三角形的常見模型探索新知隨堂訓(xùn)練目錄01探索新知由3條不在同一直線上的線段,首尾順次相接組成的圖形叫做三角形.三角形的定義如圖，線段AB、BC、AC是三角形的邊.bcaCABbca邊也可以用a、b、c來表示。頂點(diǎn)A所對的邊BC用a表示，頂點(diǎn)B所對的邊AC用b表示，頂點(diǎn)C所對的邊AB用c表示。三角形的邊∠A、∠B、∠C是相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角.

點(diǎn)A、B、C是三角形的頂點(diǎn).bcaCABCAB三角形的內(nèi)角三角形的分類2.三角形按邊分類：三角形不等邊三角形等腰三角形等邊三角形底邊和腰不等的等腰三角形1.三角形按角分類:銳角三角形直角三角形鈍角三角形試一試銳角三角形直角三角形鈍角三角形⑦②①③④⑤⑥①②③④⑤⑥⑦⑦②①③④⑤⑥這些三角形中,有等腰三角形嗎?試一試任意兩邊之和大于第三邊。任意兩邊之差小于第三邊。ABCabc你知道為什么嗎？兩點(diǎn)之間線段最短！第三邊大于兩邊之差,小于兩邊之和.三角形的三邊定理(1)5cm,8cm,2cm(2)3㎝,3㎝,4㎝(3)5cm,8cm,13cm(4)3.5㎝,7.5㎝,4.5㎝例1.下面分別是三根小木棒的長度,用它們能擺成三角形嗎?例題解析×√×√3.已知a、b、c是三角形的三邊，且a–1||+(b－2)2=0,那么c的取值范圍是多少?練一練1＜c＜3思考題2.一個(gè)等腰三角形的兩邊分別為4和9，這個(gè)三角形的周長是多少?1.若等腰△ABC周長為26，AB=6,求它的腰長.1021在三角形中,從一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線作垂線,頂點(diǎn)與垂足之間的線段叫做三角形的高線,簡稱三角形的高.三角形的高三角形的角平分線在三角形中,一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對邊相交,這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.三角形的中線在三角形中,連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對邊中點(diǎn)的線段,叫做三角形的中線.例1.請畫出以下各三角形的角平分線，中線，高線。例題精析

角平分線交點(diǎn)

中線交點(diǎn)

高線交點(diǎn)銳角三角形直角三角形鈍角三角形在內(nèi)部在內(nèi)部在內(nèi)部在內(nèi)部在內(nèi)部在內(nèi)部在內(nèi)部在邊上在外部歸納總結(jié)如圖,∠ACB=90°,AD=BD,DE⊥BC,CF⊥AB,則在△ABC中,

是AB邊上的高,

是BC邊上的高,

是△ABC的中線;在△BCD中,

是BC邊上的高,

是BD邊上的高。FEDCBA練一練CFCDDECF例2.如圖,已知直角三角形ABC中∠ACB=90°CD是AB邊上的高,AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm,求(1)△ABC的面積;(2)CD的長DABC練一練6cm2.4cm三角形的八字模型三角形的八字模型分為角的八字模型和邊的八字模型三角形的角的八字模型如圖所示，AC,BD相交于點(diǎn)O,連接AD、BC，證明：∠A+∠D=∠B+∠C.三角形角的八字模型如圖所示，AC,BD相交于點(diǎn)O,連接AD、BC，結(jié)論：∠A+∠D=∠B+∠C.證法一：∵∠AOB是△AOD的外角，∴∠A+∠D=∠AOB∵∠AOB是△BOC的外角∴∠B+∠C=∠AOB∴∠A+∠D=∠B+∠C.證法二：∵∠A+∠D+∠AOD=180°∴∠A+∠D=180°-∠AOD∵∠B+∠C+∠BOC=180°∴∠B+∠C=180°-∠BOC又∵∠AOD=∠BOC∴∠A+∠D=∠B+∠C.三角形角的八字模型觀察下列圖形，計(jì)算角度：（1） 如圖①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（2） 如圖②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=三角形角的八字模型解析：解法一：（1）利用角的8字模型，如圖③，連接CD，∵∠BOC是△BOE的外角，∴∠B+∠E=∠BOC∵∠BOC是△COD的外角，∴∠1+∠2=∠BOC∴∠B+∠E=∠1+∠2（角的8字模型）∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠A+∠ACE+∠ADB+∠1+∠2=∠A+∠ACD+∠ADC=180°三角形角的八字模型解法二：如圖④，利用三角形外角和定理，∵∠1是△FCE的外角∴∠1=∠C+∠E∵∠2是△GBD的外角，∴∠2=∠B+∠D∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠1+∠2=180°三角形角的八字模型（1） 解法一：利用角的8字模型，如圖⑤∵∠AOP是△AOB的外角∴∠A+∠B=∠AOP∵∠AOP是△OPQ的外角∴∠1+∠3=∠AOP∴∠A+∠B=∠1+∠3同理可得：∠C+∠D=∠1+∠2∠E+∠F=∠2+∠3.三角形角的八字模型解法二：利用角的8字模型如圖⑥，連接DE,∵∠AOE是△AOB的外角∴∠A+∠B=∠AOE∵∠AOE是△OED的外角∴∠1+∠2=∠AOE∴∠A+∠B=∠1+∠2（角的8字模型）∴∠A+∠B+∠C+∠ADC+∠FEB+∠F=360°三角形邊的八字模型如圖所示，AC,BD相交于點(diǎn)O連接AD,BC。證明：AC+BD＞AD+BC三角形邊的八字模型如圖所示，AC,BD相交于點(diǎn)O連接AD,BC。證明：AC+BD＞AD+BC三角形邊的八字模型模型分析：∵OA+OD＞ADOB+OC＞BC以上兩式進(jìn)行相加即可得到OA+OD+OB+OC＞BC+AD即AC+BD＞AD+BC三角形邊的八字模型如圖，四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O求證：（1）AB+BC+CD+AD＞AC+BD（2）AB+BC+CD+AD＜2AC+2BD.三角形邊的八字模型解析：（1）∵AB+BC＞ACCD+AD＞ACAB+AD＞BDBC+CD＞BD以上式子相加即可得到AB+BC+CD+AD＞AC+BD（2）∵AD＜OA+ODBC＜OB+OC兩式相加即可得到AD+BC＜OA+OD+OB+OC∴AD+BC＜AC+BD(邊的8字模型)同理可證：AB+CD＜AC+BD∴AB+BC+CD+AD＜2AC+2BD三角形的飛鏢模型如圖所示，證明∠D=∠A+∠B+∠C三角形角的飛鏢模型三角形的飛鏢模型分為角的飛鏢模型和邊的飛鏢模型三角形角的飛鏢模型解法一，如圖①，作射線AD∵∠3是△ABD的外角∴∠3=∠B+∠1∵∠4是△ACD的外角∴∠4=∠C+∠2∴∠BDC=∠3+∠4∴∠BDC=∠B+∠1+∠2+∠C∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C三角形角的飛鏢模型解法二：如圖②，連接BC∵∠2+∠4+∠D=180°∴∠D=180°-（∠2+∠4）∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180°∴∠A+∠1+∠3=180°-（∠2+∠4）∴∠D=∠A+∠1+∠3三角形角的飛鏢模型如圖，在四邊形ABCD中，AM,CM分別平分∠DAB和∠DCB，AM與CM交于M,探究∠AMC與∠B∠D之間的數(shù)量關(guān)系.三角形角的飛鏢模型利用角的飛鏢模型如圖所示，連接DM并延長，∵∠3是△AMD的外角，∴∠3=∠1+∠ADM∵∠4是△CMD的外角∴∠4=∠2+∠CDM∵∠AMC=∠3+∠4∴∠AMC=∠1+∠ADM+∠CDM+∠2∴∠AMC=∠1+∠2+∠ADC(角的飛鏢模型)|利用四邊形的內(nèi)角和，以及AM,CM分別平分∠DAB和∠DCB就可以得出2∠AMC+∠B-∠ADC=360°.三角形邊的飛鏢模型如圖所示，證明AB+AC＞BD+CD三角形邊的飛鏢模型如圖所示，證明AB+AC＞BD+CD三角形邊的飛鏢模型解析：如圖，延長BD交AC于點(diǎn)E∵AB+AC=AB+AE+ECAB+AE＞BE∴AB+AC＞BE+EC∵BE+EC=BD+DE+ECDE+EC＞CD∴BE+EC＞BD+CD綜上：AB+AC＞BD+CD02隨堂訓(xùn)練3、如圖,AD是△ABC的角平分線,DE∥CA,并且交AB于E,DF∥BA,交AC于F,∠1與∠2是否相等?為什么?2ABCDEF1練一練相等練一練4、如圖，在△ABC中，BC邊上的高為（）A．AD B．BE C．BF D．CGA練一練5、已知小敏家距學(xué)校5km，小飛家距小敏家3km．若小飛家距學(xué)校距離為xkm，則x滿足（）A．x＝2 B．2≤x≤8

C．2≤x≤5 D．2＜x＜8B練一練6、如圖，△ABC的角平分線AD、中線BE相交于點(diǎn)O，則①AO是△ABE的角平分線；②BO是△ABD的中線；③DE是△ADC的中線；④ED是△EBC的角平分線的結(jié)論中正確的有（）A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)B練一練如圖1，求：∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=如圖2，求：∠CAD+∠B+∠AC+∠D+∠E=練一練解析：如圖，連接DE∠C+∠CAD=∠1+∠2∠CAD+∠B+∠C+∠ADB+∠BEC=∠B+∠BEC+∠BDA+∠1+∠2=180°如圖，連接DE∠ACE+∠CAD=∠1+∠2∠CAD+∠B+∠ACE+∠ADB+∠BEC=∠B+∠BEC+∠BDA+∠1+∠2=180°練一練1、如圖，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=練一練解析：如圖，連接GH,CD∠E+∠B=∠1+∠2∠A+∠F=∠3+∠4∠A+∠B+∠FCH+∠ADG+∠E+∠F+∠DGB+∠EHC=∠1+∠2+∠3+∠4+∠GDA+∠FCH+∠DGB+∠EHC=360°練一練如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=練一練解析：∠C+∠E+∠D=∠EOC=115°∠A+∠B+∠F=∠BOF=115°∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115°+115°=230°練一練如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D=練一練解析：如圖所示，連接BD∠AED=∠A+∠3+∠1∠BFC=∠2+∠4+∠C∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220°練一練如圖，點(diǎn)O為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)求證：（1）2(AO+BO+CO)＞AB+BC+AC;（2）AB+BC+AC＞AO+BO+CO練一練如圖，點(diǎn)O為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)求證：（1）2(AO+BO+CO)＞AB+BC+AC;（2）AB+BC+AC＞AO+BO+CO練一練解析：（1）∵OA+OB＞AB①OB+OC＞BC②OC+OA＞AC③由①+②+③可得2(AO+BO+CO)＞AB+BC+AC;（2）如圖，延長BO交AC于點(diǎn)E∵AB+AC=AB+AE+ECAB+AE＞BE∴AB+AC＞BE+EC①∵BE+EC=BO+OE+ECOE+EC＞CO∴BE+EC＞BO+CO②由①②可得AB+AC＞BO+CO③(邊的飛鏢模型)同理可得AB+BCD＞OA+OC④BC+AC＞OA+OB⑤由③+④+⑤得AB+BC+AC＞AO+BO+CO練一練如圖，在△ABC中，D、E在BC邊上，且BD=CE,求證：A