專題14積和商的變化規(guī)律

小升初數(shù)學(xué)思維拓展計(jì)算問題專項(xiàng)訓(xùn)練

（知識梳理+典題精講+專項(xiàng)訓(xùn)練）

知的梳理

1、積的變化規(guī)律：

（D如果一個因數(shù)乘或除以一個數(shù)，另一個因數(shù)不變，那么，它們的積也乘或除以同一個

數(shù)。

（2）如果一個因數(shù)乘或除以一個數(shù)，另一個因數(shù)除以或乘同一個數(shù)，那么，它們的積不變。

2、商的變化規(guī)律：

①除數(shù)不變，被除數(shù)乘（除以）一個數(shù)，商也乘（除以）同一個數(shù)；

②被除數(shù)不變，除數(shù)乘（除以）一個數(shù)，商除以（乘）同一個數(shù)；

③被除數(shù)和除數(shù)同時乘（除以）同一個數(shù)，商不變。

].

典敦器也，

【典例一】aXb的一個因數(shù)乘10,另一個因數(shù)也乘10,得到的積等于（）

A、原來的積乘10B、原來的積乘20C、原來的積

乘100

【分析】根據(jù)積的變比規(guī)律：一個因數(shù)乘10,另一個因數(shù)也乘10,原來的積就乘10X10.據(jù)

此進(jìn)行選擇即可.

【解答】解：aXb的一個因數(shù)乘10,另一個因數(shù)也乘10,得到的積等于原來的積乘100.

故選：C.

【點(diǎn)評】此題考查積的變化規(guī)律的運(yùn)用：一個因數(shù)乘（或除以）10,另一個因數(shù)也乘（或除

以）10,原來的積就乘（或除以）100.

【典例二】（1）計(jì)算下面兩組題目的得數(shù)。

（2）你有什么發(fā)現(xiàn)？用語言或數(shù)學(xué)符號概括你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。

（3）試著從數(shù)學(xué)的角度分析這個結(jié)論背后的原因。

【答案】（2）

（2）因數(shù)2.5不變，另一個因數(shù)越大，所得的積越大；另一個因數(shù)越小，所得的積越小。

被除數(shù)15.2不變，除數(shù)越大，商越小；除數(shù)越小，商越大。

（3）兩數(shù)相乘，如果一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)擴(kuò)大到原來的多少倍，積也擴(kuò)大到原來的

多少倍；另一個因數(shù)縮小到原來的幾分之幾，積也縮小到原來的幾分之幾。

兩數(shù)相除，被除數(shù)一定時，除數(shù)越大，商越小。

【分析】（1）分別計(jì)算出各個算式的積和商。

（2）然后根據(jù)所得的積（商）概括自己的發(fā)現(xiàn)。

（3）根據(jù)積的變化規(guī)律和商的變化規(guī)律解釋。

【解答】解：

（1）因數(shù)2.5不變，另一個因數(shù)越大，所得的積越大；另一個因數(shù)越小，所得的積越小。

被除數(shù)15.2不變，除數(shù)越大，商越小；除數(shù)越小，商越大。

（2）兩數(shù)相乘，如果一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)擴(kuò)大到原來的多少倍，積也擴(kuò)大到原來的

多少倍；另一個因數(shù)縮小到原來的幾分之幾，積也縮小到原來的幾分之幾。

兩數(shù)相除，被除數(shù)一定時，除數(shù)越大，商越小。

【點(diǎn)評】解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握積的變化規(guī)律和商的變化規(guī)律。

a項(xiàng)制精

選擇題（共8小題）

1.兩個數(shù)的商是0.08,被除數(shù)擴(kuò)大到原來的10倍，除數(shù)縮小到原來的-L,商是（）

A.8B.0.8C.0.08

A.0.0062B.0.062C.6.2D.620

3.兩個數(shù)的積是320,一個因數(shù)乘10,另一個因數(shù)不變，積是（）

A.320B.32C.3200

5.兩個數(shù)相除的商是0.6,如果被除數(shù)擴(kuò)大到原來的10倍，除數(shù)縮小到原來的工，那么商

10

是（）

A.0.06B.0.6C.6D.60

6.兩個數(shù)相乘的積是420,一個乘數(shù)不變，另一個乘數(shù)乘5,積是（）

A.2100B.84C.425

A.14.97B.149.7C.538.92D.688.62

二.填空題（共8小題）

9.在橫線里填上“>”“<”或“=”。

8x18+7

7

10.甲數(shù)除以乙數(shù)，商是20,余數(shù)是15,若甲、乙兩數(shù)同時擴(kuò)大100倍，則商是,余

數(shù)是.

13.a除以6,商是2,余數(shù)是3,如果a和6同時擴(kuò)大到原來的100倍，那么商是,

余數(shù)是O

三.計(jì)算題（共4小題）

19.根據(jù)條件，寫出下面兩題的商或積。

20.找規(guī)律。

如表是五年級上冊數(shù)學(xué)書上的一題。讓你聯(lián)想到了六年級將要學(xué)到什么知識？

先算一算，再比較每組題的得數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

我想到了：

四.解答題

21.本學(xué)期我們學(xué)習(xí)了“商的變化規(guī)律”，積累了探索規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)。如果被除數(shù)乘一個數(shù),

除數(shù)同時除以相同的數(shù)（0除外），則商會怎樣變化？請你探索規(guī)律，并完成下面的問題。

舉例：

我發(fā)現(xiàn)：

22.填一填，你能發(fā)現(xiàn)什么？

被除數(shù)560560560560

除數(shù)24816

商

觀察表格中的數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？請寫一寫。

24.媽媽準(zhǔn)備用96元錢買一些花苗來美化自家的院子。

花苗的單價(元)2468

花苗的棵數(shù)(株)

————

(1)請將表格填寫完整。

(2)你發(fā)現(xiàn)了什么？

25.

(1)先計(jì)算，再比較商和被除數(shù)的大小，你有什么發(fā)現(xiàn)？

(2)我的發(fā)現(xiàn)：

(3)利用規(guī)律，不計(jì)算直接在橫線里填“>”或。

如果不對，正確的得數(shù)應(yīng)是O

請根據(jù)商不變的規(guī)律，正確填出下題的得數(shù)：

兩數(shù)相除，商是6,余數(shù)是30,如果被除數(shù)和除數(shù)同時擴(kuò)大到原來的10倍，商是,余

數(shù)是O

27.李叔叔計(jì)算器的小數(shù)點(diǎn)鍵失靈了，他用計(jì)算器做了以下三道題，請你幫他點(diǎn)上積的小數(shù)

點(diǎn)。

28.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了積的變化規(guī)律。想一想：有沒有商的變化規(guī)律、和的變化規(guī)律、差的變

化規(guī)律呢？請你選擇其中的一個，先提出猜想，再進(jìn)行驗(yàn)證。

我的猜想：;

我的驗(yàn)證：;

我的結(jié)論：O

29.積的變化規(guī)律。

提出問題：積的變化可能和什么有關(guān)？有怎樣的關(guān)系？

合理清想：積的變化和乘數(shù)有關(guān)，乘數(shù)越大，積就越大；乘數(shù)越小，積就越小。

設(shè)法驗(yàn)證：

乘數(shù)乘數(shù)積積的變化

20360

203x212060x(2)

20600

324060x(4)

330060x(5)

得出結(jié)論一個乘數(shù)不變，另一個乘數(shù)乘幾，得到的積就等于原來積乘幾。

學(xué)完《積的變化規(guī)律》，你有什么收獲？還有哪些疑問或新的思考？請你結(jié)合這節(jié)課的板書

談一談。

參考答案

選擇題（共8小題）

1.【答案】A

【分析】商的變化規(guī)律：

①除數(shù)不變，被除數(shù)乘（除以）一個數(shù)（0除外），商也乘（除以）同一個數(shù)；

②被除數(shù)不變，除數(shù)乘（除以）一個數(shù)（0除外），商除以（乘）同一個數(shù)；

據(jù)此解答即可。

故選：A-

【點(diǎn)評】本題考查了商的變化規(guī)律的靈活運(yùn)用。

2.【答案】B

【分析】如果一個因數(shù)乘或除以幾（0除外），另一個因數(shù)除以或乘相同的數(shù)，那么，它們的

積不變；據(jù)此解答。

故選：B。

【點(diǎn)評】此題考查了積不變性質(zhì)的運(yùn)用。

3.【答案】C

【分析】根據(jù)積的變化規(guī)律：兩數(shù)相乘，如果一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘或除以幾（0除

外），積也會隨之乘或除以相同的數(shù)，據(jù)此解答。

答：兩個數(shù)的積是320,一個因數(shù)乘10,另一個因數(shù)不變，積是3200。

故選：Co

【點(diǎn)評】此題主要考查積的變化規(guī)律的靈活應(yīng)用。

4.【答案】B

【分析】先計(jì)算出各算式的得數(shù)，再比較得解。

故選：Bo

【點(diǎn)評】熟練掌握小數(shù)乘除法的計(jì)算方法是解決此題的關(guān)鍵。

5.【答案】D

【分析】在除法算式中，被除數(shù)和除數(shù)同時擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)（0除外），商不變；

除數(shù)不變，被除數(shù)擴(kuò)大或縮小幾倍，商就擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)（0除外）；

被除數(shù)不變，除數(shù)擴(kuò)大商反而縮小，除數(shù)縮小商就擴(kuò)大，而且倍數(shù)也相同（0除外）；

據(jù)此解答即可。

故選：Do

【點(diǎn)評】此題考查了商的變化規(guī)律的靈活運(yùn)用，結(jié)合題意分析解答即可。

6.【答案】A

【分析】一個乘數(shù)不變，另一個乘數(shù)乘幾，積就乘幾。

【解答】解：兩個數(shù)相乘的積是420,一個乘數(shù)不變，另一個乘數(shù)乘5,積就乘5。

故選：Ao

【點(diǎn)評】熟悉積的變化規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵。

7.【答案】C

【分析】一個數(shù)（0除外）乘一個小于1的數(shù)，積小于原數(shù)；一個數(shù)（0除外）除以一個大于

1的數(shù)，商小于原數(shù)；一個數(shù)（0除外）乘一個大于1的數(shù)，積大于原數(shù)。

故選：C。

【點(diǎn)評】熟練掌握積的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵。

8.【答案】B

故選：Bo

【點(diǎn)評】熟練掌握乘法分配律的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵。

二.填空題（共8小題）

9.【答案】＜、＜、=、＞o

【分析】根據(jù)積的變化規(guī)律與商的變化規(guī)律解答即可。

一個數(shù)（0除外）乘小于1的數(shù)，積小于這個數(shù)；

一個數(shù)（0除外）除以大于1的數(shù)，商小于這個數(shù)；

除以一個非零的數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)；

一個數(shù)（0除外）除以小于1的數(shù)，商大于這個數(shù)；

據(jù)此解答即可。

故答案為：＜、＜、=、＞O

【點(diǎn)評】本題考查了積的變化規(guī)律與商的變化規(guī)律的靈活運(yùn)用。

10.【分析】根據(jù)商不變的性質(zhì)”被除數(shù)和除數(shù)同時擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)（0除外），商不

變”，可確定商仍然是20；但是余數(shù)變了，余數(shù)與被除數(shù)和除數(shù)一樣，也擴(kuò)大了100倍，由

此確定余數(shù)是1500.

【解答】解：甲數(shù)除以乙數(shù)商是20,余數(shù)是15,

如果甲數(shù)和乙數(shù)同時擴(kuò)大100倍，那么商不變，仍然是20,

余數(shù)與被除數(shù)和除數(shù)一樣，也擴(kuò)大了100倍，應(yīng)是1500.

故答案為:20,1500.

【點(diǎn)評】此題考查商不變的性質(zhì)：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)（0除

外），商不變，要注意：余數(shù)與被除數(shù)和除數(shù)一樣，也擴(kuò)大或縮小了相同的倍數(shù).

11.【答案】4.3,7.9o

【分析】根據(jù)積的變化規(guī)律，一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)擴(kuò)大或縮小幾倍（0除外），積也擴(kuò)

大或縮小相同的倍數(shù)；

如果兩個因數(shù)擴(kuò)大相同的倍數(shù)（0除外），積擴(kuò)大的倍數(shù)就等于兩個因數(shù)擴(kuò)大倍數(shù)的乘積；兩

個因數(shù)都縮小到原來的幾分之幾（0除外），積縮小到原來的幾分之幾等于兩個因數(shù)縮小到

原來的幾分之幾的乘積；由此解答。

故答案為：4.3,7.9o

【點(diǎn)評】此題主要考查的是積的變化規(guī)律的靈活應(yīng)用。

12.【答案】7:50□

【分析】在有余數(shù)的除法里，被除數(shù)和除數(shù)都乘相同的數(shù)或都除以相同的數(shù)（0除外），商不

變，但余數(shù)也隨著乘或除以相同的數(shù)。據(jù)此解答即可。

故答案為：7；50o

【點(diǎn)評】關(guān)鍵是理解商不變的性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)都乘相同的數(shù)或都除以相同的數(shù)（0除外），

商不變，但余數(shù)也隨著乘或除以相同的數(shù)。

13.【答案】2,300o

【分析】商不變的性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)同時擴(kuò)大（或縮小）相同倍數(shù)（。除外），商不變；據(jù)

此解答即可，但余數(shù)跟著擴(kuò)大（或縮?。┫嗤谋稊?shù)。

故答案為：2,300o

【點(diǎn)評】此題考查了商不變性質(zhì)的靈活應(yīng)用。

14.【答案】20。

【分析】在除法算式中，被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變。據(jù)此解答

即可。

【解答】解：根據(jù)商不變的性質(zhì)，被除數(shù)和除數(shù)同時乘2,商不變。

故答案為：20。

【點(diǎn)評】解答此題應(yīng)明確：只有被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），商才不變。

15.【答案】一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘幾或除以幾（0除外），積也乘幾或除以幾（。除

外）。

【分析】積的變化規(guī)律：一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘幾或除以幾（0除外），積也乘幾或除

以幾（0除外）；如果兩個因數(shù)都乘同一個數(shù)（0除外），積就乘兩次這個數(shù)；兩個因數(shù)都除

以幾（0除外），積就除以兩次這個數(shù)。據(jù)此解答即可。

【解答】解：三道算式在計(jì)算道理上有相通之處，是：一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘幾或除

以幾（0除外），積也乘幾或除以幾（0除外）。

故答案為：一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘幾或除以幾（0除外），積也乘幾或除以幾（0除外）。

【點(diǎn)評】此題主要考查的是積的變化規(guī)律的靈活應(yīng)用。

16.【答案】10.8：450；240o

【解答】解:

故答案為：10.8；450；240=

【點(diǎn)評】熟練掌握積的變化規(guī)律和商的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵。

三.計(jì)算題（共4小題）

17.【答案】33.97；3.397；4.3。

【分析】積的變化規(guī)律：

（1）如果一個因數(shù)擴(kuò)大（或縮?。┤舾杀叮?除外），另一個因數(shù)不變，那么它們的積也擴(kuò)

大（或縮小）同樣的倍數(shù)；

（2）如果一個因數(shù)擴(kuò)大若干倍（0除外），另一個因數(shù)縮小相同的倍數(shù)，那么它們的積不變。

【解答】解：

故答案為：33.97；3.397；4.3。

【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查積的變化規(guī)律的應(yīng)用。

18.【分析】兩個數(shù)相乘，一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘以幾或除以幾，積就乘幾或除以幾；

根據(jù)這個性質(zhì)即可解決問題.

【點(diǎn)評】此題主要考查的是積不變規(guī)律的靈活應(yīng)用.

19.【答案】37037；37037；1176：392。

【分析】被除數(shù)和除數(shù)都乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），商不變；如果一個因數(shù)乘幾，另

一個因數(shù)除以相同的數(shù)（0除外），那么積不變；一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘幾或除以幾（0

除外），積也乘或除以幾。

據(jù)此填空即可。

【解答】解:

故答案為:37037；37037；1176；392。

【點(diǎn)評】熟練掌握商不變的規(guī)律和積的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵。

20.【答案】48；1.3;6：48;1.3：6：0.54；7.2；2；0.54：7.2；2；每組得數(shù)都相等，

每組算式中乘法中的一個因數(shù)等于除法算式中的被除數(shù)，乘法中的另一個因數(shù)等于除法算式

中除數(shù)的倒數(shù)；乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。

【分析】先根據(jù)小數(shù)乘法、除法的計(jì)算方法計(jì)算出結(jié)果，再觀察、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、聯(lián)想即可解答。

【解答】解：

發(fā)現(xiàn)：每組得數(shù)都相等，每組算式中乘法中的一個因數(shù)等于除法算式中的被除數(shù)，乘法中的

另一個因數(shù)等于除法算式中除數(shù)的倒數(shù)。

我想到了：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。

故答案為：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。

【點(diǎn)評】解答本題要根據(jù)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行發(fā)現(xiàn)，總結(jié)規(guī)律。

四.解答題

【分析】在除法算式中，被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變；如果被除

數(shù)乘一個數(shù)，除數(shù)同時除以相同的數(shù)（零除外），則商就連續(xù)乘相同的數(shù)；據(jù)此解答即可。

【解答】解：根據(jù)商的變化規(guī)律可知，

【點(diǎn)評】此題考查了商的變化規(guī)律的靈活運(yùn)用。

22.【答案】

被除數(shù)560560560560

除數(shù)24816

商2801407035

【分析】在除法算式中，被除數(shù)不變，除數(shù)擴(kuò)大多少倍（0除外），商隨著縮小多少不變。

【解答】解：

被除數(shù)560560560560

除數(shù)24816

商2801407035

【點(diǎn)評】靈活掌握商的變化規(guī)律，是解答此題的關(guān)鍵。

【分析】被除數(shù)和除數(shù)都乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），商不變，余數(shù)也同時乘或除以一

個相同的數(shù)（0除外）。據(jù)此判斷即可。

【解答】解：不認(rèn)同聰聰?shù)挠^點(diǎn)。

【點(diǎn)評】熟練掌握商的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵。

24.【答案】（1）48,24,16,12。

（2）我發(fā)現(xiàn)花苗總錢數(shù)是一定的，花苗的單價越小，買的棵數(shù)就越多。

【分析】我們通過認(rèn)真觀察統(tǒng)計(jì)表可以發(fā)現(xiàn)，總錢數(shù)一花苗的單價=花苗的棵數(shù)；計(jì)算出花

苗的棵數(shù)，同時會發(fā)現(xiàn)花苗總錢數(shù)是一定的，花苗的單價越小，買的棵數(shù)就越多。

（1）填表如下：

花苗的單價（元）2468

花苗的棵數(shù)（株）48241612

（2）我發(fā)現(xiàn)花苗總錢數(shù)是一定的，花苗的單價越小，買的棵數(shù)就越多。

故答案為：48,24,16,120

【點(diǎn)評】明確“總錢數(shù)一花苗的單價=花苗的棵數(shù)；”是解答此題的關(guān)鍵。

25.【答案】（1）3；2.28;0.45;15;8.55;2.7。

（2）一個數(shù)（0除外）除以一個大于1的數(shù)，商小于原數(shù)；一個數(shù)（0除外）除以一個小于1

的數(shù)，商大于原數(shù)。

（3）<,>,<,>o

【分析】（1）根據(jù)小數(shù)除法的計(jì)算方法，直接計(jì)算出結(jié)果即可；

（2）通過比較除數(shù)大于1時，商和被除數(shù)的大小，除數(shù)小于1時，商和被除數(shù)的大小關(guān)系，

寫出發(fā)現(xiàn)即可；

（3）直接根據(jù)（2）的結(jié)論進(jìn)行判斷即可。

【解答】解：（1）

（2）我的發(fā)現(xiàn)：一個數(shù)（0除外）除以一個大于1的數(shù)，商小于原數(shù)；一個數(shù)（0除外）除以

一個小于1的數(shù)，商大于原數(shù)。

（3）

故