1/63.2復數(shù)的四則運算（2）教學目標：知識與技能：理解并掌握復數(shù)的代數(shù)形式的乘法與除法運算法則，深刻理解它是乘法運算的逆運算過程與方法：理解并掌握復數(shù)的除法運算實質(zhì)是分母實數(shù)化類問題情感、態(tài)度與價值觀：復數(shù)的幾何意義單純地講解或介紹會顯得較為枯燥無味，學生不易接受，教學時，我們采用講解或體驗已學過的數(shù)集的擴充的，讓學生體會到這是生產(chǎn)實踐的需要從而讓學生積極主動地建構(gòu)知識體系。教學重點：復數(shù)代數(shù)形式的除法運算。教學難點：對復數(shù)除法法則的運用。教具準備：多媒體、實物投影儀。教學設想：如果兩個復數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數(shù)相等.即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d，只有當兩個復數(shù)不全是實數(shù)時才不能比較大小教學過程：學生探究過程：1.虛數(shù)單位:(1)它的平方等于-1，即;(2)實數(shù)可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立2.與－1的關(guān)系:就是－1的一個平方根，即方程x2=－1的一個根，方程x2=－1的另一個根是－3.的周期性：4n+1=i,4n+2=-1,4n+3=-i,4n=14.復數(shù)的定義：形如的數(shù)叫復數(shù)，叫復數(shù)的實部，叫復數(shù)的虛部全體復數(shù)所成的集合叫做復數(shù)集，用字母C表示*3.復數(shù)的代數(shù)形式:復數(shù)通常用字母z表示，即，把復數(shù)表示成a+bi的形式，叫做復數(shù)的代數(shù)形式4.復數(shù)與實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系：對于復數(shù)，當且僅當b=0時，復數(shù)a+bi(a、b∈R)是實數(shù)a；當b≠0時，復數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù)；當a=0且b≠0時，z=bi叫做純虛數(shù)；當且僅當a=b=0時，z就是實數(shù)0.5.復數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：NZQRC.6.兩個復數(shù)相等的定義：如果兩個復數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數(shù)相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d一般地，兩個復數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小.如果兩個復數(shù)都是實數(shù)，就可以比較大小只有當兩個復數(shù)不全是實數(shù)時才不能比較大小7.復平面、實軸、虛軸：點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，復數(shù)z=a+bi(a、b∈R)可用點Z(a，b)表示，這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，也叫高斯平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸實軸上的點都表示實數(shù)對于虛軸上的點要除原點外，因為原點對應的有序?qū)崝?shù)對為(0，0)，它所確定的復數(shù)是z=0+0i=0表示是實數(shù).故除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)8．復數(shù)z1與z2的和的定義：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.9.復數(shù)z1與z2的差的定義：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.10.復數(shù)的加法運算滿足交換律:z1+z2=z2+z1.11.復數(shù)的加法運算滿足結(jié)合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)講解新課：１．乘法運算規(guī)則：規(guī)定復數(shù)的乘法按照以下的法則進行：設z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意兩個復數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其實就是把兩個復數(shù)相乘，類似兩個多項式相乘，在所得的結(jié)果中把i2換成－1，并且把實部與虛部分別合并.兩個復數(shù)的積仍然是一個復數(shù).2.乘法運算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3證明：設z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a∴z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3證明：設z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-同理可證：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.證明：設z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1bz1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例1計算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i)(-2+i)=-20+15i.例2計算：（1）(3+4i)(3-4i)；（2）（1+i)2. 解：（1）(3+4i)(3-4i)=32-（4i）2=9-(-16)=25;(2)（1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.3.共軛復數(shù)：當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)虛部不等于0的兩個共軛復數(shù)也叫做共軛虛數(shù)通常記復數(shù)的共軛復數(shù)為。4.復數(shù)除法定義：滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的復數(shù)x+yi(x,y∈R)叫復數(shù)a+bi除以復數(shù)c+di的商，記為：(a+bi)(c+di)或者5.除法運算規(guī)則：①設復數(shù)a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商為x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.由復數(shù)相等定義可知解這個方程組，得于是有:(a+bi)÷(c+di)=i.②利用(c+di)(c－di)=c2+d2.于是將的分母有理化得：原式=.∴(a+bi)÷(c+di)=.點評：①是常規(guī)方法，②是利用初中我們學習的化簡無理分式時，都是采用的分母有理化思想方法，而復數(shù)c+di與復數(shù)c－di，相當于我們初中學習的的對偶式，它們之積為1是有理數(shù)，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正實數(shù).所以可以分母實數(shù)化.把這種方法叫做分母實數(shù)化法例3計算解：例4計算解：例5已知z是虛數(shù)，且z+是實數(shù)，求證：是純虛數(shù).證明：設z=a+bi(a、b∈R且b≠0)，于是z+=a+bi+=a+bi+.∵z+∈R，∴b－=0.∵b≠0，∴a2+b2=1.∴∵b≠0，a、b∈R，∴是純虛數(shù)鞏固練習：1.設z=3+i,則等于A.3+i B.3－iC. D.2.的值是A.0 B.iC.－i D.13.已知z1=2－i,z2=1+3i,則復數(shù)的虛部為A.1 B.－1C.i D.－4.設(x∈R,y∈R),則x=___________,y=___________.