2024年秋季湖北省隨州市部分高中聯(lián)考協(xié)作體12月月考

高三數(shù)學(xué)試題

本試卷共4頁，全卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.

考試時(shí)間：2024年12月21日8:00——10:00

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★★

考試范圍：

高中全部高考內(nèi)容

注意事項(xiàng)：

1、答題前，請(qǐng)將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考

證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的制定位置.

2、選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫

在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3、非選擇題作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答

題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4、考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交.

一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1

xmx0

1.若0m1，則不等式m的解集為（）

11

A.xxmB.xx或xm

mm

11

C.xxm或xD.xmx

mm

【答案】D

【解析】

【分析】解二次不等式，由m取值范圍得到兩根的大小關(guān)系，然后得到不等式解集.

1

【詳解】當(dāng)0m1時(shí)，m，

m

1

所以不等式的解集為xmx.

m

故選：D.

2.sin15cos45sin105sin135（）

123

AB.C.D.1

.222

【答案】C

【解析】

【分析】利用誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式計(jì)算可得.

【詳解】解：sin15cos45sin105sin135

sin15cos45sin9015sin18045

sin15cos45cos15sin45

3

sin1545sin60.

2

故選：C

510

3.已知cos，sin，,均為銳角，則（）

510

A.B.C.D.

12643

【答案】C

【解析】

【分析】由同角三角函數(shù)平方關(guān)系可得cos,sin，由coscos，利用兩角和差

余弦公式可求得cos，由此可得.

【詳解】,均為銳角，即,0,，,，

222

31025

cos1sin2，又sin1cos2，

105

coscoscoscossinsin

310510252

，

1051052

又0,，.

24

故選：C.

31

4.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,，若OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到向量OB，則

22

OB（）

A.(0,1)B.(1,0)

3113

C.,D.,

2222

【答案】A

【解析】

【分析】

由OA坐標(biāo)可確定其與x軸夾角，進(jìn)而得到OB與x軸夾角，根據(jù)模長相等可得到坐標(biāo).

31o

【詳解】OA,OA與x軸夾角為30OB與x軸夾角為90

22

又OBOA1OB0,1

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查向量旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)的求解問題，關(guān)鍵是能夠確定向量與x軸的夾角的大小，進(jìn)而根據(jù)模長不

變求得向量.

5.如圖，已知邊長為2的正方體ABCDA1B1C1D1，點(diǎn)E為線段CD1的中點(diǎn)，則直線AE與平面A1BCD1所

成角的正切值為

213

A.B.C.D.2

222

【答案】A

【解析】

【詳解】連接AB1交A1B于F,連接EF,由于AFA1B,AFBC,所以AF平面A1BCD1,所以角FEA

2

為所求線面角,其正切值為AF2.故選A.

2

EF12

6.已知橢圓C:16x24y21，則下列結(jié)論正確的是（）

13

A.長軸長為B.焦距為

24

13

C.短軸長為D.離心率為

42

【答案】D

【解析】

【分析】將橢圓方程寫出標(biāo)準(zhǔn)方程后得到a,b,c的值，從而知道長軸長、短軸長、焦距和離心率的值，從而

得出答案.

x2y2

【詳解】把橢圓方程16x24y21化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得11=1，

164

113

所以a，b，c，

244

31c3

則長軸長2a1，焦距2c，短軸長2b，離心率e.

22a2

故選：D.

7.10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12．設(shè)其平均

數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有（）

A.abcB.bcaC.cabD.cba

【答案】D

【解析】

【分析】將數(shù)據(jù)從小到大重新排列（也可以是從大到小），計(jì)算出a,b,c的值即可比較大小.

【詳解】解：重新排列得：10，12，14，14，15，15，16，17，17，17.

11

則有：a(15171410151717161412)14.7,b(1515)15,c17．

102

所以cba

故選：D.

8.甲、乙兩羽毛球運(yùn)動(dòng)員之間的訓(xùn)練，要進(jìn)行三場比賽，且這三場比賽可看做三次伯努利試驗(yàn)，若甲至少

63

取勝一次的概率為，則甲恰好取勝一次的概率為（）

64

13927

A.B.C.D.

446464

【答案】C

【解析】

63

【分析】設(shè)每次甲勝的概率為p，根據(jù)甲至少取勝一次的概率為，結(jié)合對(duì)立事件的概率計(jì)算求出p的值，

64

繼而利用二項(xiàng)分布的概率公式，即可求得答案.

【詳解】假設(shè)甲取勝為事件A，設(shè)每次甲勝的概率為p，

63

由題意得，事件A發(fā)生的次數(shù)XB(3,p)，則有1(1p)3，

64

32

得，則事件恰好發(fā)生一次的概率為1339，

pAC31

44464

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符

合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

x

9.已知函數(shù)f(x)eax有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，且x1x2，則下列說法正確的是

A.aeB.x1x22

C.x1x21D.f(x)有極小值點(diǎn)x0，且x1x22x0

【答案】ABD

【解析】

【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】由題意，函數(shù)f(x)exax，則f(x)exa，

當(dāng)a0時(shí)，f(x)exa0在R上恒成立，所以函數(shù)fx單調(diào)遞增，不符合題意；

當(dāng)a0時(shí)，令f(x)exa0，解得xlna，令f(x)exa0，解得xlna，

所以函數(shù)fx在(,lna)上單調(diào)遞減，在(lna,)上單調(diào)遞增，

x

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)eax有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2且x1x2，

則f(lna)elnaalnaaalnaa(1lna)0，且a0，

所以1lna0，解得ae，所以A項(xiàng)正確；

2

又由x1x2ln(ax1x2)2lnaln(x1x2)2ln(x1x2)，

2

e2

取a，則f(2)e2a0x22,f(0)10，

2

所以0x11，所以x1x22，所以B正確；

由f(0)10，則0x11，但x1x21不能確定，所以C不正確；

由函數(shù)fx在(,lna)上單調(diào)遞減，在(lna,)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)的極小值點(diǎn)為x0lna，且x1x22x02lna，所以D正確；

故選ABD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與極值，以及研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，其中解答中熟記

導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的應(yīng)用，合理判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能

力，屬于中檔試題.

10.已知向量a,b滿足ab1,b1，且ab7，則（）

A.a2B.aab

ππ

C.a與b的夾角為D.a與b的夾角為

36

【答案】AC

【解析】

【分析】由ab7兩邊平方，可得a2，再由垂直和向量夾角公式逐項(xiàng)判斷.

22

【詳解】因?yàn)閍b1,b1，且ab7|，所以a2abb7，

2

則a217，則a2，故A正確；

2

因?yàn)閍abaab413，所以a與ab不垂直，故B錯(cuò)誤；

ab11

cosa,b，又向量夾角0,π，

ab122

π

所以a與b的夾角為，故C正確，D錯(cuò)誤.

3

故選：AC.

11.下列說法正確的有（）

A.在經(jīng)驗(yàn)回歸方程y?0.85x2.3中，當(dāng)解釋變量x每增加1時(shí)，響應(yīng)變量y平均減少2.3

B.在經(jīng)驗(yàn)回歸方程y?0.85x2.3中，相對(duì)于樣本點(diǎn)(1,1.2)的殘差為–0.25

C.在殘差圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，其模型的擬合效果越好

D.若兩個(gè)變量的決定系數(shù)R2越大，表示殘差平方和越小，即擬合效果越好

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的解析式即可判斷A；根據(jù)回歸方程計(jì)算，由殘差定義即可求得結(jié)果可判斷B；

根據(jù)殘差圖的分布情況分析可判斷C；根據(jù)決定系數(shù)的意義即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閥?0.85x12.30.85x2.30.85，

當(dāng)解釋變量x每增加1時(shí)，響應(yīng)變量y平均減少0.85，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，因?yàn)閥?0.8512.31.45，1.21.450.25，

所以相對(duì)于樣本點(diǎn)(1,1.2)的殘差為0.25，故B正確；

對(duì)于C，在殘差圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，其模型的擬合效果越好，故C正確；

對(duì)于D，由決定系數(shù)R2的意義可知，R2越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好，故D正確.

故選：BCD.

三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分

1x

12.函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為__________.

1x

【答案】(,1),(1,)

【解析】

【分析】

先求出函數(shù)的定義域，分離常數(shù)后利用“同增異減”可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

【詳解】f(x)的定義域?yàn)?,1)(1,)，

1x2

又f(x)1，

1xx1

令ux1,x,11,.

2

當(dāng)x,1時(shí)，ux1為增函數(shù)，而y1為減函數(shù)，

u

故fx在,1為減函數(shù).

2

當(dāng)時(shí)，ux1為增函數(shù)，而y1為減函數(shù)，

u

?∈?1,+∞

故fx在1,為減函數(shù).

1x

綜上，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(,1),(1,).

1x

故答案為：(,1),(1,).

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)fhx的單調(diào)區(qū)間，可先令uhx,yfu，利用這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性

結(jié)合“同增異減”的原則來判斷fhx的單調(diào)性，本題為基礎(chǔ)題.

13.數(shù)列an滿足：a12，an13an2n1，則an__________.

【答案】n1

an3n

【解析】

an1n1

【分析】由題意，把a(bǔ)n13an2n1轉(zhuǎn)化為3，可判斷出ann為等比數(shù)列，求出

ann

ann的通項(xiàng)公式，即可得到an.

【詳解】因?yàn)閍n13an2n1，

所以an1n13ann，

an1

所以n13，

ann

又因?yàn)閍112110，

所以ann為首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，

所以n1，所以n1

ann13an13n.

故答案為：n1

an3n.

【點(diǎn)睛】數(shù)列求通項(xiàng)公式的方法：①觀察歸納法；②公式法；③由Sn求an；④累加（乘）法；⑤由遞推公

式求通項(xiàng)公式；

14.設(shè)P為直線l:2xy90上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓x2y29的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，

B，則直線AB恒過定點(diǎn)_____________.

【答案】2,1

【解析】

【分析】設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，由切線的性質(zhì)得到點(diǎn)A，B，在以線段OP為直徑的圓上，然后寫出圓C方程，由

兩個(gè)圓公共弦的求法求得直線方程，再由直線方程得到定點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】因?yàn)镻為直線l:2xy90上的任一點(diǎn)，所以設(shè)Pm,2m9，

由于圓x2y29的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為切A，B，

所以O(shè)APA，OBPB，則點(diǎn)A，B在以線段OP為直徑的圓上，

即線段AB是圓O和圓C的公共弦，

2

m2m9m22m9

則圓心C的坐標(biāo)是,，且半徑的平方是r2，

224

222

m2m9m22m9

所以圓C的方程是xy，

224

又x2y29，兩式相減，得mx2m9y90，

即公共弦AB所在的直線方程是mx2m9y90，即mx2y9y90，

x2y0x2

由，解得，所以直線AB恒過定點(diǎn)2,1.

9y90y1

故答案為：2,1.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于，利用圓的切線的性質(zhì)分析得點(diǎn)A，B在以線段OP為直徑的圓

上，從而得解.

四、解答題：本題共5小題，共77分

15.對(duì)于函數(shù)fx，若fxx，則稱x為fx的“不動(dòng)點(diǎn)”；若ffxx，則稱x為fx的“穩(wěn)

定點(diǎn)”；設(shè)函數(shù)yfx的不動(dòng)點(diǎn)集合為A，穩(wěn)定點(diǎn)集合為B，

（1）求證:AB;

（2）若函數(shù)fx單調(diào)遞增，則AB.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）由新定義驗(yàn)證“不動(dòng)點(diǎn)”一定是“穩(wěn)定點(diǎn)”即可；

（2）由新定義驗(yàn)證當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)，“穩(wěn)定點(diǎn)”一定是“不動(dòng)點(diǎn)”，再結(jié)合（1）中結(jié)論得到兩個(gè)集合相等.

【小問1詳解】

不妨設(shè)x0A，則由題知fx0x0，則ffx0fx0x0，故x0B，所以AB.

【小問2詳解】

設(shè)tB，則fftftt，

因?yàn)楹瘮?shù)fx單調(diào)遞增，所以存在唯一a，使fta，fat，

若at，則faft，得到ta，與at矛盾;

若at，則faft，得到ta，與at矛盾，

故必有at，所以ftt，即tA，即BA

又由（1）知AB，所以AB，

即當(dāng)函數(shù)fx單調(diào)遞增時(shí)，AB.

16.已知函數(shù)f(x)axsinx.

（1）若函數(shù)f(x)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）求證：當(dāng)x0時(shí)，ex2sinx.

【答案】（1）[1,)

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意f(x)0恒成立，參變分離可得acosx在R上恒成立，再根

據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；

（2）由（1）可知當(dāng)x0時(shí)xsinx恒成立，所以即證ex2x0在(0,)上恒成立，令

g(x)ex2x,(x0)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可得證；

【小問1詳解】

解：因?yàn)閒(x)axsinx，所以f(x)acosx，

由函數(shù)f(x)為增函數(shù)，則f(x)acosx0恒成立，

即acosx在R上恒成立，

ycosx1,1，a1

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,)

【小問2詳解】

證明：由（1）知當(dāng)a1時(shí)，f(x)xsinx為增函數(shù)，

當(dāng)x0時(shí)，f(x)f(0)0xsinx，

要證當(dāng)x0時(shí)，ex2sinx，只需證當(dāng)x0時(shí)，ex2x，

即證ex2x0在(0,)上恒成立，

設(shè)g(x)ex2x,(x0)，則g(x)ex2，令g(x)0解得xln2，

g(x)在(0,ln2)上單調(diào)遞減，在(ln2,)上單調(diào)遞增，

ln2

g(x)ming(ln2)e2ln22(1ln2)0，

g(x)g(ln2)0,ex2x成立，故當(dāng)x0時(shí)，ex2sinx.

*

17.已知正項(xiàng)數(shù)列an，其前n項(xiàng)和Sn滿足an(2Snan)1(nN).

2

（1）求證：數(shù)列Sn是等差數(shù)列，并求出Sn的表達(dá)式；

11

（）數(shù)列中是否存在連續(xù)三項(xiàng)，，，使得，，1構(gòu)成等差數(shù)列？請(qǐng)說明理由

2anakak1ak2a.

akak1k2

【答案】（）證明見解析，；

1Snn

（2）不存在，理由見解析.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)給定遞推公式，結(jié)合“當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1”建立Sn與Sn1的關(guān)系即可推理作答.

（2）由（1）求出an，利用反證法導(dǎo)出矛盾，推理作答.

【小問1詳解】

2

依題意，正項(xiàng)數(shù)列an中，a11，即a11，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，即

(SnSn1)2Sn(SnSn1)1，

22222

整理得SnSn11，又S1a11，因此，數(shù)列Sn是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

則2，因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，即，

SnnanSn0

所以

Snn.

【小問2詳解】

不存在，

當(dāng)時(shí)，，又，即*，都有，

n2anSnSn1nn1a11nNannn1

11

則nn1，

annn1

111

假設(shè)存在滿足要求的連續(xù)三項(xiàng)ak,ak1,ak2，使得,,構(gòu)成等差數(shù)列，

akak1ak2

則2(k1k)kk1k2k1，即k1kk1k2，

兩邊同時(shí)平方，得k1k2k1kk1k22k1k2，即(k1)k(k1)(k2)，

整理得：k2kk2k2，即02，顯然不成立，因此假設(shè)是錯(cuò)誤的，

所以數(shù)列an中不存在滿足要求的連續(xù)三項(xiàng).

18.如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E為CD的中點(diǎn).

（1）求證：B1EAD1.

（2）在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP//平面B1AE.若存在，求AP的長；若不存在，說明理由.

1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.

2

【解析】

【分析】（）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，證明即可；

1AB1EAD10

a1

（）設(shè)，求出平面的一個(gè)法向量，滿足即可求出，即可

2P0,0,z0B1AEn1,,anDPz0

22

得出.

【詳解】（）證明：以為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，軸的正方向建立空間直角

1AABADAA1z

坐標(biāo)系（如圖）.

a

=

設(shè)ABa，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E,1,0，B1(a,0,1)，

2

aa

故AD1(0,1,1)，B1E,1,1，AB(a,0,1)，AE,1,0.

212

a

因?yàn)锽EAD1011(1)10，所以BEAD.

1211

（）假設(shè)棱上存在一點(diǎn)，使得平面，此時(shí)

2在AA1P0,0,z0DP//B1AEDP0,1,z0.

又設(shè)平面B1AE的法向量n(x,y,z)，

axz0

nAB1a

所以，得，取，得平面的一個(gè)法向量

axx1B1AEn1,,a.

nAEy02

2

a1

要使平面，只要，有，解得

DP//B1AEnDPaz00z0.

22

1

又DP平面B1AE，所以存在點(diǎn)P，滿足DP//平面B1AE，此時(shí)AP.

2

【點(diǎn)睛】利用向量解決位置關(guān)系的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，

破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式

關(guān)”.

19.為豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，學(xué)校羽毛球社團(tuán)舉行羽毛球團(tuán)體賽，賽制采取5局3勝制，每局都是單打模式，

每隊(duì)有5名隊(duì)員，比賽中每個(gè)隊(duì)員至多上場一次且上場順序是隨機(jī)的，每局比賽結(jié)果互不影響，經(jīng)過小組

賽后，最終甲乙兩隊(duì)進(jìn)入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲隊(duì)明星隊(duì)員M對(duì)乙隊(duì)的每名隊(duì)員的勝

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