試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁周測2

一元二次函數(shù)、方程和不等式【基礎(chǔ)卷】【考試范圍】一元二次函數(shù)、方程和不等式，不等式性質(zhì)，基本不等式及其應(yīng)用.【命題風(fēng)格】本卷嚴(yán)格按照2025年新課標(biāo)高考的模式，精心組合和打磨.【命題亮點(diǎn)】（1）情境新穎：如本卷第6題，以藥液稀釋為背景，考查了用不等式表示不等關(guān)系；如本卷第7題，以“勾股定理”為情景，考查基本不等式的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)和創(chuàng)新思維.（2）原創(chuàng)加持：如本卷第5題，符合新課標(biāo)要求的”情境化命題”導(dǎo)向，既考查基本不等式性質(zhì)，又體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；創(chuàng)新設(shè)計(jì)：以5G通信設(shè)備參數(shù)為背景，體現(xiàn)STEM教育理念.（3）易錯(cuò)防范：如本卷第6題，考查一元二次不等式的應(yīng)用，忽視變量的實(shí)際意義使變量范圍取錯(cuò);如本卷第11題，考查了基本不等式及其變形應(yīng)用，在解答本題時(shí)，要注意基本不等式的檢驗(yàn).一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．（2025·廣東東莞·模擬預(yù)測）1．已知集合，則（）A． B．C． D．2．已知，，設(shè)，則（

）A． B． C． D．3．若，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則（24-25高三上·山東·階段練習(xí)）4．“”的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．（組卷網(wǎng)原創(chuàng)題）5．在5G信號傳輸中某通信實(shí)驗(yàn)室測試兩種信號增強(qiáng)器，其增益參數(shù)滿足，，則下列結(jié)論恒成立的是（）A．B．C．D．6．為配制一種藥液，進(jìn)行了二次稀釋，先在體積為V的桶中盛滿純藥液，第一次將桶中藥液倒出10升后用水補(bǔ)滿，攪拌均勻第二次倒出8升后用水補(bǔ)滿，若第二次稀釋后桶中藥液含量不超過容積的，則V的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．對于直角三角形的研究，中國早在商朝時(shí)期，就有商高提出了“勾三股四弦五”這樣的勾股定理特例，而西方直到公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯才提出并證明了勾股定理．若一個(gè)直角三角形的斜邊長等于6，則這個(gè)直角三角形面積的最大值為（

）A．6 B．9 C．12 D．18（24-25浙江杭州·期中）8．已知關(guān)于的不等式的解集為，則的最大值是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B． C． D．10．設(shè)，則函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．11．已知，且，則（

）A．的最小值是 B．最小值為C．的最大值是 D．的最小值是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．與的大小關(guān)系為．（2025·四川眉山·模擬預(yù)測）13．已知，，則的最小值是.14．若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知，且．（1）請給出的一組值，使得成立；（2）證明不等式恒成立．16．長征二號F遙十四運(yùn)載火箭在設(shè)計(jì)生產(chǎn)中采用了很多新技術(shù)新材料．甲工廠承擔(dān)了某種材料的生產(chǎn)，并以x千克/時(shí)(為保證質(zhì)量要求)的速度勻速生產(chǎn)，每小時(shí)可消耗A材料千克，已知每小時(shí)生產(chǎn)1千克該產(chǎn)品時(shí)，消耗A材料10千克．(1)設(shè)生產(chǎn)千克該產(chǎn)品，消耗材料千克，試把表示為的函數(shù)；(2)要使生產(chǎn)1000千克該產(chǎn)品消耗的材料最少，工廠應(yīng)選取何種生產(chǎn)速度？并求消耗的材料最少為多少．17．已知，，.(1)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式；(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知，關(guān)于的不等式的解集為或．(1)求的值；(2)解關(guān)于的不等式．19．已知函數(shù).(1)求的解析式；(2)求不等式的解集；(3)若存在，使得，求的取值范圍.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《周測2一元二次函數(shù)、方程和不等式基礎(chǔ)版（周末測試）》參考答案：1．C【分析】解絕對值不等式及二次不等式可求集合A，B，再利用集合交集的運(yùn)算即可求解.【詳解】根據(jù)題意，則，，則，故.故選：C.2．A【分析】利用作差法判斷的正負(fù)即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立；即.故選：A3．D【分析】對于ABC，舉例判斷即可，對于D，利用不等式的性質(zhì)判斷【詳解】對于A，若，則，所以A錯(cuò)誤，對于B，若，則，所以B錯(cuò)誤，對于C，若，則，所以C錯(cuò)誤，對于D，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以D正確，故選：D4．D【分析】根據(jù)給定條件，求出的范圍，再利用充分不必要條件的定義判斷得解.【詳解】，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，因此，解得，選項(xiàng)中只有是的真子集，所以“”的一個(gè)充分不必要條件是.故選：D5．ACD【分析】利用作差法即可判斷A；根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷BCD.【詳解】對于A，因?yàn)椋?，所以，故A正確；對于B，因?yàn)椋?，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，所以，故C正確；對于D，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，所以，故D正確.故選：ACD.6．B【分析】求出第一次、第二次稀釋后的濃度，根據(jù)第二次稀釋后桶中藥液含量不超過容積的列式，解不等式可得結(jié)果.【詳解】第一次稀釋后，藥液濃度為，第二次稀釋后，藥液濃度為，依題意有，即，解得，又，即，所以.故選：B7．B【分析】首先根據(jù)勾股定理得到直角邊滿足的關(guān)系式，再根據(jù)基本不等式求面積的最大值.【詳解】設(shè)直角三角形兩直角邊長分別為，依題意可得，所以三角形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．故選：B8．B【分析】利用韋達(dá)定理得到，再代入利用基本不等式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號.故選：B9．AD【分析】由題意，，利用函數(shù)單調(diào)性比大小判斷選項(xiàng)AB，利用作差和作商法比大小判斷選項(xiàng)CD.【詳解】，則有，對于A，由，則，A選項(xiàng)正確；對于B，對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，不一定成立，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C，，有，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D，，又，所以，D選項(xiàng)正確.故選：AD.10．ABD【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，依次分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】函數(shù)的圖象的對稱軸為，與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，A中，，則，，，∴，符合題意；B中，，則，，，∴，符合題意；C中，，則，，，∴，不符合題意；D中，，則，，，∴，符合題意，故選：ABD.11．BC【分析】利用基本不等式即可得到A；二元換一元，代入，利用二次函數(shù)求出最值，得出B選項(xiàng)；利用即可得到C選項(xiàng)；利用“1”的妙用得出D.【詳解】對于A，∵，且，∴，即時(shí)，等號成立，即的最大值是，故A不正確；對于B，∵，∴，，所以，故B正確；對于C，∵，且，∴，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故C正確；對于D，∵，即時(shí)，等號成立，所以的最小值是，故D錯(cuò)誤．故選：BC．12．【分析】根據(jù)作商法和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)?，又?<π－e<1，∴，即，即.故答案為：.13．9【分析】先求出的最小值，再將化為，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，，故，?dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)等號成立，所以，即的最小值為，故答案為：.14．【分析】先根據(jù)一元二次不等式的解集得到對稱軸，然后根據(jù)端點(diǎn)得到兩個(gè)等式和一個(gè)不等式，求出的取值范圍，最后都表示成的形式即可.【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以二次函?shù)的對稱軸為直線，且需滿足，即，解得，所以，所以，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：一元二次不等式的解決關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，求出對稱軸和端點(diǎn)的值，繼而用同一個(gè)變量來表示求解.15．（1）（答案不唯一）（2）證明見解析【解析】（1）找到一組符合條件的值即可；（2）由可得,整理可得,兩邊同除可得,再由可得,兩邊同時(shí)加可得,即可得證.【詳解】解析:（1）（答案不唯一）（2）證明:由題意可知,,因?yàn)?所以.所以,即.因?yàn)?所以,因?yàn)?所以,所以.【點(diǎn)睛】考查不等式的證明,考查不等式的性質(zhì)的應(yīng)用.16．(1)y＝m，．(2)工廠應(yīng)選取3千克/時(shí)的生產(chǎn)速度，此時(shí)消耗的材料最少，最少為千克．【分析】（1）根據(jù)條件求，再根據(jù)每小時(shí)耗材和時(shí)間，列式求解；（2）由題意可知，，代入（1）的結(jié)果，利用基本不等式，即可求解.【詳解】（1）由題意得，解得，因?yàn)樯a(chǎn)千克該產(chǎn)品需要的時(shí)間是，所以，，（2）由（1）知，生產(chǎn)千克該產(chǎn)品消耗的材料為(千克)．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故工廠應(yīng)選取3千克/時(shí)的生產(chǎn)速度，此時(shí)消耗的材料最少，最少為千克．17．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)解一元二次不等式的方法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，由，所以不等式的解集為（2），該函數(shù)的對稱軸為，當(dāng)時(shí)，，不存在實(shí)數(shù)，使得成立；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，顯然在上也單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時(shí)，，故不存在，使得成立；當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在時(shí)也單調(diào)遞增，而，所以此時(shí)不成立；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，要想在有解，只需，或，而，因此，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，要想在有解，只需，即，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.18．(1)(2)分類討論，答案見解析.【分析】（1）根據(jù)一元二次方程與不等式的關(guān)系，利用韋達(dá)定理，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，不等式為，分解因式后，討論的取值，解不等式.【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榛?，所以與是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，解得：，；（2）由（1）知不等式為，即，①當(dāng)時(shí)，易得不等式的解集為，②當(dāng)時(shí)，不等式可化為，不等式的解集為或．③當(dāng)時(shí)，不等式可化為，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為．19．(1)(2)(3)【分析】（1）利用換元法可求得函數(shù)的解析式；（2）利用二次不等式的解法可得出不等式的解集；（3）由已知可得出，令，，可得出，對實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，求出函數(shù)在上的最大值，根據(jù)可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：設(shè)，則.因?yàn)?，所以，則.（2）解：不等式，即，即，則，解得，即不等式的解集為.（3）解：因?yàn)椋?，則不等式等價(jià)于不等式.設(shè)，則函數(shù)，故二次