概率及其應(yīng)用知識結(jié)構(gòu)模型化歸熱身訓(xùn)練【熱身訓(xùn)練1】下列事件是必然事件的是(

)A．沒有水分，種子發(fā)芽

B．如果a，b都是實數(shù)，那么a＋b＝b＋aC．打開電視，正在播廣告

D．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上熱身訓(xùn)練【熱身訓(xùn)練2】

社團課上，同學(xué)們進行了“摸球游戲”：在一個不透明的盒子里裝有幾十個除顏色不同外其余均相同的黑、白兩種球，將盒子里面的球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過程．整理數(shù)據(jù)后，制作了“摸出黑球的頻率”與“摸球的總次數(shù)”的關(guān)系圖象如圖所示，試估計“摸出黑球”的概率為_______．熱身訓(xùn)練【熱身訓(xùn)練3】

在一個不透明的袋中裝有5個球，其中2個紅球，3個白球，這些球除顏色外無其他差別，從中隨機摸出1個球，摸出紅球的概率是（

）A．B．C．D．熱身訓(xùn)練【熱身訓(xùn)練3】變式:

在一個不透明的袋中裝有2個紅球還有一些白球，這些球除顏色外無其他差別，從中隨機摸出1個球，摸出紅球的概率是

，則白球的個數(shù)是_______個.【熱身訓(xùn)練4】

經(jīng)過某路口的汽車，可能直行，也可能左拐或者右拐.假設(shè)這三種情況的可能性相同，現(xiàn)有兩輛汽車經(jīng)過該路口，恰好有一輛汽車直行，另一輛汽車左拐的概率是________.熱身訓(xùn)練第一輛第二輛

左

直

右開

始

左直右

左直右

左直右√√熱身訓(xùn)練【熱身訓(xùn)練5】

如圖，轉(zhuǎn)盤被平均分成8個面積相等的扇形，其中四個涂上顏色，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，停止時指針指向陰影部分的概率是______.判斷事件概率概率的計算概率的應(yīng)用考點梳理用頻率估計概率列舉法求概率用面積求概率典型例題

在四張完全相同的小紙條上分別標上1、2、3、4這四個號碼，做成4支簽，放在一個不透明的盒子中.有下列事件：從中隨機抽出1支簽，標號為5；從中隨機抽出1支簽，標號小于6；從中隨機抽出1支簽，標號為奇數(shù)；從中隨機抽出1支簽，放回后再抽出1支簽，兩支簽標號相同.（1）______是必然事件，______是不可能事件，_______是隨機事件；判斷事件

在四張完全相同的小紙條上分別標上1、2、3、4這四個號碼，做成4支簽，放在一個不透明的盒子中.有下列事件：從中隨機抽出1支簽，標號為5；從中隨機抽出1支簽，標號小于6；從中隨機抽出1支簽，標號為奇數(shù)；從中隨機抽出1支簽，放回后再抽出1支簽，兩支簽標號相同.（2）事件______發(fā)生的可能性最大，事件______發(fā)生的可能性最??；比較可能性的大小典型例題（3）事件③發(fā)生的概率是______；

在四張完全相同的小紙條上分別標上1、2、3、4這四個號碼，做成4支簽，放在一個不透明的盒子中.有下列事件：從中隨機抽出1支簽，標號為5；從中隨機抽出1支簽，標號小于6；從中隨機抽出1支簽，標號為奇數(shù)；從中隨機抽出1支簽，放回后再抽出1支簽，兩支簽標號相同.一步概率典型例題熱身訓(xùn)練（4）求事件

發(fā)生的概率.典型例題

在四張完全相同的小紙條上分別標上1、2、3、4這四個號碼，做成4支簽，放在一個不透明的盒子中.有下列事件：從中隨機抽出1支簽，標號為5；從中隨機抽出1支簽，標號小于6；從中隨機抽出1支簽，標號為奇數(shù)；從中隨機抽出1支簽，放回后再抽出1支簽，兩支簽標號相同.兩步概率放回開

始1234√√√√第1支第2支由圖可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中兩次標號相同的有4種，∴典型例題1234123412341234（4）求事件

發(fā)生的概率.解：畫樹狀圖如圖：12341（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）一支二支結(jié)果√√√√典型例題由表可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中兩次標號相同的有4種，∴（4）求事件

發(fā)生的概率.解：列表如下：列舉法類別適用條件具體步驟方法公式事件涉及的對象較單一且出現(xiàn)的等可能結(jié)果數(shù)目較少用公式P(A)＝計算概率列表一次試驗涉及兩個因素并且出現(xiàn)的等可能結(jié)果數(shù)目較多1.選一次操作(或一個條件)為橫行，另一次操作(或另一個條件)為豎列，列出表格；2.用公式P(

A

)＝計算概率畫樹狀圖當一次試驗涉及兩個或更多個因素1.畫樹狀圖；2.運用公式P(A)＝計算概率一步概率兩步概率兩步概率三步概率列舉法求概率變式1：隨機抽出1支簽后不放回，再隨機抽出1支簽，求抽出的兩支簽標號都是奇數(shù)的概率．典型例題

在四張完全相同的小紙條上分別標上1、2、3、4這四個號碼，做成4支簽，放在一個不透明的盒子中.從中隨機抽出1支簽，放回后再抽出1支簽，兩支簽標號相同.兩步概率不放回第1支第2支1234開

始234123134124√√由圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中都是奇數(shù)的有2種解：畫樹狀圖如下：12341（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）一支二支結(jié)果√√典型例題兩步概率不放回由表可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中都是奇數(shù)的有2種，∴解：列表如下：變式2：隨機同時抽取兩支簽，求兩次抽出的簽標號的和等于5的概率．典型例題

在四張完全相同的小紙條上分別標上1、2、3、4這四個號碼，做成4支簽，放在一個不透明的盒子中.從中隨機抽出1支簽，放回后再抽出1支簽，兩支簽標號相同.兩步概率不放回第1支第2支1234和345356457567開

始234123134124由圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中和為5的有4種，∴√√√√解：畫樹狀圖如下：12341345235634574567一支二支結(jié)果√√√√典型例題兩步概率不放回由表可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中和為5的有4種，∴解：列表如下：典型例題

在甲乙兩個不透明的盒子中分別有四張完全相同的小紙條做成4支簽，甲盒中的四支簽分別標上1、2、3、4這四個號碼，乙盒中的四支簽分別標上5、6、7、8這四個號碼.從兩個盒子中分別隨機抽出1支簽，求甲、乙兩盒中抽出的簽之和能被3整除的概率.變式3：甲乙開

始12345678567856785678和6789789108910119101112√√√√√√由圖可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中符合要求的有6種，∴兩步概率放回解：畫樹狀圖如下：典型例題

在甲乙兩個不透明的盒子中分別有四張完全相同的小紙條做成4支簽，甲盒中的四支簽分別標上1、2、3、4這四個號碼，乙盒中的四支簽分別標上5、6、7、8這四個號碼.從兩個盒子中分別隨機抽出1支簽，求甲、乙兩盒中抽出的簽之和能被3整除的概率.變式3：由表可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中符合要求的有6種，∴123456789678910789101189101112√√√√√√甲乙和解：列表如下：兩步概率放回方法梳理轉(zhuǎn)化為了倡導(dǎo)“節(jié)約用水，從我做起”，某市政府決定對該市直屬機關(guān)200戶家庭用水情況進行調(diào)查．市政府調(diào)查小組隨機抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（單位：噸），調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，每戶家庭月平均用水量在3～7噸范圍內(nèi)，并將調(diào)查結(jié)果制成了如下尚不完整的統(tǒng)計表：

請根據(jù)統(tǒng)計表中提供的信息解答下列問題：（1）填空：a＝

，b＝

，c＝

．（2）這些家庭中月平均用水量數(shù)據(jù)的平均數(shù)是

，眾數(shù)是

，中位數(shù)是

．（3）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計該市直屬機關(guān)200戶家庭中月平均用水量不超過5噸的約有多少戶？（4）市政府決定從月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四戶家庭中，選取兩戶進行“節(jié)水”經(jīng)驗分享．請用列表或畫樹狀圖的方法，求出恰好選到甲、丙兩戶的概率，并列出所有等可能的結(jié)果．

應(yīng)用概率與統(tǒng)計結(jié)合【解答】解：（1）抽查的戶數(shù)為：4÷0.08＝50（戶），∴a＝50×0.40＝20，b＝9÷50＝0.18，c＝10÷50＝0.2，故答案為：20，0.18，0.2；（2）這些家庭中月平均用水量數(shù)據(jù)的平均數(shù)

（噸），眾數(shù)是4噸，中位數(shù)為

（噸），故答案為：4.92，4，5；（3）∵4+20+9＝33（戶），∴估計該市直屬機關(guān)200戶家庭中月平均用水量不超過5噸的約有：

（戶）；應(yīng)用概率由圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，恰好選到甲、丙兩戶的結(jié)果有2種，∴恰好選到甲、丙兩戶的概率為

，所有等可能的結(jié)果分別為（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，甲）、（乙，丙）、（乙，?。ⅲū?，甲）、（丙，乙）、（丁，甲）、（丁，乙）、（丁，丙）、（甲，丙）．第1戶第2戶開

始甲

乙

丙

丁

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙√√（4）畫樹狀圖如下：應(yīng)用概率應(yīng)用概率4張相同的卡片上分別寫有數(shù)字0，1，－2，3，將卡片的背面朝上，洗勻后從中任意抽取1張，將卡片上的數(shù)字記錄下來；再從余下的3張卡片中任意抽取1張，同樣將卡片上的數(shù)字記錄下來．(1)第一次抽取的卡片上數(shù)字是負數(shù)的概率為________；(2)小敏設(shè)計了如下游戲規(guī)則：當?shù)谝淮斡涗浵聛淼臄?shù)字減去第二次記錄下來的數(shù)字所得結(jié)果為非負數(shù)時，甲獲勝；否則，乙獲勝．小敏設(shè)計的游戲規(guī)則公平嗎？為什么？(請用樹狀圖或列表等方法說明理由)判斷公平0-1230-123-11342-2-313-3-4-1差一二2．已知電流在一定時間段內(nèi)正常通過電子元件“

”的概率是0.5；則在一定時間段內(nèi)，由該元件組成的圖示電路A、B之間，電流能夠正常通過的概率是（）

A．0.75

B．0.525

C．0.5

D．0.25應(yīng)用概率1．在單詞mathematics（數(shù)學(xué)）中任意選擇一個字母恰好是字母“t”的概率是_____．跨學(xué)科融合3.五張不透明的卡片，正面分別寫有實數(shù)

5.060060006…（相鄰兩個6之間0的個數(shù)依次加1），這五張卡片除正面的數(shù)不同外其余都相同，將它們背面朝上混合均勻后任取一張卡片，取到的卡片正面的數(shù)是無理數(shù)的概率是________.應(yīng)用概率4.從背面朝上的分別畫有等腰三角形、平行四邊形、矩形、圓的四張形狀、大小相同的卡片中，隨機抽取一張，則所抽得的圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的概率為_______.學(xué)科內(nèi)知識點融合無理數(shù)軸對稱、中心對稱圖形5．小明用大小和形狀都完全一樣的正方體按照一定規(guī)律排放了一組圖案（如圖所示），每個圖案中只在最下面的正方體上寫“