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文檔簡(jiǎn)介
3.1.4概率的加法公式預(yù)習(xí)課本P98~99,思考并完成以下問題(1)什么是互斥事件?什么叫對(duì)立事件?(2)什么是事件的并(或和)?(3)互斥事件的概率加法公式是什么?eq\a\vs4\al([新知初探])1.事件的關(guān)系事件定義圖形表示互斥事件在同一試驗(yàn)中,不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A與B叫做互斥事件事件的并一般地,由事件A和B至少有一個(gè)發(fā)生(即A發(fā)生,或B發(fā)生或A,B都發(fā)生)所構(gòu)成的事件C,稱為事件A與B的并(或和),記作C=A∪B互為對(duì)立事件在同一試驗(yàn)中,不能同時(shí)發(fā)生且必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互為對(duì)立事件,事件A的對(duì)立事件記作eq\o(A,\s\up6(-))2.互斥事件的概率加法公式(1)若A,B是互斥事件,則P(A∪B)=P(A)+P(B).(2)若eq\o(A,\s\up6(-))是A的對(duì)立事件,則P(eq\o(A,\s\up6(-)))=1-P(A).(3)若A1,A2,…,An兩兩互斥,則P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).eq\a\vs4\al([小試身手])1.某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級(jí),其中乙、丙兩級(jí)均屬次品,若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級(jí)品的概率為0.03,丙級(jí)品的概率為0.01,則對(duì)成品抽查一件抽得正品的概率是()A.0.99 B.0.98C.0.97 D.0.96答案:D2.某射手在一次射擊中,射中10環(huán),9環(huán),8環(huán)的概率分別是0.20,0.30,0.10.則此射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為()A.0.40 B.0.30C.0.60 D.0.90解析:選A依題意,射中8環(huán)及以上的概率為0.20+0.30+0.10=0.60,故不夠8環(huán)的概率為1-0.60=0.40.3.若事件A和B是互斥事件,且P(A)=0.1,則P(B)的取值范圍是()A.[0,0.9] B.[0.1,0.9]C.(0,0.9] D.[0,1]答案:A4.甲、乙兩人下棋,甲獲勝的概率為0.3,兩人下成和棋的概率為0.5,那么甲不輸?shù)母怕适莀_______.答案:0.8互斥事件與對(duì)立事件的判斷[典例]某小組有3名男生和2名女生,從中任選2名同學(xué)參加演講比賽,判斷下列每對(duì)事件是不是互斥事件,如果是,再判斷它們是不是對(duì)立事件:(1)“恰有1名男生”與“恰有2名男生”;(2)“至少有1名男生”與“全是男生”;(3)“至少有1名男生”與“全是女生”;(4)“至少有1名男生”與“至少有1名女生”.[解]從3名男生和2名女生中任選2人有如下三種結(jié)果:2名男生,2名女生,1男1女.(1)“恰有1名男生”指1男1女,與“恰有2名男生”不能同時(shí)發(fā)生,它們是互斥事件;但是當(dāng)選取的結(jié)果是2名女生時(shí),該兩事件都不發(fā)生,所以它們不是對(duì)立事件.(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女兩種結(jié)果,與事件“全是男生”可能同時(shí)發(fā)生,所以它們不是互斥事件.(3)“至少1名男生”與“全是女生”不可能同時(shí)發(fā)生,所以它們互斥,由于它們必有一個(gè)發(fā)生,所以它們是對(duì)立事件.(4)“至少有1名女生”包括1男1女與2名女生兩種結(jié)果,當(dāng)選出的是1男1女時(shí),“至少有一名男生”與“至少一名女生”同時(shí)發(fā)生,所以它們不是互斥事件.互斥事件和對(duì)立事件的判定方法(1)利用基本概念要判斷兩個(gè)事件是不是互斥事件,只需要找出各個(gè)事件所包含的所有結(jié)果,看它們之間能不能同時(shí)發(fā)生,在互斥的前提下,看兩個(gè)事件中是否必有一個(gè)發(fā)生,可判斷是否為對(duì)立事件.注意辨析“至少”“至多”等關(guān)鍵詞語(yǔ)的含義,明晰它們對(duì)事件結(jié)果的影響.(2)利用集合觀點(diǎn)設(shè)事件A與B所含的結(jié)果組成的集合分別為A,B.①若事件A與B互斥,則集合A∩B=?;②若事件A與B對(duì)立,則集合A∩B=?且A∪B=Ω.[活學(xué)活用]從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點(diǎn)數(shù)從1~10各10張)中任抽取1張,判斷下列給出的每對(duì)事件是否為互斥事件,是否為對(duì)立事件,并說明理由.(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”;(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”;(3)“抽出牌的點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出牌的點(diǎn)數(shù)大于9”.解:(1)是互斥事件,不是對(duì)立事件.理由是:從40張撲克牌中任意抽取1張,“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時(shí)發(fā)生的,所以是互斥事件.同時(shí),不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生,這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”,因此二者不是對(duì)立事件.(2)既是互斥事件,又是對(duì)立事件.理由是:從40張撲克牌中任意抽取1張,“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生,且其中必有一個(gè)發(fā)生,因此它們既是互斥事件,又是對(duì)立事件.(3)不是互斥事件,當(dāng)然不可能是對(duì)立事件.理由是:從40張撲克牌中任意抽取1張,“抽出牌的點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出牌的點(diǎn)數(shù)大于9”這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生,如抽出牌的點(diǎn)數(shù)為10,因此,二者不是互斥事件,當(dāng)然不可能是對(duì)立事件.互斥事件與對(duì)立事件的概率公式的應(yīng)用[典例]某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)、7環(huán)以下的概率分別為0.1,0.2,0.3,0.3,0.1.計(jì)算這個(gè)運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中:(1)射中10環(huán)或9環(huán)的概率;(2)至少射中7環(huán)的概率.[解]設(shè)“射中10環(huán)”、“射中9環(huán)”、“射中8環(huán)”、“射中7環(huán)”、“射中7環(huán)以下”的事件分別為A,B,C,D,E,則(1)P(A+B)=P(A)+P(B)=0.1+0.2=0.3.所以射中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.3.(2)因?yàn)樯渲?環(huán)以下的概率為0.1,所以由對(duì)立事件的概率公式,得至少射中7環(huán)的概率為1-0.1=0.9.求復(fù)雜事件概率的注意事項(xiàng)(1)正難則反是良策.(2)用互斥事件的概率和進(jìn)行求解時(shí)一定要將事件分拆為若干互斥的事件,不能重復(fù)和遺漏.(3)采用對(duì)立事件求概率時(shí),一定要找準(zhǔn)對(duì)立事件,否則容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.[活學(xué)活用]一盒中裝有各色球12個(gè),其中5個(gè)紅球、4個(gè)黑球、2個(gè)白球、1個(gè)綠球.從中隨機(jī)取出1球,求:(1)取出1球是紅球或黑球的概率;(2)取出的1球是紅球或黑球或白球的概率.解:法一:(1)從12個(gè)球中任取1球,紅球有5種取法,黑球有4種取法,得紅球或黑球共有5+4=9種不同取法,任取1球有12種取法.∴任取1球得紅球或黑球的概率為P1=eq\f(9,12)=eq\f(3,4).(2)從12個(gè)球中任取1球,紅球有5種取法,黑球有4種取法,得白球有2種取法,從而得紅球或黑球或白球的概率為eq\f(5+4+2,12)=eq\f(11,12).法二:(利用互斥事件求概率)記事件A1=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(任取1球?yàn)榧t球)),A2=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(任取1球?yàn)楹谇?),A3=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(任取1球?yàn)榘浊?),A4=eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(任取1球?yàn)榫G球)),則P(A1)=eq\f(5,12),P(A2)=eq\f(4,12),P(A3)=eq\f(2,12),P(A4)=eq\f(1,12).根據(jù)題意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件概率公式,得(1)取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=eq\f(5,12)+eq\f(4,12)=eq\f(3,4).(2)取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=eq\f(5,12)+eq\f(4,12)+eq\f(2,12)=eq\f(11,12).法三:(利用對(duì)立事件求概率)(1)由法二知,取出1球?yàn)榧t球或黑球的對(duì)立事件為取出1球?yàn)榘浊蚧蚓G球,即A1∪A2的對(duì)立事件為A3∪A4,所以取得1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3)-P(A4)=1-eq\f(2,12)-eq\f(1,12)=eq\f(9,12)=eq\f(3,4).(2)A1∪A2∪A3的對(duì)立事件為A4.所以P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=1-eq\f(1,12)=eq\f(11,12).[層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)]1.從一批產(chǎn)品(既有正品也有次品)中取出三件產(chǎn)品,設(shè)A={三件產(chǎn)品全不是次品},B={三件產(chǎn)品全是次品},C={三件產(chǎn)品有次品,但不全是次品},則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.A與C互斥 B.B與C互斥C.任何兩個(gè)都互斥 D.任何兩個(gè)都不互斥解析:選D由題意知事件A,B,C兩兩不可能同時(shí)發(fā)生,因此兩兩互斥.2.抽查10件產(chǎn)品,記事件A為“至少有2件次品”,則A的對(duì)立事件為()A.至多有2件次品 B.至多有1件次品C.至多有2件正品 D.至少有2件正品解析:選B至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品,共9種結(jié)果,故它的對(duì)立事件為含有1或0件次品,即至多有1件次品.3.已知盒中有5個(gè)紅球,3個(gè)白球,從盒中任取2個(gè)球,下列說法中正確的是()A.全是白球與全是紅球是對(duì)立事件B.沒有白球與至少有一個(gè)白球是對(duì)立事件C.只有一個(gè)白球與只有一個(gè)紅球是互斥關(guān)系D.全是紅球與有一個(gè)紅球是包含關(guān)系解析:選B從盒中任取2球,出現(xiàn)球的顏色情況是,全是紅球,有一個(gè)紅球且有一個(gè)白球,全是白球,至少有一個(gè)的對(duì)立面是沒有一個(gè),所以選B.4.某家庭電話在家中有人時(shí),打進(jìn)的電話響第一聲時(shí)被接的概率為0.1,響第二聲時(shí)被接的概率為0.3,響第三聲時(shí)被接的概率為0.4,響第四聲時(shí)被接的概率為0.1,那么電話在響前四聲內(nèi)被接的概率是多少?解:記“響第一聲時(shí)被接”為事件A,“響第二聲時(shí)被接”為事件B,“響第三聲時(shí)被接”為事件C,“響第四聲時(shí)被接”為事件D.“響前四聲內(nèi)被接”為事件E,則易知A,B,C,D互斥,且E=A∪B∪C∪D,所以由互斥事件的概率的加法公式得,P(E)=P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.1+0.3+0.4+0.1=0.9.即電話在響前四聲內(nèi)被接的概率是0.9.[層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)]1.如果事件A,B互斥,記eq\x\to(A),eq\x\to(B)分別為事件A,B的對(duì)立事件,那么()A.A∪BB.eq件B.eq\x\to(A)∪eq\x\to(B)是必然事件C.eq\x\to(A)與eq\x\to(B)D.eqD.eq\x\to(A)與eq\x\to(B)一定不互斥解析:選B用Venn圖解決此類問題較為直觀.如圖所示,eq\x\to(A)∪eq\x\to(B)是必然事件,故選B.2.根據(jù)湖北某醫(yī)療所的調(diào)查,某地區(qū)居民血型的分布為:O型52%,A型15%,AB型5%,B型28%.現(xiàn)有一血型為A型的病人需要輸血,若在該地區(qū)任選一人,則此人能為病人輸血的概率為()A.67% B.85%C.48% D.15%解析:選AO型血與A型血的人能為A型血的人輸血,故所求的概率為52%+15%=67%.故選A.3.下列各組事件中,不是互斥事件的是()A.一個(gè)射手進(jìn)行一次射擊,命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6B.統(tǒng)計(jì)一個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī),平均分不低于90分與平均分不高于90分C.播種100粒菜籽,發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒D.檢驗(yàn)?zāi)撤N產(chǎn)品,合格率高于70%與合格率低于70%解析:選B對(duì)于B,設(shè)事件A1為平均分不低于90分,事件A2為平均分不高于90分,則A1∩A2為平均分等于90分,A1,A2可能同時(shí)發(fā)生,故它們不是互斥事件.4.把電影院的4張電影票隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人,每人分得1張,事件“甲分得4排1號(hào)”與事件“乙分得4排1號(hào)”是()A.對(duì)立事件 B.不可能事件C.互斥但不對(duì)立事件 D.以上答案都不對(duì)解析:選C“甲分得4排1號(hào)”與“乙分得4排1號(hào)”是互斥事件但不對(duì)立.5.一個(gè)口袋內(nèi)有大小相同的紅球、白球和黑球,從中摸出一個(gè)球,摸出紅球或白球的概率為0.58,摸出紅球或黑球的概率為0.62,那么摸出不是紅球的概率為________.解析:設(shè)A={摸出紅球},B={摸出白球},C={摸出黑球},則A,B,C兩兩互斥,A與eq\x\to(A)為對(duì)立事件,因?yàn)镻(A+B)=P(A)+P(B)=0.58,P(A+C)=P(A)+P(C)=0.62,P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=1,所以P(C)=0.42,P(B)=0.38,P(A)=0.20,所以P(eq\x\to(A))=1-P(A)=1-0.20=0.80.答案:0.806.向三個(gè)相鄰的軍火庫(kù)投一枚炸彈,炸中第一軍火庫(kù)的概率為0.025,炸中第二、三軍火庫(kù)的概率均為0.1,只要炸中一個(gè),另兩個(gè)也會(huì)發(fā)生爆炸,軍火庫(kù)爆炸的概率為________.解析:設(shè)A,B,C分別表示炸彈炸中第一、第二、第三軍火庫(kù)這三個(gè)事件,D表示軍火庫(kù)爆炸,則P(A)=0.025,P(B)=0.1,P(C)=0.1,其中A,B,C互斥,故P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225.答案:0.2257.中國(guó)乒乓球隊(duì)甲、乙兩名隊(duì)員參加奧運(yùn)會(huì)乒乓球女子單打比賽,甲奪得冠軍的概率為eq\f(3,7),乙奪得冠軍的概率為eq\f(1,4),那么中國(guó)隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為________.解析:由于事件“中國(guó)隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍”包括事件“甲奪得冠軍”和“乙奪得冠軍”,但這兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生,即彼此互斥,所以由互斥事件概率的加法公式得,中國(guó)隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為eq\f(3,7)+eq\f(1,4)=eq\f(19,28).答案:eq\f(19,28)8.據(jù)統(tǒng)計(jì),某儲(chǔ)蓄所一個(gè)窗口等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下表:排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04(1)求至多2人排隊(duì)等候的概率;(2)求至少2人排隊(duì)等候的概率.解:記在窗口等候的人數(shù)是0,1,2
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