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寒假作業(yè)04圓的相關(guān)性質(zhì)與位置關(guān)系

~~~——

1.圓的定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓，頂點叫做圓心，定長叫做半徑.

2.弦：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦.直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做圓的直徑.

3.弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.

4.弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距.

5.圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.將整個圓分為360等份，每一份的弧對應(yīng)1。的圓心角，我們也稱這

樣的弧為1°的弧.圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等.

6.圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.

推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑.

推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

推論4：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補.

7.圓的旋轉(zhuǎn)對稱性：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦心距中有一組量相等，那

么他們所對的其他量都分別相等.

8.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論1：平分弦（非直徑）的直徑，垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論2：圓的兩條平行線所夾的弧相等.

9.點與圓的位置關(guān)系：點在圓上、點在圓內(nèi)、點在圓外三種.

設(shè)。。的半徑為毛，點尸到圓心O的距離為d,則點在圓外od>r；點在圓上od=r；點在圓內(nèi)od<r.

10.直線與圓的位置關(guān)系：相離、相切、相交三種.

設(shè)。。的半徑為r,圓心。到直線/的距離為d,則d>r。直線/與。O相離（如圖1）；d=r。直線/與

。。相切（如圖2）；直線/與。。相交（如圖3）.

11.切線的性質(zhì)及判定

1）切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑.

推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點.

推論2：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

2）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

定義法：和圓只有一個公共點的直線是圓的切線；距離法：到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線；

3）切線長：在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.

4）切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.

12.三角形的內(nèi)切圓：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這

個三角形叫做圓的外切三角形.

W1鞏固提升練

1.下列判斷正確的是（）

A.平分弦的直徑垂直于弦B.兩個圓心角相等，它們所對的弦也相等

C.等弧所對的圓心角相等D.在同圓或等圓中，同弦所對的圓周角相等

【答案】C

【解析】A、平分弦（弦不是直徑）的直徑垂直于弦，故本選項錯誤，不符合題意；

B、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弦也相等，故本選項錯誤，不符合題意；

C、等弧所對的圓心角相等，故本選項正確，符合題意；

D、由于同一條弦所對的圓周角有兩個，當弦不是直徑時，這條弦所對的兩個圓周角一個是銳角，一個是鈍

角，所以在同圓或等圓中，同弦所對的圓周角不一定相等，故本選項錯誤，不符合題意.故選C.

2.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，如圖1,筒車盛水桶的運行軌道是以軸心。為圓心的圓，已

知圓心。在水面上方，且。。被水面截得弦A3長為4米，半徑為3米，則點C到弦所在直線的距

離是（）

【答案】C

【解析】連接OC交于

'O

水面八4

由題意得：O4=OC=3米，OCLAB,/.AD=BD=-AB=2（米），ZADO=90°,

2

由勾股定理得，OD=y/OA2-AD2=73^=75（米），,8=℃-0。=（3-6）米,

即點C到弦所在直線的距離是（3-店）米，故選C.

3.如圖，點A,8在。。上，直徑于點C,下列結(jié)論中不一定成立的是（）

A.AC=CBB.OC=CNC.AN=BN

【答案】B

【解析】根據(jù)MN為。。的直徑，且MNLA3,垂足為C,則MN是垂直于弦A3的直徑，滿足垂徑定理.

因而AC=3C,AN=3N,A"=R0都是正確的.所以選項B不一定成立.故選B.

4.如圖，AB是。。的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于。。，若3C=CD=D4=4cm,則。。的直徑鉆為（

A.5cmB.4cmC.6cmD.8cm

【答案】D

【解析】如圖，連接OD、OC.

?「AB是的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于BC=CD=DA=4cm,

?.AD=CD=BC，ZAOD=/DOC=NBOC=60。.

又OA=O￡),.1△AOD是等邊二角形，OA=AD=4cm,AB=8cm.故選D.

5.在矩形ABC。中，AB=3,A￡）=4,以點A為圓心，4為半徑作。A,點C與。A的位置關(guān)系是（）

A.點C在。A內(nèi)B.點C在。A上C.點C在。A外D.無法確定

【答案】C

【解析】在矩形ABC。中，AB=3,AD=4,

CD=AB=3,ZD=90°,AC=\/AD2+DC2=732+42=5，

^.^。A的半徑片4,.^.AC>r,.^.點C在。A外，故選C.

6.如圖，PA尸8分別與。。相切于A,8兩點，DE與。。相切于點C,與分別相交于2E兩點，若

PA=9,ZAPS=50°,則的周長和NACB的度數(shù)分別為(

A.9,130°B.18,130°18,115°

【答案】D

【解析】；PAPB分別與00相切于兩點，,R4=PB=9,^AD+DP=9,BE+EP=9,

,：DA,DC分別與。。相切于A,C兩點，/.DA=DC,

：EB,EC分別與相切于B,C兩點，：.EB=EC,：.AD+DP=DC+DP,BE+EP=EC+EP,

...△/m5的周長為。。+。尸+或?+￡?=45+3尸=9+9=18,如圖所示，連接OA,OB,OP,

PA,PB分別與。0相切于A,B兩點，ZAPB=50°,

OA±AP,OB1BP,ZAPO=ZBPO=-NAPB=1x50°=25°,

22

在RtA/lPO中，ZAOP=90°-ZAPO=90°-25°=65°,同理，ZBOP=65°,

：.ACB所對的圓心角403=65。+65。=130。，

/.AFB所對圓心角ZAOB=360°-130°=230°,ZACB=1x230°=115°,故選D.

7.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,則△ABC內(nèi)切圓的半徑是（）

4

A.1B.-C.2D.3

3

【答案】C

【解析】如圖，在RtZVRC中，ZC=90°,AC=6,3c=8,根據(jù)勾股定理得AB=419+30=10.

設(shè)切點分別為DE,F,四邊形OEb中，OE=OF,Z.OEC=ZOFC=ZC=90°,四邊形OECP是正方

形，由切線長定理，得：AD=AE,BD=BF,CE=CF；

：.CE=CF=^（AC+BC-AB）,：.r=1x（6+8-10）=2.故選C.

8.如圖，點。是△ABC外接圓的圓心，點/是△ABC的內(nèi)心，連接。8,八.若NC"=38。，則/03C的

度數(shù)為（）

A.15°B.14°D.38°

【答案】B

【解析】連接OC,

A

:點/是AABC的內(nèi)心，，AZ平分NBAC,VZCAI=38°,：,ZBAC=2ZCAI=76°,

;點。是AABC外接圓的圓心，；.NBOC=2ZBAC=152°,

VOB=OC,ZOBC=ZOCB=1(180°-ZBOC)=14°,故選B.

9.如圖，在平面直角坐標系xOy中，4(0,4)、Bp,4),C(-6,2).

(1)在圖中畫出經(jīng)過A、B、C三點的圓弧所在圓的圓心M的位置，并寫出圓心河的坐標為

(2)0M的半徑為；

(3)點O到QM上最近的點的距離為.

【解析】(1)如圖，點M為所作；點加的坐標為(-2,0)；故答案為：(-2,0)；

(2)-.-C(-6,2),M(-2,0),；.MC="(-6+2尸+2?=2妹,即0M的半徑為2石，故答案為：2石;

(3)?.?OM=2,.?.點。到0M上最近的點的距離為2百-2.故答案為：2斯-2.

10.如圖，AB是。。的直徑，C、。兩點在。。上，若NC=45。.

A

D

(1)求上4BZ)的度數(shù);

（2）若NCDB=30。，BC=5,求。。的半徑.

【解析】（1）?:/BCD=45。,：.ZBAD=ZBCD=45°,

'：AB是。。的直徑,：.ZADB=90°,；.ZABD=90°-ZBAD=45°.

（2）如圖，連接AC,「AB是。。的直徑，...ZACB=90。，

'：ZCAB=ZCDB=30°,BC=5,：.AB=2BC=10,，00的半徑為5.

11.如圖，A3為。。的直徑，OC，AB交。。于點C,D為OB上一點,延長。交。。于點E,延長

至F,使DF=FE,連接OE.

(1)求證：跖為。。的切線；

(2)若OD=1且=求。。的半徑.

【解析】（1）由己知條件得，DF=FE,OE=OC,NFDE=NFED,ZOEC=ZOCE,

又???ZODC=ZEDF,OCLAB,：.ZOCD+Z.ODC=90°,

???ZOED+ZDEF=90°,AOE±EF,E尸為。。的切線.

（2）由已知得，OD=1,BD=BF,OEYEF,DF=FE,

設(shè)。。的半徑為廠，則OE=r,BD=r—OD=r—l,

DF=FE=2BD=2（r-i）=2r-2,OF=OD+DF=2r-l,

...在Rt^OEF中，OE-+EF-=OF2,BPr+（2r-2）2=（2r-l）2,

即，-4r+3=0,r=l（舍去）或r=3,故。。的半徑為3.

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12.如圖，。。為△ABC的內(nèi)切圓，AC=10,AB=8,BC=9,點D,E分別為BC,AC上的點，且DE

為。。的切線，則的周長為（）

A

【答案】c

【解析】如圖，過。作于尸，OGLAC于G,OHLBC于H,OKLDE于K,

;。。為ULBC的內(nèi)切圓，OE為。。的切線，

:.DH=DK,EG=EK,CG=CH,BF=BH,AF^AG,

：.C^CDE=CE+CD+DK+EK=CG+CH=AC+BC-（AG+BH）=AC+BC-AB,

,：AC=10,AB=8,BC=9,：.CiCD￡=10+9-8=11,故選C.

13.如圖，在平面直角坐標系中，以G（0,l）為圓心，半徑為2的圓與無軸交于A、8兩點，與y軸交于C、

。兩點，點E為0G上一動點，CFLAE于尸，則線段EG的最小值為（）

A.V3--B.73-1C.1-—D.2-73

22

【答案】B

【解析】連接AC,作GMLAC,連接AG,

VGO±AB,：.OA=OB,：G（O,1）為圓心，半徑為2,AG=2,OG=1,

在RtAAGO中，AG=2OG,以=依-儼=g，ZG4O=30°,ZAGO=60°,

VGC=GA=2,：.ZACG=ZCAG,"：ZAGO=ZACG+ZCAG,

：.ZACG=ZCAG=30°,：.AC=2AO^2s/3,MG=-GC=1,：.AM=-^3,

2

.,.點尸在以AC為直徑的圓M上移動，

當點尸在MG的延長線上時，F(xiàn)G的長最小，最小值為=-=故選B.

14.如圖，是。。的直徑，BC是弦，沿3C對折劣弧BC,交AB于點。，E、產(chǎn)分別是A8和DB的中點，

令。'為CDB所在圓的圓心，若AD=1,AB=5,則的長為（）

A.叵

B.V2

2

【答案】A

【解析】連接瓦O'。。。'，設(shè)。F交45于點尸，如圖所示:

;點E、F分別是AB和08的中點，；??！?，AB,O'F±DB,：.PB=PD,O'F//OE,

又結(jié)合對折及圓的性質(zhì)易知O'F=OE,

.?.四邊形OEFO'是平行四邊形，，跖=O'O,

VAD=l,AB=5,：.0B=-,BD=4,：.PB=PD=2,；.OP=OB-PB=L

22

由折疊可知。8=03=|,二0'。=|,在RUPOD中，O'P=yJo'D2-PD2==|'

/.O'O=yJoP2+O'P2=—,，.=巫.故選A.

22

15.如圖(1),BC是0。的直徑，點A、。在0O上，DB//OA,BC=10,AC=6.

(1)求證：&L平分/DBC；

⑵求的長；

(3)如圖(2),E是半圓CB的中點，連接AE,求AE的長.

E

(2)

【解析】(1),/OA//BD,AZABD=ZOAB,

'：OA^OB,：.ZOAB=ZOBA,：.ZOBA=ZABD,54平分O8C；

(2)作AH_LBC于H,OE工BD于E,如圖，則=

E

B

???5。為直徑，???/。^=90。，AAB=VBC2-AC2=V102-62=8，

,/—AH?BC=—AC-AB,/.AH=---=—,在RtZXOAZ/中，OH=.52—

22105\l

VOA//BD,：.ZAOH=ZEBO,

/AHO=ZOEB

在△AO"和△O5E中，＜/AOH=/OBE,：.^AOH^OBE(AAS),

AO=OB

714

BE=OH=~,：.BD=2BE=—；

(3)作CFLAE于/，連接C￡、BE,如圖,

：E是半圓CB的中點，：.CE=BE,ZCAE=ZBAE=45°,

△CBE為等腰直角三角形，CE=走BC=5后，

2

在Rt?AC/中，CF=AF=,AC=36,在RtZkEFC中，EF=45g?一卜0『=4忘,

?*.AE=AF+EF=3正+4母=1垃.

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16.閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：西姆松定理是一個平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上

異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）.數(shù)學興趣

小組的同學們嘗試證明該定理.如圖1,已知△ABC內(nèi)接于。。，點尸在。。上（不與點A、B、C重合），

過點尸分別作AB，BC,AC的垂線，垂足分別為。，E,F,求證：點。，E,歹在同一條直線上.

以下是他們的證明過程：

圖1圖2

如圖1,連接P8,PC,DE,EF,取PC的中點。，連接QE,QF,

則尸。MCQM/PCMEQM/Q（依據(jù)1）,

：.E,F,P,C四點共圓，：.ZFCP+ZFEP=180°（依據(jù)2）.

又,/ZACP+ZABP=180°,；.ZFEP=ZABP.

VZBDP=ZBEP=90°,：.B,D,P,E四點共圓，AZDBP^ZDEP（依據(jù)3）.

VZABP+ZDBP^18Q°,；./FEP+ZDEP=180。（依據(jù)4）.

.?.點D,E,尸在同一條直線上.

任務(wù)：（1）填空：①依據(jù)1指的是中點的定義及;

②依據(jù)2指的是；③依據(jù)3指的是；④依據(jù)4指的是.

（2）善于思考的小英發(fā)現(xiàn)當點P是BC的中點時，應(yīng)》=。戶.請你利用圖2證明該結(jié)論的正確性.

【解析】（1）①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

②圓內(nèi)接四邊形對角互補；③同弧所對的圓周角相等；④等量代換；

（2）如圖，連接PA,PB,PC.

:點P是BC的中點，:?BP=PC，ABP=PC,ZPAD=ZPAC.

又,：PD，AD,PF±AC,：.PD=PF.：.RtAPBDRtAPCF(HL)./.BD=CF.

B

D

17.閱讀下列相關(guān)材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).婆羅摩笈多是古印度著名的數(shù)學家、天文學家，他編著了《婆

羅摩修正體系》，曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，也稱“布拉美古塔定理”.

定理的內(nèi)容是：“若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線將平分對邊

按圖寫出這個定理的已知和求證，并完成這個定理的證明過程；

B知:,

求證：,

證明：.

【解析】已知：如圖，在圓內(nèi)接四邊形A3CO中，對角線于點過點M作的垂線分別交A3、

于點凡E.

求證：點E是。C的中點.

證明：-JACLBD,EF±AB,

：.ZBMF+ZAMF^90°,ZMAF+/AMF=90°,：./BMF=ZMAF,

VZEDM=ZMAF,ZEMD=ZBMF,：.ZEDM=ZEMD,：.DE=ME,

同理可證.?.OE=CE,.?.點E是DC的中點.

18.我們規(guī)定：線段外一點和這條線段兩個端點連線所構(gòu)成的角叫做這個點對這條線段的視角.如圖1,對

于線段A3及線段A3外一點C,我們稱-ACB為點C對線段的視角.如圖2,在平面直角坐標系xQv中,

已知點0(0,4),E(0,l).。尸為過。，￡兩點的圓，尸為。尸上異于點。，E的一點.

斗

4-0

3-

圖1圖2

(D如果DE為。P的直徑，那么點/對線段。E的視角NDFE=；

(2)如果點/對線段DE的視角NDFE為45度，那么0尸的半徑為多少？

(3)點G為x軸正半軸上的一個動點，當點G對線段。E的視角/OGE最大時，求點G的坐標.

【解析】(1)如圖1,當。E為。尸的直徑時，點/對線段DE的視角/DEE=90。，故答案為：90°；

13

(2)如圖2,作軸于點M,DM=5￡>E=],

:點F對線段DE的視角NDFE為45。，?.NDFE=45°，,ZDPE=90°,

即。P的半徑為￡1；

2

(3)如圖3,當。尸與x軸相切，G為切點時，NDGE最大,

由題意可得：點P在線段即的垂直平分線上，，PG=2.5,

過點尸作于點H,.,.￡W=』DE=L5,尤軸，四邊形P"OG是矩形,

2

連接尸￡,在Rt△尸E"中，PE=PG=2.5,EH=1.5,PH=^2.52-1.52=2???點G的坐標為：（2,0）.

wa仿真考場練

19.（2023年廣東廣州中考真題）如圖，△ABC的內(nèi)切圓。/與BC,CA,分別相切于點。，E,F,

若G）/的半徑為r,ZA=a,貝U（3尸+CE-3C）的值和/FDE的大小分別為（）

aa

A.2r,9Q°-aB.0,900-aC.2r,90°——D.0,90°——

22

【答案】D

【解析】如圖，連接3,/E.

???AABC的內(nèi)切圓。/與3C,CA,A5分別相切于點O,E,F,

：.BF=BD,CD=CE,IFLAB,IELAC,

:.BF+CE—BC=BD+CD—BC=BC—BC=0,ZAFI=ZAEI=90°,

：.ZEIF=180°-a,：.ZEDF=-AEIF=90°--a.故選D.

22

20.（2023年陜西中考真題）陜西飲食文化源遠流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之一.圖②是從正面

看到的一個“老碗”（圖①）的形狀示意圖.A8是。。的一部分，。是AB的中點，連接。。，與弦A3交

于點C,連接Q4,OB.已知A6=24cm,碗深CD=8cm,則。。的半徑Q4為（）

圖①圖②

A.13cmB.16cmC.17cmD.26cm

【答案】A

【解析】AB是0。的一部分，。是