全等三角形的性質(zhì)與應(yīng)用思維導(dǎo)圖知識(shí)要點(diǎn)：1.全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。2.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高線、中線以及對(duì)應(yīng)角的平分線相等。3.全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等。

1.全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應(yīng)用時(shí)要會(huì)找對(duì)

應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊。2.平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，熟悉全等基本模型并能用變換的

眼光找到全等三角形。3.在應(yīng)用三角形全等的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必

要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形。常見(jiàn)的輔助線作法：①把三角形一邊

的中線延長(zhǎng)，把分散的條件集中到同一個(gè)三角形中是解決中線問(wèn)題的常

用方法。②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短

法”。這些問(wèn)題經(jīng)常需要用到全等三角形來(lái)證明。4.利用全等三角形解決實(shí)際問(wèn)題一般是把實(shí)際問(wèn)題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，

再轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中

的邊角關(guān)系是關(guān)鍵。

知識(shí)點(diǎn)一：全等三角形在生活實(shí)際中的應(yīng)用

小明利用一根長(zhǎng)3m的竿子CD來(lái)測(cè)量垂直于地面的路燈桿AB的高

度，方法如下：如圖，在地面上選一點(diǎn)P，使BP=3m，并測(cè)得

∠APB=70°，然后把CD在BP的延長(zhǎng)線上左右移動(dòng)，使竿子CD垂直于地

面，且∠CPA=90°，此時(shí)測(cè)得BD=11.2m。（1）此時(shí)∠C的度數(shù)為

。（2）路燈桿AB的高度為

m。

（1）根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系即可求得答案。（2）根據(jù)題意

可得△CPD≌△PAB（ASA），進(jìn)而利用AB=DP=DB-PB求出即可。

（1）∵∠APB=70°，∠CPA=90°，∴∠CPD=20°?！摺螩DP=90°，∴∠C=90°-∠CPD=70°。故答案為70°。

∵BD=11.2m，BP=3m，∴DP=BD-BP=8.2m，即AB=8.2m。故答案為8.2。

本題考查全等三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意得出△CPD≌△PAB是

解題的關(guān)鍵。

如圖，A，B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小明通過(guò)構(gòu)造

△ABC與△BCD來(lái)測(cè)量點(diǎn)A，B間的距離，其中AC=CD，∠ACB=∠BCD，那么量出的BD的長(zhǎng)度就是AB的距離。請(qǐng)你判斷小明這個(gè)方法正確與否，并給出相應(yīng)理由。

知識(shí)點(diǎn)二：利用全等三角形的性質(zhì)解決幾何問(wèn)題

如圖，BE，CF分別是△ABC的邊AC，AB上的高線，且BP=AC，

CQ=AB。求證：（1）AP=AQ。（2）AP⊥AQ。

（1）首先證明∠FCA=∠ABP，再加上條件BP=AC，AB=CQ可以證明△APB≌△QAC，進(jìn)而得到AP=AQ。（2）根據(jù)△APB≌△QAC可得∠PAB=∠Q，再證明∠Q+∠FAQ=90°可得∠PAB+∠FAQ=90°，即∠PAQ=90°，即可證出AP⊥AQ。

（1）∵BE，CF是△ABC的高線，∴∠BFP=∠CEP=90°?！唷螧AC+∠FCA=90°，∠ABP+∠BAC=90°。∴∠FCA=∠ABP。

（2）∵△APB≌△QAC，∴∠PAB=∠Q。∵AB⊥QC，∴∠QFA=90°?！唷螿+∠FAQ=90°?！唷螾AB+∠FAQ=90°，即∠PAQ=90°?！郃P⊥AQ。

本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是證明

△QAC≌△APB，根據(jù)三角形全等可證明角和邊的相等關(guān)系。

已知△ABC和△CDE中，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AE與BD交于點(diǎn)F。（1）如圖1，當(dāng)α=90°時(shí)，求證：△ACE≌△BCD，AE⊥BD。

（2）如圖2，當(dāng)α=60°時(shí)，直接寫出∠AFB的度數(shù)為

。【答案】（2）同（1）理可證△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE=∠CBD?！摺螩AE+∠EAB+∠ABC=120°，∴∠CBD+∠EAB+∠ABC=120°，即

∠EAB+∠ABD=120°?！唷螦FB=180°-120°=60°。故答案為60°。（3）如圖3，直接寫出∠AFD的度數(shù)為

（用含α的式子表示）?！敬鸢浮浚?）同（1）理可證△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE=∠CBD?！摺螩AE+∠EAB+∠ABC=180°-α，∴∠CBD+∠EAB+∠ABC=180°-α，即∠EAB+∠ABD=180°-α?！唷螦FD=∠FAB+∠ABF=180°-α。故答案為180°-α。

如圖，△ABC的角平分線BD，CE相交于點(diǎn)P，設(shè)∠A=n°。（1）當(dāng)n=56時(shí)，求∠CPD的度數(shù)。（2）求∠BPC的度數(shù)。（用含n的代數(shù)式表示）（3）當(dāng)n=60時(shí)，求證：BC=CD+BE。

∴∠BPG=∠BPC-∠CPG=60°?！摺螧PE=∠CPD=60°，∴∠BPE=∠BPG。

∴BC=BG+GC=BE+CD。∴BC=BE+CD。

本題考查三角形的內(nèi)角和、三角形全等的判定、全等三角形

對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，難點(diǎn)是利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的方法構(gòu)造全等三

角形來(lái)證明兩條線段之和等于第三條線段。

1.如圖，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A，B的距離，小明在池塘外取AB的

垂線BF上的點(diǎn)C，D，使BC=CD，再畫出BF的垂線DE，使點(diǎn)E與點(diǎn)A，C在一條直線上，這時(shí)測(cè)得DE=4m，CE=5m，BD=6m，則AB的長(zhǎng)為

（C）A.6mB.3mC.4mD.5mC2.如圖，小雨同學(xué)為了測(cè)量一幢樓的高AB，在旗桿CD與樓之間選定一

點(diǎn)P，測(cè)得PC與地面夾角∠DPC=18°，測(cè)得PA與地面夾角∠APB=72°，量得點(diǎn)P到樓底的距離PB與旗桿的高度都是9m，量得旗桿與樓之間的距離DB=36m，則樓高AB為（B）A.36mB.27mC.25mD.18mB3.如圖，△ABC≌△DEC，點(diǎn)E在線段AB上，∠B=65°，則∠ACD的度數(shù)為（D）A.20°B.30°C.40°D.50°D4.如圖，在△ABC中，∠B=∠C，BF=CD，BD=CE，∠FDE=64°，則∠A的度數(shù)為（B）A.42°B.52°C.62°D.51°B5.“三月三，放風(fēng)箏”，如圖所示為小明制作的風(fēng)箏的示意圖，他根據(jù)

DE=DF，EH=FH，不用測(cè)量，就知道∠DEH=∠DFH，小明是通過(guò)全等三角形的知識(shí)得到的結(jié)論，則小明判定三角形全等的依據(jù)是

?（用字母表示）。SSS6.如圖，△ABC≌△DEC，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD于點(diǎn)F，若∠BCE=65°，則∠CAF的度數(shù)為

?。25°7.如圖，在正方形網(wǎng)格中，若△MNP≌△MEQ，則點(diǎn)Q可能是圖中點(diǎn)A，

B，C，D中的點(diǎn)

?。D8.如圖，在△ACD中，∠CAD=90°，AC=5，AD=12，AB∥CD，E是CD上一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F。若AB=DE，則圖中涂色部分的面積為

?。309.如圖，O為碼頭，A，B兩個(gè)燈塔與碼頭的距離相等，OP，OQ為海岸

線，一輪船從碼頭開(kāi)出，計(jì)劃沿∠POQ的平分線航行，在航行途中的某

時(shí)刻測(cè)得船所在的位置C與燈塔A，B的距離相等，此時(shí)輪船有沒(méi)有偏離

航線？請(qǐng)說(shuō)明理由。

10.如圖，△ABC≌△DBE，點(diǎn)D在邊AC上，BC與DE交于點(diǎn)P，已知

∠ABE=162°，∠DBC=30°，AD=DC=2.5，BC=4。（1）求∠CBE的度數(shù)?！敬鸢浮浚?）∵∠ABE=162°，∠DBC=30°，∴∠ABD+∠CBE=132°?！摺鰽BC≌△DBE，∴∠ABC=∠DBE?！唷螦BC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，即∠ABD=∠CBE。∴∠ABD=∠CBE=132°÷2=66°，即∠CBE的度數(shù)為66°。（2）求△CDP與△BEP的周長(zhǎng)和。【答案】（2）∵△ABC≌△DBE，∴DE=AC=AD+DC=5，BE=BC=4?！唷鰿DP與△BEP的周長(zhǎng)和DC+DP+PC+BP+PE+BE=DC+DE+BC+BE=2.5+5+4+4=15.5。

11.如圖，在△ABC與△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠ABC=∠AEF，∠EAB=40°，AB交EF于點(diǎn)D，連結(jié)EB。下列結(jié)論：①∠FAC=40°；②AF=AC；③∠EFB=40°；④∠EBC=110°。其中正確的是（C）A.①②④B.②③④C.①②③D.①②③④C12.如圖，△ABE≌△ADC≌△ABC，若∠1=150°，則∠α的度數(shù)為

?。【解析】∵△ABE≌△ADC≌△ABC，∴∠BAE=∠1=150°，∠ACD=∠E?！唷螩AE=360°-∠1-∠BAE=360°-150°-150°=60°?！摺螪FE=∠AFC，∴∠α=∠CAE=60°。故答案為60°。60°

②③④

14.如圖所示為某小區(qū)內(nèi)小朋友蕩秋千的側(cè)面示意圖，靜止時(shí)秋千位于

鉛垂線BD上，轉(zhuǎn)軸中心B到地面的距離BD=3m。在蕩秋千過(guò)程中，當(dāng)秋

千擺動(dòng)到最高點(diǎn)A時(shí)，測(cè)得點(diǎn)A到BD的距離AC=2m，點(diǎn)A到地面的距離

AE=1.8m；當(dāng)從A處擺動(dòng)到A′處時(shí)，有A′B⊥AB。求：（1）點(diǎn)A′到BD的距離。

（2）點(diǎn)A′到地面的距離?！敬鸢浮浚?）由（1）知△ACB≌△BFA'，∴BF=AC=2m。如圖，過(guò)點(diǎn)A'作A'H⊥DE，垂足為H?！逜'F∥DE，∴A'H=FD。∴A'H=BD-BF=3-2=1（m），即點(diǎn)A'到地面的距離是1m。15.如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D的直線EG交AB于點(diǎn)E，交AB的平行線CG于點(diǎn)G，DF⊥EG，交AC于點(diǎn)F。（1）求證：BE=CG。

（2）判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論?！敬鸢浮浚?）BE+CF>EF。理由如下：連結(jié)FG?！摺鰾DE≌△CDG，