復習04解三角形的最值范圍與圖形類問題

內容導航

而串講知識：思維導圖串講知識點，有的放矢

重點速記：知識點和關鍵點梳理，查漏補缺

舉一反三：核心考點能舉一反三，能力提升

復習提升：真題感知+提升專練，全面突破

>>>思維導圖串知識<<<

最值范基本不等式法

圍問題三角函數法

若含有可求解六要素的三角形，

解三角形的一般根據所求邊或角的所在三角

最值范圍與形合理求解邊角

多邊形解三角形問題

圖形類問題若不含有可求解六要素的三角形，

則根據條件選擇邊角進行結社，利

用正余弦定理構造方程組求解

圖形類

角平分線問題等面積法

問題

向量法

中線問題

雙余弦定理法

???重點速記<<<

知識點1解三角形的最值范圍

1.基本不等式法

利用基本不等式求最值范圍，主要結合余弦定理，可求周長及面積的題目，若要求解周長的范圍時，還需

利用三角形”兩邊之和大于第三邊（任意三角形）”

2.三角函數法

先利用正弦定理將邊轉化成角，然后利用N+3+C=?；蛘哳}干中角的關系，可將所求式子中的角統(tǒng)一成

一個角，需要注意題干中對角有沒有限制要求，利用角的范圍求出范圍

知識點2圖形類問題

1.多邊形解三角形

將多邊形分割成多個三角形，若有一個三角形可用正余弦定理求解六要素，則要根據所求邊或角所在的三

角形合理求解邊角；若沒有一個三角形可求解六要素，則需要根據條件選擇邊角要素（要挑選有關系的邊

角或者兩三角形的的公共邊或公共角）進行假設，然后利用正余弦定理構造方程進行求解

2.角平分線與中線問題

1.角平分線

ARAT

若么。是A/BC的角平分線，則有：①等面積法②言=票

DL）CD

2.中線

若/。是的中線，則

—1―■—

方法一：向量法/O=e（，B+4C）；

方法二：（雙余弦定理法）在A/B。中，由余弦定理得/52=4C>2+802—2x40xADxcosN4D8,①

在中，由余弦定理得Re?=4D2+￡）C2-2X4DXZ）CXCOSZADC,②

因為+=,所以cosa4D3+cosN4DC=0,所以①+②式即可

>>>核心考點舉一反三<<<

考點一：角度的最值范圍

'例1.在中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,若且可1,逅],則

tanB的取值范圍為（）

A.[1,2]B.[V2,3]C.[1,2]D.[后2向

【答案】B

【詳解】由。2+$2=°2,可得02-/=；62,

所以cosC-/YJ,

lablablab3a

即6=3acosC,

由正弦定理，sin5=3sinAcosC,

所以sin5=sin（4+C）=sinAcosC+cosAsinC=3sinAcosC,

可得cosAsinC=2sinAcosC,

因為/+；62=02,所以三角形不為直角三角形，

所以兩邊同除以cos/cosC可得tanC=2tan4,

由02+；62=02知a<c,所以A為銳角，

由sin/e\^~,可得tanAe[1,V2].

tan4+tanC3tanA3

tanB=-tan(Z+C)=

因為2

tanAtanC-l2tanA-l?tan)_]

tanA

令￡=tan4/￡[l,3]時，,=2/—1為增函數,

所以142tan/一熹4唳所以屋tan8W3.

故選：B

變式在△中，則嗎的最大值為（

1-1.4BCV3sinC=2sin^sin5,)

sm6

「3亞

A.V3Vz.-----D.2

22

【答案】A

帝sin/,

【詳解】因為VJsinC=2sin4sinB,由正弦定理可得：VJc=2bsinA,即。=

V3

所以/=/+/-2bccos/=b2+(-^—bsmA二sin4]cos/

IV3石)

=/72^l+jsin2/—esin/cos/72(141-COS2T4各,"

=b\l+-x------------24

32

2152_.2.c,410，13?0，

=7b------COS2T4——尸sin2Z=b2--——cos24+——sin224

(33V333122

=b2---sinf2^4+—|<6254

-+-3b2,

33633

當且僅當2/+?=?,即6?時取等號,

o23

即所以正弦定理可得：駕=段6故筆的最大值為行

bsmBbsmB

故選：A.

11

變式12在銳角三角形中，角A、3、C的對邊分別為a、b、J且滿足『=四，則

tanAtan5

的取值范圍為.

【答案】

【詳解】因為〃一"2=4°,由余弦定理得人2=/+。2-2QCCOSB,

所以QC=c?-2QCCOS5,即。=2QCOSB+Q,

由正弦定理得sinC=2sin/cos5+sin/,

所以

sinA=sin(Z+5)—2sinZcosB=sinAcosB+cosAsinB-2sinAcosB=cos/sin3—sinAcosB=sin(5-A),

因為△45C為銳角三角形，所以力=5-4,則5=2/,C=7i-3Af

由兀兀

4,B,Cef0,—，得五，Be

694

11cosAcos8sinBcosA-cosBsinA

所以-----------=-----------=-------：----：--------

tan/tan5sinZsin5sinAsinB

sin/1

sinAsinBsin4sin3sin8

因為sinBs+，1,所以11

I2)tanAtanB

故答案為：1,、一.

I3)

變式1-3.銳角△4BC的內角所對邊分別是a,b,。且。=1,bcosZ-cos5=l,若A,8變化時，4sin5-22sin2^

存在最大值，則正數4的取值范圍

【答案】

【詳解】由。=1,bcos/-cos5=l和正弦定理得:

sinBcosA-cos5sin/=sinA,即sin(B—Z)=sin4,

:.B-A=A^B-A=TI-A(舍):.B=2A

0〈/苫

IT71/71

???△4BC是銳角三角形，???〈0<2A<-,解得:—<A<—

64

A+2A>1

4sin5-22sin2^=4sin24—4(1一cos2/)=4sin24+4cos2A-A

______4

=J16+%2sin(24+0)—4(其中tan°=w)

兀c/兀

.'—<2A<—

32

TTTT7T

?.使4s叱2詞也存在最大值'只需存在。，滿足+"

解得：0<4<述

3

故答案為：0,

考點二：面積周長的最值范圍

\例2.在△/BC中，a=ccosB+^b.若c=4,

(1)求△4BC面積的最大值；

(2)求MBC周長的取值范圍.

【答案】(1)473

⑵(8,12]

【詳解】(1)因為a=ccos8+」6,

2

由正弦定理可得：sinA=sinC-cosB+sin5,

則sin(5+C)=sinC?cosB+；sin5,

所以sin5cosC+cos3sinC=cos5sinC+—sin5,

2

所以sinBcosC=—sinB,

2

因為8為△45C的內角，所以sinBwO,所以cosC=2.

又。￡(0,兀)，所以。=1.

由余弦定理c?=/+〃一2abcosC,即16=/+/—ob.

因為4+〃之2",當且僅當4=6時取“二”,

=a1+b2—ab>ab.

iipy

所以S=—absinC<—xl6x——=4^/3.

“BC222

當△/BC為等邊三角形時，面積取得最大值為4G.

(2)^^J16=a2+b2-ab=(<7+Z))2—3abn3ab=+-16,

且a/"+"，當且僅當。=b時取“二?,

4

所以3ab=(〃+b)2一16W%"7)=(〃+92<,

又〃+6>。=4,所以4<〃+648,

所以8Va+b+c<\2,

所以ZUBC周長的取值范圍為(8,12].

變式2-1.已知△4BC的內角A,B,C的對邊分別為。，4c.若△4BC為銳角三角形，5=|,且6=6,

則△NBC周長的取值范圍是.

【答案】（3+省,3百］

_acb百_c

【詳解】由正弦定理得而，一高不一擊萬一至一（尺為ANBC外接圓的半徑），

V

所以。=2sinC,〃=2sin/,

因為3=工，貝！]4+。=女，C=--A

333

.（2兀）.2兀2’n.,

所以Q+c=2sin/+2sin1—--ZJ=2sin/+2sin—cosA-2cos—-sin^4

=3sin+V3COSA=261^^sin/+geos/=2Gsi+,

因為△NBC為銳角三角形，則.2,解得/e

八2兀,兀<62）

0<----A<—

[32

則4+所以sin[/+W]e，故Q+CG（3,2百]'

所以△/BC周長的取值范圍（3+6,3。].

故答案為：（3+后3人]

變式2-2.在△4BC中，內角/、B、C所對的邊分別為a、b、c,sin2B+sin2C=sin24+sin5sinC?

⑴求4

⑵若LABC外接圓的面積為4幾，求△45。面積的最大值.

jr

【答案】（l）/=m

⑵36

【詳解】⑴因為sinz8+sin2c=sin2+sin5sinC,由正弦定理可得川+1=a2+bc,

方2+02―2be_1

由余弦定理可得cosA="C"

2bc_2bc_2，

TV

因為0<4<兀，所以Z=§,

（2）設△/5C的外接圓半徑為R,所以兀7?2=4兀,所以火=2,

由正弦定理得—=2尺，

sin/

故Q=2RsinZ=4x=2^/3,

2

又/=/+c2-2bccosA,EP12=b2+c2-be，

b2+C1-12+6c,

0.*b2+c2>2bc,12+be>2bcbe<12,當且僅當b=c=2百時取等號,

故△4BC面積的最大值為工xl2x包=36.

22

變式2-3.在△4BC中，角HB,C所對的邊分別為a,b,c,c=l,asinN-csinC=(a-b)sin(N+C)

(1)求△4BC的外接圓半徑；

(2那么2。周長的取值范圍.

【答案】(。；

(2)(2,3].

【詳解】(1)在△N5C中,由asinN-csinC=(a—b)sin(4+C),得asin4-csinC=(a-b)sinB,

由正弦定理得。2一，=(a一b)b,BPa2+b2-c2=ab,

由余弦定理得cosC=41二二=1,而0<C<7T,則c=g,

lab23

所以ZUBC的外接圓半徑R=—=3=

2smCV33

(2)由(1)知/+/_02=,

則(a+6)2=1+3MW1+3(審)2,當且僅當。=b時取等號，

因止匕，(q+b)2W1,0〈〃+b?2解得，而Q+6>C=1,即l<〃+b?2,

4

貝lj2<a+b+cW3,所以周長的取值范圍是(2,3].

考點三：長度和差比的最值范圍

例3.已知A/BC的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,5=1,。是48上靠近/的三等分點,

CD=1,貝Ij3a+2c的取值范圍為()

A.(1,2]B.(2,4]C.(3,6]D.(4,8]

【答案】C

3

【詳解】因為。是上靠近N的三等分點，所以。=5取>,

3

所以3a+2c=38。+2*52。=3回+即，

在△BCD中，由余弦定理得BD-+BC--2BD?BC?cos；=CD2,

即BD2+BC2-BDBC=1,貝I(8。+Be?=\+^BDBC<\+-{BD+BC)2,

4

即AD+8CW2,當且僅當8。=3c時等號成立,

又在△8。中，BD+BC>CD=1,

因此1<8Z)+8CV2,即3<3(AD+3C)W6,

所以3〃+2c的取值范圍為(3,6].

故選：C.

變式3-1.在△N3C中，角4瓦。所對的邊分別為“,4c,若當，。為邊BC的中點,

AD=1,則助-c的取值范圍是()

A.(-4,4)B.[-4,4]C.(-2,4)D.(-2,4]

【答案】C

.、斗左刀、Edsin4—sin5sinC小十二日q—bc

【詳解】因為一:------=一由正弦定理得;一=-

b+ca+bb+ca+b

整理得到aI2-b2=c2+bc,即b2+c2-a2=-be,

1

由于余弦定理，…=飛

72

2兀

又因為Zw(0,7l),可得/=§,

2兀

如圖所示，取的中點石，連接。E,可得DE//4C,所以44切二不

AT)7

設△曲的外接圓的半徑為，，可得"

由正弦定理可得4E=1c=-^sinZADE,DE==專sinZDAE,

所以。=—j=sin/ADE,b=—j=sin/DAE且/ADE+NDAE=

44

設N4Z)E=仇/DAE=a,貝ljc=—j=smJ3,b=—1=sma

rs78.4.?8.4.,2K、

貝l]2b—c—不—sina—不—sinp—1—sina—1—sin(——cc)

sina-cosa+1sina)]=(|sina-cosa)=4sin(a-令,

因為=尋，可得0<a<多，所以一

33662

ITTTT

可得——<sin(cr——)<1,所以一2<4sin(a——)<4,

266

所以助-c的取值范圍是(-2,4).

故選：C.

A

變式3-2.（多選）在銳角△48。中，角4,B,。的對邊分別是Q,b,c,已知〃=4,a^b,且

8cos/=c,則（）

A.角C的取值范圍是

B.6的取值范圍是（4,8）

C.△4BC周長的取值范圍是（4+4行,8+4后）

D.[的取值范圍是一,3

bI2）

【答案】ABD

【詳解】因為。=4,且8cosN=c,所以2acosN=c,所以2sirk4cosN=sinC,

所以sin2/=sinC.因為△48C是銳角三角形，a手b,所以2N=C,

貝1」8=兀一/一。=兀一3/,

05昔,

則。<2/音,解得“/號，所以恭C苦，A正確.

0＜兀-3/

2

bba

因為—T=

sinBsin（兀-3%）sirU

22

所以6=公也（兀一3，）Qsin（24+/）42sinZcos/+（2cos/-1卜in/

=16COS2^4-4-

siib4siib4siivl

因為所以當<cos/<?，所以;

所以4<16COS2[-4<8,即b的取值范圍是（4,8）,B正確.

6+c=16cos2/+8cos/-4.設f=cos/e—,

\7

則y=16r+8/4在上單調遞增，所以ye（4+4近,8+4右）,

I22）

即6+°€（4+4夜,8+46）,因為0=4,

所以UBC周長的取值范圍是（8+40,12+4君），C錯誤.

c_8cos/_8

因為c=8cos4,所以616cos24-44

1416CAOST4---------

cosA

因為尸⑹一在］￥，等卜調遞增，所以4G16C0S/-二

所以:4<6,即心

<—<V2,D正確.

16cos/--------2b

cosA~

故選：ABD

變式3-3.（多選）在銳角△45。中，內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,若6=2,且

(GtaiL4-l)(V^tanJ5-1)=4,則()

A.

B.。的取值范圍為［3，2

C."的最大值為2

C

D.sin2A-cos2B的取值范圍為

【答案】AC

【詳解】對A：(A/§taiL4—l)(V§tan3—l)=4,BP3taib4tan5-VJ(taivl+tan5)=3,

整理可得：|黑=",可得tan（"B）=一收

在△ABC中，tan(N+8)=-tanC,故tanC=6,

又AM?。為銳角三角形，故c=§,A正確；

對B：由A可知，C=y,可得sin5=sin（4+c）=sin（4+］

a2

由正弦定理三=b------

———,b=2,BPsiib4si+

S1IL4sin5viP

Z7------2-s-i-i-L-4---------------2-s-i-i-L--4

5+4S/

22

z、4

又/e（0,引，故sin/wO,則“】10;

taib4

0<A<—

由△月8C為銳角三角形可得：彳2,

八「2兀」兀

0<C=----A<一

132

可得故tag￡g,+8,則小區(qū)￡(0,3),則”(1,4),故B錯誤;

62I3JtaM'7

〃2方2_7.1

對C：由余弦定理cosC=±?——可得(a+6)-2=3",

lab2

等式兩邊同除°2可得：f￡±^Y-i=3x-x-<-f^Y,所以(厘丫4右

\C)CCC)\C)

解得叱42,

C

當且僅當巴=2,即。=b時取得等號，故c正確;

CC

對D：siM=sin(5+C)=sin卜+=；sirtS+-^cos5,

i3/3

故sin2^4=—sin2^+—cos2^+^—sin25，

444

故sin?^4-cos2B=—sin2^--cos2B-\———sin25=一~-COS2^H———sin25=—sinfIB--

444442{6

?——?兀.7Tr*Lt、t兀/兀

由B可r知一＜/＜一,所以一一＜-/＜一一

6226

IT

所以8=--Ae故28一,

所以sin(28一銅川,；sin128fs

也即sm?c°s?的取值范圍為*,故D錯誤

故選：AC.

考點四：多邊形解三角形

「例4.如圖，在四邊形4BCD中，48=3及,/詡。=45°,18。的面積為一,/助。=135°.

(1)求2。的長；

Q)若AD〃BC,求△BCD的面積.

【答案】（1）5

1321

【詳解】（1）由題意得S”皿=5/3/。6吊/5/。=54。=萬,，/。=7,

由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB?ADcos/BAD=25,/.BD=5.

（2）在△45。中，由余弦定理得cos//Q8=攵上^==

2ADBD55

34

?.?ADIIBC,...ZCBD=NADB,sinZCBD=―,CQSZCBD=-,

55

在LBCD中,'：ZBDC=135°,，ZCBD+ZDCB=45°,

CDBD

由正弦定理

sin/CBDsin/BCD

BD.sin/CBD_3_______

sinZBCD~sin(45°-ZC5D)

3=15近

學(cos/CBD-sin/CBD)

一一，175

:.△BCD的面積為邑58=3DC?BD.sinNBDC=.

71

變式4?L如圖，在平面四邊形ZCBD中，AB=2,BD=42ZABD=ZACD=-,ZCAD=,則CD

4

C.V6D.2V3

【答案】B

【詳解】在中，由余弦定理得：

AD2AB2+BD2-2AB-BDcosZABD4+2-2x2x42x—^2,

2

所以2。=及.

CDAD

在A4CZ＞中，由正弦定理得

sinZCADsinZACD

?\/2xsin—

ZQsin/CZ。

所以CD=3

sinZACD.兀

sin—

4

故選：B

3

變式4-2.如圖，在平面四邊形/BCD中，AB=3,BC=5,AC=7,cos/BCD=三,AB1BD,則

cos/CBD=；BD=.

【答案】"40(46一3)

239

【詳解】在△NBC中，由余弦定理得8s182+802_/C：=32+52_72

2xABxBC2x3x52

2兀

所以乙4BC=T，

因為/5_L8Z),所以/。8。==一:=2,cosZCBD=—.

34

因為cosN3CQ=y,所以sinN3CO=w，

13V343+473

sinZBDC=sin(ZCBD+ZBCD)=-x-+——x—=----------,

2510

5x|40(4癢3)

BCsinZBCD

在△5C。中，由正弦定理得助=

sinZBDC_3+4V3-39

10

故答案為：M研4--3)

239

變式4-3.如圖，在ZUBC中，已知8=30。，D是邊BC上一點,AD=5,/C=7,DC=3,求:

(1)cosZ^4DC；

(2)48的長.

【答案】(l)-g

(2)573

【詳解】(1)在△NDC中，3=5,AC=1,DC=3,

4八力—皿/日AD2+DC2-AC225+9-49

由余弦定理得cosZADC=------------------------=--------------

2AD-DC2x5x32

(2)cosZ.ADC^--,NADC=120°,ZADB=60°,

2

在中，AD=5,ZB=30°,ZADB=60°f

5x——

ABADAD-smZADB5sin60°

由正弦定理得,AB=—p-=5V3.

sinZADBsinBsin5sin30°

2

考點五：多邊形解三角形(需聯(lián)立)

,例5.如圖，在△ABC中，D,E為BC邊上的三等分點,BC=3。,NBAE=(.

⑴若NE=2百，求△ABC的面積;

(2)求NC長的最大值;

⑶若ZBAE=ACAD,求cos/DAE的值.

【答案】(1

⑵2+g

(3)cosN￡UE=a+3

8

JT

【詳解】(1)在中，由NE=2￡目=得為正三角形,

所以凡/BC=LBA-BC-sinNABC=亞

22

BEAE

(2)在中，由正弦定理得

sinNBAEsinB

26AE

即.兀sin5>所以/￡=4sin8,

sin—

3

在中，由余弦定理得

AC1=AE2+EC2-2AE-EC-cosZAEC=(4sin2了+3—2?4sin8?道?cosfy+5

=28sin23B-4A/3sinBcosB+3=17-4V13sin(25+0)(其中tan0=)

,所以2臺《0,與

因為

又因為tan0=友>g=tan乃，所以sin（28+。）可取到最小值-1.

33

所以W17+4而=Q+而了，即ZC最大值為2+岳.

(3)設/DAE=6,由對稱性知=AB=AC,

貝=/BAD」-。,

23

所以8=工]710

-+-,

62

4E

EDAE”-3

在4ADE中,即sin6.TI-0，所以.0\

sin0sin/ADEsin------2sin—

22

273_AE

BEAE兀0

在AABE中，，即訪―二所以4E=4sin—+—

sin/BAEsinBsinJ+2j62

2

710

所以1一)=4sin—+—,化簡得sin8—1=—

2sin—62

2

因為o<e</,所以弋<"/o,所以cos”]71

3

恒生，即=

所以COS0=COS18-m+()=

88

TTTT4

變式5-1.如圖，在平面四邊形/08C中，ZAOB^-,AO=\BO^5,ZBCO^-,cosZACO=-,則

245

tanZ5OC=()

2

D.-

63C13

【答案】B

【詳解】設4oc=e,

兀3

在△OBC中，ZBCO=~,貝!]/。5。=兀一NBOC—/5。。=兀-------夕=一兀一。，又OB=5,

444

OC5

OCOB—T-——'

故由正弦定理可得:（.71

sinZOBCsinNBCO'sin-7i-9sm—

4

43兀

在△CMC中，cos/4co=—,故sin/4CO=—,ZCOA=——6,故

552

TT

ZCAO=7i-ZCOA-ZACO=-+0-ZACO,

2

OC4OC4

OCOA

又40=4,故由正弦定理可得:,即sin[^+0-ZACO3,cos（0-ZACO）3；

sinZCAOsinZACO

55

OC5

.71

sinf1-7i-0sin—

（）5x-

4cos0-ZACO於即

聯(lián)立,消去OC可得:

OC4sin（（兀一8

cos（0-ZACO）32

5

cos0cosZ-ACO+sin0sinZ.ACO3

q^（cos（9+sine）

也即5cos"+5sin"_3,3sin^+3cos^=—cos^+—sin^,整理得：—sin^=—cos^,tan<9=—.

—；~-------~=：55553

sin6+cos84

故選：B.

變式5-2.有長度分別為1,2,3,4的線段各1條，首尾依次相連地放在桌面上，可組成周長為10的四邊形,

如圖，AB=T,BC=3,CD=2,DA=4,則組成的四邊形面積的最大值為.

【答案】2指

【詳解】連接2D,由余弦定理知co%=理士竺心丈11-BD2「CB2+CD2-BD213-BD2

------------,cosC=-----------------------二--------------------

2AB?AD82CBCD12

BD1=17-8COST4,BD2=13-12cos17-8cosZ=13-12cosc,2cos^4-3cosC=1.

XSABCD=S^ABD+SABCD=—x1x4xsiivl+—x2x3xsinC=2siib4+3sinC,

z.(2sin4+3sinC)2=dsin?4+9sin2C+12sitL4sinC.

又2COST4-3cosC=1,/.(2cos^-3cosC)2=1./.4cos2^+9cos2C-12cos24cosC=L

故S嬴形物c0=4(1-cos2?!^+9(1-cos2C)+12siiL4sinC=13-^4cos2^4+9cos2C^+12siiL4sinC

=13-1-12cos^cosC+12siih4sinC=12-12cos(^+C)<24,當且僅當4+。=兀時等號成立,

故四邊形ABCD面積的最大值為2a?

故答案為：2a.

變式5-3.如圖，在平面四邊形/5CQ中，已知4C與5。交于點且E是線段5。的中點，△BCE是邊

長為1的等邊三角形.

(1)^sinZABD=---,求線段/E的長；

14

⑵若AB:AD=5:近且AEvBD,求sin/ZOC.

【答案】⑴!

⑵與

【詳解】(1)因為ABCE為等邊三角形，所以乙4仍=120。，

又sinNABD=叵,所以COSN48D=%N,

1414

在“EB中，sinNBAE=sin[180°-(NNEB+ZABD)]=sin(NNEB+NABD),

歷

所以sinNBAE=sinNAEBcosNABD+cosNAEBsinNABD=-—,