2025經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)必考知識點總結(jié)

以下是經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中一些可能的必考知識點總結(jié)：一、微積分部分1.函數(shù)概念與性質(zhì)-定義域、值域的求解，特別是對于分式函數(shù)、根式函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)。-函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性的判斷與應(yīng)用。例如，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)奇偶性簡化積分計算等。2.極限與連續(xù)-極限的計算方法-四則運算法則：對于簡單的分式極限，如\(\lim_{x\rightarrowa}\frac{f(x)}{g(x)}\)，當(dāng)\(\lim_{x\rightarrowa}f(x)\)和\(\lim_{x\rightarrowa}g(x)\)都存在時可直接應(yīng)用。-兩個重要極限：\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinx}{x}=1\)和\(\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)，及其變形的應(yīng)用。-等價無窮小替換：當(dāng)\(x\rightarrow0\)時，\(\sinx\simx\)，\(\tanx\simx\)，\(\ln(1+x)\simx\)，\(e^x-1\simx\)等，可簡化極限計算。-函數(shù)的連續(xù)性-連續(xù)的定義：\(\lim_{x\rightarrowa}f(x)=f(a)\)，判斷函數(shù)在某點的連續(xù)性，特別是分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性。-間斷點的類型：可去間斷點、跳躍間斷點、無窮間斷點等的判別。3.導(dǎo)數(shù)與微分-導(dǎo)數(shù)的定義：\(f^\prime(x)=\lim_{\Deltax\rightarrow0}\frac{f(x+\Deltax)-f(x)}{\Deltax}\)，利用定義求導(dǎo)數(shù)，如一些抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。-導(dǎo)數(shù)的基本公式：\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，\((\sinx)^\prime=\cosx\)，\((\cosx)^\prime=-\sinx\)，\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)，\((e^x)^\prime=e^x\)等。-導(dǎo)數(shù)的運算法則：四則運算法則\((u\pmv)^\prime=u^\prime\pmv^\prime\)，\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)，\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\primev-uv^\prime}{v^2}\)以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則\(y=f(u),u=g(x)\)，則\(y^\prime=f^\prime(u)g^\prime(x)\)。-微分的概念：\(dy=f^\prime(x)dx\)，以及微分在近似計算中的應(yīng)用。4.中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-羅爾定理：如果函數(shù)\(y=f(x)\)在閉區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，在開區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)，且\(f(a)=f(b)\)，那么在\((a,b)\)內(nèi)至少有一點\(\xi\)，使得\(f^\prime(\xi)=0\)。-拉格朗日中值定理：如果函數(shù)\(y=f(x)\)在閉區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，在開區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)，那么在\((a,b)\)內(nèi)至少有一點\(\xi\)，使得\(f(b)-f(a)=f^\prime(\xi)(b-a)\)。應(yīng)用包括證明不等式等。-函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的凹凸性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間，以及拐點。-函數(shù)的極值與最值：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點（\(f^\prime(x)=0\)的點和\(f^\prime(x)\)不存在的點），并判斷是極大值還是極小值，進(jìn)而求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值。5.不定積分與定積分-不定積分的概念：如果\(F^\prime(x)=f(x)\)，則\(\intf(x)dx=F(x)+C\)（\(C\)為常數(shù)）。-不定積分的基本公式：與導(dǎo)數(shù)基本公式相對應(yīng)，如\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(n\neq-1)\)，\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)等。-不定積分的換元積分法和分部積分法：-換元積分法：第一類換元法（湊微分法）如\(\intf[\varphi(x)]\varphi^\prime(x)dx=\intf(u)du\)（令\(u=\varphi(x)\)）；第二類換元法，如三角代換、根式代換等。-分部積分法：\(\intudv=uv-\intvdu\)，適用于\(\intx^n\sinxdx\)、\(\intx^ne^xdx\)等類型的積分。-定積分的概念：\(\int_{a}^f(x)dx=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Deltax_i\)，幾何意義（曲邊梯形的面積等）。-定積分的計算：牛頓-萊布尼茨公式\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\)（其中\(zhòng)(F(x)\)是\(f(x)\)的一個原函數(shù)），以及定積分的換元法和分部積分法。-定積分的應(yīng)用：計算平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積等。例如，由\(y=f(x)\)，\(y=g(x)\)，\(x=a\)，\(x=b\)所圍成的平面圖形的面積\(S=\int_{a}^\vertf(x)-g(x)\vertdx\)；繞\(x\)軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積\(V=\pi\int_{a}^[f(x)]^2dx\)。二、線性代數(shù)部分1.行列式-行列式的定義：\(n\)階行列式是由\(n^2\)個元素\(a_{ij}(i,j=1,2,\cdots,n)\)組成的記號，其值是\(n!\)項的代數(shù)和。-行列式的性質(zhì)：如換行（列）變號、某行（列）乘以一個數(shù)加到另一行（列）行列式不變等性質(zhì)，利用這些性質(zhì)計算行列式的值。-行列式的展開定理：按行（列）展開，\(n\)階行列式\(D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}\)（\(i=1,2,\cdots,n\)），其中\(zhòng)(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)，\(M_{ij}\)是\(a_{ij}\)的余子式。2.矩陣-矩陣的概念：\(m\timesn\)矩陣\(A=(a_{ij})\)，包括方陣、零矩陣、單位矩陣等特殊矩陣。-矩陣的運算：-加法：\(A+B=(a_{ij}+b_{ij})\)，要求矩陣\(A\)與\(B\)是同型矩陣。-數(shù)乘：\(kA=(ka_{ij})\)。-乘法：\(AB\)的計算規(guī)則，要求\(A\)的列數(shù)等于\(B\)的行數(shù)，\((AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}\)。-矩陣的轉(zhuǎn)置：\((A^T)_{ij}=a_{ji}\)，\((AB)^T=B^TA^T\)等性質(zhì)。-逆矩陣：若\(AB=BA=E\)，則\(B\)是\(A\)的逆矩陣，記為\(A^{-1}\)，求逆矩陣的方法有伴隨矩陣法\(A^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A^\)（\(A^\)為\(A\)的伴隨矩陣）和初等變換法。-矩陣的秩：矩陣\(A\)中非零子式的最高階數(shù)，利用初等變換求矩陣的秩。3.線性方程組-線性方程組的表示形式：\(Ax=b\)（\(A\)為系數(shù)矩陣，\(x\)為未知數(shù)向量，\(b\)為常數(shù)項向量）。-線性方程組有解的判別定理：\(Ax=b\)有解的充要條件是\(r(A)=r(A,b)\)，當(dāng)\(r(A)=r(A,b)=n\)（未知數(shù)個數(shù)）時，有唯一解；當(dāng)\(r(A)=r(A,b)<n\)時，有無窮多解。-齊次線性方程組\(Ax=0\)：\(Ax=0\)必有零解，當(dāng)\(r(A)<n\)時，有非零解，基礎(chǔ)解系的概念以及求法，通解的表示\(x=k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}\)（\(\xi_i\)為基礎(chǔ)解系中的向量，\(k_i\)為任意常數(shù)）。-非齊次線性方程組\(Ax=b\)：通解\(x=\eta+\xi\)，其中\(zhòng)(\eta\)是\(Ax=b\)的一個特解，\(\xi\)是\(Ax=0\)的通解。三、概率論與數(shù)理統(tǒng)計部分（如果經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)包含這部分內(nèi)容）1.隨機(jī)事件與概率-隨機(jī)事件的概念：樣本空間、事件的關(guān)系（包含、相等、互斥、對立等）與運算（并、交、差）。-概率的定義與性質(zhì)：古典概型\(P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}\)（\(n(A)\)是事件\(A\)包含的基本事件個數(shù)，\(n(\Omega)\)是樣本空間\(\Omega\)包含的基本事件個數(shù)），概率的基本性質(zhì)如\(P(\varnothing)=0\)，\(P(A)+P(\overline{A})=1\)等。-概率的計算方法：加法公式\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(A\capB)\)，條件概率\(P(A|B)=\frac{P(A\capB)}{P(B)}\)（\(P(B)>0\)），乘法公式\(P(A\capB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)\)，全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)用。2.隨機(jī)變量及其分布-隨機(jī)變量的概念：離散型隨機(jī)變量（取值為有限個或可列無限個）和連續(xù)型隨機(jī)變量（取值充滿某個區(qū)間）。-離散型隨機(jī)變量的分布律：\(P(X=x_i)=p_i\)，\(i=1,2,\cdots\)，常見的離散型分布如二項分布\(X\simB(n,p)\)，\(P(X=k)=C_{n}^kp^k(1-p)^{n-k}\)，\(k=0,1,\cdots,n\)；泊松分布\(X\simP(\lambda)\)，\(P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}\)，\(k=0,1,2,\cdots\)。-連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)：\(f(x)\)，滿足\(P(a\leqX\leqb)=\int_{a}^f(x)dx\)，常見的連續(xù)型分布如正態(tài)分布\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，概率密度函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)。-分布函數(shù)：\(F(x)=P(X\leqx)\)，對于離散型隨機(jī)變量\(F(x)=\sum_{x_i\leqx}p_i\)，對于連續(xù)型隨機(jī)變量\(F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt\)，以及利用分布函數(shù)求概率\(P(a<X\leqb)=F(b)-F(a)\)。3.數(shù)字特征-數(shù)學(xué)期望：離散型\(E(X)=\sum_{i}x_ip_i\)，連續(xù)型\(E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx\)，數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)如\(E(aX+b)=aE(X)+b\)。-方差：\(D(X)=E[(X-E(X))^2]=E(X^2)-[E(X)]^2\)，方差的性質(zhì)如\(D(aX+b)=a^2D(X)\)，常見分布的數(shù)學(xué)期望和方差（如二項分布\(E(X)=np\)，\(D(X)=np(1-p)\)；正態(tài)分布\(E(X)=\mu\)，\(D(X)=\sigma^2\)）。-協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)：協(xié)方差\(Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E(XY)-E(X)E(Y)\)，相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}\)，用于描述兩個隨機(jī)變量之間的線性關(guān)系。4.大數(shù)定律與中心極限定理（可能為較高級別考點）-大數(shù)定律：如切比雪夫大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律等，表