2025年知識(shí)競(jìng)賽-LA優(yōu)化知識(shí)歷年參考題庫(kù)含答案解析(5套典型題)2025年知識(shí)競(jìng)賽-LA優(yōu)化知識(shí)歷年參考題庫(kù)含答案解析(篇1)【題干1】在凸優(yōu)化中，判斷函數(shù)f(x)為凸函數(shù)的充要條件是（）【選項(xiàng)】A.二階導(dǎo)數(shù)在定義域內(nèi)非負(fù)B.海森矩陣在定義域內(nèi)半正定C.函數(shù)圖像開(kāi)口向上D.一階導(dǎo)數(shù)單調(diào)遞增【參考答案】B【詳細(xì)解析】凸函數(shù)的充要條件是海森矩陣在定義域內(nèi)半正定（選項(xiàng)B）。選項(xiàng)A僅適用于單變量函數(shù)，選項(xiàng)C和D是凸函數(shù)的必要非充分條件。例如，f(x)=x^4的二階導(dǎo)數(shù)為12x2≥0，但海森矩陣（二階導(dǎo)數(shù)本身）在x=0處為0，此時(shí)需進(jìn)一步驗(yàn)證是否半正定。【題干2】拉格朗日乘數(shù)法求解約束優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，若存在K個(gè)等式約束，則拉格朗日函數(shù)中應(yīng)引入（）個(gè)乘子【選項(xiàng)】A.K-1B.K+1C.KD.2K【參考答案】C【詳細(xì)解析】對(duì)于K個(gè)等式約束，拉格朗日乘數(shù)法需引入K個(gè)乘子（選項(xiàng)C）。每個(gè)乘子對(duì)應(yīng)一個(gè)約束條件，通過(guò)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L=目標(biāo)函數(shù)-Σλ_i約束條件，最終通過(guò)極值條件求解。選項(xiàng)A錯(cuò)誤因忽略乘子數(shù)量與約束數(shù)直接相關(guān)，選項(xiàng)B和D無(wú)理論依據(jù)。【題干3】在梯度下降算法中，若目標(biāo)函數(shù)Hessian矩陣存在負(fù)特征值，則該算法（）【選項(xiàng)】A.必然收斂B.可能陷入局部極小C.收斂速度變慢D.需改用隨機(jī)梯度下降【參考答案】B【詳細(xì)解析】當(dāng)Hessian矩陣存在負(fù)特征值時(shí)，目標(biāo)函數(shù)在該方向上是凹的，算法可能陷入局部極小值（選項(xiàng)B）。選項(xiàng)A錯(cuò)誤因非凸函數(shù)無(wú)全局極小保證，選項(xiàng)C僅在Hessian正定且步長(zhǎng)合理時(shí)成立，選項(xiàng)D是錯(cuò)誤方法選擇?！绢}干4】針對(duì)約束優(yōu)化問(wèn)題minf(x)s.t.g(x)≤0，KKT條件要求在極值點(diǎn)處滿足（）【選項(xiàng)】A.?f=λ?gB.g(x)=0且λ≥0C.?f=λ?g且λ≥0D.g(x)≤0且λ≤0【參考答案】C【詳細(xì)解析】KKT條件要求梯度關(guān)系?f=λ?g（選項(xiàng)C），同時(shí)伴隨乘子λ≥0（若約束為等式則為λ=0）。選項(xiàng)A缺少乘子非負(fù)性，選項(xiàng)B僅適用于邊界點(diǎn)且忽略λ約束，選項(xiàng)D中λ≤0與標(biāo)準(zhǔn)形式矛盾?！绢}干5】在凸優(yōu)化中，若目標(biāo)函數(shù)f(x)是凸函數(shù)，約束集合為凸集，則該優(yōu)化問(wèn)題的可行解集（）【選項(xiàng)】A.必然為空集B.必然存在唯一最優(yōu)解C.是凸集D.可能存在多個(gè)局部最優(yōu)解【參考答案】C【詳細(xì)解析】凸優(yōu)化問(wèn)題的可行解集是凸集（選項(xiàng)C），這是凸優(yōu)化理論的核心性質(zhì)之一。選項(xiàng)B錯(cuò)誤因凸函數(shù)可能有無(wú)限多全局最優(yōu)解（如線性規(guī)劃），選項(xiàng)D違反凸優(yōu)化特性，選項(xiàng)A無(wú)普遍性?！绢}干6】隨機(jī)梯度下降（SGD）相比批量梯度下降，其方差較大的主要原因是（）【選項(xiàng)】A.更小的批量樣本B.更頻繁的參數(shù)更新C.隨機(jī)初始化D.更大的學(xué)習(xí)率【參考答案】B【詳細(xì)解析】SGD因每次更新僅使用單個(gè)樣本梯度，導(dǎo)致參數(shù)更新方向隨機(jī)性增強(qiáng)（選項(xiàng)B）。選項(xiàng)A錯(cuò)誤因小批量反而降低方差，選項(xiàng)C與初始化無(wú)關(guān)，選項(xiàng)D過(guò)大的學(xué)習(xí)率會(huì)導(dǎo)致不穩(wěn)定而非方差問(wèn)題?！绢}干7】在求解非線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，若目標(biāo)函數(shù)是嚴(yán)格凸函數(shù)且約束集為凸集，則該問(wèn)題（）【選項(xiàng)】A.必然存在唯一全局最優(yōu)解B.可能存在多個(gè)全局最優(yōu)解C.無(wú)有限最優(yōu)解D.需要特殊算法求解【參考答案】A【詳細(xì)解析】嚴(yán)格凸函數(shù)在凸集約束下具有唯一全局最優(yōu)解（選項(xiàng)A）。選項(xiàng)B錯(cuò)誤因嚴(yán)格凸性排除了多解可能，選項(xiàng)C違背凸優(yōu)化基本性質(zhì)，選項(xiàng)D不成立因常規(guī)方法即可求解。【題干8】針對(duì)目標(biāo)函數(shù)f(x)=x^4-4x^3+6x^2，其Hessian矩陣在x=1處為（）【選項(xiàng)】A.0B.正定C.半正定D.負(fù)定【參考答案】C【詳細(xì)解析】計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)：f''(x)=12x2-24x+12，在x=1時(shí)f''(1)=0，此時(shí)Hessian矩陣（單變量即二階導(dǎo)數(shù)）為0，屬于半正定（選項(xiàng)C）。選項(xiàng)B錯(cuò)誤因二階導(dǎo)數(shù)為0不滿足正定，選項(xiàng)D明顯矛盾?！绢}干9】在優(yōu)化算法中，動(dòng)量法（Momentum）通過(guò)引入動(dòng)量項(xiàng)緩解（）問(wèn)題【選項(xiàng)】A.梯度方向震蕩B.局部最優(yōu)陷入C.約束條件violationD.學(xué)習(xí)率選擇困難【參考答案】A【詳細(xì)解析】動(dòng)量法通過(guò)累積歷史梯度方向（動(dòng)量項(xiàng)）抑制震蕩（選項(xiàng)A），例如Nesterov加速梯度下降（NAG）更優(yōu)。選項(xiàng)B錯(cuò)誤因動(dòng)量法增強(qiáng)收斂穩(wěn)定性而非直接解決局部最優(yōu)，選項(xiàng)C與動(dòng)量無(wú)關(guān)，選項(xiàng)D屬于學(xué)習(xí)率調(diào)度問(wèn)題?！绢}干10】對(duì)于約束優(yōu)化問(wèn)題minf(x)s.t.h(x)=0，若使用拉格朗日乘數(shù)法，則極值點(diǎn)需滿足（）【選項(xiàng)】A.?f=0B.?f=λ?hC.h(x)=0且λ≥0D.f(x)≤0【參考答案】B【詳細(xì)解析】拉格朗日條件要求梯度關(guān)系?f=λ?h（選項(xiàng)B），同時(shí)約束條件h(x)=0自動(dòng)滿足。選項(xiàng)A僅適用于無(wú)約束極值，選項(xiàng)C錯(cuò)誤因等式約束的λ無(wú)符號(hào)限制，選項(xiàng)D是錯(cuò)誤約束形式?！绢}干11】在凸優(yōu)化中，函數(shù)f(x)的共軛函數(shù)f*(y)的定義為（）【選項(xiàng)】A.inf_x{y^Tx-f(x)}B.sup_x{y^Tx+f(x)}C.max_x{y^Tx+f(x)}D.min_x{y^Tx-f(x)}【參考答案】A【詳細(xì)解析】共軛函數(shù)定義為f*(y)=inf_x{y^Tx-f(x)}（選項(xiàng)A），用于對(duì)偶理論構(gòu)建。選項(xiàng)B和C中sup和max不匹配inf，選項(xiàng)D符號(hào)錯(cuò)誤?！绢}干12】針對(duì)目標(biāo)函數(shù)f(x)=|x|，其在x=0處（）【選項(xiàng)】A.可導(dǎo)且為極小值B.不可導(dǎo)但為極小值C.可導(dǎo)且為極大值D.不可導(dǎo)且非極值【參考答案】B【詳細(xì)解析】f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo)（左導(dǎo)-1，右導(dǎo)1），但此處是全局極小值（選項(xiàng)B）。選項(xiàng)A錯(cuò)誤因不可導(dǎo)，選項(xiàng)C和D違反極值存在性。【題干13】在求解二次規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，若目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)且約束為線性，則其KKT條件在極值點(diǎn)處（）【選項(xiàng)】A.必然嚴(yán)格滿足B.可能不唯一C.需要驗(yàn)證正定性D.自動(dòng)滿足【參考答案】D【詳細(xì)解析】二次規(guī)劃滿足KKT條件自動(dòng)成立（選項(xiàng)D），因其凸性保證極值點(diǎn)同時(shí)滿足一階必要條件。選項(xiàng)A錯(cuò)誤因可能存在弱凸性，選項(xiàng)B和C無(wú)必要?！绢}干14】針對(duì)約束優(yōu)化問(wèn)題minf(x)s.t.g(x)≤0，當(dāng)約束在極值點(diǎn)處緊繃時(shí)（g(x)=0），其KKT條件需額外滿足（）【選項(xiàng)】A.?g與?f正交B.λ≥0C.g(x)=0D.?f=λ?g【參考答案】D【詳細(xì)解析】緊繃約束要求梯度關(guān)系?f=λ?g（選項(xiàng)D），同時(shí)λ≥0。選項(xiàng)A錯(cuò)誤因正交條件對(duì)應(yīng)約束等式而非不等式，選項(xiàng)B是伴隨乘子條件，選項(xiàng)C是緊繃結(jié)果而非KKT條件。【題干15】在優(yōu)化算法中，擬牛頓法（如BFGS）通過(guò)近似Hessian矩陣實(shí)現(xiàn)（）【選項(xiàng)】A.減少內(nèi)存占用B.加速收斂速度C.簡(jiǎn)化計(jì)算復(fù)雜度D.實(shí)現(xiàn)稀疏存儲(chǔ)【參考答案】B【詳細(xì)解析】BFGS通過(guò)近似Hessian矩陣（選項(xiàng)B）以更快的收斂速度替代精確計(jì)算，內(nèi)存復(fù)雜度為O(n2)導(dǎo)致選項(xiàng)A錯(cuò)誤，計(jì)算復(fù)雜度仍為O(n3)而非選項(xiàng)C，選項(xiàng)D不適用因近似矩陣通常非稀疏。【題干16】針對(duì)目標(biāo)函數(shù)f(x)=x^3，其在x=0處（）【選項(xiàng)】A.是局部極小值B.是全局極小值C.不可導(dǎo)D.不是極值【參考答案】D【詳細(xì)解析】f(x)=x^3在x=0處導(dǎo)數(shù)為0但非極值（選項(xiàng)D），因左側(cè)遞減右側(cè)遞增。選項(xiàng)A和B錯(cuò)誤因極值不存在，選項(xiàng)C錯(cuò)誤因可導(dǎo)?！绢}干17】在約束優(yōu)化中，若目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)且約束集為凸集，則該問(wèn)題的極值點(diǎn)（）【選項(xiàng)】A.必然唯一B.可能不唯一C.一定在邊界D.一定在內(nèi)部【參考答案】A【詳細(xì)解析】凸優(yōu)化問(wèn)題的極值點(diǎn)必為全局最優(yōu)且唯一（選項(xiàng)A）。選項(xiàng)B錯(cuò)誤因凸性排除了多解可能，選項(xiàng)C和D無(wú)普遍性（最優(yōu)解可在邊界或內(nèi)部）?！绢}干18】針對(duì)約束優(yōu)化問(wèn)題minf(x)s.t.g(x)≤0，當(dāng)約束不緊繃時(shí)（g(x)<0），其KKT條件中的伴隨乘子λ（）【選項(xiàng)】A.必須為0B.可能為任意非負(fù)數(shù)C.必須大于0D.必須小于0【參考答案】A【詳細(xì)解析】當(dāng)約束不緊繃時(shí)，伴隨乘子λ必須為0（選項(xiàng)A），否則違反KKT互補(bǔ)條件（λ·g(x)=0）。選項(xiàng)B錯(cuò)誤因存在緊繃約束時(shí)λ可非零，選項(xiàng)C和D違反非負(fù)性?！绢}干19】在優(yōu)化算法中，共軛梯度法（CG）適用于（）【選項(xiàng)】A.稀疏Hessian矩陣B.非凸目標(biāo)函數(shù)C.約束優(yōu)化問(wèn)題D.大規(guī)模隨機(jī)梯度下降【參考答案】A【詳細(xì)解析】共軛梯度法通過(guò)共軛方向迭代解決具有稀疏Hessian矩陣的問(wèn)題（選項(xiàng)A），因可高效計(jì)算方向。選項(xiàng)B錯(cuò)誤因CG要求目標(biāo)函數(shù)可微且凸，選項(xiàng)C需要專用方法如內(nèi)點(diǎn)法，選項(xiàng)D更適合隨機(jī)優(yōu)化算法?！绢}干20】針對(duì)約束優(yōu)化問(wèn)題minf(x)s.t.h(x)=c，其拉格朗日函數(shù)為（）【選項(xiàng)】A.L=f(x)-λ(h(x)-c)B.L=f(x)+λ(h(x)-c)C.L=f(x)-λ(h(x)+c)D.L=f(x)+λ(c-h(x))【參考答案】A【詳細(xì)解析】標(biāo)準(zhǔn)拉格朗日函數(shù)形式為L(zhǎng)=f(x)-λ(h(x)-c)（選項(xiàng)A），負(fù)號(hào)確保當(dāng)約束h(x)=c時(shí)乘子λ可正可負(fù)。選項(xiàng)B錯(cuò)誤因符號(hào)導(dǎo)致極值條件相反，選項(xiàng)C和D存在符號(hào)或約束形式錯(cuò)誤。2025年知識(shí)競(jìng)賽-LA優(yōu)化知識(shí)歷年參考題庫(kù)含答案解析(篇2)【題干1】拉格朗日乘數(shù)法求解約束優(yōu)化問(wèn)題的必要條件是()【選項(xiàng)】A.梯度?f=λ?gB.梯度?f=λ?g+μ?hC.梯度?f=0D.約束條件g(x)=0【參考答案】C【詳細(xì)解析】拉格朗日乘數(shù)法在無(wú)約束優(yōu)化中直接要求梯度為零，而約束條件下的必要條件需結(jié)合乘子展開(kāi)。選項(xiàng)A和B引入了約束條件的梯度但未考慮乘子與約束的平衡，選項(xiàng)D僅強(qiáng)調(diào)約束條件成立，均不符合必要條件。梯度?f=0是約束優(yōu)化問(wèn)題中極值點(diǎn)的必要條件，需結(jié)合KKT條件進(jìn)一步驗(yàn)證?！绢}干2】凸優(yōu)化問(wèn)題中，目標(biāo)函數(shù)f(x)為凸函數(shù)且約束集合為凸集，則該問(wèn)題為()【選項(xiàng)】A.嚴(yán)格凸B.弱凸C.非凸D.可微凸【參考答案】B【詳細(xì)解析】凸優(yōu)化問(wèn)題的核心是目標(biāo)函數(shù)和約束集均為凸集。選項(xiàng)A"嚴(yán)格凸"要求二階導(dǎo)數(shù)正定，但題目未提及嚴(yán)格性；選項(xiàng)C和D與凸性無(wú)關(guān)。弱凸（convex）是基本定義，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)連續(xù)可微且約束集為凸集時(shí)，問(wèn)題即為弱凸優(yōu)化?！绢}干3】在約束優(yōu)化問(wèn)題minf(x)s.t.h(x)≤0中，拉格朗日函數(shù)應(yīng)構(gòu)造為()【選項(xiàng)】A.L=f(x)+λh(x)B.L=f(x)-λh(x)C.L=f(x)+λ(h(x)+1)D.L=f(x)+λ(h(x)-1)【參考答案】A【詳細(xì)解析】構(gòu)造拉格朗日函數(shù)時(shí)，不等式約束h(x)≤0需通過(guò)λ≥0的乘子處理。選項(xiàng)B符號(hào)錯(cuò)誤導(dǎo)致乘子非負(fù)性失效，選項(xiàng)C和D引入常數(shù)項(xiàng)改變約束本質(zhì)。標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造為L(zhǎng)=f(x)+λh(x)，需驗(yàn)證λ≥0及互補(bǔ)松弛條件?！绢}干4】梯度下降法收斂的充分條件是()【選項(xiàng)】A.目標(biāo)函數(shù)可導(dǎo)B.目標(biāo)函數(shù)強(qiáng)凸C.約束集為凸集D.目標(biāo)函數(shù)Lipschitz連續(xù)【參考答案】D【詳細(xì)解析】梯度下降收斂性主要依賴目標(biāo)函數(shù)的Lipschitz連續(xù)性（梯度有界），而非凸性。選項(xiàng)B強(qiáng)凸是充分條件但非必要，選項(xiàng)A可導(dǎo)是基礎(chǔ)要求而非充分條件，選項(xiàng)C約束集凸性影響收斂速度而非收斂性本身?！绢}干5】KKT條件在凸優(yōu)化問(wèn)題中的等價(jià)性要求()【選項(xiàng)】A.僅必要條件B.僅充分條件C.必要且充分D.非凸問(wèn)題才成立【參考答案】C【詳細(xì)解析】對(duì)于凸優(yōu)化問(wèn)題，KKT條件不僅是必要條件，還是充分條件。選項(xiàng)A和B割裂了必要與充分性，選項(xiàng)D混淆了凸性與KKT適用范圍。特別當(dāng)目標(biāo)函數(shù)可微且約束連續(xù)可微時(shí)，KKT條件成為充要條件?！绢}干6】凸函數(shù)f(x)的極小點(diǎn)必位于()【選項(xiàng)】A.約束邊界B.可行域內(nèi)部C.凸集頂點(diǎn)D.梯度零點(diǎn)【參考答案】B【詳細(xì)解析】凸函數(shù)的極小點(diǎn)若在可行域內(nèi)部則全局最優(yōu)，若在邊界則可能為局部最優(yōu)。選項(xiàng)A錯(cuò)誤因邊界點(diǎn)可能非極值，選項(xiàng)C頂點(diǎn)概念不適用于無(wú)限維空間，選項(xiàng)D梯度零點(diǎn)僅是必要條件而非充分條件?！绢}干7】二次規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式為()【選項(xiàng)】A.minx^TQxs.t.Ax=bB.minc^Txs.t.Ax≤bC.minx^TQxs.t.Ax≤bD.minc^Txs.t.Ax=b【參考答案】C【詳細(xì)解析】二次規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)形式包含二次目標(biāo)函數(shù)和線性約束。選項(xiàng)A缺少線性項(xiàng)c^Tx，選項(xiàng)B和D目標(biāo)函數(shù)為線性。選項(xiàng)C正確包含二次項(xiàng)和線性約束，符合標(biāo)準(zhǔn)定義?！绢}干8】在約束優(yōu)化中，當(dāng)h(x)=0時(shí)，拉格朗日乘子λ的取值()【選項(xiàng)】A.必須為正B.必須為負(fù)C.可以為零D.與約束無(wú)關(guān)【參考答案】C【詳細(xì)解析】對(duì)于等式約束h(x)=0，拉格朗日乘子λ無(wú)非負(fù)限制，但需滿足互補(bǔ)松弛條件λh(x)=0。當(dāng)h(x)=0時(shí)，λ可取任意實(shí)數(shù)，但需配合KKT條件驗(yàn)證極值點(diǎn)。選項(xiàng)A和B限制乘子符號(hào)錯(cuò)誤，選項(xiàng)D忽略約束關(guān)系?！绢}干9】梯度下降法在強(qiáng)凸函數(shù)上的收斂速度為()【選項(xiàng)】A.O(1/k)B.O(1/k^2)C.O(1/√k)D.O(k)【參考答案】B【詳細(xì)解析】強(qiáng)凸函數(shù)下，梯度下降最優(yōu)步長(zhǎng)迭代收斂速度為O(1/k2)，這是最優(yōu)的理論下界。選項(xiàng)A是普通凸函數(shù)的收斂速度，選項(xiàng)C適用于隨機(jī)梯度下降，選項(xiàng)D是錯(cuò)誤增長(zhǎng)趨勢(shì)。【題干10】對(duì)偶問(wèn)題與原問(wèn)題的強(qiáng)對(duì)偶性成立的條件是()【選項(xiàng)】A.目標(biāo)函數(shù)可微B.約束集為凸集C.原問(wèn)題可行D.目標(biāo)函數(shù)強(qiáng)凸【參考答案】D【詳細(xì)解析】強(qiáng)對(duì)偶性要求原問(wèn)題可行且目標(biāo)函數(shù)強(qiáng)凸，約束為凸集。選項(xiàng)B和C是必要條件而非充分條件，選項(xiàng)A可微是基礎(chǔ)要求。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)強(qiáng)凸且約束凸集時(shí)，對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解與原問(wèn)題一致?！绢}干11】約束優(yōu)化問(wèn)題中，當(dāng)梯度?f=λ?g且λ≥0時(shí)()【選項(xiàng)】A.一定達(dá)到極小值B.可能達(dá)到極大值C.必然滿足KKT條件D.僅當(dāng)g(x)=0時(shí)成立【參考答案】C【詳細(xì)解析】KKT條件包含梯度關(guān)系、乘子非負(fù)、互補(bǔ)松弛三部分。選項(xiàng)A和B忽略約束條件驗(yàn)證，選項(xiàng)D錯(cuò)誤限定等式約束。當(dāng)?f=λ?g且λ≥0時(shí)，若同時(shí)滿足g(x)≤0和λg(x)=0，則構(gòu)成KKT必要條件?！绢}干12】凸集的任意有限點(diǎn)集的凸組合仍屬于該凸集()【選項(xiàng)】A.正確B.錯(cuò)誤C.取決于具體函數(shù)D.僅當(dāng)點(diǎn)集連續(xù)時(shí)【參考答案】A【詳細(xì)解析】凸集的定義即任意兩點(diǎn)連線上的點(diǎn)都屬于該集，推廣到有限點(diǎn)集的凸組合同樣成立。選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C和D混淆了凸集與凸函數(shù)概念。該性質(zhì)是凸集的基本特征，與點(diǎn)集數(shù)量無(wú)關(guān)。【題干13】梯度下降法在非凸函數(shù)上的收斂性()【選項(xiàng)】A.保證全局收斂B.保證局部收斂C.可能發(fā)散D.僅當(dāng)函數(shù)可導(dǎo)時(shí)收斂【參考答案】C【詳細(xì)解析】非凸函數(shù)梯度下降可能發(fā)散或陷入局部極值，但若函數(shù)連續(xù)可微且步長(zhǎng)選擇適當(dāng)，仍可收斂到局部最優(yōu)。選項(xiàng)A錯(cuò)誤因無(wú)法保證全局性，選項(xiàng)B不嚴(yán)謹(jǐn)，選項(xiàng)D忽略收斂條件?！绢}干14】約束優(yōu)化問(wèn)題中，若目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)且約束集為凸集()【選項(xiàng)】A.必存在唯一最優(yōu)解B.可能無(wú)解C.解集為凸集D.以上均正確【參考答案】D【詳細(xì)解析】凸優(yōu)化問(wèn)題解集為凸集，若可行域非空且目標(biāo)函數(shù)嚴(yán)格凸，則存在唯一最優(yōu)解。選項(xiàng)A僅在嚴(yán)格凸時(shí)成立，選項(xiàng)B排除可行域存在的情況，選項(xiàng)C正確但非全部結(jié)論，選項(xiàng)D全面涵蓋正確選項(xiàng)?！绢}干15】對(duì)偶函數(shù)g(λ)=sup_x{f(x)-λg(x)}的極小值()【選項(xiàng)】A.總小于原問(wèn)題極小值B.等于原問(wèn)題極小值C.可能大于原問(wèn)題極小值D.僅當(dāng)λ≥0時(shí)成立【參考答案】C【詳細(xì)解析】對(duì)偶函數(shù)g(λ)的極小值弱于原問(wèn)題最優(yōu)值，即g(λ)≤inf_xf(x)。當(dāng)強(qiáng)對(duì)偶成立時(shí)取等號(hào)，但一般情況下可能存在差距。選項(xiàng)A錯(cuò)誤因可能等于，選項(xiàng)B僅當(dāng)強(qiáng)對(duì)偶成立，選項(xiàng)D限制λ范圍不正確?！绢}干16】正定矩陣Q保證二次函數(shù)f(x)=1/2x^TQx+c^Tx是()【選項(xiàng)】A.凹函數(shù)B.凸函數(shù)C.嚴(yán)格凸函數(shù)D.非凸函數(shù)【參考答案】C【詳細(xì)解析】正定矩陣Q使得二次函數(shù)半正定，且當(dāng)Q正定時(shí)嚴(yán)格正定，故函數(shù)嚴(yán)格凸。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B未強(qiáng)調(diào)嚴(yán)格性，選項(xiàng)D明顯錯(cuò)誤?！绢}干17】約束優(yōu)化中，當(dāng)h(x)≤0且λ≥0時(shí)，互補(bǔ)松弛條件為()【選項(xiàng)】A.λh(x)=0B.λ≥h(x)C.λh(x)≥0D.h(x)=λ【參考答案】A【詳細(xì)解析】互補(bǔ)松弛條件要求λ≥0且λh(x)=0，即當(dāng)約束未激活時(shí)乘子為零，激活時(shí)乘子非零。選項(xiàng)B和C不符合互補(bǔ)關(guān)系，選項(xiàng)D錯(cuò)誤建立乘子與約束的關(guān)系?！绢}干18】梯度投影法適用于()【選項(xiàng)】A.無(wú)約束優(yōu)化B.凸約束優(yōu)化C.非凸約束優(yōu)化D.線性約束優(yōu)化【參考答案】B【詳細(xì)解析】梯度投影法通過(guò)在可行域內(nèi)投影梯度，適用于凸約束優(yōu)化，因凸集投影保證算法穩(wěn)定性。選項(xiàng)A忽略約束，選項(xiàng)C非凸約束投影不唯一，選項(xiàng)D僅是子集?！绢}干19】凸優(yōu)化問(wèn)題的KKT條件是()【選項(xiàng)】A.充分必要條件B.必要非充分條件C.充分非必要條件D.僅對(duì)等式約束成立【參考答案】A【詳細(xì)解析】凸優(yōu)化問(wèn)題中，KKT條件既是必要條件也是充分條件，這是凸分析的重要結(jié)論。選項(xiàng)B和C割裂必要與充分性，選項(xiàng)D錯(cuò)誤限定為等式約束?！绢}干20】約束優(yōu)化問(wèn)題中，當(dāng)梯度?f=0且λ≥0時(shí)()【選項(xiàng)】A.必定達(dá)到最優(yōu)B.可能為鞍點(diǎn)C.需驗(yàn)證約束條件D.僅當(dāng)可行域有界時(shí)【參考答案】C【詳細(xì)解析】梯度為零僅是必要條件，需結(jié)合約束條件驗(yàn)證是否為最優(yōu)解。選項(xiàng)A和B忽略約束影響，選項(xiàng)D限制不必要。即使可行域無(wú)界，梯度零點(diǎn)仍需通過(guò)二階條件或約束分析確認(rèn)。2025年知識(shí)競(jìng)賽-LA優(yōu)化知識(shí)歷年參考題庫(kù)含答案解析(篇3)【題干1】在LA優(yōu)化中，單純形法迭代過(guò)程中檢驗(yàn)數(shù)（Zj）全部≤0時(shí)，表明當(dāng)前解為最優(yōu)解。【選項(xiàng)】A.正確；B.錯(cuò)誤【參考答案】B【詳細(xì)解析】檢驗(yàn)數(shù)全部≤0僅說(shuō)明目標(biāo)函數(shù)無(wú)下降空間，但若存在非基變量為0的退化情況，可能無(wú)法直接判定最優(yōu)解，需結(jié)合其他條件分析?！绢}干2】對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)原問(wèn)題的影子價(jià)格，其經(jīng)濟(jì)含義是資源增加1單位時(shí)目標(biāo)函數(shù)的增量?！具x項(xiàng)】A.正確；B.錯(cuò)誤【參考答案】A【詳細(xì)解析】影子價(jià)格（對(duì)偶變量）的確表示資源約束的邊際價(jià)值，即每增加1單位資源可帶來(lái)的最大目標(biāo)函數(shù)提升值，但需注意僅在線性規(guī)劃可行域非空且存在有限最優(yōu)解時(shí)成立?！绢}干3】整數(shù)規(guī)劃中，當(dāng)變量允許取0和1時(shí)，該問(wèn)題屬于0-1整數(shù)規(guī)劃，其松弛問(wèn)題（即松弛變量取連續(xù)值）的最優(yōu)解可能包含分?jǐn)?shù)解?！具x項(xiàng)】A.正確；B.錯(cuò)誤【參考答案】A【詳細(xì)解析】松弛變量本身為連續(xù)變量，在松弛問(wèn)題中允許分?jǐn)?shù)解，但0-1整數(shù)規(guī)劃要求決策變量必須為0或1，松弛問(wèn)題與原問(wèn)題存在解集包含關(guān)系?！绢}干4】目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變化范圍分析中，若c_j變化Δc_j，當(dāng)|Δc_j|≤σ_j時(shí)，原最優(yōu)解不變（σ_j為當(dāng)前檢驗(yàn)數(shù)）?！具x項(xiàng)】A.正確；B.錯(cuò)誤【參考答案】A【詳細(xì)解析】檢驗(yàn)數(shù)σ_j=c_j-Zj，當(dāng)c_j變化Δc_j導(dǎo)致新檢驗(yàn)數(shù)σ'_j=σ_j+Δc_j≤0時(shí)，最優(yōu)基不變，但需滿足所有非基變量檢驗(yàn)數(shù)仍非負(fù)，該范圍分析為充分條件?！绢}干5】靈敏度分析中，約束條件右邊值（b_i）變化Δb_i時(shí)，若原最優(yōu)基可行解仍可行，則影子價(jià)格（y_i）保持不變?！具x項(xiàng)】A.正確；B.錯(cuò)誤【參考答案】B【詳細(xì)解析】影子價(jià)格（對(duì)偶變量）僅與當(dāng)前基對(duì)應(yīng)的約束條件系數(shù)矩陣B有關(guān)，與b_i無(wú)關(guān)，但若Δb_i導(dǎo)致原最優(yōu)解不可行，需重新計(jì)算影子價(jià)格?！绢}干6】對(duì)偶單純形法迭代中，若存在多個(gè)檢驗(yàn)數(shù)≥0，應(yīng)選擇其中最大的檢驗(yàn)數(shù)對(duì)應(yīng)的列進(jìn)行換基?！具x項(xiàng)】A.正確；B.錯(cuò)誤【參考答案】B【詳細(xì)解析】對(duì)偶單純形法要求保持所有檢驗(yàn)數(shù)≤0，當(dāng)存在多個(gè)檢驗(yàn)數(shù)≥0時(shí)，應(yīng)選擇其中最小的檢驗(yàn)數(shù)對(duì)應(yīng)的列（或最大行系數(shù)比），而非最大值，需避免目標(biāo)函數(shù)值上升?！绢}干7】運(yùn)輸問(wèn)題中，若所有運(yùn)輸量的和等于所有供應(yīng)量的和，則該問(wèn)題為平衡運(yùn)輸問(wèn)題，否則需通過(guò)添加dummy倉(cāng)庫(kù)或需求點(diǎn)實(shí)現(xiàn)平衡?！具x項(xiàng)】A.正確；B.錯(cuò)誤【參考答案】A【詳細(xì)解析】平衡運(yùn)輸問(wèn)題的必要條件是總供應(yīng)量等于總需求量，不平衡時(shí)可添加虛擬節(jié)點(diǎn)（供應(yīng)量為0）或虛擬需求點(diǎn)（需求量為0），通過(guò)設(shè)置運(yùn)價(jià)系數(shù)為M（極大值）實(shí)現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化?！绢}干8】在目標(biāo)函數(shù)為max化的線性規(guī)劃中，若某非基變量的檢驗(yàn)數(shù)σ_j>0，則該變量進(jìn)入基向量會(huì)使得目標(biāo)函數(shù)值增加?！具x項(xiàng)】A.正確；B.錯(cuò)誤【參考答案】A【詳細(xì)解析】檢驗(yàn)數(shù)σ_j=c_j-Zj，當(dāng)σ_j>0時(shí)，增加該非基變量會(huì)提升目標(biāo)函數(shù)值，但需通過(guò)樞軸運(yùn)算調(diào)整基變量組合，確保解仍為可行解。【題干9】若線性規(guī)劃問(wèn)題的系數(shù)矩陣B為對(duì)角矩陣，則其對(duì)偶問(wèn)題中對(duì)應(yīng)的部分約束條件為等式約束?！具x項(xiàng)】A.正確；B.錯(cuò)誤【參考答案】A【詳細(xì)解析】對(duì)偶問(wèn)題中，若原問(wèn)題約束為≤型且系數(shù)矩陣B為對(duì)角矩陣（即各約束僅含一個(gè)變量），則對(duì)應(yīng)對(duì)偶變量y_i無(wú)非負(fù)限制，但若原約束為等式（=），則對(duì)偶變量y_i必須非負(fù)?！绢}干10】在單純形表中，若某行的基變量列系數(shù)全為0，則說(shuō)明存在多重最優(yōu)解?！具x項(xiàng)】A.正確；B.錯(cuò)誤【參考答案】B【詳細(xì)解析】該情況表明當(dāng)前基可行解可能退化為多個(gè)頂點(diǎn)解的交集，但需同時(shí)存在另一行存在非零檢驗(yàn)數(shù)，才能通過(guò)樞軸運(yùn)算得到其他最優(yōu)解，單純存在零行無(wú)法直接判定多重最優(yōu)?！绢}干11】0-1背包問(wèn)題的最優(yōu)解可通過(guò)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法在O(nW)時(shí)間復(fù)雜度內(nèi)求解，其中W為物品總重量上限?！具x項(xiàng)】A.正確；B.錯(cuò)誤【選項(xiàng)】A.正確；B.錯(cuò)誤【參考答案】A【詳細(xì)解析】動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法通過(guò)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程dp[j][i]=max(dp[j][i-1],dp[j-wi][i-1]+vi)（j為剩余容量，i為物品序號(hào)），時(shí)間復(fù)雜度為O(Wn)，空間復(fù)雜度可優(yōu)化為O(W)?！绢}干12】靈敏度分析中，若目標(biāo)函數(shù)中非基變量c_j的允許變化范圍為[-M,M]，則說(shuō)明該變量對(duì)目標(biāo)函數(shù)無(wú)影響。【選項(xiàng)】A.正確；B.錯(cuò)誤【參考答案】B【詳細(xì)解析】允許變化范圍反映的是c_j變化導(dǎo)致原最優(yōu)基不變的范圍，若范圍包含0，說(shuō)明c_j在0附近變化不會(huì)改變最優(yōu)基，但非零變化仍可能影響解，需結(jié)合具體σ_j判斷?！绢}干13】在單純形法迭代中，若基變量列存在全零行，則說(shuō)明已達(dá)到最優(yōu)解?！具x項(xiàng)】A.正確；B.錯(cuò)誤【選項(xiàng)】A.正確；B.錯(cuò)誤【參考答案】B【詳細(xì)解析】全零行僅表明當(dāng)前基對(duì)應(yīng)的約束條件冗余，不改變檢驗(yàn)數(shù)符號(hào)，需結(jié)合檢驗(yàn)數(shù)是否全≤0（max問(wèn)題）判斷是否最優(yōu)，若存在σ_j>0仍需迭代?！绢}干14】若運(yùn)輸問(wèn)題的最優(yōu)解中存在非基變量（即非運(yùn)輸量），則該非基變量對(duì)應(yīng)的影子價(jià)格（運(yùn)價(jià)）為0?！具x項(xiàng)】A.正確；B.錯(cuò)誤【參考答案】A【詳細(xì)解析】運(yùn)輸問(wèn)題的對(duì)偶變量即影子價(jià)格，非基變量對(duì)應(yīng)的約束條件在最優(yōu)解中松弛量為0，故其影子價(jià)格為0，表示增加該運(yùn)輸量不會(huì)改變總成本?！绢}干15】整數(shù)規(guī)劃分支定界法中，若當(dāng)前上界≤下界，則直接剪枝該分支，無(wú)需繼續(xù)搜索子樹(shù)?！具x項(xiàng)】A.正確；B.錯(cuò)誤【參考答案】A【詳細(xì)解析】分支定界法的剪枝條件為：當(dāng)上界（如完全松弛問(wèn)題的解）≤下界（已找到的最優(yōu)整數(shù)解值）時(shí)，該分支無(wú)可能改善當(dāng)前最優(yōu)解，可直接剪枝?！绢}干16】對(duì)偶單純形法每次迭代至少減少一個(gè)基變量值，從而逐步逼近最優(yōu)解。【選項(xiàng)】A.正確；B.錯(cuò)誤【參考答案】A【詳細(xì)解析】對(duì)偶單純形法通過(guò)處理primalinfeasibility（基變量為負(fù)），每次樞軸運(yùn)算確保至少一個(gè)基變量變?yōu)榉秦?fù)，同時(shí)保持所有檢驗(yàn)數(shù)≤0，直至所有基變量非負(fù)，達(dá)到primalfeasibility?！绢}干17】在目標(biāo)函數(shù)為min化的線性規(guī)劃中，若某檢驗(yàn)數(shù)σ_j<0，則增加該非基變量會(huì)導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)值減少。【選項(xiàng)】A.正確；B.錯(cuò)誤【參考答案】A【詳細(xì)解析】對(duì)于min問(wèn)題，檢驗(yàn)數(shù)σ_j=c_j-Zj，當(dāng)σ_j<0時(shí)，增加非基變量會(huì)降低目標(biāo)函數(shù)值（因c_j<Zj），但需通過(guò)樞軸運(yùn)算調(diào)整基變量，確保解仍為可行解?！绢}干18】靈敏度分析中，若約束條件右邊值b_i的允許變化范圍為[Δb_i低,Δb_i高]，則當(dāng)b_i變化超出該范圍時(shí)，原最優(yōu)基可行解不再可行。【選項(xiàng)】A.正確；B.錯(cuò)誤【參考答案】A【詳細(xì)解析】允許變化范圍反映的是當(dāng)前基可行解仍可行的Δb_i臨界值，超過(guò)該范圍會(huì)導(dǎo)致基變量中出現(xiàn)負(fù)值（primalinfeasibility），需重新求解。【題干19】0-1背包問(wèn)題中，若物品按價(jià)值/重量比從大到小排序后選擇，則一定得到最優(yōu)解?！具x項(xiàng)】A.正確；B.錯(cuò)誤【參考答案】B【詳細(xì)解析】貪心算法僅適用于特定情況（如背包容量無(wú)限或物品重量為0或1），一般情況下需通過(guò)動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解，否則可能遺漏最優(yōu)組合?！绢}干20】對(duì)偶問(wèn)題中，若原問(wèn)題存在可行解但無(wú)有限最優(yōu)解，則對(duì)偶問(wèn)題必然無(wú)可行解?！具x項(xiàng)】A.正確；B.錯(cuò)誤【參考答案】A【詳細(xì)解析】根據(jù)對(duì)偶理論，若原問(wèn)題（P）無(wú)有限最優(yōu)解，則對(duì)偶問(wèn)題（D）無(wú)可行解；若原問(wèn)題可行但無(wú)界，則對(duì)偶問(wèn)題不可行，該結(jié)論為對(duì)偶理論的核心內(nèi)容之一。2025年知識(shí)競(jìng)賽-LA優(yōu)化知識(shí)歷年參考題庫(kù)含答案解析(篇4)【題干1】在LA優(yōu)化中，對(duì)偶問(wèn)題的對(duì)稱性要求是指當(dāng)原問(wèn)題為max（c^Tx）且約束為Ax≤b時(shí)，其對(duì)偶問(wèn)題為min（b^Ty）且y≥0。以下哪種說(shuō)法正確？【選項(xiàng)】A.對(duì)偶問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)與原問(wèn)題一致B.對(duì)偶問(wèn)題的約束條件與原問(wèn)題對(duì)稱C.對(duì)偶變量y對(duì)應(yīng)原問(wèn)題約束的松弛變量D.對(duì)稱性僅在原問(wèn)題可行時(shí)成立【參考答案】D【詳細(xì)解析】選項(xiàng)D正確。對(duì)偶問(wèn)題的對(duì)稱性要求原問(wèn)題與對(duì)偶問(wèn)題在形式上保持嚴(yán)格對(duì)應(yīng)關(guān)系，但對(duì)稱性并非必然成立。例如，當(dāng)原問(wèn)題不可行時(shí)，對(duì)偶問(wèn)題可能無(wú)界或不可行，此時(shí)對(duì)稱性不成立。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)偶目標(biāo)函數(shù)為b^Ty而非c^Tx；選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)稱性需通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)而非直觀對(duì)應(yīng)；選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)偶變量y對(duì)應(yīng)原問(wèn)題約束的影子價(jià)格而非松弛變量?！绢}干2】互補(bǔ)松弛條件要求原問(wèn)題與對(duì)偶問(wèn)題的松弛變量滿足什么關(guān)系？【選項(xiàng)】A.同時(shí)為零或同時(shí)非零B.原問(wèn)題松弛變量為零時(shí)對(duì)偶變量非零C.對(duì)偶問(wèn)題松弛變量為零時(shí)原變量非零D.所有松弛變量必須嚴(yán)格大于零【參考答案】A【詳細(xì)解析】選項(xiàng)A正確?；パa(bǔ)松弛條件數(shù)學(xué)表達(dá)為x_i（b_i-A_ix）=0，即原問(wèn)題松弛變量x_i（對(duì)應(yīng)Ax≤b）與對(duì)偶變量y_i滿足當(dāng)x_i=0時(shí)y_i≥0，當(dāng)y_i>0時(shí)x_i=0，兩者要么同時(shí)為零，要么同時(shí)非零。選項(xiàng)B錯(cuò)誤，原問(wèn)題松弛變量為零時(shí)對(duì)偶變量可非零但非必須；選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)偶問(wèn)題無(wú)松弛變量；選項(xiàng)D錯(cuò)誤，松弛變量可為零?！绢}干3】影子價(jià)格在LA優(yōu)化中反映的是哪種資源的邊際價(jià)值？【選項(xiàng)】A.實(shí)際市場(chǎng)價(jià)格B.在最優(yōu)解時(shí)的機(jī)會(huì)成本C.約束條件右端項(xiàng)的變動(dòng)幅度D.所有資源同時(shí)變動(dòng)時(shí)的聯(lián)合成本【參考答案】B【詳細(xì)解析】選項(xiàng)B正確。影子價(jià)格（DualPrice）表示在保持原問(wèn)題最優(yōu)解可行時(shí)，約束條件右端項(xiàng)增加1個(gè)單位所引起的目標(biāo)函數(shù)值增量，本質(zhì)是資源的機(jī)會(huì)成本。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，影子價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)無(wú)關(guān)；選項(xiàng)C錯(cuò)誤，右端項(xiàng)變動(dòng)幅度需通過(guò)影子價(jià)格計(jì)算；選項(xiàng)D錯(cuò)誤，影子價(jià)格針對(duì)單一資源變動(dòng)。【題干4】對(duì)偶單純形法適用于哪種情況？【選項(xiàng)】A.原問(wèn)題初始解不可行但目標(biāo)函數(shù)可行B.對(duì)偶問(wèn)題初始解不可行但原問(wèn)題可行C.原問(wèn)題解不可行且對(duì)偶問(wèn)題解不可行D.對(duì)偶問(wèn)題解不可行但原問(wèn)題解可行【參考答案】C【詳細(xì)解析】選項(xiàng)C正確。對(duì)偶單純形法通過(guò)迭代使對(duì)偶問(wèn)題保持可行（即檢驗(yàn)數(shù)≤0），同時(shí)逐步使原問(wèn)題達(dá)到可行性。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，原問(wèn)題初始不可行時(shí)需用單純形法；選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)偶問(wèn)題不可行無(wú)法直接應(yīng)用；選項(xiàng)D錯(cuò)誤，原問(wèn)題可行時(shí)無(wú)需調(diào)整對(duì)偶解?！绢}干5】以下哪項(xiàng)是弱對(duì)偶定理的正確表述？【選項(xiàng)】A.原問(wèn)題可行解的目標(biāo)值≥對(duì)偶問(wèn)題可行解的目標(biāo)值B.原問(wèn)題不可行解的目標(biāo)值≤對(duì)偶問(wèn)題可行解的目標(biāo)值C.當(dāng)原問(wèn)題與對(duì)偶問(wèn)題均可行時(shí)，目標(biāo)值相等D.對(duì)偶問(wèn)題不可行時(shí)原問(wèn)題目標(biāo)值無(wú)界【參考答案】A【詳細(xì)解析】選項(xiàng)A正確。弱對(duì)偶定理表明，若原問(wèn)題可行解x^*和對(duì)偶問(wèn)題可行解y^*存在，則c^Tx^*≥b^Ty^*。選項(xiàng)B錯(cuò)誤，原問(wèn)題不可行解無(wú)約束關(guān)系；選項(xiàng)C錯(cuò)誤，僅當(dāng)兩者均為最優(yōu)解時(shí)目標(biāo)值相等；選項(xiàng)D錯(cuò)誤，對(duì)偶問(wèn)題不可行時(shí)原問(wèn)題可能無(wú)界或不可行?！绢}干6】在整數(shù)規(guī)劃中，互補(bǔ)松弛條件是否仍完全成立？【選項(xiàng)】A.完全成立B.部分成立C.僅在連續(xù)變量情況下成立D.僅在目標(biāo)函數(shù)為線性的情況下成立【參考答案】B【詳細(xì)解析】選項(xiàng)B正確。整數(shù)規(guī)劃中，互補(bǔ)松弛條件x_i（b_i-A_ix）=0在連續(xù)變量部分仍成立，但整數(shù)約束可能導(dǎo)致部分互補(bǔ)關(guān)系不成立。例如，當(dāng)整數(shù)變量x_j必須取整時(shí)，即使對(duì)偶變量y_j>0，x_j可能不為零但未完全利用資源。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，整數(shù)約束破壞嚴(yán)格互補(bǔ)性；選項(xiàng)C錯(cuò)誤，整數(shù)性影響所有變量；選項(xiàng)D錯(cuò)誤，約束類型更關(guān)鍵?！绢}干7】以下哪項(xiàng)是拉格朗日乘數(shù)法處理非線性約束的關(guān)鍵步驟？【選項(xiàng)】A.引入松弛變量將不等式轉(zhuǎn)化為等式B.構(gòu)造拉格朗日函數(shù)并求導(dǎo)C.通過(guò)互補(bǔ)松弛條件求解D.建立對(duì)偶單純形表迭代【參考答案】B【詳細(xì)解析】選項(xiàng)B正確。拉格朗日乘數(shù)法通過(guò)構(gòu)造L=目標(biāo)函數(shù)+λ（約束函數(shù)）并求導(dǎo)找到極值點(diǎn)，適用于非線性約束優(yōu)化。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，松弛變量用于線性規(guī)劃；選項(xiàng)C錯(cuò)誤，互補(bǔ)松弛用于線性對(duì)偶；選項(xiàng)D錯(cuò)誤，對(duì)偶單純形法為線性方法?！绢}干8】在目標(biāo)函數(shù)系數(shù)靈敏度分析中，影子價(jià)格如何影響最優(yōu)解？【選項(xiàng)】A.直接決定最優(yōu)解的可行性B.影響單純形表的檢驗(yàn)數(shù)行C.改變對(duì)偶問(wèn)題的可行性D.使原問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)無(wú)界【參考答案】B【詳細(xì)解析】選項(xiàng)B正確。目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變化導(dǎo)致檢驗(yàn)數(shù)行更新，影子價(jià)格（對(duì)偶變量）通過(guò)影子價(jià)格乘子調(diào)整檢驗(yàn)數(shù)，進(jìn)而影響最優(yōu)解的穩(wěn)定性。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，可行性由約束條件決定；選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)偶可行性與原問(wèn)題無(wú)關(guān)；選項(xiàng)D錯(cuò)誤，系數(shù)變化通常不導(dǎo)致無(wú)界?！绢}干9】以下哪項(xiàng)是單純形法與對(duì)偶單純形法的核心區(qū)別？【選項(xiàng)】A.前者保持原問(wèn)題可行迭代對(duì)偶問(wèn)題B.后者保持對(duì)偶問(wèn)題可行迭代原問(wèn)題C.前者適用于目標(biāo)函數(shù)不可行D.后者適用于約束條件不可行【參考答案】B【詳細(xì)解析】選項(xiàng)B正確。單純形法通過(guò)迭代使原問(wèn)題保持可行（基解可行），同時(shí)優(yōu)化對(duì)偶問(wèn)題；對(duì)偶單純形法則保持對(duì)偶問(wèn)題可行（檢驗(yàn)數(shù)≤0），同時(shí)調(diào)整原問(wèn)題至可行。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)偶單純形法調(diào)整原問(wèn)題；選項(xiàng)C錯(cuò)誤，單純形法處理目標(biāo)不可行需換基；選項(xiàng)D錯(cuò)誤，約束不可行時(shí)兩者均需處理。【題干10】在靈敏度分析中，若目標(biāo)函數(shù)系數(shù)c_j增加Δc，最優(yōu)解保持不變的充分條件是？【選項(xiàng)】A.Δc≤0B.Δc≥0C.Δc≤y_jD.Δc≥y_j【參考答案】C【詳細(xì)解析】選項(xiàng)C正確。根據(jù)靈敏度分析，當(dāng)c_j增加Δc時(shí)，若Δc≤y_j（對(duì)偶變量），則當(dāng)前基變量仍為最優(yōu)解。若Δc>y_j，則需重新尋優(yōu)。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，系數(shù)增加時(shí)可能保持解不變；選項(xiàng)B錯(cuò)誤，Δc≥0不保證解不變；選項(xiàng)D錯(cuò)誤，Δc≥y_j會(huì)導(dǎo)致解變化?！绢}干11】以下哪項(xiàng)是互補(bǔ)松弛條件在資源分配問(wèn)題中的實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景？【選項(xiàng)】A.確定最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃B.評(píng)估未使用資源的剩余價(jià)值C.優(yōu)化物流路徑D.計(jì)算設(shè)備利用率【參考答案】B【詳細(xì)解析】選項(xiàng)B正確?；パa(bǔ)松弛條件y_i（b_i-A_ix）=0表示當(dāng)資源i未完全使用（b_i-A_ix>0）時(shí)，其影子價(jià)格y_i=0，即該資源無(wú)剩余價(jià)值。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，生產(chǎn)計(jì)劃由原問(wèn)題解決定；選項(xiàng)C錯(cuò)誤，路徑優(yōu)化屬整數(shù)規(guī)劃；選項(xiàng)D錯(cuò)誤，設(shè)備利用率需通過(guò)原變量計(jì)算。【題干12】在LA優(yōu)化中，若原問(wèn)題無(wú)可行解，其對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解是否一定無(wú)界？【選項(xiàng)】A.一定無(wú)界B.可能無(wú)界C.一定可行D.一定不可行【參考答案】B【詳細(xì)解析】選項(xiàng)B正確。根據(jù)對(duì)偶理論，若原問(wèn)題無(wú)可行解，對(duì)偶問(wèn)題可能無(wú)界或不可行。例如，原問(wèn)題約束矛盾時(shí)，對(duì)偶問(wèn)題可能無(wú)界（如minzs.t.-x1≤-1,x1≥1，對(duì)偶為maxy1-y2s.t.y1-y2≤0，無(wú)界）。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，可能不可行；選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)偶問(wèn)題可能無(wú)界；選項(xiàng)D錯(cuò)誤，可能無(wú)界?！绢}干13】以下哪項(xiàng)是影子價(jià)格在定價(jià)策略中的關(guān)鍵作用？【選項(xiàng)】A.直接決定產(chǎn)品售價(jià)B.反映資源邊際機(jī)會(huì)成本C.優(yōu)化廣告投放預(yù)算D.評(píng)估客戶支付意愿【參考答案】B【詳細(xì)解析】選項(xiàng)B正確。影子價(jià)格表示資源在最優(yōu)解時(shí)的邊際機(jī)會(huì)成本，企業(yè)可通過(guò)影子價(jià)格調(diào)整資源分配或定價(jià)策略。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，售價(jià)需考慮市場(chǎng)需求；選項(xiàng)C錯(cuò)誤，廣告預(yù)算屬目標(biāo)函數(shù)調(diào)整；選項(xiàng)D錯(cuò)誤，客戶支付意愿屬市場(chǎng)調(diào)研?！绢}干14】在靈敏度分析中，若約束右端項(xiàng)b_j增加Δb，最優(yōu)解保持不變的充分條件是？【選項(xiàng)】A.Δb≤0B.Δb≥0C.Δb≤A_j^TyD.Δb≥A_j^Ty【參考答案】C【詳細(xì)解析】選項(xiàng)C正確。當(dāng)b_j增加Δb時(shí)，若Δb≤A_j^Ty（對(duì)偶變量與約束系數(shù)的乘積），則當(dāng)前基變量仍為最優(yōu)解。若Δb>A_j^Ty，則需調(diào)整基。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，Δb可為正；選項(xiàng)B錯(cuò)誤，Δb≥0不保證解不變；選項(xiàng)D錯(cuò)誤，Δb≥A_j^Ty會(huì)導(dǎo)致解變化?！绢}干15】以下哪項(xiàng)是線性規(guī)劃對(duì)偶問(wèn)題的弱對(duì)偶定理的應(yīng)用場(chǎng)景？【選項(xiàng)】A.證明原問(wèn)題與對(duì)偶問(wèn)題目標(biāo)值相等B.快速求解原問(wèn)題最優(yōu)解C.判斷對(duì)偶問(wèn)題是否無(wú)界D.確定影子價(jià)格的經(jīng)濟(jì)意義【參考答案】A【詳細(xì)解析】選項(xiàng)A正確。弱對(duì)偶定理表明原問(wèn)題可行解目標(biāo)值≥對(duì)偶問(wèn)題可行解目標(biāo)值，可用于證明兩者最優(yōu)解相等（當(dāng)兩者均可行時(shí)）。選項(xiàng)B錯(cuò)誤，需用單純形法；選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)偶無(wú)界需通過(guò)其他方法；選項(xiàng)D錯(cuò)誤，影子價(jià)格由對(duì)偶解給出?！绢}干16】在整數(shù)規(guī)劃中，若原問(wèn)題可行解為x^*，其對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解是否一定滿足互補(bǔ)松弛條件？【選項(xiàng)】A.總是滿足B.僅在連續(xù)變量部分滿足C.僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為線性時(shí)滿足D.永遠(yuǎn)不滿足【參考答案】B【詳細(xì)解析】選項(xiàng)B正確。整數(shù)規(guī)劃中，連續(xù)變量的互補(bǔ)松弛條件仍成立，但整數(shù)變量可能導(dǎo)致部分條件不滿足。例如，若x_j必須為整數(shù)且對(duì)偶變量y_j>0，但x_j因整數(shù)約束無(wú)法完全利用資源，此時(shí)x_j（b_j-A_jx）≠0。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，整數(shù)性破壞嚴(yán)格互補(bǔ)性；選項(xiàng)C錯(cuò)誤，約束類型更重要；選項(xiàng)D錯(cuò)誤，連續(xù)變量部分仍成立?！绢}干17】以下哪項(xiàng)是單純形法迭代過(guò)程中基變量替換的觸發(fā)條件？【選項(xiàng)】A.檢驗(yàn)數(shù)行出現(xiàn)負(fù)數(shù)B.原問(wèn)題解不可行C.對(duì)偶問(wèn)題解不可行D.目標(biāo)函數(shù)系數(shù)無(wú)界【參考答案】A【詳細(xì)解析】選項(xiàng)A正確。單純形法通過(guò)迭代使檢驗(yàn)數(shù)（Z行）非負(fù)，若出現(xiàn)負(fù)數(shù)則需換基。選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不可行需用對(duì)偶單純形法；選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)偶不可行需其他方法；選項(xiàng)D錯(cuò)誤，系數(shù)無(wú)界屬靈敏度分析?！绢}干18】在目標(biāo)函數(shù)系數(shù)靈敏度分析中，若c_j減少Δc，最優(yōu)解保持不變的充分條件是？【選項(xiàng)】A.Δc≥0B.Δc≤0C.Δc≥y_jD.Δc≤y_j【參考答案】D【詳細(xì)解析】選項(xiàng)D正確。當(dāng)c_j減少Δc時(shí)，若Δc≤y_j（對(duì)偶變量），則當(dāng)前基變量仍為最優(yōu)解。若Δc>y_j，則需重新尋優(yōu)。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，Δc≥0不保證解不變；選項(xiàng)B錯(cuò)誤，Δc≤0可能破壞最優(yōu)性；選項(xiàng)C錯(cuò)誤，Δc≥y_j會(huì)導(dǎo)致解變化?！绢}干19】以下哪項(xiàng)是影子價(jià)格在供應(yīng)鏈管理中的典型應(yīng)用？【選項(xiàng)】A.優(yōu)化庫(kù)存周轉(zhuǎn)率B.評(píng)估運(yùn)輸路線成本C.確定資源重新分配的優(yōu)先級(jí)D.制定客戶折扣策略【參考答案】C【詳細(xì)解析】選項(xiàng)C正確。影子價(jià)格反映資源在供應(yīng)鏈中的邊際價(jià)值，可指導(dǎo)企業(yè)優(yōu)先分配高影子價(jià)格資源以提升整體效率。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，庫(kù)存周轉(zhuǎn)率屬運(yùn)營(yíng)指標(biāo)；選項(xiàng)B錯(cuò)誤，路線成本屬運(yùn)輸問(wèn)題；選項(xiàng)D錯(cuò)誤，折扣策略需市場(chǎng)數(shù)據(jù)。【題干20】在LA優(yōu)化中，若原問(wèn)題與對(duì)偶問(wèn)題均存在可行解，則其最優(yōu)解是否一定存在？【選項(xiàng)】A.一定存在B.可能不存在C.僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)時(shí)存在D.需進(jìn)一步驗(yàn)證約束條件【參考答案】A【詳細(xì)解析】選項(xiàng)A正確。根據(jù)對(duì)偶理論，若原問(wèn)題與對(duì)偶問(wèn)題均存在可行解，則兩者均存在最優(yōu)解且目標(biāo)值相等（強(qiáng)對(duì)偶性）。選項(xiàng)B錯(cuò)誤，可行解存在時(shí)必存在最優(yōu)解；選項(xiàng)C錯(cuò)誤，LA優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)默認(rèn)為線性（凸函數(shù)）；選項(xiàng)D錯(cuò)誤，可行解存在時(shí)無(wú)需額外驗(yàn)證。2025年知識(shí)競(jìng)賽-LA優(yōu)化知識(shí)歷年參考題庫(kù)含答案解析(篇5)【題干1】在LA優(yōu)化中，單純形法迭代過(guò)程中若基變量不發(fā)生變化，則當(dāng)前解為最優(yōu)解的充要條件是目標(biāo)函數(shù)系數(shù)向量與松弛變量對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)數(shù)滿足什么關(guān)系？【選項(xiàng)】A.所有檢驗(yàn)數(shù)非負(fù)且非正B.所有檢驗(yàn)數(shù)非負(fù)C.所有檢驗(yàn)數(shù)非正D.部分檢驗(yàn)數(shù)非負(fù)且部分非正【參考答案】B【詳細(xì)解析】單純形法迭代中，若基變量未改變且所有檢驗(yàn)數(shù)（即目標(biāo)函數(shù)系數(shù)向量與松弛變量對(duì)應(yīng)列的線性組合）均非負(fù)，則當(dāng)前解為最優(yōu)解。若存在正檢驗(yàn)數(shù)，則可通過(guò)迭代改善目標(biāo)函數(shù)值；若存在負(fù)檢驗(yàn)數(shù)，則可能為非可行解或存在其他問(wèn)題?！绢}干2】對(duì)偶問(wèn)題的約束條件類型與原問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)形式有何對(duì)應(yīng)關(guān)系？【選項(xiàng)】A.原問(wèn)題最大化對(duì)應(yīng)對(duì)偶約束≤B.原問(wèn)題最小化對(duì)應(yīng)對(duì)偶約束≥C.原問(wèn)題等式約束對(duì)應(yīng)對(duì)偶變量無(wú)約束D.以上均正確【參考答案】D【詳細(xì)解析】對(duì)偶理論中，原問(wèn)題最大化對(duì)應(yīng)對(duì)偶約束≤（除等式約束外），原問(wèn)題最小化對(duì)應(yīng)對(duì)偶約束≥；原問(wèn)題等式約束對(duì)應(yīng)對(duì)偶變量無(wú)取值限制（自由變量），不等式約束對(duì)應(yīng)對(duì)偶變量非負(fù)或非正?！绢}干3】靈敏度分析中，當(dāng)右端項(xiàng)變化范圍超過(guò)某個(gè)閾值時(shí)，基變量保持不變的條件是什么？【選項(xiàng)】A.系數(shù)矩陣列與空格行乘積的轉(zhuǎn)置等于零B.右端項(xiàng)變化量與目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的比值大于1C.變量影子價(jià)格與右端項(xiàng)變化量乘積為負(fù)D.以上均不正確【參考答案】A【詳細(xì)解析】基變量不變的條件是系數(shù)矩陣中對(duì)應(yīng)列與空格行（非基變量列）的乘積轉(zhuǎn)置為零向量，即Δb^T*A_j=0（j為非基變量），確?；兞吭谟叶隧?xiàng)變化后仍為基變量。【題干4】整數(shù)規(guī)劃松弛問(wèn)題與原問(wèn)題的最優(yōu)解關(guān)系如何？【選項(xiàng)】A.松弛問(wèn)題的最優(yōu)解必為原問(wèn)題的最優(yōu)解B.松弛問(wèn)題的最優(yōu)解可能為原問(wèn)題的下界C.原問(wèn)題的最優(yōu)解是松弛問(wèn)題可行解的子集D.以上均錯(cuò)誤【參考答案】B【詳細(xì)解析】松弛問(wèn)題的可行解包含原問(wèn)題所有可行解，因此松弛問(wèn)題的最優(yōu)解值≥原問(wèn)題最優(yōu)解值（對(duì)最小化問(wèn)題）。原問(wèn)題最優(yōu)解需滿足整數(shù)約束，可能比松弛問(wèn)題的最優(yōu)解更優(yōu)?！绢}干5】動(dòng)態(tài)規(guī)劃中，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的建立需要滿足哪些條件？【選項(xiàng)】A.狀態(tài)定義明確且可分解性B.狀態(tài)轉(zhuǎn)移滿足無(wú)后效性C.需要考慮所有中間狀態(tài)D.以上均正確【參考答案】D【詳細(xì)解析】動(dòng)態(tài)規(guī)劃要求狀態(tài)定義明確且滿足無(wú)后效性（歷史狀態(tài)不影響未來(lái)決策），同時(shí)需將問(wèn)題分解為子問(wèn)題并考慮所有中間狀態(tài)以遞推求解?！绢}干6】網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，最大流問(wèn)題的流量守恒條件如何表述？【選項(xiàng)】A.每個(gè)中間節(jié)點(diǎn)的流入等于流出B.源節(jié)點(diǎn)流出等于匯節(jié)點(diǎn)流入C.所有節(jié)點(diǎn)的凈流量為零D.以上均正確【參考答案】D【詳細(xì)解析】最大流問(wèn)題的流量守恒要求：中間節(jié)點(diǎn)流入等于流出（凈流量為零），源節(jié)點(diǎn)總流出等于匯節(jié)點(diǎn)總流入，且所有邊的流量不超過(guò)容量約束?！绢}干7】目標(biāo)規(guī)劃中，當(dāng)多個(gè)目標(biāo)沖突時(shí)，如何量化達(dá)成程度？【選項(xiàng)】A.使用目標(biāo)函數(shù)的加權(quán)和B.引入偏差變量并最小化總偏差C.采用層次分析法確定優(yōu)先級(jí)D.以上均正確【參考答案】B【詳細(xì)解析】目標(biāo)規(guī)劃通過(guò)引入正負(fù)偏差變量（E_i^+和E_i^-）量化每個(gè)目標(biāo)未達(dá)成的部分，并構(gòu)造達(dá)成函數(shù)最小化總偏差，同時(shí)通過(guò)優(yōu)先級(jí)或權(quán)重協(xié)調(diào)多目標(biāo)沖突?！绢}干8】魯棒優(yōu)化中，如何處理不確定性參數(shù)？【選項(xiàng)】A.將參數(shù)視為隨機(jī)變量并求期望B.設(shè)定參數(shù)的上下界并保證在最壞情況下可行C.使用區(qū)間分析確定保守解D.以上均正確【參考答案】B【詳細(xì)解析】魯棒優(yōu)化通過(guò)設(shè)定不確定性參數(shù)的上下界（如魯棒半徑），在參數(shù)取最壞值時(shí)仍保證模型可行或目標(biāo)達(dá)成，屬于確定性魯棒性處理方法?！绢}干9】組合優(yōu)化問(wèn)題中，NP難問(wèn)題的近似算法如何評(píng)估？【選項(xiàng)】A.通過(guò)比較計(jì)算時(shí)間與精確解差距B.使用啟發(fā)式比率的下界（如1-1/e）C.采用參數(shù)化復(fù)雜度分類D.以上均正確【參考答案】D【詳細(xì)解析】組合優(yōu)化中，近似算法通常通過(guò)計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度、啟發(fā)式比率（如旅行商問(wèn)題的1-1/e下界）及參數(shù)化復(fù)雜度（如PTAS）評(píng)估其性能?！绢}干10】多目標(biāo)優(yōu)化中，ε-約束法與加權(quán)法的主要區(qū)別是什么？