2024年數(shù)學(xué)高考試卷及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.若集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)2.函數(shù)\(y=\log_2(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((1,+\infty)\)3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-2,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(m\)的值為（）A.4B.-4C.1D.-14.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則\(a_5\)等于（）A.9B.10C.11D.125.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)6.直線\(3x+4y-12=0\)與\(x\)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.\((0,3)\)B.\((3,0)\)C.\((0,4)\)D.\((4,0)\)7.拋物線\(y^2=8x\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.\((2,0)\)B.\((0,2)\)C.\((4,0)\)D.\((0,4)\)8.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的極大值點(diǎn)為（）A.1B.-1C.0D.29.從\(5\)名男生和\(3\)名女生中選\(2\)人參加活動(dòng)，恰有\(zhòng)(1\)名女生的選法有（）A.15種B.20種C.25種D.30種10.已知\(a=2^{0.3}\)，\(b=0.3^2\)，\(c=\log_2{0.3}\)，則\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小關(guān)系是（）A.\(a\gtb\gtc\)B.\(b\gta\gtc\)C.\(c\gta\gtb\)D.\(a\gtc\gtb\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是偶函數(shù)（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=x^3\)2.下列關(guān)于直線的斜率說法正確的是（）A.直線\(x=1\)斜率不存在B.直線\(y=2x+1\)斜率為\(2\)C.傾斜角為\(45^{\circ}\)的直線斜率為\(1\)D.斜率為\(0\)的直線與\(x\)軸垂直3.對(duì)于等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)，下列說法正確的是（）A.若\(a_1=1\)，\(q=2\)，則\(a_3=4\)B.若\(a_1=1\)，\(a_3=4\)，則\(q=2\)C.\(a_1a_5=a_3^2\)D.若\(a_2\gta_1\)，則\(a_4\gta_3\)4.已知圓的方程\((x-1)^2+(y+2)^2=9\)，以下說法正確的是（）A.圓心坐標(biāo)為\((1,-2)\)B.半徑為\(3\)C.點(diǎn)\((2,-2)\)在圓上D.點(diǎn)\((0,0)\)在圓內(nèi)5.下列函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是（）A.\(y=2^x\)B.\(y=\lnx\)C.\(y=x^3\)D.\(y=\frac{1}{x}\)6.已知\(\vec{a}=(1,1)\)，\(\vec=(-1,2)\)，則（）A.\(\vec{a}+\vec=(0,3)\)B.\(\vec{a}-\vec=(2,-1)\)C.\(\vec{a}\cdot\vec=1\)D.\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{2}\)7.關(guān)于橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)，下列說法正確的是（）A.長軸長為\(6\)B.短軸長為\(4\)C.焦點(diǎn)坐標(biāo)為\((\pm\sqrt{5},0)\)D.離心率為\(\frac{\sqrt{5}}{3}\)8.以下屬于基本不等式應(yīng)用的是（）A.\(x+\frac{1}{x}\geq2(x\gt0)\)B.\(a+b\geq2\sqrt{ab}(a,b\gt0)\)C.\(x^2+1\geq2x\)D.\(a^2+b^2\geq2ab\)9.從\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)這\(5\)個(gè)數(shù)中任取\(2\)個(gè)數(shù)，下列事件是互斥事件的是（）A.恰有一個(gè)奇數(shù)和恰有一個(gè)偶數(shù)B.至少有一個(gè)奇數(shù)和至少有一個(gè)偶數(shù)C.至少有一個(gè)奇數(shù)和全是偶數(shù)D.全是奇數(shù)和全是偶數(shù)10.已知函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)+k(A\gt0,\omega\gt0)\)，下列說法正確的是（）A.\(A\)決定振幅B.\(\omega\)決定周期C.\(\varphi\)決定初相D.\(k\)決定圖象的上下平移三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數(shù)\(y=x^0\)的定義域是\(x\neq0\)。（）3.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）4.兩條平行直線的斜率一定相等。（）5.數(shù)列\(zhòng)(1\)，\(2\)，\(4\)，\(8\)，\(\cdots\)是等差數(shù)列。（）6.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta\)。（）7.圓\(x^2+y^2=1\)的周長是\(2\pi\)。（）8.函數(shù)\(y=\tanx\)的最小正周期是\(\pi\)。（）9.若\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec=\vec{0}\)。（）10.雙曲線\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1\)的漸近線方程是\(y=\pm\frac{3}{2}x\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=2x^2-4x+3\)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。答案：對(duì)于二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)，對(duì)稱軸\(x=-\frac{2a}\)。此函數(shù)\(a=2\)，\(b=-4\)，對(duì)稱軸\(x=1\)。把\(x=1\)代入得\(y=1\)，頂點(diǎn)坐標(biāo)\((1,1)\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(d=3\)，求\(a_5\)和\(S_5\)（\(S_n\)為前\(n\)項(xiàng)和）。答案：\(a_n=a_1+(n-1)d\)，\(a_5=2+(5-1)\times3=14\)。\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，\(S_5=\frac{5\times(2+14)}{2}=40\)。3.已知\(\vec{a}=(2,-1)\)，\(\vec=(3,4)\)，求\(\vec{a}\cdot\vec\)以及\(\vert\vec{a}\vert\)。答案：\(\vec{a}\cdot\vec=2\times3+(-1)\times4=2\)。\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}\)。4.求過點(diǎn)\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線方程。答案：兩直線平行斜率相等，已知直線斜率\(k=2\)。設(shè)所求直線方程\(y-y_0=k(x-x_0)\)，過點(diǎn)\((1,2)\)，則\(y-2=2(x-1)\)，即\(2x-y=0\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)和\((-\infty,0)\)上的單調(diào)性。答案：在\((0,+\infty)\)上，任取\(x_1\ltx_2\)，\(y_1-y_2=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\gt0\)，\(y_1\gty_2\)，單調(diào)遞減；在\((-\infty,0)\)上同理，任取\(x_1\ltx_2\lt0\)，\(y_1-y_2\gt0\)，單調(diào)遞減。2.已知圓\(C\)與直線\(x+y-1=0\)相切于點(diǎn)\((2,-1)\)，且圓心在直線\(y=-2x\)上，討論如何求圓\(C\)的方程。答案：過點(diǎn)\((2,-1)\)且與直線\(x+y-1=0\)垂直的直線斜率為\(1\)，其方程為\(y+1=x-2\)。聯(lián)立\(\begin{cases}y=-2x\\y=x-3\end{cases}\)得圓心坐標(biāo)\((1,-2)\)。圓心到切點(diǎn)距離即半徑\(r=\sqrt{(2-1)^2+(-1+2)^2}=\sqrt{2}\)，圓方程\((x-1)^2+(y+2)^2=2\)。3.討論在實(shí)際生活中，哪些地方會(huì)用到等比數(shù)列的知識(shí)。答案：如細(xì)胞分裂，每次分裂