第七章空間向量與立體幾何

7.3.1空間向量在立體幾何中的應(yīng)用（題型戰(zhàn)法）

知識梳理

一空間向量的線性運(yùn)算與坐標(biāo)運(yùn)算

1.空間向量的線性運(yùn)算

包含向量的加減運(yùn)算，數(shù)乘，用基地表示向量等。

2.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

一般地，A=（xi，y\,zi）,B=（X2，?2，Z2）.那么荏=（X2%1，Z/l）

空間向量a,b,其坐標(biāo)形式為a=（xi,yi,zi）,b=（x2,吟Z2）.

向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示

加法a+bQ+6=(X1+X2,H力2，Z1+Z2)

減法abab=(x\xi,y\yi,z\zi)

數(shù)乘Xa，Ayi，Azi)

數(shù)量積a-ba'b=x\X2^-y\y2^-ziZ2

特別地，（1）如果v是兩個(gè)實(shí)數(shù)，那么話=（/zxi+vx2,/{yi+明，/zzi+vz2）.

(2)同=+、；+z；.

a-b_xxx2+yxy2+ZR2

(3)cos"，"而'J'；+/+z；Jx；+J+z；(“邦，

3.空間向量的坐標(biāo)與空間向量的平行、垂直

設(shè)a=(xi,yi,zi),6=(x2,/，Z2)，

則有。〃。0二=里=二(其中xuiziWO)；

占Ji4

a_l_b=a6=0=xiX2+yu2+ziZ2=0.

4.空間向量共面定理

第1頁共41頁

(1)如果兩個(gè)向量a,b不共線，則向量〃，b,。共面的充要條件是，存在唯一的實(shí)數(shù)對(x,>),使c=xa+yb.

(2)ABCD四點(diǎn)共面,0為面外的一點(diǎn)：OD=xOA+yOB+zOC,x+y+z=1

二空間向量的夾角與距離問題

1.線線角的求法

設(shè)直線AB、CD對應(yīng)的方向向量分別為裾，而，則直線AB與CD所成的角為。。

cos3—\cos{AB,CD)\o

注意：線線角的范圍［0。,90。］

2.線面角的求法

設(shè)H是平面a的法向量，45是直線/的方向向量，直線/與平面a所成角為。。

sin9—\cos{ABji)\o

注意：線面角的范圍［0。,90。］

3.二面角的求法

設(shè)分別是二面角a-/-夕的兩個(gè)面a，夕的法向量，則。就是二面角的平面角或其補(bǔ)角的大

小。

cos。=土cos(〃1，〃2》(判斷角的鈍銳)

注意：二面角的范圍［0。,180。］

4.距離的求法

設(shè)H是平面a的法向量，AB是平面a的一條斜線，Bea,H是平面a的法向量。則點(diǎn)A到平面a

的距離：

d_I麗

IHI0

題型戰(zhàn)法

第2頁共41頁

題型戰(zhàn)法一空間向量的線性運(yùn)算

典例1.如圖所示，在三棱錐。-/8c中，設(shè)厲=￡,OB=b,OC=c,若赤=屜，BM=2MC,

貝I」旃=()

1-12-1一11一1-11-

A.-a-b--cB.——a——b7+—cC.—a——b7——cD.——a+—b7+—c

2+63263263263

【答案】A

【分析】連接。河，ON,利用向量的線性運(yùn)算可求礪的表示形式，從而可得正確的選項(xiàng).

【詳解】連接。河，ON,

則加=而_而=；例+函—西+.)

1—?—?—.1—?

=-(OA+OB)-OC--CB

1—?——?——?1—?——?1―?1-2——>

=-(OA+OB)-OC——(OB-OC)=-OA+-OB——0C

23263

1-12-

=—a+—b7——c.

263

故選：A.

變式11.如圖,在斜三棱柱ABC-4片G中,M為8C的中點(diǎn),N為4。靠近4的三等分點(diǎn)，設(shè)血=&,

AC^b,AAx=c,則用3,b,表示兩為()

第3頁共41頁

N

4

11-

A.-a+-b-cB.--a+-b+cC.—ci——b-cD.--a--b+c

26262626

【答案】A

【分析】結(jié)合圖形,根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可得到答案.

2+—11-17T

【詳解】NM=NCi+C*CM=m-c+”―--b-c

26

故選：A

變式12.如圖，在斜棱柱NBC。-44GA中，ZC與3。的交點(diǎn)為點(diǎn)"，AB=a，AD=b，M=c,

貝lj詬=()

B.—a—b—c

2222

]一

C.——a+—]b7+_cD.——a——b+c

2222

【答案】A

【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算用￡五）表示出村即可得.

［詳解］不?=加_鶯［俸+而）（益+就+西）=-1a-1S-c,

----*?I—??-?一

MC=-CM=-a+-b+c.

1]122

故選：A.

變式13.如圖所不，在平行六面體/BCD-44cl4中，AB=a,AD=b＞，4=c,點(diǎn)M是4。的

中點(diǎn)，點(diǎn)N是上的點(diǎn)，且CN:C4=1:4,則向量加可表示為（）

第4頁共41頁

AiM

\G

N'\/

、/

\//

c

c1一17一

—a+b+cB.一H—bc

244

【答案】D

【分析】根據(jù)空間向量加法和減法的運(yùn)算法則，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算即可求解.

【詳解】解：因?yàn)樵谄叫辛骟wNBC。-44cH中，AB=a,AD=b，數(shù)=入點(diǎn)”是4A的中

點(diǎn)，點(diǎn)N是C4上的點(diǎn)，且CN:C4=1:4,

所以

MN=\IA.+7^N=-}-AD+-AC=-]-AD+-Uc-AA.)

112424?1'

1—?3/—>—*■—,,\3—(■1—,■3—-3f1—3-

=——AD+-[AB+AD-AA]=-AB+-AD--AA,=-a+-b--e,

24、']>4441444

故選：D.

變式14.如圖，空間四邊形0A8C中，Q4=a，OB=b>OC=c，點(diǎn)M在刀上，且滿足麗=2疝,

點(diǎn)N為3c的中點(diǎn)，則加=()

【答案】B

【分析】由空間向量的線性運(yùn)算求解.

【詳解】由題意

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MN=MA+AB+BN=-OA+OB-OA+-JC=--OA+OB+-OC--OB

32322

2—1—1———.—■一_.

=--OA+—OB+—OC,又OA=G，OB=b?OC-c>

——21-1

:.MN=——a+-b+-c,

322

故選：B.

題型戰(zhàn)法二空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

典例2已知向量2=(3,2,1),6=(2,4,0),則例一25=()

A.(16,0,4)B.(8』6,4)C.(8-16,4)D.(8,0,4)

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘以及減法運(yùn)算，即可求得答案.

【詳解】4a-2b=4(3,2,1)-2(2,4,0)=(12,8,4)-(4,8,0)=(8,0,4),

故選:D.

變式21.已知a=(l,2,-y),b=(x,l,2),且(2+2b)I/(2a-b),則()

A.x=~,y=lB.x=—,y=-4

32

C.x=2,y=\D.x=l,y=l

4z

【答案】B

【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合空間向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.

【詳解】向量】=(1,2,-?),1=(x,1,2),則1+2lm(l+2x,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2),

1+2x<44—vi

因(〃+2司//(2。一3),于是得^=—,解得％=不”=_4,

2-x3-2y-22

所以x=gy=-4.

故選：B

變式22.已知向量五=(1,1,0),另二(一1,0,2)，且后+B與2Z—B互相垂直，貝雅的值是()

457

A.—1B.-C.-D.—

335

【答案】D

【分析】先求出磊+3與的坐標(biāo)，再由元+3與互相垂直，可得胸+斗(2］可=0,從

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而可求出發(fā)的值.

【詳解】因?yàn)樯n=(1,1,0),K=(-1,0,2)，

所以?！?B=左(1,1,0)+(-1,0,2)=(k_1，左,2),2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2),

因?yàn)閾P(yáng)+B與力-5互相垂直，

以(4a+6),(2a—6)=3(A■—1)+2左一4=0,角軍彳導(dǎo)左=1,

故選：D

變式23.已知1=(2,-2,-3),3=(2,0,4),則cos@B〉=()

A.B.一4^C.0D.1

8585

【答案】B

—n?h

【分析】利用空間向量的夾角余弦值公式。。$<"6>=^^即可求得.

pl-l*I

【詳解】解：.??)=(2,-2,-3),g=(2,0,4),

a-b4+0-12_4785

cos<a,b>=-

\a\-\b\V17-2V585

故選：B.

_?->-LI—>—?I

變式24.設(shè)x、yeR,向量。=(x,l,l),b=(1,y,\),c=(3,-6,3)<?1c>bile,貝U|a+4=()

A.2V2B.2GC.4D.3

【答案】D

【分析】利用空間向量垂直與共線的坐標(biāo)表示求出x、y的值，求出向量Z+B的坐標(biāo)，利用空間

向量的模長公式可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閯t力=3X-6+3=0,解得X=1,則2=(1,1,1),

因?yàn)椤?則<=斗，解得尸2即%(1,一2,1),

所以，a+/j=(2,-l,2),因此，|a+S|=74+1+4=3.

故選：D.

題型戰(zhàn)法三空間向量共面定理

典例3.已知空間向量3=(-2,1,刃)石=(1,-1,0),萬若2五萬共面,則〃?+/=()

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A.-1B.0C.1D.——

2

【答案】B

【分析】根據(jù)共面向量，得到對應(yīng)關(guān)系，求出冽+%的值即可.

【詳解】若萬、3、萬共面，貝萬，

即（一2,1,加）=（4一〃，-A+2//,fji）,

%—4=-2Z=—3

故一彳+2〃=1,故<〃=-1,

/it-m[t+m-0

故選：B.

變式31.已知方=（2,-1,3）,加=（一1,4,一2）,c=（1,3,入），若向量方，b,W共面，則

實(shí)數(shù)4等于（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】由向量力b,不共面，建立方程組，即可求解.

【詳解】向量方，b,E共面,則"=xZ+?,（x,y&R）.

則有(1,3,2)=x(2,-1,3)+了(-1,4,-2),

2x-y=1

所以<-x+4y=3,

3x-2y=A

解得：x-1,y-l>2=1.

故選：A

變式32.已知/,B,C三點(diǎn)不共線,點(diǎn)。是平面/3C外一點(diǎn)，則在下列各條件中，能得到點(diǎn)W

與N,B,C一定共面的是()

?1—1——

A.OM=-OA+-OB+-OCB.OM=-OA——OB+OC

22233

C.OM=OA+OB+OCD.OM=2OA+OB+OC

【答案】B

【分析】根據(jù)空間向量共面定理的推論判斷而，無，反的系數(shù)之和是否等于1,即可得出答案.

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【詳解】解：對于A,因1為11］3=所以此條件不能保證點(diǎn)w與aB,C共面；

對于B,因?yàn)?=所以此條件能保證點(diǎn)河與4,B,C共面；

對于C,因?yàn)?+1+1=321,所以此條件不能保證點(diǎn)”與4,B,C共面；

對于D,因?yàn)?+l+l=4wl,所以此條件不能保證點(diǎn)M與/,B,C共面.

故選：B.

變式33.已知W,A,B,C為空間中四點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，且加=-2厲+x赤+y面，若”,

A,B,C四點(diǎn)共面，則x+了的值為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】根據(jù)四點(diǎn)共面結(jié)論：若4瓦四點(diǎn)共面，貝［I麗=°厲+方方+c無且a+b+c=l,

【詳解】若“，A,B,C四點(diǎn)共面，則-2+x+y=l,則x+y=3

故選：D.

變式34.若空間四點(diǎn)M、A、B、C共面且況+2礪+3反“前則發(fā)的值為（）

A.1B.2C.3D.6

【答案】D

【分析】化簡可得的=：為+羨歷+微云，由四點(diǎn)共面可知系數(shù)和9+￡+楙=1,計(jì)算即可得解.

kkkkkk

___i___7__.q__?

【詳解】依題意兩=刀+7赤+7發(fā)，

7KKK

由四點(diǎn)共面，則系數(shù)和￡+則左=6.

kkk

故選：D

題型戰(zhàn)法四線線角的向量求法

典例4.在如圖所示的幾何體中，四邊形48co為矩形，平面N2瓦F平面48c0,EF//AB,

ZBAF=90°,AD=2,AB=AF=2EF=1,點(diǎn)尸在棱。咒上.

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(1)求證：AD±BF；

(2)若點(diǎn)尸是。尸的中點(diǎn)，求異面直線BE與CP所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵述

15

【分析】(1)由平面或7_L平面/BCD證NO_L平面N8ER再證歹即可;

(2)證明次，AD，存兩兩垂直，即可以此建立空間直角坐標(biāo)系出》,即可用

BECP

cos（BE,CP）=求所需余弦值

\BE\\CP\

(1)

因?yàn)槠矫嫫矫?BCO,交線為48,AD1AB,所以平面又8尸u平面/AEF,

所以40_L3尸.

(2)

因?yàn)?以尸=90。，所以4尸，Z3,又AFu平面/3ER由(1)得4D工”,因?yàn)樗倪呅?8C。

為矩形，所以40,48,

所以以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD，方的方向分別為x,y,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系

Axyz,

則8(1,0,0),嗚,0,1),尸［。，1，￡|，C(l,2,0),所以礪0,11,加=卜1,一用,

所以cos〈甌函=，竺二=坐，即異面直線BE與CP所成角的余弦值為超.

\BE\\CP\1515

Dy

x

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變式41.如圖，在三棱柱NBC-4⑸G中，平面48C,AB=BC=2BB\,ZABC=9。。，D為BC

的中點(diǎn).

(1)求證4臺〃平面

(2)若E為的中點(diǎn)，求4E與。G所成的角.

【答案】(1)證明見解析

【分析】由已知，可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出平面的法向量為溫，并求解，然后通

過計(jì)算福石=0,即可證明43〃平面/DG;

(2)由第(1)問建立起的空間直角坐標(biāo)系，分別表示出涌和國，然后計(jì)算夾角即可.

(1)

???在三棱柱/8C-43G,AAtl^^ABC,.-.BB^L^^ABC,.-.BB^AB,BB〔LBC又乙1BC=9O°,

：.AB±BC,故48,BC,兩兩垂直，如圖，以5為坐標(biāo)原點(diǎn)，8/所在直線為x軸，所在

直線為V軸，所在直線為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系3—XJZ

設(shè)AB=BC=2BB]=2,則42,0,1),5(0,0,0),/(2,0,0),。(0,1,0),G(0,2,1),

45-(-2,0,-1),而=(-2,1,0),AQ=(-2,2,1),

設(shè)平面ADC；的法向量為正=(xQ],zJ,

第11頁共41頁

m-AD=-2xj+y=0

則t

m-ACx=-2X1+2y1+zt=0

取X]=l,得〃7=(1,2,-2).

AXB?%=-2+0+2=0,

.?,451m,又48,平面Z。。，則48〃平面/DG.

得證.

(2)

若￡為4月的中點(diǎn)，則￡(1,0,1),

/￡=(-1,0,1),0cl=(0,1,1)

4E-DC]1_]_

cos挺西”

|國函]72x722

由o?樂，醞X乃，可得(次，/)=0，

則NE與。G所成的角為

變式42.如圖，正四棱錐S-/3CD中，SA=4,AB=1,E為棱SC上的動(dòng)點(diǎn).

⑴若E為棱SC的中點(diǎn)，求證：山//平面即￡；

(2)若E滿足SE=3EC,求異面直線以與BE所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵(

【分析】(1)根據(jù)已知條件及三角形的中位線定理，再利用線面平行的判定定理即可求解；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩條直線的方向向量的坐標(biāo)，利用向量的

第12頁共41頁

夾角公式即可求解.

（1）

連接/c交8D于點(diǎn)連接因?yàn)樗睦忮FS-4BCD為正四棱錐，

所以四邊形48。為正方形，所以。為NC的中點(diǎn)，因?yàn)镋為棱SC的中點(diǎn)，所以O(shè)E//S/,因?yàn)镺￡u

平面BDE,SA</平面BDE,

所以&4//平面

（2）

因?yàn)樗睦忮F為正四棱錐，所以。為頂點(diǎn)S在底面的射影，

所以SO_L平面/BCD,^.AC1BD,so^y/SA2-AO2=V16-2-V14,

故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。-平如圖所示，

因?yàn)?=4,AB=2,則4力,0,0）,5（0,0,1）,5（0,6,0）,

C（-V2,0,0）,

—?3―?

因?yàn)镾C上的點(diǎn)石滿足SE=3EC,所以祐=/。，

設(shè)E（x/,z）,貝lj（x,y,z—=，一行,0,-JT?）,所以％=一m2/=o,z

所以《-乎,。邛］,

所以可=（亞,o,-VH）,^=呼］

設(shè)異面直線1s4與8E所成角為0,則

第13頁共41頁

SABE

cos6=|cos<SA,BE>|=網(wǎng)阿

所以異面直線SA與BE所成角的余弦值為|.

O

變式43.如圖，已知正方形/BC。和矩形尸所在平面互相垂直，AB=叵,AF=\,“是線

段EF的中點(diǎn).

（1）求證：⑷///平面

（2）試在線段/C上確定一點(diǎn)尸，使尸尸與5c所成角是60°.

【答案】（1）證明見解析

（2）尸點(diǎn)應(yīng)在線段NC的中點(diǎn)處

【分析】（1）設(shè)/Cnm=。，連接。河，通過證明/M//0E即可得出;

（2）以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-孫z,利用向量關(guān)系可求出.

（1）

設(shè)/Cn8O=。，連接。因?yàn)?BCD是正方形，所以。是/C中點(diǎn)，

又因?yàn)?CE尸是矩形，M是線段"的中點(diǎn)，所以40//EM,4O=EN,

所以四邊形力。￡河為平行四邊形，所以4M//0E,

因?yàn)?Ma平面5D￡,OEu平面8DE,所以4W〃平面瓦）￡；

（2）

如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,

依題意設(shè)尸（。，。,0）（04。4行），

則方=（五-a,應(yīng)一a,l）,CB=（0,V2,0）,

第14頁共41頁

PFG2

因?yàn)閨詞=拒，||=^2（V2-）+1,PF-C3=V2（V2-fl）,

而與麗所成角是60。，

小。PF-CB10（后一°）1

所以儂60=訴司=5,即……]"

化簡得2a2-4后0+3=0,解得.=在或°=逑（不合題意舍去）,

22

從而P事,事,0，因此尸點(diǎn)應(yīng)在線段"C的中點(diǎn)處.

變式44.如圖，直三棱柱48（^-48￡中，底面邊長為也.

B

⑴若側(cè)棱長為1,求證：AB{VBCX.

（2）若/月與B3所成角的大小為I,求側(cè)棱的長.

【答案】（1）證明見解析

（2）2

【分析】（1）利用空間向量法證明；

（2）利用空間向量的夾角公式求解.

（1）

解：因?yàn)楦?在+麗，BC^BB^BC.

第15頁共41頁

又34，平面4BC,

所以函?益=0,函.就=0.

又A/8C為正三角形，

所以（麗網(wǎng)=兀-（前硝=兀-色苓

，》,/.，“\/，》?\，■??,，“2?一

因?yàn)锳&?BC\=(AB+BB)1BBi+BC)=AB.BB[+4B.BC+BB；+BB[?BC,

2

=|Zs|?|5c|-cos(AB,BC^+BBt=-1+1=0,

所以典，8G；

(2)

結(jié)合（］）知福?苑=|萬’團(tuán),05（萬，元）+麗2=函2—1,

--*1

BB1-11

所以cos(函，南)=------=-

\/2+西2

得|函|=2,即側(cè)棱長為2.

題型戰(zhàn)法五線面角的向量求法

典例5.用文具盒中的兩塊直角三角板（45。直角三角形和30。直角三角形）繞著公共斜邊翻折成30。

的二面角，如圖RtA/8C和RtADSC,AB=AC,BC=2BD=2,ZA=90°,ZD=90°,將RtzUBC翻

折到H3C,使二面角H-3C-。成30。，E為邊CD上的點(diǎn)，且CE=2E￡）.

（1）證明：BCLA'E-

（2）求直線A'D與平面A'BC所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；

第16頁共41頁

（明

【分析】（1）取gc中點(diǎn)尸，連接/尸,￡尸，可證明8CL平面再由線面垂直的性質(zhì)即可得

證;

（2）建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求線面角即可.

(1)

取BC中點(diǎn)F,連接/'尸,跖，如圖,

由已知/Z=/C知/N_L8C；又8c=2,則CD=AA,CE=竿,CV=1,

EF2=CE2+CF2-2CE-CFcos30°=-,

3

i4

:.EF^+CF?=—+l=—=CE?,EFLCF,gpEFYBC,

33

又EFCAF=F,:.BC1^^A'EF,

A'Eu平面A'EF,BC1A'E.

(2)

以廠為坐標(biāo)原點(diǎn)建系如圖，

(iA/16、

則/'0,-,5(1,0,0),C(—1,0,0),/)—-,0,

k7\?

故就=(-2,0,0),Z8=(l,-^,-1),赤=(；,0,一；)，

fn卜2X=0

.n?BC=0—

設(shè)平面/'BC的法向里n=(x,y,z)，則百1

n-AB=0\x-----y——z=0n

lI22

令y=i,則x=o,z=-百，即:=(o,i,一兩，

設(shè)直線H。與平面?Be所成角為。,貝心也。引85<%75〉|二一%=W

V24

2ox——

2

第17頁共41頁

所以直線4D與平面H8C所成角的正弦值為好.

4

變式51.在如圖所示的幾何體/3CED中，￡C1?ABC,D51?ABC,CE=CA=CB=2DB,

44c8=90。，M為/D的中點(diǎn).

（1）證明：EMLAB；

（2）求直線9和平面/DE所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；

【分析】（1）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)08=1并確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得兩、通的坐標(biāo)，應(yīng)

用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得麗?羽=0,即可證結(jié)論.

（2）由（1）求直線四、平面NAE的方向向量、法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求線面

角的正弦值.

（1）

由￡。_1面/8。，AC,BC<=^ABC,則EC_L/C,EC_L3C,

又乙4cs=90。，則/CLBC,故以C為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)。8=1,則C￡=C4=CB=2.

依題意42,0,0),2(0,2,0),￡(0,0,2),。(0,2,1),A/(l,l,|)

____?3—?_

==(-2,2,0),則兩.與=-2+2+0=0,

-'-EMrAB^即EN_L48?

(2)

第18頁共41頁

.,——?1—.—.

由(1)知：BM=(1,-1,-),AE=(-2,0,2)f?！?(0,—2,1),

、r一一、1,-r_，幾.AE=-2x+2z=0-_

設(shè)面40E的法向重為〃=(%,為z),貝1)4-------,取〃=(2,1,2),

n?DE=-2y+z=0

/____、、BMH4

設(shè)直線四和平面ADE所成角為e,則sinO=|cos(2跖萬)|=-.

4

因此直線BM和平面NDE所成角的正弦值為拳

變式52.如圖，三棱柱中，平面/3C，平面

AA.QC,ABIAC,AA1AB=AC^2XA}AC^60,過//的平面交線段4G于點(diǎn)￡(不與端點(diǎn)重合),

交線段2C于點(diǎn)尸.

⑴證明：AAJIEF.

(2)若BF=2FC,求直線4G與平面AFCX所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；

⑵去

【分析】(1)由棱柱的性質(zhì)有用//CG，根據(jù)線面平行的判定可得回〃面8CC圈，再由線面平

行的性質(zhì)證結(jié)論.

(2)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求4G的方向向量和面疝7G的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表

示求線面角的正弦值.

(1)

在三棱柱。-48G中AAJICC,,24<Z面BCCR,CQ<=面BCCXBX,

所以44"/面8CC4,又過AXA的平面跖c面BCQB,=EF,

所以44"/E/7.

第19頁共41頁

(2)

面43C，面。，面/8Cn面44￡C=/C,ABI面NBC,

所以48_L面/4GG月Cu面AAtQC,則AB1AC,

過A作/z,面Z8C,則可構(gòu)建A為原點(diǎn)，/氏/。,加為x/，z軸的空間直角坐標(biāo)系,

y.AAx=AB=AC=2,ZAXAC=60°,且39=2bC,

所以4(0,1,百)，G(0,3,8)，40,0,0),F(-,-,0),

則4G=(0,2,0),4cl=(0,3,拘,4尸二(§,§,0),

右冽=(%//)為面//G的法向重，貝?)〈-----24，令V=l，

m-AF=—xd——y=0

[33

即tn=(—2,1,-^3)9

所以cos伍,相)=,直線4G與平面AFC,所成角的正弦值為史.

\/2x27244

變式53.如圖，E4,平面48cZ>,EA//FC,AC=EA=2FC=2,四邊形48c，為菱形.

(1)證明：平面EAD；

(2)若直線AB與平面EBD所成角的正弦值為手，求三棱錐￡-3。尸的體積.

【答案】(1)見解析

(2)3

第20頁共41頁

【分析】(1)設(shè)交于點(diǎn)O,連接。￡,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得

EA±AC,CF1AC,證明RtA￡/O=RtA/C廠，從而可得N/EO=NE4C,進(jìn)而可證EOJ_AF,再根據(jù)

線面垂直的判定定理即可得證；

(2)如圖，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)08=。，利用向量法結(jié)合線Z3與平面所

成角的正弦值求出。，再利用向量法求出點(diǎn)尸到平面E加的距離，再根據(jù)棱錐的體積公式即可得

解.

(1)

證明：設(shè)交于點(diǎn)O,連接OE,

因?yàn)橥?〃尸C,所以4C,尸,￡四點(diǎn)共面，

因?yàn)槠矫?BCD,所以“，平面4BCD,

因?yàn)?C,u平面4BCD,

所以尸C_LBD,EAVAC,EFLAC,

又四邊形"88為菱形，

所以/C_LAD,OA=^AC,

因?yàn)?CcE/=N,所以2。，平面NCFE,所以,

又AC=EA=2FC=2,

所以cure,

所以RtA￡NO=RtANC尸，

所以=4c,

所以ZEAF+ZAEO=ZEAF+ZFAC=90°,

所以EOJ_4尸，

又￡。門8。=0,￡。,3。＜=平面EBD,

所以平面E6Z)；

(2)

解：如圖，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)OB=a,

則3mo,0),10,1,0),。(一見0,0),/(0,-1,0),磯0,-1,2),尸(0,1,1),ZB=(a,l,0),

由(1)知方=(0,2,1)是平面屈陽的一個(gè)法向量，

第21頁共41頁

則人”碼［鬲!"忑舟『字’解得I，

則麗=(-3,1,1),

\BF-AF\3

則點(diǎn)F到平面EBD的距離d=

\AF\V5

“又EO=Vl+4=A/5,則5但°=/*6x6=3^5,

所以三棱錐￡-2。尸的體積為gx3石x]=3.

變式54.如圖，已知1s4垂直于梯形/BCD所在的平面，矩形的對角線交于點(diǎn)FG為勵(lì)的

(1)求證：AD//平面例；

(2)求平面SCD與平面ESD夾角的余弦值；

(3)在線段EG上是否存在一點(diǎn)使得與平面SC。所成角的大小為已？若存在，求出的長;

若不存在，說明理由.

【答案】(1)證明見解析；

⑵一。；

O

(3)存在，G//=孚.

【分析】(1)利用線面平行的判定定理即可證明；(2)證明出“，/8,S/，4D,/BL40.利用向

第22頁共41頁

量法求解；(3)利用向量法求解.

(1)

連接尸G.

在△S8D中，F(xiàn)、G分別為的中點(diǎn)，所以FG//BD.

又因?yàn)镕Gu平面BDa平面如G,所以8。//平面如G

(2)

因?yàn)開L平面Z8CD,48,/。u平面ABCD,所以S/_LAB,SA1AD.

jr

又2BAD=3,所以

以方，㈤5,次為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系/-肛z.

則/(0,0,0)/(1,0,0),c(l,1,0),0,2,0),s(0,0,1),耳0,2,1),=(-l,l,0),5C=(l,l,-l).

設(shè)平面SCZ)的一個(gè)法向量為￡=(xj,2).

則卜e=°,即[一+尸°°,

[m-5C=0[z+y-z=0

令x=l,得y=1/=2.

所以平面SCO的一個(gè)法向量為記=(1,1,2).

又平面ESD的一個(gè)法向量為方=。,0,0).

m-ABlxl+lx0+2x0_?

所以cos(而,AB)

\m\x\AB\Vl2+l2+22xl6

第23頁共41頁

由圖形可知,二面角為鈍角，所以二面角C-SD-￡的余弦值為-逅.

6

（3）

假設(shè)存在點(diǎn)H,設(shè)曲=X盜=（-、"九9），則BH=BG+2GE=^~；九2九%.

乙乙乙乙乙乙

----2+2/1+1+2

由（2）知，平面SCD的一個(gè)法向量為正=0,1,2）.則sin.—cos（而，出"=—2,2

'^V6xj422+1（l+2）2

即（人一以=0,所以2=1.

故存在滿足題意的點(diǎn)從此時(shí)GH=|GE|=—.

2

題型戰(zhàn)法六二面角的向量求法

典例6.在三棱柱/8C-44G中，平面NCG4，平面/3C,三角形43C是等邊三角形乙4/。=45。，

AAX-2A/2,AC—2.

（1）證明：平面&BCL平面48C；

（2）求二面角4-3。一4的正弦值.

【答案】（1）詳見解析；

【分析】（1）由///C=45。，AAl=242,AC=2,得到4CL/C,再利用面面垂直的性質(zhì)定理和

判定定理證明；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面48G的一個(gè)法向量為￡=（x/,2）和平面2G4的一個(gè)法

/-?—\m.n

向量3=（尤,％z）,由cos伊〃片扁所求解.

(1)

第24頁共41頁

證明：因?yàn)镹4/C=45。，⑨=2五，AC=2,

所以4c2=442+zc2-244?4。cos45°=4,

貝Ij4c=2,BPA,A2=A,C2+AC2,

所以4CL/C,

因?yàn)槠矫?CC4，平面ABC,且平面NCC14n平面ABC=AC,

所以4CL平面NBC,

又4Cu平面4SC,

所以平面4BC，平面/8C；

(2)

所以西=卜3,-若,2),萩=(-1,_&2)函=-2,0,2),

設(shè)平面48cl的一個(gè)法向量為巾=(x,y,z),

~x—y/3y+2z=0

則

：卷=2即'-3x—yj3y+2z=0

一店\

令y=l,貝!］加=0,1,—,

I2J

設(shè)平面8C4的一個(gè)法向量為G=(x,y,z),

-3x-y/3y+2z=0

則

H即I-2x+2z=0

第25頁共41頁

令歹二一1,貝!]〃=(百,一1百),

/一一\m-n1

所以麗=亍

./--\m-n4百

所以smg〃六麗二丁，

即二面角4-8c「4的正弦值為迪.

7

變式61.如圖，在四棱錐我5co中，底面48co為平行四邊形，E4,平面48c。，M為尸。中

點(diǎn).

(1)求證：B4||平面A?。；

(2)若48=4D=B4=2,乙840=120。，求二面角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵半

【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理，結(jié)合中位線的性質(zhì)，可得答案；

(2)根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，得到對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求的兩平面的法向量，由向量夾角

的計(jì)算公式，可得答案.

(1)

連接NC交于點(diǎn)O,連接可知。為ZC中點(diǎn)，河為PC中點(diǎn)，所以O(shè)MIE4,

且OMu平面尸/①平面Affi。，所以以||平面AfflD

第26頁共41頁

(2)

由題意可得平行四邊形/BCD為菱形，建立如圖坐標(biāo)系，如下圖:

在菱形/8C。，■-AB=AD=2,^BAD=120°,AC=2,OB=,

所以：可H0,0),C(0,1,0),4-A0,0),/(O,-1,0),“(0,0,1)

所以防=卜百,-1,0),W=(-V3,0,l),a4=(V3,-l,0),5M=(V3,0,1),

__—1>—Qy=-V3x

設(shè)平面”34的法向