第1頁/共4頁高三年級素養(yǎng)檢測一數(shù)學試題A2B.0C.2D.±2.2.已知復數(shù)z1=1+2i,z1,z2在復平面內(nèi)的對應點關(guān)于實軸對稱，則的虛部為()A.B.C.D.3.若log4x+log4y=2，則的最小值為()xyA.B.C.D.A.B.C.D.A.B.C.D.6.在VABC中是線段AD上的動點（與端點不重合則A.10B.4C.77.已知向量==4,，且=1，則與夾角的最大值為()A.B.C.D.第2頁/共4頁A.B.C.D.9.對于函數(shù)f(x)定義域中任意的x1,x2(x1≠x2)，有如下結(jié)論，①(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0，下列函數(shù)能同時滿足以上兩個結(jié)論的有()A.fx,=lnxB.C.f(x)=exD.f(x)=x310.已知復數(shù)z1，z2，z3，則下列說法中正確的有()22z2，則|z1|=|z2|.11.已知函數(shù)f(x)=2sinwxcoswx-2sin2wx+1(w∈N*)在上有最大值，無最小值，則()A.f(x)為奇函數(shù)在上單調(diào)遞增C.是f(x)離y軸距離最近的對稱軸D.f(x)的最小正周期為π第3頁/共4頁12.已知VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若a=2,b=1,△ABC的面積為則c13.在平面直角坐標系xOy中，一動點從點開始，以的角速度逆時針繞坐標原點O做勻速圓周運動，xs后到達點M的位置.設，記φ(x)=|AM|2，則φ(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為14.已知數(shù)列滿足則n}為遞增數(shù)列，且an<2恒成立；③存在a∈R，使得{an}中既有最大值，又有最小值；*，當n>n0時，恒成立.其中，所有正確結(jié)論的序號為______.15.在VABC中，角A,B,C.所對的邊分別為a,b,c.已知(2b-a)cosC=ccosA.（1）求C；（2）若VABC的內(nèi)切圓半徑為求VABC的面積.（1）求y=f(x)圖象的一條對稱軸；（1）證明：{a2n-2}是等比數(shù)列；（2）求滿足S2n>0的所有正整數(shù)n.第4頁/共4頁（1）證明：f(x)的導函數(shù)有且僅有一個極值點；（2）證明：f(x)的所有零點之和大于2π.19.定理：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點存在導數(shù)，且f(a)=f(b)，那么在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點c，使得f(c)=0，這是以法國數(shù)學家米歇爾.羅爾的名字命名的一個重要定理，稱之為羅爾定理，其在數(shù)學和物理上有著廣泛的應用.（1）設f(x)=x(x-1)(x-2)(x-4)，記f(x)的導數(shù)為f(x)，試用上述定理，說明方程f(x)=0根的個數(shù)，并指出它們所在的區(qū)間；（2）如果f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點存在導數(shù)，記f(x)的導數(shù)為f(x)，試用上述定理證明：在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點c，使得f(b)-f(a)=f(c)(b-a)；（3）利用（2）中的結(jié)論，證明：當0<a<b時為自然對數(shù)的底數(shù)）第1頁/共22頁高三年級素養(yǎng)檢測一數(shù)學試題A.-2B.0C.2D.±2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的結(jié)果列出方程求解即得.【詳解】集合M={1,3,a+2},N={1,a2}，而M∩N={1經(jīng)驗證a=2符合題意，所以a=2.故選：C2.已知復數(shù)z1=1+2i,z1,z2在復平面內(nèi)的對應點關(guān)于實軸對稱，則的虛部為()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對稱性求復數(shù)z2，再根據(jù)復數(shù)的除法運算公式，即可化簡求解.【詳解】由題意得z1在復平面內(nèi)所對應的點為(1,2)，則z2所對應的點為(1,-2)，所以z2=1-2i，則虛部為.故選：A.3.若log4x+log4y=2，則的最小值為()xyA.B.C.D.【答案】A【解析】第2頁/共22頁【分析】首先過呢據(jù)條件化簡得到xy=16，法一，根據(jù)基本不等式即可求解；法二，根據(jù)條件等式，變形得再利用基本不等式，即可求解.【詳解】log4x+log4y=2,:x>0,y>0,log4(xy)=2,xy=16，法一：當且僅當時，上式等號成立，又xy=16，可得時，的最小值為.故選：A.法二：當且僅當時，上式等號成立，又xy=16，可得時，的最小值為.故選：A.A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】取AB的中點D，連接HD，利用中點向量公式結(jié)合給定等式推得再利用垂心的性質(zhì)，垂直關(guān)系的向量表示，二倍角的正切公式計算得解.【詳解】在VABC中，取AB的中點D，連接HD，則HA+HB第3頁/共22頁顯然tan上上BHD=上AHD，所以tanC的值為.故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及向量垂直關(guān)系，利用基底表示出相關(guān)向量，再利用向量數(shù)量積的運算律求解是關(guān)鍵.A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意分析可得，利用兩角和差公式結(jié)合指數(shù)冪運算求解.【詳解】由題意可得第4頁/共22頁則整理得解得或故選：B．6.在VABC中是線段AD上的動點（與端點不重合則A.10B.4C.7【答案】D【解析】化簡后利用基本不等式可得答案.因為所以，因為所以因為A,D,E三點共線，所以 當且僅當即時取等.第5頁/共22頁故選：D.·7.已知向量==.=，且—=1，則與夾角的最大值為()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先得到的夾角為設故設由得到設設夾角為α,表達出換元后得到，由對勾函數(shù)性質(zhì)得到其值域，從而確定得到夾角最大值.設,夾角為則第6頁/共22頁其中在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時取得最小值，最小值為，當q=1或3時取得最大值，最大值為1，由于y=cosα在[0,π]上單調(diào)遞減，故，與夾角的最大值為.故選：A【點睛】平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進行求解；②數(shù)化，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識進行求解.8.已知當x>0時，f≥0，則a的最大值為()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先分析得b<1，f(1—b)=0，=ln(x+b)均再(—b,+∞)單調(diào)遞增；所以要使第7頁/共22頁≥0，則→然后構(gòu)造函數(shù)求最值即可.因為a>0，所以在0,+∞為增函數(shù)，由y=aex(0,+∞)有唯一的零點x0，(x+b)>0在0,+∞恒成立，與f(x)≥0矛盾，故b<1.顯然的定義域為{xbx且x0}，且f(1b)=0令得，第8頁/共22頁所以當且僅當1b=2即b=1時等號成立；故選：D【點睛】多變量問題通常需要先找到變量之間的關(guān)系，然后將多變量轉(zhuǎn)化為單一變量，然后構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)求其最值即可.9.對于函數(shù)f(x)定義域中任意的x1,x2(x1≠x2)，有如下結(jié)論，①(x1—x2)(f(x1)—f(x2))>0，下列函數(shù)能同時滿足以上兩個結(jié)論的有()A.fx,=lnxB.C.f(x)=exD.f(x)=x3【答案】BCD【解析】【分析】先對四個結(jié)論進行解讀，得出函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，周期性和凹凸性，對選項一一判斷，即得結(jié)果.f(x2))>0可得，函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)為增函數(shù)；由②f(x12)+f(2x1)=0可得，f(x)+f(x)=0，即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；由可得，函數(shù)f的圖象向下凸.；由④f(2x1)+f(2+2x1)=0可得，f(x+2)=—f(x)，即f(x+4)=—f(x+2)=f(x)，說明函數(shù)f(x)的周期為4.對于A，函數(shù)f(x)=lnx不是奇函數(shù)，圖象向上凸，也沒有周期，故排除；對于B,函數(shù)是奇函數(shù)，且周期為故符合要求；第9頁/共22頁對于C，函數(shù)f(x)=ex在R上單調(diào)遞增，且其圖象向下凸，故符合要求；對于D，f(x)=x3是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，故符合要求.故選：BCD.10.已知復數(shù)z1，z2，z3，則下列說法中正確的有()22z2，則|z1|=|z2|【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則可判斷A；先計算z=1，再求z12024，判斷B；用特例驗證C；利用z.z=z2說明D正確.對于B，方法所以以3為周期，所以故B正確．方法二（復數(shù)的三角表示所以z1的模為1，輻角為，則z12024的模為1，輻角為所以故B正確．2，故C錯誤．2故選：ABD*)在上有最大值，無最小值，則()第10頁/共22頁A.f(x)為奇函數(shù).在上單調(diào)遞增C.是f(x)離y軸距離最近的對稱軸D.f(x)的最小正周期為π【答案】CD【解析】【分析】首先化簡函數(shù)f(x)的解析式，根據(jù)函數(shù)的形狀，確定端點的取值范圍，即可求的值，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷選項.因為函數(shù)在上有最大值，無最小值，整理得所以解得.A.f(0)=1≠0，所以函數(shù)f(x)不是奇函數(shù)，故A錯誤；時所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B錯誤；則，k∈Z，所以離y軸距離最近的對稱軸方程為故C正確；D.f(x)的最小正周期為故D正確.第11頁/共22頁故選：CD12.已知VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若a=2,b=1,△ABC的面積為則c=______．或【解析】【分析】先由三角形的面積公式結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求出或再由余弦定理求出結(jié)果即可；【詳解】a=2,b=1,△ABC的面積為，當時，由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=4+1-2=3，即當時，由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=4+1+2=7，即綜上或，故答案為或.13.在平面直角坐標系xOy中，一動點從點開始，以的角速度逆時針繞坐標原點O做勻速圓周運動，xs后到達點M的位置.設，記φ(x)=|AM|2，則φ(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)的定義求出點M的坐標，求出φ(x)并利用差角的余弦化簡，再求φ(x)的單調(diào)遞增區(qū)間即可.【詳解】依題意，xs后，動點走過的弧度數(shù)為則第12頁/共22頁φ(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，即的遞減區(qū)間，所以φ(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.14.已知數(shù)列滿足則②當a=1時，{an}為遞增數(shù)列，且an<2恒成立；③存在a∈R，使得{an}中既有最大值，又有最小值；*，當n>n0時，恒成立.其中，所有正確結(jié)論的序號為______.【答案】②③④【解析】【分析】對于①②,根據(jù)數(shù)列遞推式，求出結(jié)合題意，即可判斷；對于③,舉出特例，±2情況討論，結(jié)合數(shù)列的項的變化情況，即可判斷.第13頁/共22頁a-4}是以a-4=-3為首項，公比為的等比數(shù)列，a-4}是以a-4=-3為首項，公比為的等比數(shù)列，{an}為遞增數(shù)列，而故an<2恒成立，②正確；此時{an}中有最大值2，有最小值為-2，即存在a∈R，使得{an}中既有最大值，又有最小值，③正確；故選：②③④第14頁/共22頁15.在VABC中，角A,B,C.所對的邊分別為a,b,c.已知(2b-a)cosC=ccosA.（1）求C；（2）若VABC的內(nèi)切圓半徑為求VABC的面積.【解析】【分析】（1）法一：利用正弦定理，將邊化為角，再結(jié)合三角函數(shù)恒等變換，即可化簡求角；法二：利用余弦定理，將余弦化為邊，再根據(jù)余弦定理，即可求角；（2）首先根據(jù)余弦定理化簡得到(a+b)2=16+3ab，再結(jié)合內(nèi)切圓半徑，集合等面積公式，得到a+b+4=ab，兩式化簡得到ab，即可求面積.【小問1詳解】法—：因為(2b-a)cosC=ccosA，由正弦定理得，2sinBcosC-sinAcosC=cosAsinC，即2sinBcosC=sin(A+C)，又A+B+C=π,所以sin(A+C)=sinB≠0，法二：因為(2b-a)cosC=ccosA，由余弦定理得第15頁/共22頁【小問2詳解】由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC→a2+b2-ab=16，即(a+b)2=16+3ab①設VABC的內(nèi)切圓半徑為r，由等面積公式得整理得a+b+4=ab，即a+b=ab-4→(a+b)2=a2b2-8ab+16②所以VABC的面積為16.已知函數(shù)f(x)=sin(wx+φ)在區(qū)間單調(diào)，其中w為正整數(shù)，且.（1）求y=f(x)圖象的一條對稱軸；【解析】取其中點值，即可得f(x)圖象的一條對稱軸；由，可得w≤3，又w為正整數(shù)，所以w=1，2，3，再分三種情況討論，結(jié)合f(x)在處取得最值，即可求解.【小問1詳解】因為函數(shù)f(x)=sin(wx+φ)在區(qū)間單調(diào)，,第16頁/共22頁:,在同一個周期內(nèi)，:y=f(x)圖像的一條對稱軸為【小問2詳解】由在處取得最值，所以不符合題意；所以符合題意；所以不符合題意，綜上所述，.第17頁/共22頁（1）證明：{a2n-2}是等比數(shù)列；（2）求滿足S2n>0的所有正整數(shù)n.【答案】（1）證明見解析（2）正整數(shù)n為1，2【解析】【分析】（1）由定義能證明數(shù)列{a2n-2}是等比數(shù)列；由求和式子由此能求出滿足S2n>0的所有正整數(shù)n的值．【小問1詳解】由已知得所以所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列；【小問2詳解】所以所以，2n-1+a2n)第18頁/共22頁{S2n}單調(diào)遞減，其中所以滿足S2n>0的所有正整數(shù)n為1，2.（1）證明：f(x)的導函數(shù)有且僅有一個極值點；（2）證明：f(x)的所有零點之和大于2π.（2）f(x)的所有零點之和大于2π,理由見解析.【解析】【分析】（1）要確定f,(x)的極值點情況，則需要判斷其導函數(shù)的單調(diào)性，設g(x)=f,(x)，對g,(x)進行變形處理，即g,(x)=e1-x(1-ex-1cosx)，即判斷函數(shù)h(x)=1-ex-1cosx的取值情況，即可得g,(x)的取值情況，從而確定函數(shù)f,(x)的極值點取值個數(shù)；（2）結(jié)合f,(x)的單調(diào)性，確定其零點，從而得函數(shù)f(x)的極值點分布，根據(jù)函數(shù)f(x)單調(diào)性結(jié)合零點存在定理即可確定函數(shù)f(x)的零點個數(shù)及范圍，利用三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷f(x)的所有零點之和與2π的大小關(guān)系.【小問1詳解】所以f,(x)=-e1-x-sinx設g所以g,(x)=e1-x-cosx=e1-x(1-ex-1cosx)，其中e1-x>0恒成立，第19頁/共22頁(x)單調(diào)遞增，(x0時，g,(x0)<0，函數(shù)f,(x)單調(diào)遞減，所以x0是函數(shù)f,(x)的極大值點，f,(x)無極小值點，故f,(x)有且僅有一個極值點.【小問2詳解】時，f,(x)單調(diào)遞增，當x∈(x0,2π)時，函數(shù)f,(x)單調(diào)遞減，又e1-x0=cosx0，所以f,(0)因為所以所以f,第20頁/共22頁又f,(2π)=-e1-2π<0，.,2π)，使得f,(x2)=0，于是可得：(x2,2π)時，f,(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，則所以存在使得f所以<0，又所以則存在使得f(β)=0，>0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間x∈(x2,2π)上無零點； 由f(α)=f(β)=0可得：根據(jù)可得故f(x)的兩個零點之和大于2π【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查函數(shù)的極值點、零點與導數(shù)的關(guān)系，涉及到三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)混合運算，難度較大.解決本題中證明極值點個數(shù)問題的關(guān)鍵是，將指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的加減運算，變形成乘除運算，這樣避免求導數(shù)過程中，導函數(shù)的零點無法解含指數(shù)與三角函數(shù)的方程問題，例如本題中對函數(shù)g,(x)=e1-x-cosx直接求其導數(shù)無法消除指數(shù)運算，將其轉(zhuǎn)化為g,(x)=e1-x(1-ex-1cosx)，其影響正第21頁/共22頁負的部分1-ex-1cosx的導函數(shù)零點可求，其單調(diào)性與極值點即可確定；解決本題中原函數(shù)