專題02高中全部補(bǔ)充函數(shù)培優(yōu)歸類

》稱壓軸?茲高度六.

題型1對(duì)勾函數(shù)型

%

1.有“漸近線"：y=ax

2.“拐點(diǎn)”：解方程ax=?b

x(即第一象限均值不等式取等處)

-+—,2<x<12

2x

1.(23-24高三?黑龍江哈爾濱模擬)已知函數(shù)〃x)=，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)4、

ax—12。H,12<%W18

2

%、天目2,18],均存在以〃石)、/(%)、/(七)為三邊邊長(zhǎng)的三角形，則〃的取值范圍是()

355333

A.—<。<—B.---<。<—C.0?〃<一D.—

41212444

【答案】B

【分析】對(duì)實(shí)數(shù)。分。<0、。=0、a>0三種情況討論，求出函數(shù)y=的最大值和最小值

f(x)^,由題意得出/(x)1mx及/⑺疝"，由此可求出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】當(dāng)2WXW12時(shí)，/(x)=-+->2.pl=6,當(dāng)且僅當(dāng)x=6時(shí)，等號(hào)成立，且"2)=10,

2xy2x

/(12)=y,此時(shí)，6</(^)<10;

①若"0時(shí)，函數(shù)仆)=依-12°+?在區(qū)間。2,18]上單調(diào)遞減，貝廳(18)4小)<[,即

6a+y-/(x)<y,

那么，當(dāng)xe[2,18]時(shí)，/(x).=min[,6a+q1,“犬心—。，

10<2x6

由題意可得〃九<2小)1m…則有‘io<2{6a+m>解得此時(shí)，《<”。；

②當(dāng)a=0時(shí)，且當(dāng)12CW18時(shí)，/(x)=|,貝"(x)1nm=6,/⑺1rax=。/⑺.<2/(x)皿成立，此

時(shí)a=0；

③當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)”同=依一12〃+與在區(qū)間。2,18]上單調(diào)遞增，則尤)即

y</(%)<6a+y,貝1n=6,〃x)2=max“0,6a+91,

[10<6x2

由題意可得/(x)皿<2〃1，則有6〃+”<6X2’解得”“此時(shí)°<。<“

2

53

綜上所述，故選B.

124

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)最值的應(yīng)用，同時(shí)也考查了分段函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵就是將題意轉(zhuǎn)化為關(guān)于函

數(shù)最值相關(guān)的不等式求解，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.

2.(22-23高三上?廣東清遠(yuǎn)?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x）=2023，+而則不等式“x+l)>"2x)

/UZD-X十D

的解集為()

B.（2023,+oo）

C.18,一；卜(l,+8)D.

【答案】D

【分析】分析可知函數(shù)〃尤)為R上的偶函數(shù)，且該函數(shù)在［0,")上單調(diào)遞增，將所求不等式變形為

/(|.r+l|)>/(|2^|),可得出關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式，即可得解.

【詳解】由題意可知，函數(shù)/(*)的定義域?yàn)镽,

Bf(-x}=2023T+―1--------1_=+2023*--4=〃尤)

旦'2023T(_葉+32023'x2+3v'

所以，函數(shù)〃尤)為偶函數(shù)，

上qcr#尸(無(wú))=2023*In2023+^—In—1―十一=(20232023r\歷2023+—>0

%2

當(dāng)xNO時(shí)，I/20232023(%2+3)1

且r(x)不恒為零，所以，函數(shù)在［。，―)上為增函數(shù)，

由〃x+l)>/(2x)可得/(|x+l|)>〃［2x|),^IJ|x+l|>|2x|,可得5+1)2>4爐,

整理可得(3x+l)(x—1)<0,解得一；<a<l.故選：D.

001

3.(24-25高三上?浙江期中)已知函數(shù)/(x)=e*+eT,若。=1%0.6,z，=3,c=iog53,則有()

A./(a)>/(*)>/(c)B./(&)>/(c)>/(t7)

C./(/?)>/(?)>/(c)D.f(c)>f(a)>f(b)

【答案】B

【分析】由已知可得〃x)為偶函數(shù)，貝"(1%。.6)=，1叫；］利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性

質(zhì)，可得0<log3g<g,"1,1<c<l,又當(dāng)x>0時(shí)，由/'(x)>0,可得〃x)為單調(diào)遞增函數(shù)，即可

得到答案.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=e'+ef且定義域?yàn)镽,則”r)=ef+e，=〃x),所以/(x)為偶函數(shù),

3

因?yàn)閍=log30.6=log3-<0,

貝IJ/(log30.6)=/(-log30.6)=/1-logsI)=/'jogsg],

又logsgvlogs石=g,log3g>bg31=0,Z?=30.01>30=1,

c=lo

C=log53>log5石=g'§53<log55=1,

則g<c<l,所以3。?!>logs3>logs',

當(dāng)尤>0時(shí)，因?yàn)閞a)=e-e-，>0,所以〃x)為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以/'伍)>“。)>/(4).故選：B.

4.(2020,湖南婁底?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/("=爐+(4-1)武(a>0且awl)是偶函數(shù)，則關(guān)于x的不等

式/(log&x)>d戶的解集是()

A.(2,+e)B,fo,1j(2,+?))

C.\,21D.以上答案都不對(duì)

【答案】B

【分析】根據(jù)/（X）是偶函數(shù)求得左=2,利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性不等式等價(jià)于|1強(qiáng)2川>1,解不等式

即可.

【詳解】??,/（可是偶函數(shù)，/（—）=/（彳）,即。-工+（"1）優(yōu)="+優(yōu)一1）個(gè)

化簡(jiǎn)得（左—2）（/—a"）=0.?.左=2,f（%）—ax+a（tz>0,awl）y?'（x）=lna（av—a

?>1,0<a<l時(shí)都能得到廣（尤）=Ina（a，-尸）>0,所以/（x）="+Q在[0,+8）上是增函數(shù)

.-./（%）=a1+?-（?>O,arl）為偶函數(shù)且在口+⑹上是增函數(shù)，

〃log?x）>巴士L/（log2x）>/（l）,gpIlog2X|>1,即log2X>l或logzXV-l

解得x>2或0<x<；,即xe（0,萬(wàn)）口（2,+co）.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，屬于中檔題.

題型2雙曲函數(shù)

雙曲函數(shù)（雙刀函數(shù)）

y=ax」（兩支各自增），或者y」-ax（兩支各自減），（a,b>0）

XX

1.有“漸近線”:y二ax與y二-ax

2.“零點(diǎn)”：解方程ax=2

x（即方程等0處）

1.（2025?江西?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）=e-ef+sin2x,若*43,+/），使/（d）+〃4一依）<0成

立，則實(shí)數(shù)”的取值范圍為（）

A.（一。,2）B.1-00，,]

C.（2,+s）D.（T,+00j

【答案】D

【分析】先研究函數(shù)是奇函數(shù)，再求導(dǎo)，用均值不等式和余弦函數(shù)特點(diǎn)，知道函數(shù)在整個(gè)取值范圍遞增.利

用奇函數(shù)性質(zhì)變成了（尤2）</（依-4）,結(jié)合單調(diào)性得出尤2V辦一4.

,-4

參變分離，轉(zhuǎn)化為求g(x)=x+—的最值即可.

尤

【詳解】因?yàn)椤?x)=eT_e，-sin2x=-〃x),所以/'(x)為奇函數(shù)，

又((x)=eX+e2UO:os23c空疵尸&尤=+x>,故〃x)在R上單調(diào)遞增，

由/(爐)+/(4-依)<0,得/(尤2)<-/(4-ox)=/(分-4),所以無(wú)2<6一4,

若玉:e[3,+8),x2<ax-4,即。>尤+上只需a>[x+—),

xVX/min

令g(x)=x+：由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知g(x)在[3,+⑹上單調(diào)遞增，

故gOjgOh(故

故選：D.

2.(23-24高一下河南濮陽(yáng)?期末)已知函數(shù)/(x)=2*—2丁若%>0,”0,且/(2〃。+/(〃-1)=0,則

上1+^2的最小值為()

mn

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】由函數(shù)奇偶性的定義可得/(x)為奇函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性可得2〃7+〃=1,然后結(jié)合基本不等式即可

得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?2<2T的定義域?yàn)镽,

且〃一力=27-2工=一/(力，即函數(shù)/⑺為奇函數(shù)，

又因?yàn)?gt;=2'/=-2一,=-1￡|在R上單調(diào)遞增,

則f(x)=2、-2T在R上也單調(diào)遞增，

因?yàn)椤?m)+"“-1)=0,即/(2L)=-4-1)=/(1-〃),

則2m=1-n,所以2m+〃=1,

12(12"、

貝niIlJ——F—=——F—\(2m+n)=8,

mn\mn)

1

n4m

當(dāng)且僅當(dāng)＜mn時(shí),取等號(hào).

2m+n=ln=—

2

12

所以上+±的最小值為8.

mn

故選：D.

3.(24-25高三?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí))已知函數(shù)〃以=/-5，則不等式/(2x-l)W/(x+l)的解集為

()

A.(0,2]B.[0,2]C.L[；,2D.0,2

[答案]D

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，把函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解即可.

【詳解】因?yàn)椤ㄋ?--：，xwO,

所以〃-x)=(-x)2-1=/-卜”元)，所以函數(shù)“X)為偶函數(shù);

(f)2

1)(1

設(shè)。<芯</,則了(%2)-“石)=X22~%；2=(%—％)(%2+芭)1+

\X2)\玉J

因?yàn)椤?lt;演<%,所以％-玉>°，w+玉>。，1+7\>。，所以/(%2)-/(%)>°，即/(%)>/(%)

所以函數(shù)/(%)在(。,+。)上單調(diào)遞增.

由函數(shù)”X)為偶函數(shù)，所以函數(shù)八％)的圖象關(guān)于,軸對(duì)稱，在(-8,0)上單調(diào)遞減.

2x-1w0

所以〃2x-l)V/(x+l)O.x+lwOO0—V2且xwg.

|2x-l|<|x+l|

故選：D

4.(22-23高三上,四川成都?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e'-er-2sinx+l,則關(guān)于r的不等式

/⑺+/(2/-1)<2的解集為()

A.1一B.[-8,gC.:#001D.g'+s]

【答案】A

【分析】令分x)=/(x)—l=e，—eT—2sinx,判斷出無(wú)㈤利用奇偶性、導(dǎo)數(shù)判斷出人⑴的單調(diào)性,由

/⑺+“2-1)<2得/⑺-1),再利用奇偶性、單調(diào)性解不等式可得答案.

[詳解]xeR,令〃(x)=〃x)-]=e￡_eT_2sinx,/?(-尤)=〃一力一1=-(e*-/—2sinx)=-九(無(wú))，所

以網(wǎng)力為奇函數(shù)，

因?yàn)椤?x)=r(x)=e，+e-*-2cosxN2-2cosx20,所以//(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，

由/⑺+〃2-1)<2得/■⑺一1W1—/■⑵—1),即/?⑺Wf(2…l)=/?(l—2r),

所以芯1-2f,解得tv?

故選：A.

題型3復(fù)合分式型“反比例"函數(shù)

10。@點(diǎn)

反比例與分式型函數(shù)

解分式不等式，一般是移項(xiàng)(一側(cè)為零)，通分，化商為積，化為一元二次求解，或者高次不等式，再用

穿線法求解

形如：y=—~-o對(duì)稱中為P(x0,y),其中

cx-d0

!(1)>cxQ-d=O；

ax

(2)、

Yo二一

CX

(3)、一、三或者二、四象限，通過(guò)x=0,1計(jì)算判斷

1.（23-24高二下?廣東茂名?期末）已知函數(shù)/（x）=:貝杯等式/（2，T<"xT的解集為（）

2、

A.(-oo,0)B?L

c.0,|

D.(-8,0)

【答案】D

【分析】證明函數(shù)的奇偶性，再分析出其單調(diào)性，從而得到|2x-l|>|x-l|,解出即可.

2

由/（x）=±M可得xeR且/（一尤）=1-(一工)2i-x

【詳解】，則/⑴為偶函數(shù),

1+X]+（T『丁+尤2

1-X2_(1+元2)

f(x)=

1+x21+x21+X

因?yàn)閥=/+l在（一*0）上單調(diào)遞減，在（0,+s）上單調(diào)遞增，則1+1>0恒成立,

則/M在（0,+8）單調(diào)遞減，在（一吃0）單調(diào)遞增，

2

解得xv0或x>—.

3

故選：D.

Y4-1

2.（23-24高三江蘇南通,階段練習(xí)）已知函數(shù)/（乃二下7,x&R,貝IJ不等式/(f-2x)</(3x-4)的解

|x|+l

集為（

A.(1,2)B.(1,4)C.(0,2)

【答案】A

l,x>0

由““常

從而有〃工）在（）上單調(diào)遞增，再結(jié)合單調(diào)性可求解.

【分析】-1--匕，尤<0,7,0

x—\

l,x>0

解量”品

【詳解】,2n，在/(x)在(—,0)上單調(diào)遞墻

-1---------,x<0

x—\

4

x<一

3x-4<01一3

J3x-4>0

或，X2-2X<0,解可得，，3或<0<x<2,即{x|lvxv2},故選A.

\x2—2x<0

x2-2x<3x-40<x<2l<x<4

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用.

2-x

------%>U

3.（23-24高二下?甘肅蘭州,階段練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=九+1'",則不等式/（——2x）</（2%）的解集

2,x<0

為（）

A.(^?,0)I(4,+co)B.(^o,0)l(2,+oo)C.D.(2,4)

【答案】A

【分析】作出函數(shù)圖像，由圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而解出答案.

【詳解】函數(shù)圖像如圖所示，

2尤<0

則不等式等價(jià)于,nx<0

x2—2x>0

或x?—2x>2x20=x>4xe(-<?,0)54,+co).故選：A.

4.(24-25高一下?云南昭通,開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=T，若對(duì)任意的

則機(jī)的取值范圍為()

,1111I

C匕D?:』

【分析】先用基本不等式求最值，再解一元二次不等式即可.

717?/\34——21%+9x-5

【詳解】對(duì)任意的xe-2=2+9x

/^'2x-9-2X-15X+272九2—15x+27

i--i廠-1/、39t9

04717人<33f(x\―――=2+—^——=2+—4

因?yàn)闊o(wú)￡-令)2x-92t2+5t+20-2

_Z4J|_Z4JZZH

因?yàn)?-2^(2。。=-4,當(dāng)且僅當(dāng)2"：即t=-L即x=4時(shí)，等號(hào)成立,

399

----------=2+——-->2+---------=11

所以I，2x-9-4+5

ZtH----r3

311

因?yàn)槿+4/+7機(jī)恒成立，所以11241+7”?,即(4wi+ll)(m—l)v。，：--<m<l,

故選：D.

題型4絕對(duì)值型函數(shù)

絕對(duì)值函數(shù)：

(1)分類討論去掉絕對(duì)值；(2)大部分絕對(duì)值函數(shù)，可以遵循翻折變換

；翻折變換：x軸翻折，y軸翻折，y=x翻折

1、f(x)n|f(x)|x軸翻折：x軸下方(負(fù)的)翻上去

2、f(x)nf(|x|)y軸翻折：y軸左側(cè)擦除。右側(cè)翻到左側(cè)，成為偶函數(shù)

i

i

I_________________________________________________________________________________________..._____________________

fo,0〈茗,1,

1.(2019,天津和平?一模)已知函數(shù)/。)=1法1,=<2_4|_2若關(guān)于x的方程/(?+，"=g(X>恰

有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則加的取值范圍是()

A.[0,ln2]B.(-2-ln2,0]

C.(-2-ln2,0)D.[0,2+ln2]

【答案】B

【分析】設(shè)版x)=/(x)+〃?，則力(x)是f(x)的圖象沿著x=l上下平移得到，分析函數(shù)為⑶與g(x)的圖象,

利用圖象關(guān)系確定兩個(gè)函數(shù)滿足的條件進(jìn)行求解即可.

【詳解】

設(shè)躍x)="x)+m,則飄尤)是/(x)的圖象沿著x=l上下平移得到，當(dāng)x=l時(shí)，h(1)=f(1)

=M+m=m,

所以直線x=1與函數(shù)h(x)的圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,m)，當(dāng)x=l時(shí),g⑴=0,

當(dāng)x=2時(shí)，g(2)=-2,所以直線x=2與函數(shù)g(x)的圖像的交點(diǎn)為(2,-2),

當(dāng)x=2時(shí)，h(2)=ln2+m,所以直線x=2與函數(shù)h(x)的圖像的交點(diǎn)為(2,In2+m),

要使方程/(x)+m=g(x)恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則等價(jià)為h(x)與g(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

[/z(l)?g(l)[m,,00

則滿足;二、，即，°c得c「，即-2-/〃2<,%,0,即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(-2-歷2,

[〃(2)>g(2)[m+ln2>-2[m>-2-ln2

0],故選8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖像和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的

理解掌握水平和分析推理能力.

2.(24-25高二下河北期末)已知尤eR,貝米—2|+|x+l|的最小值為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】設(shè)/(x)=|x-2|+|x+l|,分北2,-l<x<2,xW-L三種情況去掉絕對(duì)值符號(hào)得到/(x)的解析式

及值域，即可得解.

【詳解】設(shè)F(x)=|x-2|+|x+l|,xeR.

所以當(dāng)xN2時(shí)，/(x)=2x-le[3,-H?)；

當(dāng)一1<x<2時(shí)，/(x)=3;

當(dāng)xW-l時(shí)，/(x)=l-2xe[3,+o>).

所以當(dāng)xeR時(shí)，,一2|+卜+1|的最小值為3,

故選：C

3.(24-25高二下?江蘇南京?期末)已知函數(shù)/(x)=的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值范圍

\x-2a\-i,x>a.

是()

A.(—oo,—2)B.[—2,0)C.(2,+oo)D.[—2,2]

[答案]B

【分析】利用分段函數(shù)的值域是各段值域的并集，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解即可.

【詳解】當(dāng)時(shí)，若x<。，貝IJ/(x)=a(x-a)2+l>l,若會(huì)a,則〃力=打一24-12-1,

函數(shù)/⑺的值域不可能為R；

當(dāng)a<0時(shí)，2a<a,4%)=0(%-<?)2+1在(-8,。)上單調(diào)遞增，/(x)=|x—2a|—1在(a,+oo)上單調(diào)遞

增，，

若函數(shù)〃x)的值域?yàn)镽,貝加一1W1,

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是[-2,0).故選：B.

4.(24-25高二下?浙江麗水?期末)已知函數(shù)/(彳)=2-|x|,若關(guān)于尤的不等式的解集中有

且僅有2個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.[-2,-1)B.(-2,-1)C.[-2,0)D.(-2,0)

【答案】C

【分析】將不等式/。)2/-2苫-機(jī)化為相Af-Zx-Z+IX,令/z(x)=x2-2x-2+W,即以2/i(x).然后分

xNO和x<0兩種情況去掉絕對(duì)值符號(hào)，得到相應(yīng)的解析式，計(jì)算x取-1,0,1,2時(shí)的函數(shù)值，畫(huà)出函數(shù)的部

分圖象，數(shù)形結(jié)合即可得解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=2-UI,所以關(guān)于x的不等式一2XTW

可化為2-忖Ax?,即加之爐―2x-2+W,令/z(x)=x?-2x-2+W,即機(jī)

上單調(diào)遞增,

x取一1,0,1,2

時(shí)的函數(shù)值可知，要使，"2〃(x)的解集中有且僅有2個(gè)整數(shù)，這兩個(gè)整數(shù)解只能是。和1,

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為-2V機(jī)<0,即機(jī)e[-2,0).故選：C

題型5取整函數(shù)（高斯函數(shù)）

1.（22-23高三?江蘇徐州?階段練習(xí)）符號(hào)國(guó)表示不超過(guò)無(wú)的最大整數(shù)，如團(tuán)=3,[-1.08]=-2,定義函

數(shù)〃（x）=[x]-x,那么下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）

①函數(shù)"（力的定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋═O]

②方程人（尤）=-；有無(wú)數(shù)多個(gè)解

③對(duì)任意的xeR,都有力"+1）=//（同成立

④函數(shù)力⑺是單調(diào)減函數(shù)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)取整函數(shù)的定義，可得函數(shù)以x）=[x]-x的最小正周期為L(zhǎng)在區(qū)間（K左+1）（左eZ）上是減函

數(shù)，且函數(shù)的值域?yàn)橛纱伺c各個(gè)選項(xiàng)加以比較，即可得到本題的答案.

【詳解】對(duì)于①，根據(jù)國(guó)的定義，得x為整數(shù)時(shí)，印=為，從而/I（X）=[X]T=0,此時(shí)/i（x）得最大值;

當(dāng)x的小數(shù)部分不為0時(shí)，x-l<[x]<x,故無(wú)卜）=國(guó)—xe（-l,O）.綜上所述,得/?）的定義域?yàn)槊裰涤?/p>

為（-1,5.故①正確.

對(duì)于②，當(dāng)犬=左+3（左eZ）時(shí)，[x]=Z,從而//（無(wú)）=[無(wú)]-犬=-1，因此方程=■有無(wú)數(shù)多個(gè)解，故

②正確.

對(duì)于③，因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)增加1個(gè)單位后，它的小數(shù)部分不變，而整數(shù)部分增加1,因此D+1]=[司+1,從而

得到/z（x+l）=[x+l]-（x+l）=[x>x,所以對(duì)任意的xeR,都有必X+D=以龍）成立，故③正確.

對(duì)于④，函數(shù)//（x）=[x]-x在區(qū)間（太上+1）（左?Z）上是減函數(shù)，但是由于函數(shù)版劃是分段函數(shù)，圖象不連

續(xù)，所以〃（X）不是R上的減函數(shù)，故④不正確.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題以取整函數(shù)為例，要我們判斷關(guān)于函數(shù)〃（》）=[司-％性質(zhì)的幾個(gè)命題的真假，著重考查了函

數(shù)的單調(diào)性、周期性以及函數(shù)的定義域、值域等知識(shí)，屬于中檔題.

2.（22-23高三上?江西?階段練習(xí)）已知國(guó)表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)（xeR）,如：[-1.3]=-2,

[0.8]=0,[3.4]=3.定義｛x｝=x-國(guó),給出如下命題:

①使[x+l]=3成立的x的取值范圍是2<X<3；

②函數(shù)y=｛x｝的定義域?yàn)镽,值域?yàn)閇0』；

2019201922019320192020

3'+++-=1009.

2020202020202020

其中正確的命題有

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】B

【分析】利用所給取整函數(shù)的定義逐個(gè)判斷.①討論x的范圍，判斷何時(shí)[x+l]=3；

②考慮x為整數(shù)或介與兩個(gè)整數(shù)之間求函數(shù)｛x｝的值域；③對(duì)等式左邊利用二項(xiàng)式定理及岡的定義化簡(jiǎn)求

和.

【詳解】①由2Vx<3,3<x+l<4,所以[x+l]=3；x<2或x>3時(shí)[x+l]w3.

②當(dāng)x為整數(shù)時(shí)｛x｝=x-x=0,當(dāng)〃(尤<w+l時(shí)，岡=n,0<x—[x]<l

｛｝；；；11；；

所以x的值域?yàn)閇0,1).③因?yàn)門蹤=01y=C2020"T-戲20207++C-(-ir+C(-iy

112

所以n為偶數(shù)時(shí)——=C：2020--C,I2020-++C/(-l)"T=焉2019"-焉

Z-XJZ-XJ乙UNU乙U4U

701Q7111

n為奇數(shù)時(shí)=《2020"7-&2020"-2+-.+。片(-1)"7-1=*2019"++-1

NU/UZJ\j/J\jNUNU

2020

2019201922O19=1-――+―1―+1—++^—=1010

所以+++

2020202020202020202020202020

綜上，只有命題①正確，故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)新概念的理解、簡(jiǎn)單運(yùn)用，考查函數(shù)的值域，二項(xiàng)式定理及應(yīng)用，屬于中檔題.

3.（23-24高一上?云南楚雄?階段練習(xí)）數(shù)學(xué)上有兩個(gè)重要的函數(shù)：狄利克雷函數(shù)與高斯函數(shù)，分別定義如

下：對(duì)任意的xeR,函數(shù)。（尤）=:2：由/稱為狄利克雷函數(shù)；記國(guó)為不超過(guò)x的最大整數(shù)，則稱

|0,X為無(wú)理數(shù)L」

〃%）=區(qū)為高斯函數(shù)，下列關(guān)于狄利克雷函數(shù)與高斯函數(shù)的結(jié)論，錯(cuò)誤的是（）

A.。（/（力）=1

B.D（x+l）=D（x）

C.7（x）+/（-x）=0

D./（。（砌的值域?yàn)椋?,1｝

【答案】C

【分析】利用狄利克雷函數(shù)與高斯函數(shù)的定義，逐項(xiàng)推理判斷即得.

【詳解】由高斯函數(shù)的定義知，VxeR,〃x）=[x|都是整數(shù)，即都是有理數(shù)，所以。（〃x））=l,A正確；

若x為有理數(shù)，則x+1也是有理數(shù)，O（x+l）=D（x）=l；若x為無(wú)理數(shù)，則x+1也是無(wú)理數(shù)，

￡）（A:+1）=￡>（x）=0,B正確；

取x=-0.5,則/（0.5）=0,/（-0.5）=—l,/（0.5）+/（-0.5）=-l,C錯(cuò)誤；

o(x)的值域是｛O,l｝j(O)=O,/(l)=L所以/(。⑺)的值域?yàn)椋?』，D正確.

故選：C

4.(2024高三.北京.專題練習(xí))高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，用其名字命名的“高斯

函數(shù)”為：設(shè)xeR,用⑶表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則了=印稱為高斯函數(shù)，例如：-河=-4息5]=1,

已知函數(shù)3，設(shè)g(x)="(x)L則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A./(x)是奇函數(shù)B.g(x)是奇函數(shù)

C.f(x)在R上是增函數(shù)D.g(x)的值域是｛-1,0｝

【答案】B

【分析】利用奇偶性定義及特殊值法判斷A、B；根據(jù)指數(shù)函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷C,由函數(shù)新定義

及分式型函數(shù)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求g(x)的值域判斷D.

【詳解】由了(-尤)=土二=匕土=-/(%)且xeR,則是奇函數(shù)，A對(duì)；

1+22+1

2

由/(x)=l-7=，根據(jù)指數(shù)函數(shù)、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性易知：/(%)在R上是增函數(shù)，C對(duì)；

1+2

24

由8⑴="⑴]二口—于=0,^(-D=[/(-l)]=[l--]=-l,顯然g(—1)。—g⑴，B錯(cuò)；

2

當(dāng)％之0時(shí),1+2X>2,則/(%)=1-7不7?。1)，此時(shí)g(%)=。；

1+2”

2

當(dāng)x<0時(shí)，1<1+2X<2,則f(x)=l-廠7?(1,0),此時(shí)g(元)=一1；

1+2

所以g(x)的值域是｛-1,0｝,D對(duì).

故選：B

題型6一元三次型函數(shù)

1一元三次函數(shù)：

所有的三次函數(shù)“X)=加+bx1+cx+d(a豐0)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)y=的圖像的對(duì)稱

中心，

設(shè)尸(無(wú))是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，尸(%)是/‘(X)的導(dǎo)數(shù)，若方程廣(M=°有實(shí)數(shù)解％,則稱點(diǎn)(x<)J(x。))

為函數(shù)/(X)=/+加+a+d("0)的“拐點(diǎn)”.

1.(22-23高三上?湖北?階段練習(xí))已知函數(shù)g(尤)=:丁+無(wú)一相+'(租>o)是口,一)上的增函數(shù).當(dāng)實(shí)數(shù)優(yōu)

3x

取最大值時(shí)，若

存在點(diǎn)。，使得過(guò)點(diǎn)Q的直線與曲線y=g(x)圍成兩個(gè)封閉圖形，且這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等，則點(diǎn)Q

的坐標(biāo)為

A.(0,-3)B.(0,3)C.(0,-2)D.(0,2)

【答案】C

【詳解】試題分析：g'a)=f+i-4,由題意時(shí)，g'(x)=/+i-4N0恒成立，所以

m<x2(%2+l),而當(dāng)時(shí)，x2(x2+l)>lx(l+l)=2,所以用42,即機(jī)的最大值為2.此時(shí)

i371?

g（X）=^-x+x-2+-,由于函數(shù)/z（x）=g（x）+2=：x3+無(wú)J是奇函數(shù)，關(guān)于點(diǎn)（0,0）對(duì)稱，所以函數(shù)g（x）

的圖象關(guān)于點(diǎn)（。，-2）對(duì)稱，所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,-2）.

2.（21-22高三上?河南信陽(yáng)?階段練習(xí)）已知函數(shù).-；.「一工一，，:十二?一?」是（0,-2）上的增函

3x

數(shù).當(dāng)實(shí)數(shù)：取最大值時(shí)，若存在點(diǎn)Q,使得過(guò)點(diǎn)Q的直線與曲線」=g<r圍成兩個(gè)封閉圖形，且這兩

個(gè)封閉圖形的面積總相等，則點(diǎn)O的坐標(biāo)為

A.（0,-3）B.（0,3）C.（0,-2）D.（0,2）

【答案】C

【詳解】試題分析：由8（尤）=:丁+彳+二（祖>0）,g'^=x2+l-g（尤）是口上的增函數(shù)，

3xx

g（X）“在［L-不上恒成立，即：-；4硼在［L*x）上恒成立.設(shè)F=或，即不等式

?1-巴之。在［L+幻上恒成立，設(shè)）。懈H,;"=升［>瞅所以函數(shù)

X=，r41--,r*制H上單調(diào)遞增，因此｝=4=2-刑；JH=20二2-m20,MS2又m>0,故

1、）

「I「"：工二，小的最大值為2,故得￡5=二2--V-I-Xlj.!IJ.XI,將函數(shù)9（x）的圖像

3x

i2

向上平移2個(gè)長(zhǎng)度單位，所得圖像相應(yīng)的函數(shù)解析式為5xi=3：：k+±.xe（7c,o）3Q+8），由

3x

于，邙-呼=式泡，口111為奇函數(shù)，故g（x）的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱.由此即可函數(shù)o（x）的

圖像關(guān)于點(diǎn)Qi，，成中心對(duì)稱.這表明存在點(diǎn)Qi。.二I,使得過(guò)點(diǎn)。的直線若能與函數(shù)。（力的圖像圍

成兩個(gè)封閉圖形，則封閉圖形的面積總相等；故選C.

考點(diǎn)：定積分在球面積中的應(yīng)用

3.（23-24高二下,寧夏銀川?期末）對(duì)于三次函數(shù)/（力=加+加+以+d（awo）,現(xiàn)給出定義：設(shè)/'（x）是

函數(shù)〃尤）的導(dǎo)數(shù)，/⑺是/'（X）的導(dǎo)數(shù)，若方程/（x）=0有實(shí)數(shù)解不，則稱點(diǎn)卜。,/（毛））為函數(shù)

/（力=渥+桁2+5+1（470）的“拐點(diǎn)”，經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，任何一個(gè)三次

函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心，設(shè)函數(shù)8^卜％3-3V+2X+3,則函數(shù)的對(duì)稱中心為

（）

A.（1,2）B.（1,3）C.（2,2）D.（2,3）

【答案】B

【分析】求導(dǎo)，即可根據(jù)拐點(diǎn)定義求解.

【詳解】由g（x）=/-3/+2x+3,得g，（無(wú)）=3/-6無(wú)+2,進(jìn)而g"（x）=6x—6,

令g"（x）=6x-6=0,故尤=1,

所以g（l）=13-3xF+2xl+3=3,故對(duì)稱中心為（1,3）

故選：B

4.（20-21高二下?北京西城?期中）對(duì)于三次函數(shù)/（力=加+加+5+或470）,給出定義：設(shè)y=/，（x）

是函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)數(shù)，尸（X）是尸。）的導(dǎo)數(shù)，若方程/（元）=0有實(shí)數(shù)解4,則稱點(diǎn)（天,/（七））為函數(shù)

>=/（x）的“拐點(diǎn)”.探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且

拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心，設(shè)函數(shù)“幻=；/一</+^|,則以下說(shuō)法正確的是（）

①函數(shù)/⑺對(duì)稱中心0）

9899

②/+f+?+/的值是99

100100WO

③）函數(shù)/（尤）對(duì)稱中心、』

9899

④/+/+-+/的值是1

WO100100

A.?（2）B.0@c.(2X3)D.(M)

【答案】C

【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)/（X）對(duì)稱中心，然后根據(jù)函數(shù)對(duì)稱中心的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

111Q

【詳解】/（-X）=-x3--X2+—^尸（元）=Y-xn（元）=2x-l,

令小TZ"解得/11xi-r

111Q

由題意可知：函數(shù)=g尤3一拼了2+1的對(duì)稱中心為

1113

因?yàn)楹瘮?shù)尤3一的對(duì)稱中心為14

所以有/（x）+/（l—x）=2,

99

設(shè)S寸十八(1),

100<100.J+.100.WO

99、)(，98(，2)

所以有S=/+/+,+/——(2),

100,11001,100；Too

(1)+(2)得，2s=2+2++2+2=2x99=5=99,

9899

即一+/++f+f的值是99.

100100100

故選：C

題型7指數(shù)絕對(duì)值函數(shù)

jme

指數(shù)函數(shù)核心特征是“一點(diǎn)一線”。

i.一點(diǎn)，即一定點(diǎn)。

2.一線，即一條漸近線（x軸）

3.指數(shù)函數(shù)的定點(diǎn)，類似中心對(duì)稱的點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于“定點(diǎn)”滿足“積定值。這個(gè)性質(zhì)。

4.無(wú)論指數(shù)函數(shù)怎么變換，要注意“一點(diǎn)一線”是否存在且“跟隨”變換。

1.（24-25高三?江西?階段練習(xí)）若函數(shù)/（同=卜*-1+根有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是

（）

A.（-1,2）B.（-1