第1頁(yè)、共2頁(yè)2010年山東高考數(shù)學(xué)理科源頭第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（1）已知全集U=R，集合，則 （A） （B） （C） （D）（2）已知，其中為虛數(shù)單位，則 （A）-1 （B）1 （C）2 （D）3（3）在空間，下列命題正確的是 （A）平行直線的平行投影重合 （B）平行于同一直線的兩個(gè)平面平行 （C）垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行 （D）垂直于同一平面的兩條直線平行（4）設(shè)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為常數(shù)），則 （A）3 （B）1 （C）-1 （D）-3（5）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則 （A）0.477 （B）0.628 （C）0.954 （D）0.977（6）樣本中共有五個(gè)個(gè)體，其值分別為，若該樣本的平均值為1，則樣本方差為 （A） （B） （C） （D）2（7）由曲線圍成的封閉圖形面積為 （A） （B） （C） （D）（8）某臺(tái)小型晚會(huì)由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位，該臺(tái)晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有 （A）36種 （B）42種 （C）48種 （D）54種（9）設(shè)是等比數(shù)列，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的 （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（10）設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值分別為 （A）3，-11 （B）-3，-11 （C）11，-3 （D）11，3（11）函數(shù)的圖象大致是 （A） （B） （C） （D）（12）定義平面向量之間的一種運(yùn)算“⊙”如下：對(duì)任意的。令⊙下面說法錯(cuò)誤的是 （A）若與共線，則⊙ （B）⊙⊙ （C）對(duì)任意的⊙⊙ （D）⊙第Ⅱ卷（共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。（13）執(zhí)行右圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的值為。（14）若對(duì)任意恒成立，則的取值范圍是。（15）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為，若，則角A的大小為。（16）已知圓C過點(diǎn)（1，0），且圓心在軸的正半軸上，直線被圓C所截得的弦長(zhǎng)為，則過圓心且與直線垂直的直線的方程為。三、解答題：本大題共6小題，共74分。（17）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，其圖象過點(diǎn)（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的最大值和最小值。（18）（本小題滿分12分） 已知等差數(shù)列滿足：的前項(xiàng)和為（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和（19）（本小題滿分12分） 如圖，在五棱錐P—ABCDE中，平面ABCDE，AB//CD，AC//ED，AE//BC，，三角形PAB是等腰三角形。（Ⅰ）求證：平面PCD平面PAC；（Ⅱ）求直線PB與平面PCD所成角的大小；（Ⅲ）求四棱錐P—ACDE的體積。（20）（本小題滿分12分）某學(xué)校舉行知識(shí)競(jìng)賽，第一輪選拔共設(shè)有A、B、C、D四個(gè)問題，規(guī)則如下：①每位參加者計(jì)分器的初初始分均為10分，答對(duì)問題A、B、C、D分別加1分、2分、3分、6分，答錯(cuò)任一題減2分②每回答一題，計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于8分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于14分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；當(dāng)答完四題，累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足14分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；③每位參加者按問題A、B、C、D順序作答，直至答題結(jié)束.假設(shè)甲同學(xué)對(duì)問題A、B、C、D回答正確的概率依次為，且各題回答正確與否相互之間沒有影響.（Ⅰ）求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率；（Ⅱ）用表示甲內(nèi)當(dāng)家本輪答題結(jié)束時(shí)答題的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E.（21）（本小題滿分12分）如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為，一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于項(xiàng)點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明：；（Ⅲ）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.（22）（本小題滿分14分） 已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)時(shí)，若對(duì)任意，存在，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2010年山東理科高考數(shù)學(xué)解析參考答案一、選擇題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分60分。（1）C（2）B（3）D（4）D（5）C（6）D（7）A（8）B（9）C（10）A（11）A（12）B1.C解析：本題考查了絕對(duì)值不等式的解法及補(bǔ)集的運(yùn)算．∵，∴故選C.2.B解析：本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的條件．∵，又,由復(fù)數(shù)相等的條件,得，即．∴．故選B．3.D解析：本題考查了空間中直線與直線、平面與平面、直線與平面的位置關(guān)系的理解與判斷．對(duì)A,平行直線的平行投影平行或重合，故A錯(cuò)；對(duì)B，平行于同一直線的兩個(gè)平面平行或重合，故B錯(cuò)；對(duì)C，垂直于同一平面的兩個(gè)平面可相交，如墻角，故C錯(cuò)．4.D解析：本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)．∵是奇函數(shù)，故，故，∴，故選D．5.C解析：本題考查了正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與軸之間的面積為１．∵１，∴正態(tài)曲線關(guān)于直線即軸對(duì)稱．∴．故選C．6.D解析：本題考查了 均值與方差的求解公式．∵，得．∴．7.A解析：本題考查了利用定積分求圖形的面積．∵得交點(diǎn)為，，所以所求圖形的面積是．8.B解析：本題考查了用兩個(gè)原理及排列知識(shí)解決實(shí)際問題，求解時(shí)應(yīng)注意分類討論思想的應(yīng)用．若甲在第一位，則有種編排方案；若甲在第二位，則有種編排方案．故共有種編排方案．9.C解析：本題考查了充分、必要條件的概念，等比數(shù)列的性質(zhì)，以及邏輯推理能力．等比數(shù)列為遞增數(shù)列，得公比且，即充要條件為或，又由即可推出或．故二者互為充要條件．10.A解析：本題考查了線性規(guī)劃知識(shí)，求解時(shí)應(yīng)明確線性目標(biāo)函數(shù)的傾斜角與可行域邊界直線的傾斜角的大小關(guān)系．如下圖作出不等式組表示的可行域，由于的斜率介于與之間，因此解得，故當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，；解得，故當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，．11.A解析：本題考查了函數(shù)的圖象等基礎(chǔ)知識(shí)及學(xué)生的識(shí)圖能力，求解時(shí)應(yīng)根據(jù)單調(diào)性及時(shí)根的情況判斷．由有三個(gè)交點(diǎn)可得有三個(gè)零點(diǎn)，故排除B，C．分析圖象A，D的區(qū)別在于當(dāng)時(shí)，，故排除D，應(yīng)選A．12.B解析：本題考查了運(yùn)用新知識(shí)解決問題的能力和向量線性運(yùn)算以及綜合分析問題的能力．由題意知，若，共線，則．又，故A正確；，故B錯(cuò)誤，選B．，故C正確；，故D正確．二、填空題13.解析：本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，一般都可以反復(fù)的進(jìn)行運(yùn)算直到滿足條件結(jié)束．此時(shí)，輸出．14.解析：本題考查了恒成立問題和由基本不等式求函數(shù)最值問題．由，原不等式等價(jià)為恒成立，所以有，即，解得．15.解析：本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)及利用正弦定理解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)以及運(yùn)算能力．∵，即，在中，，∴，∴．又∵，所以銳角．由正弦定理得，得．16.解析：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系及確定直線的條件由已知設(shè)圓心，又所求直線與垂直，故所求直線為．則，弦心距為，半弦長(zhǎng)為，半徑為，三者構(gòu)成以半徑長(zhǎng)為斜邊的直角三角形，則，解得或（舍去）．所求直線方程為．三、解答題（17）本小題主要考查綜合運(yùn)用三角函數(shù)公式、三角函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行運(yùn)算、變形、轉(zhuǎn)換和求解的能力，滿分12分。 解：（Ⅰ）因?yàn)?所以 又函數(shù)圖象過點(diǎn) 所以 即 又 所以（Ⅱ）由（Ⅰ）知，將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，可知 因?yàn)?所以 因此 故 所以上的最大值和最小值分別為和（18）本小題主要考查等差數(shù)列的基本知識(shí)，考查邏輯推理、等價(jià)變形和運(yùn)算能力。 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為， 由于， 所以， 解得 由于 所以（Ⅱ）因?yàn)?所以 因此 故 所以數(shù)列的前項(xiàng)和（19）滿分12分。（Ⅰ）證明：在中，因?yàn)椤?，BC=4， 所以 因此 故 所以 又平面ABCDE，AB//CD， 所以 又PA，AC平面PAC，且PA∩AC=A， 所以CD平面PAC，又平面PCD， 所以平面PCD平面PAC。（Ⅱ）解法一： 因?yàn)槭堑妊切危?所以 因此 又AB//CD， 所以點(diǎn)B到平面PCD的距離等于點(diǎn)A到平面PCD的距離。 由于CD平面PAC，在中， 所以PC=4 故PC邊上的高為2，此即為點(diǎn)A到平面PCD的距離， 所以B到平面PCD的距離為 設(shè)直線PB與平面PCD所成的角為， 則， 又 所以 解法二： 由（Ⅰ）知AB，AC，AP兩兩相互垂直，分別以AB，AC，AP為軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由于是等腰三角形， 所以 又， 因此 因?yàn)锳C//DE，， 所以四邊形ACDE是直角梯形， 因?yàn)?所以 因此 故 所以 因此 設(shè)是平面PCD的一個(gè)法向量， 則 解得 取 又 設(shè)表示向量與平面PCD的法向量所成的角， 則 所以 因此直線PB與平面PCD所成的角為（Ⅲ）因?yàn)锳C//ED， 所以四邊形ACDE是直角梯形 因?yàn)椋?所以 因此 故 所以 又平面ABCDE， 所以（21）如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為，一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明：；（Ⅲ）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為， 由題意知 所以 又，因此 故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 由題意設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 因?yàn)榈容S雙曲線的頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)， 所以 因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（Ⅱ）設(shè) 則 因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上， 所以 因此 即（Ⅲ）由于PF1的方程為，將其代入橢圓方程得 由違達(dá)定理得 所以 同理可得 則 又 所以 故 因此，存在， 使恒成立。（22）（本小題滿分14分） 已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)時(shí)，若對(duì)任意，存在，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（22）解：（Ⅰ）因?yàn)?所以 令 （1）當(dāng) 所以，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞（2）當(dāng) 即，解得 ①當(dāng)時(shí)，恒成立， 此時(shí)，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減； ②當(dāng) 時(shí)，單調(diào)遞減； 時(shí)，單調(diào)遞增； ，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減； ③當(dāng)時(shí)，由于 時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減； 時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增。 綜上所述： 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（０，１）上單調(diào)遞減； 函數(shù)