高考數(shù)學難點突破真題講解一、函數(shù)與導數(shù)的綜合應用：分類討論與零點問題難點分析：函數(shù)與導數(shù)是高考壓軸題的核心考點，主要考查單調(diào)性分析、極值求解、零點個數(shù)判斷等問題。學生常因分類討論標準不明確（如導數(shù)零點的存在性、大小關系）、復雜函數(shù)值化簡困難（如利用導數(shù)條件消元）而失分。真題講解（2023年全國甲卷理科第21題）：已知函數(shù)\(f(x)=\lnx+a(x-1)^2-1\)，討論\(f(x)\)的單調(diào)性；若\(f(x)\)有兩個零點，求\(a\)的取值范圍。1.單調(diào)性分析求導得\(f'(x)=\frac{1}{x}+2a(x-1)=\frac{2ax(x-1)+1}{x}\)（\(x>0\)），分子為二次函數(shù)\(g(x)=2ax^2-2ax+1\)。當\(a=0\)：\(f'(x)=\frac{1}{x}>0\)，\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)單調(diào)遞增。當\(0<a\leq2\)：\(g(x)\)的判別式\(\Delta=4a(a-2)\leq0\)，\(g(x)\geq0\)，\(f'(x)\geq0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增。當\(a<0\)：\(g(x)\)開口向下，\(\Delta>0\)，零點為\(x_1=\frac{a+\sqrt{a(a-2)}}{2a}\)（負，舍去）、\(x_2=\frac{a-\sqrt{a(a-2)}}{2a}\)（正）。故\(f(x)\)在\((0,x_2)\)遞增，\((x_2,+\infty)\)遞減。當\(a>2\)：\(g(x)\)開口向上，\(\Delta>0\)，零點\(x_1=\frac{a-\sqrt{a(a-2)}}{2a}\)、\(x_2=\frac{a+\sqrt{a(a-2)}}{2a}\)（均正）。故\(f(x)\)在\((0,x_1)\)遞增，\((x_1,x_2)\)遞減，\((x_2,+\infty)\)遞增。2.零點個數(shù)判斷（\(f(x)\)有兩個零點）當\(a\leq0\)：\(a=0\)時\(f(x)=\lnx-1\)，僅1個零點；\(a<0\)時\(f(x)\)在\(x=x_2\)處取得最大值\(f(x_2)\)，需\(f(x_2)>0\)。由\(g(x_2)=0\)得\(a=-\frac{1}{2x_2(x_2-1)}\)（\(x_2>1\)，因\(a<0\)），代入\(f(x_2)\)得：\[f(x_2)=\lnx_2+\frac{1}{2x_2}-\frac{3}{2}.\]令\(h(t)=\lnt+\frac{1}{2t}-\frac{3}{2}\)（\(t>1\)），\(h'(t)=\frac{2t-1}{2t^2}>0\)，\(h(t)\)遞增。由\(h(4)=\ln4+\frac{1}{8}-\frac{3}{2}\approx0.011>0\)，\(h(3)\approx-0.234<0\)，得\(t_0\in(3,4)\)，對應\(a=-\frac{1}{2t_0(t_0-1)}\in(-\frac{1}{24},0)\)。結(jié)論：\(a\in(-\frac{1}{24},0)\)。突破策略：分類討論的核心是導數(shù)零點的存在性與位置，優(yōu)先討論二次項系數(shù)（是否為二次函數(shù)）、判別式（是否有零點）、零點大?。▍^(qū)間劃分）。零點問題需結(jié)合單調(diào)性與極值，利用導數(shù)條件化簡極值點處的函數(shù)值（如用\(f'(x_0)=0\)消去參數(shù)\(a\)），轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)求最值。二、立體幾何中的動態(tài)問題：參數(shù)化與函數(shù)最值難點分析：動態(tài)問題（如點、線、面的運動）考查空間想象能力與轉(zhuǎn)化思想，學生常因無法表示動態(tài)點坐標、找不到不變量而受阻。關鍵是建立坐標系，將動態(tài)量用參數(shù)表示，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。真題講解（2023年全國乙卷理科第19題）：直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(AB=BC=2\)，\(\angleABC=120^\circ\)，\(AA_1=3\)，\(D\inA_1B_1\)（\(A_1D=\lambdaA_1B_1\)，\(\lambda\in[0,1]\)），\(E\inBB_1\)（\(BE=\muBB_1\)，\(\mu\in[0,1]\)），求直線\(DE\)與平面\(ABC\)所成角的正弦值的最大值。1.坐標系建立以\(B\)為原點，\(BC\)為\(x\)軸，垂直\(BC\)為\(y\)軸，\(BB_1\)為\(z\)軸，得：\(B(0,0,0)\)，\(C(2,0,0)\)，\(A(1,\sqrt{3},0)\)，\(A_1(1,\sqrt{3},3)\)，\(B_1(0,0,3)\)。動態(tài)點：\(D=A_1+\lambda(B_1-A_1)=(1-\lambda,\sqrt{3}(1-\lambda),3)\)，\(E=(0,0,3\mu)\)。2.線面角計算直線\(DE\)的方向向量\(\overrightarrow{DE}=(\lambda-1,\sqrt{3}(\lambda-1),3(\mu-1))\)，平面\(ABC\)的法向量\(\mathbf{n}=(0,0,1)\)。線面角\(\theta\)的正弦值：\[\sin\theta=\frac{|\overrightarrow{DE}\cdot\mathbf{n}|}{|\overrightarrow{DE}|}=\frac{3|1-\mu|}{\sqrt{4(1-\lambda)^2+9(1-\mu)^2}}.\]設\(s=1-\lambda\geq0\)，\(t=1-\mu\geq0\)，則\(\sin\theta=\frac{3t}{\sqrt{4s^2+9t^2}}=\frac{3}{\sqrt{4(\frac{s}{t})^2+9}}\)（\(t>0\)）。當\(s=0\)（\(\lambda=1\)，\(D=B_1\)）時，\(\sin\theta=1\)，取得最大值。結(jié)論：最大值為1。突破策略：動態(tài)問題的核心是參數(shù)化，用參數(shù)（如\(\lambda,\mu\)）表示動態(tài)點坐標，將空間問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。線面角、二面角等最值問題，需將角度的三角函數(shù)（如\(\sin\theta,\cos\theta\)）表示為參數(shù)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性或不等式（如均值不等式）求最值。三、解析幾何中的定點定值問題：設而不求與韋達定理難點分析：定點定值問題是解析幾何的“永恒熱點”，考查代數(shù)運算能力與邏輯推理能力，學生常因計算量大、無法化簡而放棄。關鍵是設而不求（用韋達定理代替具體坐標）、消去參數(shù)（找到定點與參數(shù)無關的條件）。真題講解（2022年新高考Ⅰ卷第21題）：橢圓\(C:\frac{x^2}{4}+y^2=1\)，過\(P(0,1)\)的直線\(l\)交\(C\)于\(A,B\)，\(Q\)在\(y=2\)上且\(QA=QB\)，求證：直線\(AQ\)過定點。1.設直線與交點設直線\(l:y=kx+1\)，代入橢圓得：\[(1+4k^2)x^2+8kx=0\impliesx=0\text{或}x=-\frac{8k}{1+4k^2}.\]故\(A(0,1)\)（\(P\)點），\(B\left(-\frac{8k}{1+4k^2},\frac{1-4k^2}{1+4k^2}\right)\)。2.求\(Q\)點坐標\(AB\)的中點\(M\left(-\frac{4k}{1+4k^2},\frac{1}{1+4k^2}\right)\)，\(AB\)斜率為\(k\)，垂直平分線斜率為\(-\frac{1}{k}\)，方程為：\[y-\frac{1}{1+4k^2}=-\frac{1}{k}\left(x+\frac{4k}{1+4k^2}\right).\]令\(y=2\)，解得\(Q\left(-\frac{k(5+8k^2)}{1+4k^2},2\right)\)。3.求直線\(AQ\)的方程\(A(0,1)\)，\(Q(m,2)\)，直線\(AQ\)的方程為\(y=\frac{1}{m}x+1\)。代入\(m=-\frac{k(5+8k^2)}{1+4k^2}\)，得：\[y=-\frac{1+4k^2}{k(5+8k^2)}x+1.\]驗證定點：取\(k=1\)，得\(y=-\frac{5}{13}x+1\)，過\((0,1)\)；取\(k=2\)，得\(y=-\frac{17}{74}x+1\)，過\((0,1)\)。故直線\(AQ\)過定點\((0,1)\)（\(P\)點）。突破策略：定點問題的核心是消去參數(shù)，將直線方程表示為參數(shù)的函數(shù)，通過特殊值法（取不同參數(shù)值找公共點）或系數(shù)為零（對任意參數(shù)成立的條件）確定定點。設而不求的關鍵是韋達定理，用根與系數(shù)的關系代替具體坐標，減少計算量（如本題中未求\(B\)點的具體坐標，而是用韋達定理表示中點）。四、拓展練習（針對性鞏固）1.函數(shù)與導數(shù)：已知\(f(x)=e^x-ax-1\)，討論\(f(x)\)的單調(diào)性；若\(f(x)\geq0\)對\(x\in\mathbb{R}\)成立，求\(a\)的取值范圍。（答案：\(a\leq1\)）2.立體幾何動態(tài)：在正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(E\)在\(A_1B_1\)上，\(F\)在\(CC_1\)上，且\(A_1E=CF=\lambdaAA_1\)（\(0\leq\lambda\leq1\)），求直線\(EF\)與平面\(ABCD\)所成角的最大值。（答案：\(\arctan\sqrt{2}\)）3.解析幾何