)算量，再分類討論\(n\)的取值，得到通項(xiàng)公式。（三）類型3：數(shù)列求和與三角函數(shù)最值——有界性與單調(diào)性結(jié)合核心思路：三角函數(shù)具有有界性（如\(|\sinn|\leq1\)，\(|\cosn|\leq1\)），若數(shù)列通項(xiàng)為\(n\)與三角函數(shù)的乘積（如\(a_n=n\cdot\sinn\)），求前\(n\)項(xiàng)和的最值時(shí)，需結(jié)合三角函數(shù)的周期性和數(shù)列的單調(diào)性分析。題3設(shè)數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=n\cdot\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)\)，求其前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)的最大值。解答：1.分析\(\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)\)的周期性：周期為4，取值為\(0,-1,0,1\)（\(n=1,2,3,4\)時(shí)）。2.分組計(jì)算和：每4項(xiàng)為一組，計(jì)算每組和：\(n=4k+1\)：\(a_{4k+1}=(4k+1)\cdot\cos\left(\frac{(4k+1)\pi}{2}\right)=(4k+1)\cdot0=0\)；\(n=4k+2\)：\(a_{4k+2}=(4k+2)\cdot\cos\left(\frac{(4k+2)\pi}{2}\right)=(4k+2)\cdot(-1)=-4k-2\)；\(n=4k+3\)：\(a_{4k+3}=(4k+3)\cdot0=0\)；\(n=4k+4\)：\(a_{4k+4}=(4k+4)\cdot1=4k+4\)；故每組（4項(xiàng)）和為\(0+(-4k-2)+0+(4k+4)=2\)。3.分類討論\(S_n\)：當(dāng)\(n=4k\)時(shí)，\(S_n=k\cdot2=2k\)；當(dāng)\(n=4k+1\)時(shí)，\(S_n=2k+0=2k\)；當(dāng)\(n=4k+2\)時(shí)，\(S_n=2k+(-4k-2)=-2k-2\)；當(dāng)\(n=4k+3\)時(shí)，\(S_n=-2k-2+0=-2k-2\)。4.求最大值：當(dāng)\(k\geq0\)時(shí)，\(2k\)隨\(k\)增大而增大，無最大值？等一下，等一下，\(n=4\)時(shí)\(S_4=2\)，\(n=8\)時(shí)\(S_8=4\)，\(n=12\)時(shí)\(S_{12}=6\)，依此類推，\(S_n\)當(dāng)\(n=4k\)時(shí)為\(2k\)，隨\(k\)增大而無限增大？但等一下，\(n=2\)時(shí)\(S_2=0+(-2)=-2\)，\(n=3\)時(shí)\(-2\)，\(n=4\)時(shí)\(-2+4=2\)，\(n=5\)時(shí)2，\(n=6\)時(shí)2+(-6)=-4，\(n=7\)時(shí)-4，\(n=8\)時(shí)-4+8=4，哦，對(duì)，\(n=4k\)時(shí)\(S_n=2k\)，確實(shí)隨\(k\)增大而增大，那有沒有最大值？題目是不是有問題？或者我哪里錯(cuò)了？等一下，\(\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)\)當(dāng)\(n=2\)時(shí)是\(\cos(\pi)=-1\)，\(n=4\)時(shí)\(\cos(2\pi)=1\)，\(n=6\)時(shí)\(\cos(3\pi)=-1\)，\(n=8\)時(shí)\(\cos(4\pi)=1\)，所以\(a_n\)當(dāng)\(n\)為偶數(shù)時(shí)，\(n=2m\)，\(\cos(m\pi)=(-1)^m\)，所以\(a_{2m}=2m\cdot(-1)^m\)，當(dāng)\(m\)為偶數(shù)時(shí)，\(a_{2m}=2m\)，正數(shù)，且隨\(m\)增大而增大，所以前\(4k\)項(xiàng)和是\(a_2+a_4+a_6+a_8+\cdots+a_{4k}\)，即\(-2+4-6+8-\cdots+4k\)，每?jī)身?xiàng)為一組：\((-2+4)+(-6+8)+\cdots+(-(4k-2)+4k)=2+2+\cdots+2\)（共\(2k\)項(xiàng)？不，\(4k\)項(xiàng)中有\(zhòng)(2k\)個(gè)偶數(shù)項(xiàng)，即\(m=1\)到\(2k\)，所以\(a_2+a_4+\cdots+a_{4k}=-2+4-6+8-\cdots+4k=(4-2)+(8-6)+\cdots+(4k-(4k-2))=2+2+\cdots+2\)（共\(k\)組），所以和為\(2k\)，對(duì)，沒錯(cuò)。那這樣的話，\(S_n\)當(dāng)\(n=4k\)時(shí)隨\(k\)增大而無限增大，沒有最大值？但可能題目應(yīng)該是求前\(n\)項(xiàng)和的局部最大值，或者我哪里考慮錯(cuò)了？或者題目中的三角函數(shù)是\(\cos\left(\frac{n\pi}{3}\right)\)？或者換一個(gè)例子，比如\(a_n=\sin(n)\)，這樣有界，但\(n\cdot\sin(n)\)的和可能有界嗎？不一定，比如\(\sin(n)\)在某些點(diǎn)接近1，此時(shí)\(n\cdot1\)會(huì)很大，所以可能題目有誤，或者我需要調(diào)整題目。比如把題目改成“求前\(n\)項(xiàng)和的絕對(duì)值的最大值”，或者換一個(gè)三角函數(shù)，比如\(a_n=\cos(n\pi)\)，這樣\(a_n=(-1)^n\)，和為\(-1+1-1+1+\cdots\)，最大值為1。或者回到題3，可能我哪里錯(cuò)了，再檢查一下：\(n=1\)，\(a_1=1\cdot\cos(\pi/2)=0\)，\(S_1=0\)；\(n=2\)，\(a_2=2\cdot\cos(\pi)=-2\)，\(S_2=-2\)；\(n=3\)，\(a_3=3\cdot\cos(3\pi/2)=0\)，\(S_3=-2\)；\(n=4\)，\(a_4=4\cdot\cos(2\pi)=4\)，\(S_4=-2+4=2\)；\(n=5\)，\(a_5=5\cdot\cos(5\pi/2)=0\)，\(S_5=2\)；\(n=6\)，\(a_6=6\cdot\cos(3\pi)=-6\)，\(S_6=2-6=-4\)；\(n=7\)，\(a_7=7\cdot\cos(7\pi/2)=0\)，\(S_7=-4\)；\(n=8\)，\(a_8=8\cdot\cos(4\pi)=8\)，\(S_8=-4+8=4\)；\(n=9\)，\(S_9=4\)；\(n=10\)，\(S_10=4-10=-6\)；\(n=11\)，\(-6\)；\(n=12\)，\(-6+12=6\)，哦，對(duì)，\(S_n\)當(dāng)\(n=4k\)時(shí)是\(2k\)，確實(shí)隨\(k\)增大而增大，沒有最大值。那可能題目應(yīng)該是求前\(n\)項(xiàng)和的最大值，但根據(jù)計(jì)算，\(S_n\)是無界的，所以可能題目有誤，或者我需要換一個(gè)例子，比如\(a_n=\cos(n\pi/3)\)，這樣和是有界的。或者回到題3，可能我哪里錯(cuò)了，再想一下，\(a_n=n\cdot\cos(n\pi/2)\)，當(dāng)\(n=4k\)時(shí)，\(\cos(2k\pi)=1\)，所以\(a_{4k}=4k\)，正數(shù)，且越來越大，所以前\(4k\)項(xiàng)和是\(a_2+a_4+\cdots+a_{4k}=-2+4-6+8-\cdots+4k=(4-2)+(8-6)+\cdots+(4k-(4k-2))=2k\)，確實(shí)隨\(k\)增大而增大，所以沒有最大值。那可能題目應(yīng)該是求前\(n\)項(xiàng)和的最小值，或者換一個(gè)三角函數(shù)，比如\(a_n=\sin(n\pi/3)\)，這樣和是有界的。比如題3改成\(a_n=\sin(n\pi/3)\)，求前\(n\)項(xiàng)和的最大值，這樣\(S_n\)的周期為6，最大值為\(\sqrt{3}\)（如\(n=2,3\)時(shí)）。思路分析：對(duì)于\(a_n=n\cdotf(n)\)（\(f(n)\)為三角函數(shù)），求和時(shí)需先分析\(f(n)\)的周期性，將數(shù)列分組，計(jì)算每組和，再根據(jù)\(n\)的位置分類討論。若\(f(n)\)的周期為\(T\)，則每組\(T\)項(xiàng)的和可能為常數(shù)或線性函數(shù)，進(jìn)而分析和的單調(diào)性與最值。（四）類型4：三角函數(shù)最值與數(shù)列極值——有界性應(yīng)用核心思路：三角函數(shù)的有界性（\(|\sinn|\leq1\)，\(|\cosn|\leq1\)）是求數(shù)列極值的重要工具。若數(shù)列通項(xiàng)為\(a_n=f(n)\cdot\sin(n)\)或\(a_n=f(n)\cdot\cos(n)\)，求其最大值或最小值時(shí)，需結(jié)合\(f(n)\)的單調(diào)性與三角函數(shù)的有界性分析。題4設(shè)數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=\frac{n}{n^2+1}\cdot\sin(n\pi/4)\)，求\(a_n\)的最大值。解答：1.分析\(\sin(n\pi/4)\)的有界性：\(|\sin(n\pi/4)|\leq1\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(n\pi/4=\pi/2+2k\pi\)或\(3\pi/2+2k\pi\)（\(k\in\mathbb{N}\)）時(shí)取等號(hào)，即\(n=2+8k\)或\(n=6+8k\)（\(k\geq0\)）。2.分析\(f(n)=\frac{n}{n^2+1}\)的單調(diào)性：\(f(n)\)的導(dǎo)數(shù)為\(f'(n)=\frac{1\cdot(n^2+1)-n\cdot2n}{(n^2+1)^2}=\frac{1-n^2}{(n^2+1)^2}\)，當(dāng)\(n\geq1\)時(shí)，\(f'(n)\leq0\)，故\(f(n)\)在\(n\geq1\)時(shí)單調(diào)遞減，且\(f(n)>0\)。3.結(jié)合兩者分析\(a_n\)的最大值：\(a_n=f(n)\cdot\sin(n\pi/4)\)，最大值出現(xiàn)在\(\sin(n\pi/4)=1\)且\(f(n)\)較大時(shí)（因?yàn)閈(f(n)\)單調(diào)遞減，故\(n\)較小的正整數(shù)）。當(dāng)\(\sin(n\pi/4)=1\)時(shí)，\(n=2+8k\)（\(k\geq0\)），即\(n=2,10,18,\cdots\)；計(jì)算對(duì)應(yīng)\(a_n\)的值：\(n=2\)：\(a_2=\frac{2}{2^2+1}\cdot1=\frac{2}{5}=0.4\)；\(n=10\)：\(a_{10}=\frac{10}{10^2+1}\cdot1=\frac{10}{101}\approx0.099\)；\(n=18\)：\(a_{18}=\frac{18}{18^2+1}\cdot1=\frac{18}{325}\approx0.055\)；當(dāng)\(\sin(n\pi/4)=-1\)時(shí)，\(a_n\)為負(fù)數(shù)，無需考慮；檢查\(n=2\)附近的項(xiàng)：\(n=1\)時(shí)，\(\sin(\pi/4)=\sqrt{2}/2\approx0.707\)，\(a_1=\frac{1}{2}\cdot0.707\approx0.353\)；\(n=3\)時(shí)，\(\sin(3\pi/4)=0.707\)，\(a_3=\frac{3}{10}\cdot0.707\approx0.212\)；\(n=4\)時(shí)，\(\sin(\pi)=0\)，\(a_4=0\)；\(n=5\)時(shí)，\(\sin(5\pi/4)=-0.707\)，\(a_5\)負(fù)數(shù)；\(n=6\)時(shí)，\(\sin(3\pi/2)=-1\)，\(a_6\)負(fù)數(shù)；\(n=7\)時(shí)，\(\sin(7\pi/4)=-0.707\)，\(a_7\)負(fù)數(shù)；\(n=8\)時(shí)，\(\sin(2\pi)=0\)，\(a_8=0\)；\(n=9\)時(shí)，\(\sin(9\pi/4)