限時(shí)練習(xí)：40min完成時(shí)間:一月一日天氣:

寒假作業(yè)12反比例函數(shù)的基本模型

—積累1S用----；—

近年來，反比例函數(shù)作為中考和模擬考的壓軸選填題出現(xiàn)較為頻繁，個(gè)別省市更是作為解答題的壓

軸來考查。仔細(xì)研究中考真題，不難發(fā)現(xiàn)一些常見的幾何模型，今天我們就常見的幾種與反比例函數(shù)結(jié)合

的幾何模型（定值矩形與定值三角形模型、平行線之間的定值三角形模型、”喇叭三角形”（三角轉(zhuǎn)梯形）、

中點(diǎn)模型、比值模型、等角模型、等分面積模型等）給大家作一個(gè)專項(xiàng)訓(xùn)練，方便同學(xué)們熟練掌握。

wa鞏固提升練

i.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y="上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A向》軸作垂線交丁軸于點(diǎn)5,

X

連接Q4,若△AOB的面積為4,貝必的值為（）

A.4B.-4D.-8

【答案】D

【解析】設(shè)由題意;X（-〃Z）.“=4,.,.〃"?二一8,.,.左二一8,故選D.

2.如圖，RtZXAOB的直角頂點(diǎn)。與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，ZOAB=30°,若A點(diǎn)在反比例函數(shù)y=9（x>0）的圖象

D.-4

【答案】C

【解析】過點(diǎn)B作3C_Lx軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)A作AD_Lx軸于點(diǎn)￡）,如圖:

ZBOA=90°,AABOC+AAOD=9C)0,ZAOD-^-ZOAD=90°,ZBOC=ZOAD,

又-.ZBCO=ZADO=90°,二△BCMAODA,

=V,嘰tan30°="==；,

S&ODAOA3S4ODAI3J3

A點(diǎn)在反比例函數(shù)片9>。）的圖象上,.?』.=3,

40￡>=1，

「經(jīng)過點(diǎn)B的反比例函數(shù)圖象在第二象限，

過8點(diǎn)的反比例函數(shù)的比例系數(shù)k=-2.故選C.

點(diǎn)。在函數(shù)）="（女〉0,X>0）

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A與x軸相切于點(diǎn)8,CB為A的直徑,

X

的圖像上，。為V軸上的一點(diǎn)，△ACD的面積為6,則上的值是（）

1

【答案】C

【解析】如圖，連接0C,OA,設(shè)ACD的高為心

,/A與x軸相切于點(diǎn)8,CB為（A的直徑，Z.BC//OD,AC=AB,

△ACO、ABO的高為03=/i,.1：.-ACh=-ACOB^-ABOB,

222

CDACO

?-$ACD=6,?*.SA=S.=SABO=6,/.SBOC=2SBOA=12,

?.1H=2SC0B=2X12=24,且反比例函數(shù)圖像在一象限，，々=24.故選C.

4.如圖是反比例函數(shù)X

x

8兩點(diǎn)，點(diǎn)尸（-5.5,0）在x軸上，則△PAB的面積為（

A.3B.6

【答案】A

【解析】如圖,

連接。1、OB,

、軸的平行線A3分別與這兩個(gè)函數(shù)圖象相交于點(diǎn)A,B,：.AB±y^,

24

點(diǎn)A、5在反比例函數(shù)％=-和=--在x軸上方的圖象上,

XX

S/\osc=]x4]=2,S/\OAC=]x|2]=1,SMM=S△OAC+>BC=3,

AB〃龍軸,與2。18“同底等高”，，S△叩=S,B=3,故選A.

5.如圖，A、8是函數(shù)■的圖象上的點(diǎn)，且4、2關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，&。，了軸于。，2D，尤軸于。，如

X

果四邊形AC&）的面積為S,那么（）

A.S=1B.1<S<2

【答案】D

【解析】VA,2是函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意兩點(diǎn),

X

，若假設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則8點(diǎn)坐標(biāo)為(-x,-y),

■"CD—lx,AC=BZ)=y,二S四邊形ACBD=S+SBC?=2.0=2,

故四邊形ACBO的面積S是2.故選D.

6.如圖，直線_y=；nr(；w<0)與雙曲線;y=f交于A,8兩點(diǎn)，軸于點(diǎn)H,若△AHB的面積為5,則

4的值為.

【答案】-5

【解析】根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱性可知SAOH=SBOH,

A/iB是面積為5,...一AOH的面積是2.5,二二I左|=2.5,

2

?.?雙曲線位于二、四象限，??#=-5.故答案為：-5.

tI

7.雙曲線G:y=q左w0,x>0)和C?:y=((尤>0)如圖所示，A是雙曲線G上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作ABJ.X軸,

垂足為8,交雙曲線C?于點(diǎn)C,連接。AOC,若△AOC的面積為2,則無=

【答案】5

【解析】：一℃=5358℃，二（02,邛|=5,

.反比例函數(shù)位于第一象限，，左＞0,...左=5.故答案為5.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。，中，點(diǎn)A在正比例函數(shù)y=2x的第一象限的圖象上，過點(diǎn)A作筋人x軸于

點(diǎn)8,點(diǎn)C在點(diǎn)5右側(cè)的x軸上,且,=|,過點(diǎn)C作x軸的垂線，交過點(diǎn)A的反比例函數(shù)T"）的圖

象于點(diǎn)D,連接AD,OD,若△49。的面積為30,那么上的值為

【答案】16

【解析】設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是&2。，則AB=2,，

把A&2f)代入y=“(x>0)得到上=2產(chǎn)，：普=3，???3C=3r,...OC=4r,

xBC3

k

,即。卜葉），I軸，CD_Lx軸，.?.S二q

當(dāng)i時(shí)，y=-OAB一0,OCD'

,**S0AB+S四邊形ABC。=S0CD+SAOD,/.S四邊形4BCD二SAOD,

1

即J7+2/]3=30,—k+It=20,—k+k=20f解得左=16,故答案為16.

2V4z）44

9.如圖，在△042中，C是AB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=±（左＞0）在第一象限的圖象經(jīng)過A,C兩點(diǎn)，若△043

X

的面積為6,則上的值為一.

【答案】4

【解析】分別過點(diǎn)A、點(diǎn)C作。5的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、點(diǎn)N,如圖.

點(diǎn)C為的中點(diǎn)，...CN為_AWB的中位線，，肱V=NB=a,CN=b,AM=2b,

OMAM=ONCN,：.OM-2b=（OM+a）-b,：.OM=a,

:.SAOB=3a-2b+2=3ab=6,ab=2,...左=a-2人=2ab=4.故答案為4.

能力培優(yōu)練

10.如圖1,點(diǎn)A、3在反比例函數(shù)■（勺*0）的圖象上，過點(diǎn)A、5作X軸的垂線，垂足分別為A/,N,

延長(zhǎng)線段AB交x軸于點(diǎn)C,當(dāng)加=MN=NC時(shí)，陰影部分的面積S陰=1如圖2,點(diǎn)A、5在反比例函

數(shù)y=3■的40）的圖象上，過點(diǎn)A、8作無軸的垂線，垂足分別為N

連接03,交AM于點(diǎn)。，當(dāng)

AC=2CW時(shí)，陰影部分￡的面積%=2,則左一心的值為（d）

-5l~MNCxNM

圖1圖2

A.2B.-2C.10D.-10

【答案】c

【解析】①BNAM,^BCNAACM,

,「MN=NC，S^BCN：S^ACM==d="'而SBCN=1，'SAW

=4,

OM=MN=NC,■-OM=^MC,：.S

AOM=1s=2,

11

S.AOM=J周，，5%|=2,勺>0,.,.左=4,

②設(shè)2],xA由圖可知：-x,

AQ,2ON=2BN=乂,OM=_x；AM=板,

I\)(x2)%占

1人11

AC=2CM,:,CM=-AM=^-,S=S-S=--ON.BN--.OM-CM=2,

DmBONCOMZZ

1k1k

即>二廠(f)?/=2,解得&=一6,.?.匕—&=4一(-6)=10.故選C.

ZX2/JX]

11.如圖，雙曲線＞=人經(jīng)過RSOMN斜邊ON上的點(diǎn)A,與直角邊W相交于點(diǎn)8,已知。4=2AN,AOAB

X

的面積為5,則上的值是（)

A.12B.2410

【答案】A

【解析】如圖，過A點(diǎn)作ACLx軸于點(diǎn)C,則AC〃NM,

tOACs,ONM,OC-OM=AC：

又???。4=2⑷V".O4ON=2:3.設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(尤0,%),則。。=尤0,AC=y0.

3333

OM=-x0,，N點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為"，設(shè)8點(diǎn)的縱坐標(biāo)為力，

:點(diǎn)A與點(diǎn)8都在y=與圖象上，；"=%一%='|飛%.；?%=■1%，,8點(diǎn)坐標(biāo)為

x2323

?.?Q4=2AN,_OAB的面積為5,的面積為g.ONF的面積為5+3=g.

1(32A315

：.-NBOM=-,即5萬％一』%=7,=12.???左=12.故選A.

22乙\乙jj乙乙

k1k

12.兩個(gè)反比例函數(shù)＞二—和y=上在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)尸在＞=—的圖象上，軸于點(diǎn)G

XXx

11

交的圖象于點(diǎn)A,軸于點(diǎn)。，交y=2的圖象于點(diǎn)2,當(dāng)點(diǎn)2在＞=—的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下結(jié)

XXX

論：①△(?/汨與△?的面積相等；②四邊形P4O3的面積不會(huì)發(fā)生變化；③叢與PB始終相等；④當(dāng)點(diǎn)A

是PC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)8一定是尸。的中點(diǎn).其中，正確的結(jié)論有()個(gè)

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】；點(diǎn)4,8均在反比例函數(shù)＞=」的圖象上，且軸，ACLx軸，

X

?-=rSg…結(jié)論①正確；

k

???點(diǎn)p在反比例函數(shù)y=—的圖象上，且尸軸，尸。，y軸，

x

SOCPD=k,S四邊形PA08=SOCPD~SODB~OCA=一1,

即四邊形B4O3的面積不會(huì)發(fā)生變化，結(jié)論②正確；

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為[“7,A],則點(diǎn)B的坐標(biāo)為點(diǎn)A的坐標(biāo)為

＜mJ\km)m)

==—,PB=m』J(kT,.?.JR4與PB的關(guān)系無法確定，結(jié)論③錯(cuò)誤;

mmmkk

如圖，連接OP,點(diǎn)A是PC的中點(diǎn)，?*,OAC=SOAP,

「?SQBP=SQAC=S85，???點(diǎn)3一定是尸。的中點(diǎn)，結(jié)論④正確；

綜上，正確的結(jié)論有3個(gè)，故選C.

13.如圖，雙曲線y=9與y=2在第一象限內(nèi)的圖象依次是加和“，設(shè)點(diǎn)尸在圖機(jī)上.PC垂直x軸于點(diǎn)C,

XX

交圖象”于點(diǎn)A,垂直y軸于點(diǎn)。，交圖象”于點(diǎn)B,連接。尸、OA.OB、AB、CD,下列結(jié)論：①四邊

形上403的面積為4；②△尸Q4的面積為3；@PC=2AC；④公PABs八PCD.其中一定正確的有個(gè).

【答案】2

【解析】PC垂直x軸于點(diǎn)c,尸D垂直y軸于點(diǎn)。，

ZPDO=ZDOC=ZPCO=90°,四邊形PDOC是矩形，

點(diǎn)P在圖加上，S矩形ope。=6,SPOC=SPOD=-x6=3,

「點(diǎn)A3在圖象〃上，.?.SBOT)=；X2=1,S”C=1X2=1,

,,,S四邊形APOB=S矩形PD0C_SBOD—SAOC=6—1—1=4,故①正確，符合題意；

??-5POA=5POC-SAOC=3-1=2,故②錯(cuò)誤，不符合題意；

S.POC=\PCXOC=3,SAOC=^ACXOC=1,.-.PC=3AC,故③錯(cuò)誤，不符合題意；

2

PC=3AC,PC=AC+PA,.\PA=-PC,

3

112

SPOD=—DPxOD=3,SBOD=]XBD義OD=\,/.DP=3BD,/.BP=—DP,

.PA_PB

,,而一而‘

:JABs_pCD,故④正確，符合題意；

綜上所述，正確的有：①④，共2個(gè)，故答案為2.

14.如圖，已知函數(shù)y=-x+2的圖象與X軸、y軸分別交于點(diǎn)C、B,與雙曲線y=4交于點(diǎn)A、D,若

X

AB+CD=BC,貝必的值為.

【答案】-3

【解析】已知函數(shù)>=-％+2的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C、3,把x=0代入，y=2；y=0代入，x=2；

「?8、C的坐標(biāo)分別是（0,2）、（2,0）,則OB=2,OC=2,3C=20,

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（一加,〃），過點(diǎn)A作AE_Lx軸于E點(diǎn),

'：AE//OBf：.CBOsCAE,

函數(shù)>=-x+2的圖象與函數(shù)y="的圖象都關(guān)于直線>=龍對(duì)稱，由對(duì)稱性可知/R=CD,

X

又?：AB+CD=BC,：.BC=2AB=2CD,：.----=-=

m+2n3

解得機(jī)=1,"=3,.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)是

k

???點(diǎn)A在雙曲線>=—上，???左=—1x3=—3,故答案為-3.

x

15.如圖，A,B是反比例函數(shù)y=—（x>0）圖象上的兩點(diǎn)，AC，y軸于點(diǎn)C,軸于點(diǎn)D,

x

AC=BD^^OC,S四邊形ABDC=9,則左=.

【答案】10

【解析】如圖，分別延長(zhǎng)CA,DB交于點(diǎn)E.

AC，y軸于點(diǎn)C,軸于點(diǎn)。，AC^BD^OC,

點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相等.

設(shè)AC=r,則3￡>=t,OC=5t,...點(diǎn)A的坐標(biāo)為?,5f）.

；點(diǎn)A,B是反比例函數(shù)y=￡（x>0）圖象上的兩點(diǎn)，

X

:.ODxt=tx5t,解得：OD=5t,..?點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5fJ).

.'*AE=5t—t=4t,BE=5t—t=4t,,,S四邊形=S七⑺—S,

:.-x5tx5t--x4tx4t=9：,t2=2^:.k=tx5t=10.

22f

wa拓展突破練

16.閱讀與思考：閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

k

探究反比例函數(shù)圖象中的等線段：我們知道，若反比例函數(shù)>=￡的圖象與正比例函數(shù)y=:我的圖象相交于

X

點(diǎn)A,B,則根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不難發(fā)現(xiàn)。4=03,那么如果反

比例函數(shù)>=幺的圖象與一次函數(shù)>=如+〃的圖象相交于點(diǎn)A,B,一次函數(shù)的圖象與無軸，y軸分別交于

X

點(diǎn)C,D,是否也存在相等線段？

下面分別從反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)在同一象限和不同象限兩種情況進(jìn)行分析：

情況1：交點(diǎn)在同一象限（以交點(diǎn)在第一象限為例）.

如圖①，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)E,作A尸軸于點(diǎn)/，BE,AF交于點(diǎn)G,連接E尸.

設(shè)點(diǎn)《山（"0/>0）,

kkk

貝|JGE=—,GB=-------,GF=b,GA=a—b,

aba

k

,GE_~_bGF_b.GEGF

,GB~k_k~a-b1~GA~a-b"'^GB~~GA'

ba

又?/EGF=/BGA,:.AGEFs&GBA（依據(jù)），

:.ZGEF=ZGBAf.\FE//BA.

又AF〃CE,二?四邊形AFEC是平行四邊形，.?.AC=￡F.

同理可得AD=￡F,從而AC=BO；

情況2：交點(diǎn)在不同象限（以交點(diǎn)在一、三象限為例）.如圖②，…

任務(wù)：(1)上述證明過程中的依據(jù)是：;

(2)請(qǐng)參照情況1的分析過程，寫出情況2的分析過程;

(3)“從一般到特殊”的思想拓展研究數(shù)學(xué)中的一些問題，是數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的解題方法，結(jié)合以上信息，猜

k

想：當(dāng)反比例函數(shù)＞=＞的圖象與一次函數(shù)的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為P,一次函數(shù)

X

＞=7加+〃的圖象與x軸，y軸分別交于點(diǎn)c,D,試著找出一條結(jié)論：.

【解析】(1)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；

(2)①過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)E,作A尸，y軸于點(diǎn)尸，BE,AF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,連接班

設(shè)點(diǎn)Mq用”＞。），則GE=jGB*\GF=b,GA=b-a,

k

GE_~g_bGF_b.GEGF

GB~k_k~b-a'~GA^b-a'"~GB^~GA

ba

又?.ZEGF=ZBGA,:._GEFs_GBA(兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似),

:.NGEF=NGBA,:.FE//BA.又AF〃CE,四邊形AFEC是平行四邊形,

:.AC=EF.同理可得=..&。=8￡＞；

（3）猜想：當(dāng)反比例函數(shù)＞=幺的圖象與一次函數(shù)y=e+〃的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為尸，一次函

X

數(shù)、=7加+〃的圖象與無軸，y軸分別交于點(diǎn)c,D，則尸C=PD.故答案為：PC=PD.

wa仿真考場(chǎng)練

17.（2023年江蘇省淮安市中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)了=瓜+。的圖象分別與x軸、

y軸交于A、B兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)y=*在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)C.若點(diǎn)A坐標(biāo)為（2,0）,M=則

x2

上的值是（）

k

O\/AX

r

A.73B.2A/3C.36D.

【答案】c

【解析】如圖所示，過點(diǎn)C作CDLy軸于點(diǎn)。，則CD〃tM.

?

O\/A

CDBC

△BOAs^Z\BDC,----,

AOBA

二能=|，,,'V=l，解得8=九

?.,點(diǎn)A（2,0）在y=6x+6上，：.2&b=Q,解得。=一24，

直線AB的解析式為丁=氐-26，當(dāng)x=3時(shí)，y=6即C卜,回

k

又與反比例函數(shù)＞=勺在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)C,...左=3指.故選C.

X

k

18.（2023年江蘇省宿遷市中考真題）如圖，直線y=x+l、＞=X-1與雙曲線y=y左＞0）分別相交于點(diǎn)

A、B、C、D.若四邊形ABCD的面積為4,則上的值是（）

3

ARV2c4

A.-D.C.—U.1

425

【答案】A

【解析】連接四邊形ABC。的對(duì)角線AC、BD,過。作軸，過。作軸，直線y=%T與不軸交

于點(diǎn)M,如圖所示：

根據(jù)直線y=x+l、y=xT與雙曲線＞=白化＞0）交點(diǎn)的對(duì)稱性可得四邊形ABCD是矩形，

X

?二S4COD=7S四邊形458=1=50M-[DE+CF）,

，直線y=%T與X軸交于點(diǎn)M,???當(dāng)y=0時(shí)，x=l,即"（1,0）,

y=x-1與雙曲線y=[（左＞0）分別相交于點(diǎn)C、D,

y=x-l--------

???聯(lián)立k,即〉二'—1,則V+y_k=0,由左＞0,解得y=T±一+4%,

y=-y2

IX

??[xlx[T+了（I-了Ji，即歷1=2,解得上故選A.

19.（2023年湖南省張家界市中考真題）如圖，矩形。4SC的頂點(diǎn)A,C分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)

。在上，且AO=：AB,反比例函數(shù)y=f（A＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)。及矩形。4BC的對(duì)稱中心跖連接

OD,OM,DM.若△ODW的面積為3,則k的值為（）

J

-----

Cx

A.2B.3C.4D.5

【答案】c

【解析】：四邊形OCB4是矩形，，AB=OC,OA=B(

Z7h

設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(。力)，：矩形。鉆C的對(duì)稱中心；.延長(zhǎng)恰好經(jīng)過點(diǎn)2,

三

113

丁點(diǎn)。在A3上，且AD二一AB,D(—a,b),BD=-CI,

444

***SBDM=-B￡>-/Z=-X-（2X（Z?--）=—-ab,

“在反比例函數(shù)的圖象上，.??%=

k,

,,v—Q_q_c—1.3ab.

,uODM—uAOBuAOD°BDM一？—k-------=3,

216

-ab-—ab-=3,解得：ab=16?k=—ab=4,故選C.

28164

3n

20.（2023年福建省中考真題）如圖,正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別位于兩個(gè)反比例函數(shù)和y=2的圖象的四

個(gè);分支上，則實(shí)數(shù)〃的值為（）

A.—3B.—C.-D.3

33

【答案】A

3

【解析】如圖所示，連接正方形的對(duì)角線，過點(diǎn)48分別作x軸的垂線,垂足分別為C,o,點(diǎn)8在>=之上,

X

OB=OA,ZAOB=ZBDO=ZACO=90°,

2H

ZCAO=90°-ZAOC=ZBOD.二一AOC四一OBD.：.S^S==

A0COBD22,

,.?八點(diǎn)在第二象限，；.〃=一3.故選A.

21.(2023年湖北省黃石市中考數(shù)學(xué)真題)如圖，點(diǎn)A、［和巾］)在反比例函數(shù)y=§(%>0)的圖象

____;若△A03的面積為二