第11講函數(shù)的概念及其表示

匚’內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練習(xí)題講例教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法

7大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識識框架思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

8析教材學(xué)知識

入知識點(diǎn)1函數(shù)的定義

設(shè)A,B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都

有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，稱f：A-B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)y=f(x),x^A

:知識點(diǎn)2函數(shù)的有關(guān)概念

(1)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y=f(x),xGA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;

與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛f(x)|xGA｝叫做函數(shù)的值域.顯然，值域是集合B的子

集.

(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系.

(3)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依

據(jù).

(4)函數(shù)的表示法：解析法、圖象法、列表法.

：?，知識點(diǎn)3分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函

數(shù).

(1)確定函數(shù)的定義域常從解析式本身有意義，或從實(shí)際出發(fā).

(2)如果函數(shù)y=f(x)用表格給出，則表格中x的集合即為定義域.

(3)如果函數(shù)y=f(x)用圖象給出，則圖象在x軸上的投影所覆蓋的x的集合即為定義域.

值域是一個(gè)數(shù)集，由函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系共同確定.

(1)分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分構(gòu)成，但它表示同一個(gè)函數(shù).

(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.

(3)各段函數(shù)的定義域不可以相交.

復(fù)合函數(shù)：若y=/(M)(MeC,ye8),u=g(x)(xeA,ueCoC),則y=/(g(x))(xeZje8)，叫

函數(shù)y=f(a)與a=g(x)的復(fù)合函數(shù)。

解題方法

教材習(xí)題01(1)/中的元素0在2中沒有對應(yīng)元素，故不是集

判斷下列對應(yīng)關(guān)系是否為集合/到

合/到集合2的函數(shù).

集合2的函數(shù).

(2)對于集合/中的任意一個(gè)整數(shù)x,按照對應(yīng)關(guān)

(1)4=R,3=1x|x>0},

系/:彳->=/在集合2中都有唯一一個(gè)確定的整數(shù)

/：X-y=W；

,與其對應(yīng)，故是集合/到集合3的函數(shù).

Q)A=Z,B=Z,f:x^y=x2；(3)集合/中的負(fù)整數(shù)沒有平方根，故在集合/中

@A=Z,B=Z,f:x.y=G、有剩余的元素，故不是集合/到集合3的函數(shù).

(4)-1<x<1},5={0},(4)對于集合/中任意一個(gè)實(shí)數(shù)x,按照對應(yīng)關(guān)系

y=0在集合8中都有唯一一個(gè)確定的數(shù)0和它

—》=0

對應(yīng)，故是集合N到集合8的函數(shù).

【答案】(1)不是集合”到集合2的函數(shù)

(2)是集合4到集合3的函數(shù)

(3)不是集合/到集合2的函數(shù)

(4)是集合/到集合8的函數(shù).

解題方法

(1)解：由函數(shù)〃x)=六，

可得〃-1)1)2+1=2，

教材習(xí)題02

已知""-/+1〃。)=。\一

⑴求〃-1)，/⑼和/⑵；

/W=2=

2+15-

(2)求函數(shù)〃x)的值域.

(2)解法1：因?yàn)閤220,可得

1+121恒成立，可得

0<^<1,所以/'(x)e(0,1],

即函數(shù)/(x)的值域?yàn)?0H.

解法2：假設(shè)/是所求值域中的元

素，則關(guān)于x的方程應(yīng)該有解，即

，=1-1應(yīng)該有解，

t

1\-t

從而一120,即——>0,解得

tt

0</<1,所以函數(shù)/(X)的值域?yàn)?/p>

(0,1].

【答案】⑴/(-1)=；,/(O)=l,

(2)(0,1]

解題方法

(1)因?yàn)?(x)定義域?yàn)?/p>

(7,0)U(0,+8),而g(x)的定義域

為R,

所以兩函數(shù)的定義域不同，故不能

表示同一函數(shù)；

教材習(xí)題03(2)對于C,易知函數(shù)/(》)=彳和

下列哪一組中的函數(shù)/(x)與g(x)是同一個(gè)函數(shù)？

8@)=/系的定義域?yàn)榭?

(l)/(x)=x。，g(x)=l；

而/(》)=》的值域?yàn)镽,

(2)/(x)=x,g(x)=V7；

g(x)==忖的值域?yàn)閇。,+8),

X

(MOO七二0產(chǎn)(力=國

兩函數(shù)值域不同，故不能表示同一

[l,x=0.函數(shù)；

(3)易知函數(shù)〃x)和g(x)的定義

域?yàn)镽,值域?yàn)閧-11},

L，xw0[l,x>0

且g(x)=<|x|=\.八，所

[l,x=0i

以是同一函數(shù).

【答案】⑴不是

(2)不是

⑶是

練考點(diǎn)強(qiáng)知識

考點(diǎn)一函數(shù)的定義

1、下列表示函數(shù)圖象的是（）

【詳解】在函數(shù)的基本概念中，自變量x和因變量y需要一一對應(yīng)，且對于每個(gè)x值，僅有一個(gè)，值對

應(yīng)，

所以選項(xiàng)ABD均不符合.

故選：C.

2、如果記圓周率萬小數(shù)點(diǎn)后第"位上的數(shù)字為乃那么以下說法正確的為（）

A.y不是n的函數(shù)

B.y是〃的函數(shù)，定義域是{123,4,…}

C.y是〃的函數(shù)，值域是{123,4,…,9}

D.y是〃的函數(shù)，但該函數(shù)值域不確定

【答案】B

【詳解】對于給定的任意一個(gè)〃的值，顯然有唯一的y值與之對應(yīng)，所以y是〃的函數(shù)，故A錯(cuò)誤；〃的

取值為正整數(shù)，所以定義域是{1,2,3,4,...},故B正確；根據(jù)定義可知值域?yàn)閧01,2,3,4,…,9},故C錯(cuò)

誤，D錯(cuò)誤.

（多選題）3.下列說法正確的是（）

A.函數(shù)值域中的每一個(gè)數(shù)都有定義域中的一個(gè)數(shù)與之對應(yīng)

B.函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合

C.若函數(shù)的定義域只有一個(gè)元素，則值域也只有一個(gè)元素

D.對于任何一個(gè)函數(shù)，如果x的值不同，那么y的值也不同

【答案】AC

【詳解】A正確，函數(shù)值域中的每一個(gè)數(shù)一定有定義域中的一個(gè)數(shù)與之對應(yīng)，但不一定只有一個(gè)數(shù)與之對

應(yīng)；B錯(cuò)誤，函數(shù)的定義域和值域不一定是無限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函數(shù)

/(x)=l,x=l的定義域?yàn)椋?｝,值域?yàn)椋?｝；C正確，根據(jù)函數(shù)的定義，定義域中的每一個(gè)元素都能在值域

中找到唯一元素與之對應(yīng)；D錯(cuò)誤，當(dāng)x的值不同時(shí)，y的值可能相同，如函數(shù)當(dāng)x=l或x=-l

時(shí)，V=L

考點(diǎn)二判斷兩函數(shù)是否相等

1、下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是()

r2_1

A.y=x-1Qy=------B.和尸1

x+1”

C.Ax)=x2和g(x)=(x+1)2D.八x)=(6)和g(x尸(￡y

【答案】D

f_i

【詳解】對于A,函數(shù)產(chǎn)x-1定義域是R,函數(shù)尸~￡定義域是5T+8),A不是；

X+1

對于B,?=%°定義域是(一°°,0)1>1(0,+8),函數(shù)尸1定義域是R,B不是；

對于C,〃x)=x2和g(x)=(x+l)2對應(yīng)法則不同，C不是；

對于D,-)=64和g(x)=1焉定義域都是(0,+m),并且對應(yīng)法則相同，D是.

故選：D

2、判斷下列各組函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù)，并說明理由：

丫2

(1)歹=肛>=一；(2)y=x2,y=x2,XG[0,+OO).

x

(3)V=x,s=t；(4)/W=l,g(x)=1.

【答案】答案見解析.

2

【詳解】(1)函數(shù)V=x的定義域?yàn)镽,y=二r的定義域?yàn)椋鹸|xwO｝,

X

所以兩者不是同一個(gè)函數(shù).

(2)函數(shù)y=f的定義域?yàn)镽,X田0,+8)的定義域?yàn)閇0,+8),定義域不同，所以兩者不是同一

個(gè)函數(shù).

(3)定義域，對應(yīng)關(guān)系，值域均相同，所以兩者是同一個(gè)函數(shù).

(4)定義域，對應(yīng)關(guān)系，值域均相同，所以兩者是同一個(gè)函數(shù).

3.下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)了=》是相同的函數(shù)？

(1)>=(?)2；

(2)y=y[x^；

(3)y=；

Y2

(4)尸二.

x

【答案】(1)不是相同函數(shù)；(2)是相同函數(shù)；(3)不是相同函數(shù)；(4)不是相同函數(shù).

【詳解】(1)中，函數(shù)y=(?)2的定義域?yàn)?0,+8),函數(shù)V=x的定義域?yàn)镽,定義域不同，所以不是相

同的函數(shù)；

(2)中，函數(shù)y=#7=x與歹=%的定義域與對應(yīng)法則都相同，所以是相同的函數(shù)；

(3)中，函數(shù)J=正=國與V=x的對應(yīng)法則不同，所以是不是相同的函數(shù)；

x2fx,x>0

(4)中，函數(shù)歹=—二八與V=x的定義域與對應(yīng)法則都不相同，所以是不是相同的函數(shù).

x[一%,x<0

4.判斷下列各組函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)：

Y2

⑴〃x)=一,g(x)=x；

X

4

(2)/(無)Y=-一1，g(x)=xc2-l；

X+1

(3)/(x)=Vx^,g(x)=x.

【答案】(1)不是；(2)是；(3)不是

【詳解】(1)因?yàn)椤癤)的定義域?yàn)閧X|XNO},而g(x)的定義域?yàn)榉菜浴▁)與g(x)不是同一個(gè)函數(shù)；

(2)因?yàn)椤癤)與g(x)的定義域均為民所以定義域相同，

又〃x)=口=(廠-：)(廠+1)=X?_1=8⑴，所以與g(x)是同一個(gè)函數(shù)；

X+1X+1'

(3)因?yàn)槿?)與g(x)的定義域均為民所以定義域相同，

又==\x\^X=g(x)，所以/(x)與g(x)不是同一個(gè)函數(shù)

考點(diǎn)三定義域

1、函數(shù)〃幻=示二的定義域?yàn)?)

V3x+1

A.{x|x>-^}B.{x\x>-3}C.{x|x>-^}D.{x\x>-3}

【答案】C

【詳解】由3x+l>0,得％

所以函數(shù)'的定義域?yàn)閧無舊>-?

y/3x+l3

故選：c.

2、若集合/={x|y=?},8={x]x2=i},則()

A.{-1,1}B.{-1}C.{1}D.[0,+oo)

【答案】C

【詳解】因?yàn)榧?=卜|尸?}=[。,+<?)，集合2={x|x2=1}={1,-1},

所以/nB={i}.

故選：c

3、已知函數(shù)〃無)=7工，則函數(shù)y="x)-/(13-x)的定義域?yàn)?)

A.2<x<11B.[2,11]C.(2,15)D.(2,11)

【答案】D

【詳解】由〃無有意義，可得x-2>0,解得x>2.

要使函數(shù)y=〃x)-"13-X)有意義,

x>2

則13T>2'解得

對函數(shù)y=定義域?yàn)樽宰兞縓的取值范圍A,

其中集合A為非空數(shù)集,

所以函數(shù)〉=/(x)-/(13-x)的定義域?yàn)?2,11).

故A錯(cuò)誤，D正確.

故選：D.

4.已知函數(shù)y=〃2x+l)的定義域?yàn)閇1,2],函數(shù)丁="2-X)的定義域是

x+2

【答案】-3,-2)U(-2,-1]

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)V=〃2x+1)的定義域?yàn)閇1,2],

所以14x42,所以3V2x+lM5,

對于函數(shù)y="2一X),有3<2-x<5-3<x<-l

x+2x+2w0xw—2

即函數(shù)y=W^的定義域?yàn)?/p>

故答案為：卜3,-2)3-2,-1]

5.已知y=/（x）的定義域?yàn)閇0,5],函數(shù)了二少也+0-？）。的定義域?yàn)?/p>

VX-1

【答案】（1,2）U（2,4]

【詳解】要使函數(shù)有意義，須有:

0<x+l<5-l<x<4

x-1>0=>X>1,所以1<X<2或2<xW4.

x-2w0xw2

所以所求函數(shù)的定義域?yàn)椋海?,2）U（2,4].

故答案為：（L2）U（2,4]

6、（1）已知函數(shù)/（x）的定義域?yàn)椋?,1）,求/，）的定義域；

（2）已知函數(shù)〃2x+l）的定義域?yàn)椋?,1）,求/（x）的定義域.

【答案】（1）{x（-l<x<0,或0<x<l}；（2）{x|l<x<3}

【詳解】（1）.."（x）的定義域?yàn)椋?1），

，要使/（一）有意義，須使0<，<1,即-l<x<0或0<尤<1,

???函數(shù)/（一）的定義域?yàn)閧M-l<x<0，或0cx<1}.

（2）???/（2x+l）的定義域?yàn)椋?,1）,即其中的函數(shù)自變量x的取值范圍是0<x<l,

令f=2x+l,⑺的定義域?yàn)閘<t<3,

函數(shù)/（x）的定義域?yàn)閧x（l<x<3}.

考點(diǎn)四值域

（X+1）「

1、取整函數(shù)[刃=不超過x的最大整數(shù)，如[-1.2卜-2,[2.4]=2,已知函數(shù)/（x）=,則函數(shù)

x2+1

了=[/（句]的值域是（）

A.{-2,-1,0,1}B.{-2,-1,0）

C.{0,1,2}D.{1,2,3}

【答案】C

（x+l）11,

【詳解】因?yàn)?（x）=

x2+l2

當(dāng)x=0時(shí)，/（0）=|,[/（0）]=[|]=1;

（X+1）21_3―2x32

當(dāng)尤>0時(shí)，/（切=十一十―十

x2+l22x2+l21，

X-\—

X

又X+LN21X-L=2,當(dāng)且僅當(dāng)》=工，即x=l時(shí)取等號，

xVxX

所以：<〃同《3，［〃*=1或2;

f(x)=3?2x=3____2___

當(dāng)x<0時(shí)，八叼一2八廣2J，

—X-----

-x

又-x+-^22、f=2,當(dāng)且僅當(dāng)-x=,，即x=-l時(shí)取等號，

—XV—X-x

1q

所以5"(x)<y.［/(x)］=0或1,

綜上，得了="(司］的值域?yàn)閧0,1,2}

故選：C.

(多選題)2.下列函數(shù)中值域?yàn)椋?,+8)的是()

A.y=VxB.y=X"-2x+l

C.y=-D.y=|x|-l

X

【答案】AB

【詳解】對于A,函數(shù)y=?的定義域?yàn)椋?,+功，值域也為［。,+⑹，A正確；

對于B,函數(shù)y=/-2x+l=(x-l)220,值域?yàn)椋?,+℃),B正確；

對于C,函數(shù)%:的定義域?yàn)?-s,0)U(0,+8),值域?yàn)?-8,0)U(0,+co),C錯(cuò)誤;

對于D,函數(shù)尸國-1的定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋跿+⑹，D錯(cuò)誤.

故選：AB.

3、函數(shù)了=-/+2x+3(0VxV3)的值域.

【答案】［0,4］

【詳解】函數(shù)y=--+2x+3的對稱軸為X=l,開口向下，

且x=0時(shí)，y=3；尤=1時(shí)，y=4；x=3時(shí)，y=0,

則函數(shù)y=-/+2x+3(0<x<3)的最小值為0,最大值為4,

所以y=-x?+2x+3(04x43)的值域?yàn)?］.

故答案為：［0,4］.

4.函數(shù)了=9V三4-1的最大值為_______.

x+8

【答案】y/0.25

4

【詳解】原函數(shù)可以化簡為產(chǎn)/-》+8了-1=0在工€1<時(shí)有解，

當(dāng)y=0時(shí)，x=-l,

當(dāng)了不等于0時(shí)，A=l-4）；（8y-l）>0,

解得-且7不等于0,

84

故所求最大值為;.

故答案為：

5.函數(shù)y=x4X+J的值域是______.

X2-]

【答案】{">/一1且NH1}

丫2—4Y+3

【詳解】函數(shù)了=，中,x2-l^0,貝廉-1且xwl,

x2-l

于是y=：x及=]--^7>由^7*0，得夕*1；由xwi,得yw-i,

所以原函數(shù)的值域?yàn)?yx-i且y4}.

故答案為：{乂y力-1且>#1}

6.函數(shù)了=AA二1+行工的值域?yàn)?

【答案】[V2,2]

[l-x>0

【詳解】由題意可得，、八，解得-14XW1,即函數(shù)定義域?yàn)閇-1,1],

[l+x>0

則/=1-X+1+X+2，—2=2+2，14,

當(dāng)x=0時(shí)，/取最小值0,故=2+2a一d取到最大值4,

則函數(shù)y=Jl-x+Jl+x的最大值為2；

當(dāng)》=±1時(shí)，/取最大值1,故/=2+2"二百取到最小值2,

則函數(shù)y=的最小值為a;

故答案為：[友,2].

7、求下列函數(shù)的值域：

⑴了=2x+l”{l,3,5,7}；

2x+l

⑵尸

x-3

【答案】(1){3,7,11』5}

(2)(-<?,2)u(2,+00)

【詳解】⑴因?yàn)閤e{l,3,5,7},代入求得y=3,71l,15,所以函數(shù)的值域?yàn)閧3,7,11,15}.

(2)由函數(shù)4="1-2刊-31+7=2+三,因?yàn)楣0,可得y#2,

x-3x-3x-3x-3

所以函數(shù)的值域?yàn)?-8,2)U(2,+8).

考點(diǎn)五對應(yīng)法則

1、已知函數(shù)/(I一x)=L^(xwO),則〃X)=()

A.7^77一小。)B.

(xT)(xT)

44

C.7~節(jié)T(xx。)D.7—干-1("1)

(xT)J)

【答案】B

【詳解】令"1—X,貝Ijx=l—%,因?yàn)閤wO,貝卜wl,

(1)

故選：B.

(多選題)2.己知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,且03=力(力，則〃x)的解析式可以為()

A.〃x)=OB.f(x)=xc./(x)=2xD.f(x)=x2

【答案】ABC

【詳解】首先，各選項(xiàng)給出的函數(shù)定義域均為R.

對A：#(x)=yxO=O,xf(y)=xxO=O,所以才("=切(力成立，故A符合題意；

對B：yf(x)=yx,xf(y)=xy,所以0(力=獷(7)成立，故B符合題意；

對C：j/(x)=yx2x=2盯，獷1(y)=xx2y=2孫，所以j/(x)=力(刃成立，故C符合題意；

對D：yf(x)=yxx2=x2y,xf(y)=xxy2=xy2,所以濟(jì)(x)=#(y)不是恒成立，故D不合題意.

故選：ABC

(多選題)3.己知函數(shù)/(x)的圖象如圖所示，則下列解析式正確的是()

3433

A.〃力=5卜-1|一5(0"<2)B.〃x+l)=5-

3

yxe[O,l],

3x,xe[0,4],

C.〃尤)=3D./(2x)=

6-3x,xe(4,8]

3—x,xe(1,2]

、2

【答案】BC

3

-x,xe[0,l],

33

【詳解】當(dāng)OWxVl時(shí)，y=jx當(dāng)1cxW2時(shí)，y=3--x所以〃x)=3即

3--x,xe(l,2],

3333

/(x)=j-j|x-l|(0<x<2),A錯(cuò)誤，C正確；則/(x+l)=e-：|x|(TWx41),

3x,XG0,

/(2x)=<L2

B正確,D錯(cuò)誤.

2

3-3x,xe

25

4、設(shè)函數(shù)〃無)的定義域?yàn)镽,滿足〃x+l)=2〃x),且當(dāng)xe(0,l]時(shí)，/(x)=x(x-l).則當(dāng)xe(l,2]時(shí)，

/W=.

【答案】2x2-6x+4

【詳解】當(dāng)xe(l,2]時(shí)，x-le(0,l],/(x-1)=(x-l)[(x-1)-1]=(x-l)(x-2).又+1)=2/(x),所

以f8=f[(x-1)+1]=2f(x-1),故/(x)=2(x-l)(x-2)=2X2-6X+4.

5、求下列函數(shù)的解析式：

⑴已知函數(shù)〃x-l)=f-4x,求函數(shù)/(X)的解析式；

(2)已知〃x)是二次函數(shù)，且滿足"0)=1,f(x+l)-f(x)=2x,求〃x).

【答案】(l)/(x)=--2x-3(xeR)

(2)/(x)=x2-x+1

【詳解】(1)已知/(X-1)=Y-4X,xeR,

令x—l=f,t&R,則x=f+l,代入上式得/(f)=(f+1)—4(f+1)=1—2/—3,

即f^xj-x1-2x-3(xeR).

(2)設(shè)+6x+c(a*0),

由/⑼=1，得c=l,

由/(x+l)-/(x)=2x,

得a(x+1)-+b^x+\)+\-ax2-bx-\=2x,

整理得2ax+a+b=2x,

2a=2a=1

所以，所以

a+b=Ob=-\

所以/3=尤2-工+1.

6.求下列函數(shù)的解析式.

(1)已知〃x)=/+2x,求/(2x+l)；

(2)已知/(4一l)=x+24,求/(x)；

⑶已知/(X)-2y=3%+2,求〃x).

【答案】⑴〃2X+1)=4X2+8X+3

(2)f(x)=x2+4x+3(x>-1)

2

(3)/(x)=-x—2

x

【詳解】(1)用代入法，因?yàn)椤▁)=/+2x,

所以f(2x+1)=(2x+1)2+2(2x+1)=4X2+8X+3；

(2)解法一(配湊法)：

因?yàn)?(4-1)=(6-1)2+4(?-1)+3,且

所以函數(shù)的解析式為/(X)=X2+4X+3(X>-1)；

解法二(換元法)：

令/=—1,則/>—1,且V^=/+l,

所以/(。=?+1)2+2(/+1)="+"+3??_1),

故函數(shù)的解析式為/(X)=X2+4X+3(X>-1)；

(3)利用方程組法：〃x)-24￡|=3x+2①，

用工代換①式中的x,得口一2/(x)=3+2②，

xI%x

由①②聯(lián)立消去了［￡|,得/(x)=-x-：-2,

2

故函數(shù)的解析式為f(x)=-x——2.

x

考點(diǎn)六分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

1、已知函數(shù)則/卜(0)］二()

A.2B.0C.1D.3

【答案】A

【詳解】/[/(0)]=/(02+l)=/(l)=2xl=2.

故選：A.

2、已知=則函數(shù)尸(x)=/(/(x))+/(x)的值域?yàn)?)

A.(1,+(?)B.[1,+℃)C.(_|,+00)D.|''+00j

【答案】B

f-x+l,x<1

【詳解】由題意知，/?=II,

[%-1,尤>1

當(dāng)xVl時(shí)，〃x)=-x+l是單調(diào)遞減的一次函數(shù)，/(1)=0,取值范圍是M=[0,+⑹,

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=尤-1是單調(diào)遞增的一次函數(shù)，取值范圍是N=(O,+s),

所以〃X)的值域?yàn)镸UN=M=[O,+S).

令f=/(x),設(shè)y=p(x),則y=p(x)=/(f)+t,le[0,+8),

1,0<?<1

得〉=

2,—1/>1

當(dāng)0W1時(shí)，y=l；當(dāng)，>1時(shí)，V的取值范圍是(1,+8),

所以了的取值范圍是[L+8),即F(x)的值域?yàn)閇1,+8).

故選：B

3、已知函數(shù)/(x)=4,則/一―卜()

2/(-2x),x>-lI1024；

A.128B.256C.512D.1024

=210/(-1)=1024X1=256.

故選：B.

/、f2x-l,x>0”、

4、已知小)=/+1、<0,則〃一D=

【答案】2

/、f2x-l,x>0

【詳解】因?yàn)?%=；八，

''[x2+l,x<0

所以〃T)=(T『+1=2,

故答案為：2

2x-l,x>0

5.已知函數(shù)/(')二1八，若"21)=3,則x的值為_____.

—,x<0

、x

【答案】l3或31

【詳解】當(dāng)2X-1Z0,即x'g時(shí)，

由/(2》-1)=3得221-1=3,

所以X』3

當(dāng)lx—1<0,即x<]時(shí)，

由-，=3,解得x=[

2x-l3

故答案為：楙3或1%

6.已知函數(shù)〃x)=F：2x：：,若/(/(/(加則/(加卜_

[XX&U4

9

【答案】7

4

【詳解】設(shè)/(〃?)=左，f(k)=n,/(")=?,

75S

當(dāng)〃《0時(shí)，2.?.--/(^),左無解，不符合題意；

f(n)=n=—fn==

、2517、

當(dāng)〃>0時(shí)，/(H)=H+2=—,:.n=—=f[k^；

當(dāng)心0時(shí)，f(k)=E=*；"=一半=〃/)，m無解,不符合題意;

、179

當(dāng)左〉0時(shí)，/(左)=左+2=1~，:.k=%=/(m).

Q

故答案為：—

4

7、已知函數(shù)/小、)f大2x—+l,x<>11

⑴求dd身

(2)若/(x)=6,求實(shí)數(shù)x的值

【答案】⑴1

⑵3

【詳解】(因?yàn)?所以/

1)VI,1+1=2,

(2)當(dāng)時(shí)，/(x)=2x+l=6,解得x=g>l(舍)；

當(dāng)x>l時(shí)，f(x)=X2-3=6,解得X=±3,又因x>l,所以x=3.

綜上：實(shí)數(shù)x=3.

考點(diǎn)七函數(shù)圖象與圖表求函數(shù)值

1、已知函數(shù)y=/(x)的對應(yīng)關(guān)系如下表，函數(shù)N=g(x)的圖象是如下圖的曲線/8C,其中

4(1,3),3(2,1),C(3,2),則/[g(2)]=()

O123K

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【詳解】由y=g(x)的圖象與＞=/(x)的對應(yīng)法則表可知g(2)=lj⑴=2,所以/[g(2)]=/(l)=2.

2、若函數(shù)=-的部分圖象如圖所示，則/(5)=()

ax+bx+c

【答案】D

【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象可知x=2和x=4不在函數(shù)/(x)的定義域內(nèi)，

因止匕x=2和x=4是方程辦,+6x+c=0的兩根，可得/(x)=a(x_2)(x-4)，

又易知"3)=1,可得。=-1,

即"-(』一4)，所以/(5)=j

故選：D

3、我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于是返回家里找到了作業(yè)本再上學(xué).下列哪一個(gè)圖象與

這件事吻合得最好？()

【答案】D

【詳解】中途返回家中，則離開家的距離先增大，后減小至0,到家找作業(yè)本，再離開家到學(xué)校，選項(xiàng)D

吻合最好.

故選：D

4、(多選)函數(shù)的圖象如圖所示，則()

【答案】AB

【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椤?XH-C},

由圖可知一c>0,貝I]c<o,

由圖可知〃0)=烏<。所以6<0,

C

由/(x)=0,得辦+6=0,X=_2,

a

由圖可知一2>0,得2<0,所以0>0,

aa

綜上，a>0,Z)<0,c<0.

故選：AB.

(多選題)5.甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一座公園，甲同學(xué)家到公園的距離與乙同學(xué)家到公園的距離

都是2km.如圖所示表示甲同學(xué)從家山發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過的路程y(km)與時(shí)間Mmin)的關(guān)系，下列結(jié)論正

A.甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了60min

B.甲從家到公園的時(shí)間是30min

C.當(dāng)0VxW30時(shí)，了與x的關(guān)系式為y=5x

D.甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度慢

【答案】BCD

【詳解】由已知得，甲在公園休息的時(shí)間是lOmin,

所以甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了50min,A錯(cuò)；

由圖像知，甲從家到公園的時(shí)間是30min,B正確；

甲從家到公園所用的時(shí)間比從公園到乙同學(xué)家所用時(shí)間長，

而距離相等，所以甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度慢，D正確;

當(dāng)04x430時(shí)，設(shè)夕=丘（左力0）,

貝42=30后，解得左=4,C正確.

故選：BCD

（多選題）6.對某智能手機(jī)進(jìn)行游戲續(xù)航能力測試（測試6小時(shí)結(jié)束），得到了剩余電量V（單位：百分

比）與測試時(shí)間f（單位：h）的函數(shù)圖象如圖所示，則下列判斷中正確的有（）

A.測試結(jié)束時(shí)，該手機(jī)剩余電量為85%

B.該手機(jī)在5h時(shí)電量為0

C.該手機(jī)在Oh~3h內(nèi)電量下降的速度比3h~5h內(nèi)下降的速度更快

D.該手機(jī)在5h~6h進(jìn)行了充電操作

【答案】ACD

【詳解】A選項(xiàng)，充電結(jié)束時(shí)，由圖像可知，電量是85%,A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，由圖像，5h時(shí)刻，電量剩余為30%,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，由圖像，Oh~3h內(nèi)電量下降的速度平均為幽皆為名16.7%/h,

50%_30%

3h~5h內(nèi)下降的速度平均為——--?10%/h,前者更快，C選項(xiàng)正確;

D選項(xiàng)，由于5h~6h期間電量上漲，可知進(jìn)行了充電操作，D選項(xiàng)正確.

故選：ACD

7、已知函數(shù)“X）,g（x）分別由下表給出

X123

/（X）231

g(x)321

（1）則當(dāng)g（/（x））=2時(shí)，無=,

⑵則⑵）=.

【答案】13

【詳解】根據(jù)函數(shù)“X）和g（x）表格中的數(shù)據(jù)，可得:

由g(2)=2和g(/(x))=2,可得〃x)=2,所以x=l；

又由g⑵=2,所以/(g(2))=/⑵=3.

故答案為：1；3.

串知識識框架

，知識導(dǎo)圖記憶

定義

函數(shù)的概念1四個(gè)特性非空性'任意性'單值性,方向性

-------------------------、函數(shù)的_要素定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域

Z

\函數(shù)相等

求函數(shù)定義域的依據(jù)

函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法解析法、列表法、圖象法

函數(shù)的概念及具表不描點(diǎn)法作函數(shù)圖象列表、描點(diǎn)、連線

V定義

分段函數(shù)也g是f函數(shù)

圖象畫法

函數(shù)解析式的求法待定系數(shù)法、換元法、配湊法、方程組法

7知識目標(biāo)復(fù)核

1.函數(shù)的定義

2.函數(shù)三要素

3.相等函數(shù)

4.分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

O過關(guān)測穩(wěn)提升

1.已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,2/(x+2)+/(l-x)=x2,則〃1)一〃2)=()

【答案】A

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】求函數(shù)值

【分析】借助賦值法，分別令x=0及x=-l,可得求得答案.

【詳解】令x=0,得2/(2)+/⑴=0①

令x=T,得2〃1)+〃2)=1②

由②-①得/⑴一〃2)=1.

故選：A.

y[x,x>0,

2.函數(shù)了=<4的值域?yàn)?)

XH--,X<0

X

A.[0,4]B.[-4,0]

C.(-co,0]U[4,+co)D.(-oo,-4]U[0,+(?)

【答案】D

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、分段函數(shù)的值域或最值

【分析】求出各段上的函數(shù)值的范圍后可得正確的選項(xiàng).

【詳解】當(dāng)xZO時(shí)，Vx>0，

44

而當(dāng)x<0時(shí)，x+-=-(-x)+-7_-<-4,當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時(shí)等號成立，

x[(一x)

故函數(shù)的值域?yàn)?-8,-4]U[0,+8),

故選：D.

3.已知函數(shù)〃幻的定義域?yàn)镽,則“Vx,yeR,/3)=/。)-〃了)”是“〃無)=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】充要條件的證明

【分析】利用抽象函數(shù)賦值先證充分性，再證必要性即可得到結(jié)論.

【詳解】先證充分性：因?yàn)閂x,"R,/(Ay)=/(x)-/(y),

令x=y=l,得到：/(1)=/(1)-/(1)=0,所以=

再令V=x,x=l,得到〃x)=/⑴-〃x),=>2〃x)=〃l)=