第十章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第3節(jié)二項式定理INNOVATIVEDESIGN1.能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理.

2.會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題.目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點聚焦突破02課時對點精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE

k+12.二項式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)描述對稱性與首末等距離的兩個二項式系數(shù)相等,即__________增減性二項式系數(shù)當(dāng)k<(n∈N*)時,是______的當(dāng)k>(n∈N*)時,是______的二項式系數(shù)最大值當(dāng)n為偶數(shù)時,中間的一項______取得最大值當(dāng)n為奇數(shù)時,中間的兩項相等且取得最大值

遞增遞減

2n2n-1常用結(jié)論與微點提醒

×

×√√A

-1213.(人教A選修三P34T1改編)在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展開式中,含x3的項的系數(shù)是

.

0

考點聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點一

二項展開式與通項

A

B

D(2)(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為

.

30

B

思維建模1.求二項展開式中的特定項,一般是化簡通項后,令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時,指數(shù)為零;求有理項時,指數(shù)為整數(shù)等),解出項數(shù)k+1,代回通項即可.2.對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題,一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律,結(jié)合組合思想求解,對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決,或利用展開式的原理求解.3.對于整除問題,要注意尋找目標展開式,如被9整除時,242=814=(9-1)14.A

A

20

考點二

二項式系數(shù)的和與各項系數(shù)的和AD

(2)(2025·嘉興調(diào)研)若(1+x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,則a2+a6+a8=

;a1+2a2+3a3+…+10a10=

.

3005

120

思維建模

訓(xùn)練2

(2025·開封質(zhì)檢)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,則a0+a2+a4=(

) A.-40 B.40 C.41 D.82

解析

(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,

令x=1,得a4+a3+a2+a1+a0=1,①

令x=-1,得a4-a3+a2-a1+a0=(-3)4=81,②

①+②得2(a4+a2+a0)=1+81=82,

所以a4+a2+a0=41.C考點三

系數(shù)的最值問題例5

(多選)(2025·鄭州質(zhì)檢)關(guān)于(a-b)11的說法,正確的是(

) A.展開式中的二項式系數(shù)之和為2

048 B.展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大 C.展開式中第6項和第7項的二項式系數(shù)最大 D.展開式中第6項的系數(shù)最小

解析

由二項式系數(shù)的性質(zhì)知,(a-b)11的二項式系數(shù)之和為211=2

048,故A正確;

因為(a-b)11的展開式共有12項,中間兩項的二項式系數(shù)最大,即第6項和第7項的二項式系數(shù)最大,故C正確,B錯誤;

因為展開式中第6項的系數(shù)是負數(shù),且絕對值最大,所以展開式中第6項的系數(shù)最小,故D正確.ACD思維建模

D

7

教考銜接

從增減性看系數(shù)的最值1.教材母題

(1)(人教A選修三P38T1(7))(1+x)2n的展開式中,系數(shù)最大的項是第

項.

5

課時對點精練3KESHIDUIDIANJINGLIAN

B2.(2025·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)設(shè)(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,則a1+a2+…+a5=(

) A.-2 B.-1 C.242

D.243

解析

在(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5中,

令x=0,得15=a0,所以a0=1;

令x=1,得35=a0+a1+a2+a3+a4+a5,

所以a1+a2+a3+a4+a5=35-a0=242.C

B

C

D

D7.(2025·咸陽質(zhì)檢)已知(2x-1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,則|a0|+|a1|+…+|a5|

等于(

)A.1 B.243 C.121

D.122解析

令x=1,得a5+a4+a3+a2+a1+a0=1,①令x=-1,得-a5+a4-a3+a2-a1+a0=-243,②由①+②,得2(a4+a2+a0)=-242,即a4+a2+a0=-121.由①-②,得2(a5+a3+a1)=244,即a5+a3+a1=122.所以|a0|+|a1|+…+|a5|=-a0+a1-a2+a3-a4+a5=122+121=243.B

B

BCD

BD

11.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出著名的楊輝三角,由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.如圖所示,由楊輝三角的左腰上的各數(shù)出發(fā),引一組平行線,從上往下每條線上各數(shù)之和依次為1,1,2,3,5,8,13,….以下關(guān)于楊輝三角的猜想中正確的是(

)ABD

-28

13.設(shè)a∈Z,且0≤a≤13,若512

026+a能被13整除,則a等于

.

12

14.(2023·上海卷)已知(1+2

023x)100+(2

023-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,其中a0,a1,a2,…,a100∈R,若0≤k≤100且k∈N,當(dāng)ak<0時,k的最大值為

.

49

解

若選①:因為只有第5項的二項式系數(shù)最大,所以展開式中共有9項,即n+1=9,得n=8.

(2)求a1+2a2+3a3+…+nan的值.解

由(1)可知,n=8,(2x-1)8=a0