2.3.2圓的一般方程[學習目標]1.正確理解圓的方程的形式及特點，會由一般式求圓心和半徑.2.會在不同條件下求圓的一般式方程.[知識鏈接]1.圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，它的圓心坐標為(a，b)，半徑為r.2.點與圓的位置關(guān)系有點在圓外、點在圓上、點在圓內(nèi)，可以利用代數(shù)法與幾何法進行判斷.[預習導引]1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方得：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(D,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(E,2)))2＝eq\f(D2＋E2－4F,4).(1)當D2＋E2－4F＝0時，方程表示一個點，該點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))；(2)當D2＋E2－4F<0時，方程不表示任何圖形；(3)當D2＋E2－4F>0時，方程表示的曲線為圓，它的圓心坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑等于eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)，上述方程稱為圓的一般方程.2.比較二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0和圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，可以得出以下結(jié)論：當二元二次方程具有條件：(1)x2和y2的系數(shù)相同，且不等于0，即A＝C≠0；(2)沒有xy項，即B＝0；(3)D2＋E2－4AF>0時，它才表示圓.要點一圓的一般方程的概念例1下列方程能否表示圓？若能表示圓，求出圓心和半徑.(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－5x＝0.解(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2與y2的系數(shù)不相同，∴它不能表示圓.(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy這樣的項.∴它不能表示圓.(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化為(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴它不能表示圓.(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,4)))2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))2，∴它表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，0))為圓心，eq\f(5,4)為半徑長的圓.規(guī)律方法二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，應(yīng)滿足的條件是：①A＝C≠0，②B＝0，③D2＋E2－4AF>0.跟蹤演練1如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圓的方程，則實數(shù)k的范圍是________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,4)))解析由題意可知(－2)2＋12－4k>0，即k<eq\f(5,4).要點二求圓的一般方程例2已知△ABC的三個頂點為A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圓方程、圓心坐標和外接圓半徑.解方法一設(shè)△ABC的外接圓方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A，B，C在圓上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋16＋D＋4E＋F＝0，,4＋9－2D＋3E＋F＝0，,16＋25＋4D－5E＋F＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝2，,F＝－23，))∴△ABC的外接圓方程為x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.∴圓心坐標為(1，－1)，外接圓半徑為5.方法二設(shè)△ABC的外接圓方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵A、B、C在圓上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((1－a)2＋(4－b)2＝r2，,(－2－a)2＋(3－b)2＝r2，,(4－a)2＋(－5－b)2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，,r＝5，))即外接圓的圓心為(1，－1)，半徑為5，∴圓的標準方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝25，展開易得其一般方程為x2＋y2－2x＋2y－23＝0.方法三∵kAB＝eq\f(4－3,1＋2)＝eq\f(1,3)，kAC＝eq\f(4＋5,1－4)＝－3，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.∴△ABC是以角A為直角的直角三角形.∴圓心是線段BC的中點，坐標為(1，－1)，r＝eq\f(1,2)|BC|＝5.∴外接圓方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝25.展開得一般方程為x2＋y2－2x＋2y－23＝0.規(guī)律方法應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程時：(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心的坐標或半徑列方程的問題，一般采用圓的標準方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r.(2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D、E、F.跟蹤演練2已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求三角形ABC的外接圓的方程.解設(shè)三角形ABC外接圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2D＋2E＋F＋8＝0，,5D＋3E＋F＋34＝0，,3D－E＋F＋10＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝－2，,F＝12，))即三角形ABC的外接圓方程為x2＋y2－8x－2y＋12＝0.要點三求動點的軌跡方程例3等腰三角形的頂點是A(4,2)，底邊一個端點是B(3,5)，求另一個端點C的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么？解設(shè)另一端點C的坐標為(x，y).依題意，得|AC|＝|AB|.由兩點間距離公式，得eq\r((x－4)2＋(y－2)2)＝eq\r((4－3)2＋(2－5)2)，整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10.這是以點A(4,2)為圓心，以eq\r(10)為半徑的圓，如圖所示，又因為A、B、C為三角形的三個頂點，所以A、B、C三點不共線.即點B、C不能重合且B、C不能為圓A的一直徑的兩個端點.因為點B、C不能重合，所以點C不能為(3,5).又因為點B、C不能為一直徑的兩個端點，所以eq\f(x＋3,2)≠4，且eq\f(y＋5,2)≠2，即點C不能為(5，－1).故端點C的軌跡方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去點(3,5)和(5，－1))，它的軌跡是以點A(4,2)為圓心，eq\r(10)為半徑的圓，但除去(3,5)和(5，－1)兩點.規(guī)律方法求與圓有關(guān)的軌跡問題常用的方法.①直接法：根據(jù)題目的條件，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，設(shè)出動點坐標，并找出動點坐標所滿足的關(guān)系式.②定義法：當列出的關(guān)系式符合圓的定義時，可利用定義寫出動點的軌跡方程.③相關(guān)點法：若動點P(x，y)隨著圓上的另一動點Q(x1，y1)運動而運動，且x1，y1可用x，y表示，則可將Q點的坐標代入已知圓的方程，即得動點P的軌跡方程.跟蹤演練3已知直角△ABC的兩個頂點A(－1,0)和B(3,0)，求直角頂點C的軌跡方程.解方法一設(shè)頂點C(x，y)，因為AC⊥BC，且A，B，C三點不共線，所以x≠3且x≠－1.又kAC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3).且kAC·kBC＝－1，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，化簡得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1).方法二△ABC是以C為直角頂點的直角三角形，設(shè)頂點C(x，y)，因為A，B，C三點不共線，所以x≠3且x≠－1.由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，化簡得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1).1.圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標是()A.(2,3) B.(－2,3)C.(－2,－3) D.(2,－3)答案D解析－eq\f(D,2)＝2，－eq\f(E,2)＝－3，∴圓心坐標是(2，－3).2.方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一個圓，則實數(shù)k的取值范圍為()A.k≤eq\f(1,2) B.k＝eq\f(1,2)C.k≥eq\f(1,2) D.k<eq\f(1,2)答案D解析方程表示圓?1＋1－4k>0?k<eq\f(1,2).3.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的圖形為()A.以(a，b)為圓心的圓 B.以(－a，－b)為圓心的圓C.點(a，b) D.點(－a，－b)答案D解析原方程可化為：(x＋a)2＋(y＋b)2＝0.所以它表示點(－a，－b).4.圓x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直徑為3，則m的值為________.答案eq\f(11,4)解析∵(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，∴r＝eq\r(5－m)＝eq\f(3,2)，∴m＝eq\f(11,4).5.圓C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圓心到直線3x＋4y＋4＝0的距離d＝________.答案3解析圓心(1,2