廣東省增城區(qū)頂峰校區(qū)2024-2025高一年級下學(xué)期

期中教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試卷數(shù)學(xué)

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.第I卷第1頁至第3頁，第II卷

第3頁至第4頁.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.

第I卷（選擇題，共58分）

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的學(xué)校、班級、姓名、考場號、座位號、準(zhǔn)考證

號在答題卡上填寫清楚.

2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.在試題卷上作答無效.

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的）

1.已知集合A={-2,0,2,3},B={x\-2<x<3}則（）

A.{0}B.{-2,3}C.{-2,0,2}D.{-2,0,2,3）

【答案】B

【解析】

【分析】由集合的交集和補(bǔ)集運(yùn)算可得結(jié)果.

【詳解】由5={x|—2<x<3},可得\8={x|x<—2或x?3},則={-2,3}.

故選：B.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足，=-i（i為虛數(shù)單位），則|z|=（）

z-i

A.2B.1C.1D.0

【答案】A

【解析】

【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求復(fù)數(shù)z,最后求復(fù)數(shù)的模即可.

-I1,

【詳解】因?yàn)椤?—i,所以z—i=—=—，=i,所以z=2i,所以|z|=2,

z-i-i-1

故選：A.

3.如圖，矩形O'A'5'C是用斜二測畫法畫出的水平放置的一個(gè)平面四邊形Q45C的直觀圖，其中

O'A=3,OC'=L那么口Q46C的面積為（）

A.3B.372C.6D.6夜

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)直觀圖和原圖形面積之間的關(guān)系求解即可.

【詳解】直觀圖矩形。'AB'C面積S'=OAOC'=3xl=3,則原圖面積S=20S'=60，

故選：D.

4.下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法正確的是()

A.有一個(gè)面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐

B.有兩個(gè)面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體是棱臺

C.用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間那部分所圍成的幾何體叫做棱臺

D.棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)

【答案】D

【解析】

【分析】由棱錐的定義可判斷A,由棱臺的定義可判斷BCD.

【詳解】有一個(gè)面是多邊形，其余各面是三角形，若其余各面沒有一個(gè)共同的頂點(diǎn)，則不是棱錐，故A錯(cuò)

誤；

兩個(gè)面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體不一定是棱臺，還要滿足各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)，故B錯(cuò)

誤，D正確；

用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間那部分所圍成的幾何體叫做棱臺，故C錯(cuò)誤.

故選：D.

5.已知向量2=(1,2),B=(〃Z,3),且?/(￡+2可，則加=()

13

A.=B.1C.-D.2

22

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)向量平行列方程，從而求得加.

【詳解】a+2^=（l,2）+（2m,6）=（2m+l,8）,

由于a//(a+2B),

3

所以1義8=2X(27〃+1),7〃=—.

故選：C

6.如圖，為了測量M,N兩點(diǎn)之間的距離，某數(shù)學(xué)興趣小組的甲、乙、丙三位同學(xué)分別在N點(diǎn)、距離/點(diǎn)

600米處的尸點(diǎn)、距離尸點(diǎn)200米處的G點(diǎn)進(jìn)行觀測.甲同學(xué)在N點(diǎn)測得NQVP=45。，乙同學(xué)在尸點(diǎn)測

得/MPN=60°,丙同學(xué)在G點(diǎn)測得NNGP=45°,則N兩點(diǎn)間的距離為()

A400"米B.400#米C.200"米D.200函米

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理列式計(jì)算得解.

【詳解】由NGNP=45。,NNGP=45。，得NP=PG=200,而ZMPN=60°,MP=600,

由余弦定理得腦V=520()2+60()2一2X200x600xcos600=200J7(米)?

故選：c

7.已知萬,5,不均為單位向量.若。=B+o，則5與了夾角的大小是()

兀兀2兀5兀

A.—B.-C.—D.—

6336

【答案】c

【解析】

【分析】對乙=3+5兩邊同時(shí)平方，再結(jié)合單位向量的性質(zhì)求出最后根據(jù)向量數(shù)量積公式求出夾

角.

【詳解】己知g=石+日，兩邊平方可得力2=(5+丹2.

則(B+C)2=b2+2b-c+C2,所以西2=石2+2石.^+不2.

因?yàn)槿f均為單位向量，所以|。|=。1=1c|=1.

222

根據(jù)12=1萬『=],^2_|^|=1，C=\c|=1.

rr1

將其代入々2=b2+2b-c+c2可得：1=1+2方-c+1-則8,c=——.

2

1rr111

設(shè)B與1的夾角為e,0<3<7T,且|b|=|c|r=l,b-c=一一,可得——=1X1Xcos6^,BPcos0=——.

222

因?yàn)椤?。(?，所以e=—.

3

則行與1夾角的大小是』.

3

故選：C.

8.已知VA5C的內(nèi)角AB,C的對邊分別為。，b,c,且滿足。=百，3=殳的三角形有兩個(gè)，則》

4

的取值范圍為()

A.(1,72)B.(0,2)C.(1,2)D.(0,0)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理，結(jié)合三角形有兩解的條件列式求解.

b<a，

b<<2,廣

【詳解】由VABC有兩解，得」.，asinB,即，后四解得1<。<逝，

[62

故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)

9.已知復(fù)數(shù)z=〃—i+(a+i)i,aeR,則下列結(jié)論正確的是()

A.若z為純虛數(shù)，則。=±1

B.若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，貝。ae(-8,-1)

C.右a=0,貝!)z=—1—i

D.若a=0,則|z|=0

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的概念求解選項(xiàng)A,利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解選項(xiàng)B,利用共軌復(fù)數(shù)的概念求解選項(xiàng)C,

利用復(fù)數(shù)的模求解選項(xiàng)D.

【詳解】若z為純虛數(shù)，則4―1=0且a+lwO,解得a=l,故A錯(cuò)誤；

若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，

貝京―1>。且。+1<0,

解得a<—1,即ae(——1),故B正確;

若a=0,則z=—1+i，得5=—1—i,故C正確;

若a=0,則z=—1+i，得|z|=J(-l)2+F=①,故D正確，

故選:BCD.

10.已知函數(shù)/(x)=2sin(s+“o>0,|9|<3,其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為(且/目=2,

則下列結(jié)論正確的是()

Y兀

A.a)=\B.(p=—

3

兀兀(5元)

C,函數(shù)/(%)在上單調(diào)遞增D.函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)6,0對稱

_3oJ)

【答案】CD

【解析】

【分析】根據(jù)正弦三角函數(shù)圖像性質(zhì)，求出函數(shù)周期，初相，確定函數(shù)解析式，求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間和中心對

稱點(diǎn)，分別判斷各選項(xiàng)正誤.

7T

【詳解】對于A,因?yàn)楹瘮?shù)/(%)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為一，則該函數(shù)的最小正周期為

2

2x-=n,則。=@=2,故A錯(cuò)誤；

2兀

對于B,因?yàn)?2sin[m+0]=2,可得sin[：+=1,所以，0+m=]+2左兀(左eZ),

則°=m+2E(左eZ),因?yàn)镮9I(巴，故°=巴，故B錯(cuò)誤；

626

ITT]jrJTITTTJT

對于C,由A、B選項(xiàng)可知/(x)=2sin|2x+—當(dāng)———時(shí)，——<2x+—<—,

I6J36262

兀兀

所以函數(shù)/(X)在r二上單調(diào)遞增，故C正確;

3o

對于D,因?yàn)?［石J=2sin兀=0,所以，函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)［五,0J對稱，故D正確,

故選：CD.

11.在VABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,人=2百，B=|,貝ij()

jr

A.VABC外接圓的面積為4兀B.若c=4,則C=—

2

C.VA3C面積的最大值為3百D.VA3C周長的最大值為5百

【答案】ABC

【解析】

【分析】由正弦定理可判斷A和B,由余弦定理和均值不等式可判斷C和D.

【詳解】對于A,由題意知》=26,3=工，故設(shè)VA3C外接圓的半徑為R,

3

2R=b_26_4

則sinB百，即得R=2,則VA3C外接圓的面積為4兀，故A正確；

2

2^3_4

對于B,若c=4,b=25B=：,則由正弦定理可得訪高，可得sinC=l,

又。€(0,兀)，可得。=/，故B正確；

對于C,由題意可得12=a2+c2—ac>2ac-ac=ac，當(dāng)且僅當(dāng)。=c時(shí)等號成立，

則=gsin3=與ac*xl2=36，故VA3C面積的最大值為3百，故C正確；

對于D,由余弦定理可得12-a1+C1-ac=(a+c)2-3ac,

貝U(a+c)2=12+3。。<12+3*(號￡］,當(dāng)且僅當(dāng)。=c時(shí)等號成立，

即得a+c?4g，故VABC周長的最大值為4g+2g=6g，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

第n卷(非選擇題，共92分)

注意事項(xiàng)：

第II卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效.

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)

12.如果一個(gè)多面體的所有面都是全等的正三角形或正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱的條數(shù)都相等，這個(gè)多面

體就叫做正多面體.下列幾何體中，所有棱長均相等，同一表面的角都相等，則是正多面體.(寫出所

有正確的序號)

【答案】(1)(2)(4)

【解析】

【分析】由題意，逐項(xiàng)判別，可得答案.

【詳解】對于(1),該多面體由全等的正三角形組成，且每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱有3條，符合題意;

對于(2),該多面體由全等的正四邊形組成，且每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱有3條，符合題意；

對于(3),該多面體由全等的正三角形組成，且頂點(diǎn)聚集的棱有4條也有3條，不符合題意；

對于(4),該多面體由全等的正五邊形組成，且每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱有3條，符合題意；

故答案為：(1)(2)(4).

13.若向量商=(3,6)石=(—1,1),則向量乙在向量B上的投影向量的坐標(biāo)為

【答案】

【解析】

【分析】利用投影向量的計(jì)算公式得到答案.

詳解】向量。=(3,6)石=(—1,1),

所以向量方在向量5上的投影向量的坐標(biāo)為：

B=-3+6(T」)_3/一」33)

故答案為：［一上］

14.已知函數(shù)/(')=、(〃〉0,〃。1)的值域?yàn)椋?,+8),則〃的取值范圍是_______

［a-21,x>3

【答案】［3,+8)

【解析】

【分析】先得至IJ/(X)在x<3的值域?yàn)椋?,+8),根據(jù)f(x)的值域?yàn)椋?,+8),可知需滿足優(yōu)—2126在

a>l

xe(3,+8)上恒成立，即｛3?.解不等式可得結(jié)果.

?3-21>6

【詳解】當(dāng)x<3時(shí)，/(%)=%2-4%+10=(x-2)2+6>6；

a>l

又函數(shù)/(x)的值域?yàn)椋?,+co),所以優(yōu)—2126在相(3,+oo)上恒成立，所以3一，，

a-21>6

解得。23,即。的取值范圍是［3,+co).

故答案為：［3,+co).

四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

15.設(shè)復(fù)數(shù)4=l+ai(aeR),z2=2-i.

⑴若(4+1)+卜2-2)是實(shí)數(shù)，求Z「Z2；

(2)若且是純虛數(shù)，求z「

Z2

【答案】(1)3+i

(2)l+2i

【解析】

【分析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的加法計(jì)算結(jié)合復(fù)數(shù)的類型計(jì)算求參，最后結(jié)合乘法計(jì)算求解；

(2)應(yīng)用除法及乘法計(jì)算結(jié)合復(fù)數(shù)類型列式求參即可.

【小問1詳解】

(z1+l)+(z2-2)=(l+ai+l)+(2-i-2)=2+(a-l)i,

因?yàn)?+Z2是實(shí)數(shù)，所以有。一1=0,解得a=l,

因此2/Z2=(l+i)(2—i)=2—i+2i+l=3+i

【小問2詳解】

Z1_1+m_(1+ai)(2+i)_2+i+2ai-a_2-a1+2〃.

2-i-(2-i)(2+i)-4+155)

2―a

z,-I-=0,

因?yàn)?，是純虛?shù)，所以有《

Z2l+2a

NO,

5

解得a=2,所以4=1+2,.

16.記VABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且a=3,ZJ2-9=C2+3C.

(1)求8；

(2)/ABC的平分線交邊AC于點(diǎn)。，且BD=2,求VA3C的周長.

【答案】(1)B=—

3

⑵9+377

【解析】

【分析】(1)根據(jù)余弦定理結(jié)合角的范圍計(jì)算求解；

(2)應(yīng)用三角形面積公式結(jié)合角的值計(jì)算得出c=6,再應(yīng)用余弦定理計(jì)算求值.

【小問1詳解】

由條件知a=3,〃=c?+3c+9,

所以由余弦定理有：cos8="d=9+'—(，+3。+9)=_1,

lac6c2

2兀

因?yàn)锽e(0,7r),所以3=一.

3

【小問2詳解】

因?yàn)镹A5C的平分線交邊AC于點(diǎn)。，且瓦)=2,

所以/AB。=/CBD=-ZABC=-,

23

所以^AABC~^\ABD+S^cBD,

所以工acsin3=」c??sinNABQ+4a?3Q?sinNC&D,

222

pnlG1\6J-6

R|J—x3Qcx——=—cx2x--F—x3x2x——，

222222

解得。=6,

所以人2=片+3。+9=36+18+9=63，所以b=3夕,

所以VA3C的周長為9+3、斤.

—>—?—?-?—*—*—?—*__'jI

17.已知加=4q+e,,n=3e1—e2,其中e-e1，是夾角為1的單位向量.

(1)當(dāng)4=2,求百與■夾角的余弦值；

(2)若蔡與反夾角為鈍角，求X的取值范圍.

【答案】(1)工

14

(2)—3>

【解析】

【分析】(1)根據(jù)向量數(shù)量積中向量夾角余弦公式，已經(jīng)向量的模長計(jì)算方法，求出向量夾角余弦值.

(2)根據(jù)向量夾角為鈍角時(shí)，向量數(shù)量積小于零，但不反向共線的性質(zhì)，列出不等式，求出參數(shù)范圍.

【小問1詳解】

—*—*—?—?—?TT

根據(jù)題意，當(dāng)2=2時(shí)，m=2,+4，6，4是夾角為1的單位向量，

所以cos〈泓元〉m-n2”,

|m|-|n|-V7-A/7-14

即向量加與為夾角的余弦值為二

【小問2詳解】

根據(jù)題意，因?yàn)槎c[的夾角為鈍角，

所以加?〃<()且加，幾不共線，

所以加?〃=34,+(3—2)el-e2—e2<0，且2w—3，

jr

即32+(3—Reos]—1<0,且;lw—3,

所以X<—：且2?！?,

故2的取值范圍為<2X<—3>.

18.某工廠生產(chǎn)出一種機(jī)械零件，如圖所示，零件的幾何結(jié)構(gòu)為圓臺。1。2,在軸截面ABCD中,

AB=AD^BC=4cm,CD=2AB.

(2)求圓臺Ga軸截面的面積;

(3)若一只螞蟻從點(diǎn)C沿著該圓臺的側(cè)面爬行到的中點(diǎn)，求所經(jīng)過的最短路程.

【答案】(1)2代m；

(2)12瓜n?；

(3)10cm.

【解析】

【分析】(1)作BELCD交CD于E,利用勾股定理求解即可；

(2)利用梯形的面積公式求解；

(3)把空間圖形展開為平面圖形，先求出圓心角，再利用兩點(diǎn)間的距離最短即可求解.

【小問1詳解】

如圖1,作BELCD交CD于E,

則002=BE=J42-22=273cm，則圓臺的高為260nl.

【小問2詳解】

圓臺的軸截面面積為：1x(4+8)x2V3=1273cm2.

【小問3詳解】

把圓臺補(bǔ)成圓錐可得大圓錐的母線長為8cm,底面半徑為4cm,

2Jix4

圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為e=-----=;1,

8

設(shè)AD中點(diǎn)為P,連接CP(如圖2),