第3章學(xué)情評(píng)估卷

時(shí)間：90分鐘滿分：120分

一、選擇題（每小題3分，共24分）

1.I朝材P95練習(xí)刊下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.1,2,3B.4,5,6C.9,12,15D.1,五,V5

2.如圖，以Rt/kZBC的兩直角邊為邊向外作正方形，其面積分別為Si，$2,若

斜邊ZB的長(zhǎng)為10,則S1+S2的值為（）

（第2題）

A.8B.32C.64D.100

3.[[2025南京玄武區(qū)期末]]如圖，在AZBC中，ZC=90°,。是邊BC上的

點(diǎn)，若BD=3,DC=2,則45一4。2的值為（）

A.13B.21C.25D.29

4.[[2025無(wú)錫梁溪區(qū)模擬]]如圖，在AZBC中，已知2B=aC=5cm,

BC=8cm,則邊上的高為（）

（第4題）

A.2.4cmB.3cmC.4.8cmD.無(wú)法確定

5.“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問(wèn)：水深

幾何？”這是我國(guó)數(shù)學(xué)史上的“葭生池中”問(wèn)題.即如圖，AC=5,DC=1,

BD=BA,則BC=（）

（第5題）

A.8B.10C.12D.13

6.將面積為81T的半圓形與兩個(gè)正方形拼接如圖所示，這兩個(gè)正方形面積的和

為（）

（第6題）

A.16B.32C.8nD.64

7.如圖，一只蜘蛛在一個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)a處，一只蒼蠅在這個(gè)長(zhǎng)方體上和蜘蛛

相對(duì)的頂點(diǎn)B處，已知長(zhǎng)方體長(zhǎng)6cm,寬5cm,高3cm.蜘蛛因急于捉到蒼蠅，

沿著長(zhǎng)方體的表面從4點(diǎn)爬到B點(diǎn)，則蜘蛛爬行的最短路程是（）

（第7題）

A.16cmB.V106cmC.V130cmD.不能確定

8.[2024淮安]如圖，用9個(gè)直角三角形紙片拼成一個(gè)類似海螺的圖形，其中

每一個(gè)直角三角形都有一條直角邊長(zhǎng)為1.記這個(gè)圖形的周長(zhǎng)（實(shí)線部分）為，,

則下列整數(shù)與2最接近的是（）

（第8題）

A.14B.13C.12D.11

二、填空題（每小題3分，共30分）

9.[2025泰州海陵區(qū)月考]已知RtAZBC的三邊長(zhǎng)分別是a,b,c,斜邊長(zhǎng)c=

3,則a2+b2+c2的值為.

10.如圖，在AZBC中，ZC=90°,AC=4,BC=2.以ZB為一條邊向三角形

外部作正方形，則該正方形的面積是.

（第10題）

11.如圖，在aaBC中，ZC=90°,2。平分NB4C交BC于點(diǎn)。，AB=5,

AC=3,則BD的長(zhǎng)是.

（第11題）

12.I醯教材P99練圾I如圖，一架梯子長(zhǎng)2.5米，頂端Z靠在墻2C上，這時(shí)梯子

下端B與墻腳C的距離為1.5米，梯子滑動(dòng)后停在DE的位置上，測(cè)得BD的長(zhǎng)為

0.5米，則梯子頂端2下滑了一米.

13.[2025宿遷宿城區(qū)期中]如圖，有一個(gè)圓柱體，它的高等于12cm,底面半

徑等于3cm,一只螞蟻在點(diǎn)2處，若它要吃到上底面上與點(diǎn)Z相對(duì)的點(diǎn)B處的食

物，則沿圓柱體側(cè)面爬行的最短路程約是cm.（n的值取3）

（第13題）

14.如圖，在四邊形ZBCD中，乙4BC=乙4。。=90。，連接AC,E為2C的中點(diǎn),

連接BE,DE.若DE=*BC=12,則△4BE的周長(zhǎng)為.

（第14題）

15.[2025南京秦淮區(qū)期末]如圖，在△4BC中，Z.BAC=90°,平分NBZC

交BC于點(diǎn)D,AB=4,AC=3,貝ijBD的長(zhǎng)是.

A

（第15題）

16.如圖，^ACB=90°,AB=4cm,以Rt△ABC的三邊為直角邊分別向外作

等腰直角三角形，則圖中陰影部分的面積為.

（第16題）

17.如圖，在AaBC中，ZB=4C=5,BC=6,。是ZB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則

線段CD的最小值為.

（第17題）

18./新考法翻折東菱法;如圖,在長(zhǎng)方形ZBCD中，AD=5,AB=8,E為射線DC

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把AZDE沿直線2E折疊，當(dāng)點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F剛好落在線段的

垂直平分線上時(shí)，DE的長(zhǎng)為.

（第18題）

三、解答題（共66分）

19.（6分）在RtAZBC中，ZC=90°,a,b,c分別是乙4,ZB,NC所對(duì)應(yīng)

的邊.

(1)已知a=16,b—12,求c的長(zhǎng);

(2)已知c=13,匕=12,求a的長(zhǎng).

20.（6分）如圖,在Rt△ABC中，ZC=9O。，AC=8,在△2BE中，DE是

ZB邊上的高，DE=12,SAABE=60,求BC的長(zhǎng).

E

21.（10分）倒考法方程通莫法:如圖,在筆直的高速公路旁邊有4B兩個(gè)村莊，

4村莊到公路的距離AC=8km,B村莊到公路的距離BD=14km,測(cè)得C,D

兩點(diǎn)之間的距離為20km,現(xiàn)要在C,。之間建一個(gè)服務(wù)區(qū)E,使得4B兩村莊

到服務(wù)區(qū)E的距離相等，求CE的長(zhǎng).

B

22.（10分）如圖，一根直立的旗桿高8m,因刮大風(fēng)旗桿從點(diǎn)C處折斷，頂部B

著地且離旗桿底部4處4m.

（1）求旗桿從距地面多高處折斷;

（2）工人在修復(fù)的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點(diǎn)C處的下方1.25m的點(diǎn)。處，有一明

顯裂痕.若下次大風(fēng)將旗桿從點(diǎn)。處吹斷，則距離旗桿底部周圍多大范圍內(nèi)有被

砸傷的危險(xiǎn)?

23.（10分）/新考法構(gòu)迤置角三菌花法如圖,在△ABC中，ZC=90°,點(diǎn)P在ZC上

運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。在上運(yùn)動(dòng)，PD始終保持與P4相等，BD的垂直平分線交BC于點(diǎn)E,

交BD于點(diǎn)F,連接DE.

（1）判斷DE與DP的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(2)若2C=6,BC=8,PA=2,求線段DE的長(zhǎng).

24.(12分)如圖，在正方形2BCD中，E是邊ZB的中點(diǎn)，將△BCE沿CE翻折

得到△GC瓦延長(zhǎng)CG交2。于點(diǎn)“，連接EH

(1)求證：AEAHNAEGH.

(2)若=10,求C”的長(zhǎng).

城合與實(shí)踐

【問(wèn)題驅(qū)動(dòng)】如何驗(yàn)證勾股定理及探究勾股數(shù)？

【活動(dòng)操作】小明參照教材用4張全等的直角三角形紙片拼成如圖所示的五邊

^ABEFG.

【探索新知】

aCDb

(1)從面積的角度思考，請(qǐng)用兩種方法計(jì)算五邊形2BEFG的面積，并寫出得

到等式。2+力2=。2的過(guò)程.

(2)如果滿足等式。2+爐=02的底b,c是三個(gè)正整數(shù)，我們稱a,b,c為勾

股數(shù).已知m,律是正整數(shù)且m>n,證明：27nn,m2-n2,^^十/是勾股數(shù).

【靈活運(yùn)用】

(3)在如圖所示的五邊形2BEFG中，若a=4,5=8,則空白部分的面積為.

(4)請(qǐng)寫出任意一組含有85的“勾股數(shù)”：.

(5)小明在他找到的勾股數(shù)的表達(dá)式中，用2712+471+40為任意正整數(shù))表

示勾股數(shù)中的最大的一個(gè)數(shù)，則另兩個(gè)數(shù)的表達(dá)式是,.

第3章學(xué)情評(píng)估卷

時(shí)間：90分鐘滿分:120分

一、選擇題（每小題3分，共24分）

1.鮑材P95練如下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.1,2,3B.4,5,6C.9,12,15D.1,V2,V5

【答案】C

2.如圖，以Rt△ABC的兩直角邊為邊向外作正方形，其面積分別為又，$2,若

斜邊的長(zhǎng)為10,則S1+S2的值為（）

【答案】D

3.[[2025南京玄武區(qū)期末]]如圖，在△2BC中，ZC=90°,。是邊BC上的

點(diǎn)，若BD=3,DC=2,則的值為（）

A.13B.21C.25D.29

【答案】B

4.[[2025無(wú)錫梁溪區(qū)模擬]]如圖，在AZBC中，已知2B=aC=5cm,

BC=8cm,則邊上的高為（）

A

B

（第4題）

A.2.4cmB.3cmC.4.8cmD.無(wú)法確定

【答案】C

5.“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問(wèn)：水深

幾何？”這是我國(guó)數(shù)學(xué)史上的“葭生池中”問(wèn)題.即如圖，AC=5,DC=1,

BD=BA,則BC=（）

-B

（第5題）

A.8B.10C.12D.13

【答案】C

6.將面積為8TT的半圓形與兩個(gè)正方形拼接如圖所示，這兩個(gè)正方形面積的和

為（）

A.16B.32C.8nD.64

【答案】D

7.如圖，一只蜘蛛在一個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)a處，一只蒼蠅在這個(gè)長(zhǎng)方體上和蜘蛛

相對(duì)的頂點(diǎn)B處，已知長(zhǎng)方體長(zhǎng)6cm,寬5cm,高3cm.蜘蛛因急于捉到蒼蠅，

沿著長(zhǎng)方體的表面從4點(diǎn)爬到B點(diǎn)，則蜘蛛爬行的最短路程是（）

（第7題）

A.16cmB.V106cmC.V130cmD.不能確定

【答案】A

8.[2024淮安]如圖，用9個(gè)直角三角形紙片拼成一個(gè)類似海螺的圖形，其中

每一個(gè)直角三角形都有一條直角邊長(zhǎng)為1.記這個(gè)圖形的周長(zhǎng)（實(shí)線部分）為，,

則下列整數(shù)與2最接近的是（）

A.14

【答案】B

二、填空題（每小題3分，共30分）

9.[2025泰州海陵區(qū)月考]已知RtAZBC的三邊長(zhǎng)分別是a,b,c,斜邊長(zhǎng)c=

3,則。2+爐+C2的值為.

【答案】18

10.如圖，在AZBC中，ZC=90°,AC=4,BC=2.以ZB為一條邊向三角形

外部作正方形，則該正方形的面積是.

（第10題）

【答案】20

11.如圖，在△ZBC中，ZC=90°,2。平分NB4C交BC于點(diǎn)。，AB=5,

47=3,則BD的長(zhǎng)是

（第11題）

【答案】2.5

12.I醯教材P99練圾I如圖，一架梯子力B長(zhǎng)2.5米，頂端4靠在墻ac上，這時(shí)梯子

下端B與墻腳C的距離為1.5米，梯子滑動(dòng)后停在DE的位置上，測(cè)得BD的長(zhǎng)為

0.5米，則梯子頂端2下滑了一米.

【答案】0.5

13.[2025宿遷宿城區(qū)期中]如圖，有一個(gè)圓柱體，它的高等于12cm,底面半

徑等于3cm,一只螞蟻在點(diǎn)4處，若它要吃到上底面上與點(diǎn)2相對(duì)的點(diǎn)B處的食

物，則沿圓柱體側(cè)面爬行的最短路程約是cm.5的值取3）

（第13題）

【答案】15

14.如圖，在四邊形ZBCD中，乙4BC=乙4。。=90。，連接AC,E為2C的中點(diǎn),

連接BE,DE.若BC=12,則的周長(zhǎng)為.

（第14題）

【答案】18

15.[2025南京秦淮區(qū)期末]如圖，在△ABC中，Z.BAC=90°,平分NBZC

交BC于點(diǎn)D,AB=4,AC=3,則BD的長(zhǎng)是.

A

【答案】y

16.如圖，乙4cB=90。，AB=4cm,以Rt△ABC的三邊為直角邊分別向外作

等腰直角三角形，則圖中陰影部分的面積為.

【答案】16cm2

17.如圖，在△ABC中，2B=4C=5,BC=6,。是4B邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則

線段CD的最小值為.

（第17題）

【答案】y

18./新考法翻折不菱法如圖,在長(zhǎng)方形ZBCD中，AD=5,AB=8,E為射線DC

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ADE沿直線ZE折疊，當(dāng)點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F剛好落在線段的

垂直平分線上時(shí)，DE的長(zhǎng)為.

（第18題）

【答案】|或1

【解析】點(diǎn)撥：分兩種情況：

①如圖①，當(dāng)點(diǎn)F在長(zhǎng)方形ZBCD內(nèi)部時(shí)，

?.?點(diǎn)F在的垂直平分線MN上，2N=DM=4.

易知ZF=2。=5,由勾股定理，得FN=3,

易知FM=2.設(shè)DE=y,則EM=4—y,FE=y.

在中，由勾股定理，得外=（4—y）2+22,

解得y=|,即DE的長(zhǎng)為|.

②如圖②，當(dāng)點(diǎn)尸在長(zhǎng)方形ZBCD外部時(shí)，

同①的方法可得FN=3,FM=8.

設(shè)DE=z,則EM=z—4,FE=z.

在中，由勾股定理，得z2=（Z-4）2+82,

解得z=10,即DE的長(zhǎng)為10.

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)F剛好落在線段的垂直平分線上時(shí)，DE的長(zhǎng)為|或10.

三、解答題（共66分）

19.（6分）在Rt△ABC中，ZC=9O。，a,b,c分別是乙4,ZB,ZC所對(duì)應(yīng)

的邊.

(1)已知Q=16,b=12,求c的長(zhǎng);

(2)已知c=13,匕=12,求a的長(zhǎng).

【答案】(1)解：Z-C-90°,a—16,b-12,-??c—V162+122=20.

(2)vZC=90°,c=13,b=12,/.a=V132-122=5.

20.（6分）如圖，在中，ZC=9O。，AC=8,在△ABE中，DE是

ZB邊上的高，DE=12,S&ABE=60,求BC的長(zhǎng).

解：如圖，???在AZBE中，DE是AB邊上的高，DE=12,SAABE=60,

^AB-DE=60,即x12=60,解得ZB=10.

又???在RtUBC中，"=90°,AC=8,

BC=y/AB2-AC2=V102-82=6.

21.（10分）/新考法方程建函至如圖,在筆直的高速公路旁邊有4B兩個(gè)村莊,

4村莊到公路的距離AC=8km,B村莊到公路的距離BD=14km,測(cè)得C,D

兩點(diǎn)之間的距離為20km,現(xiàn)要在C,。之間建一個(gè)服務(wù)區(qū)E,使得4B兩村莊

到服務(wù)區(qū)E的距離相等，求CE的長(zhǎng).

解：設(shè)CE=xkm,則DE=(20—x)km.

在RtAZCE中，由勾股定理，^AE2=AC2+CE2；

在RtABDE中，由勾股定理，W5F2=BD2+DE2.

2222

由題意可得ZE=BE,AE=BE,vAC=8km,BD=14km,A8+x=

142+(20-%)2,解得％=13.3,

CE=13.3km.

22.（10分）如圖，一根直立的旗桿高8m,因刮大風(fēng)旗桿從點(diǎn)C處折斷，頂部B

著地且離旗桿底部4處4m.

D

BA

(1)求旗桿從距地面多高處折斷；

(2)工人在修復(fù)的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點(diǎn)C處的下方1.25m的點(diǎn)。處，有一明

顯裂痕.若下次大風(fēng)將旗桿從點(diǎn)。處吹斷，則距離旗桿底部周圍多大范圍內(nèi)有被

砸傷的危險(xiǎn)？

【答案】(1)解：由題意，得乙4=90。，AC+BC=8m.在RtAZBC中，

AB=4m,由勾股定理，得ZB?+ZC2=BC2,即42+ZC2=(8-ZC)2,解得

AC=3m.則旗桿從距地面3m處折斷.

(2)由(1)得ZC=3m.如圖，由題意，得2。=3—1.25=1.75(m),所以

B'D=8—1.75=6.25(m).

在Rtz\4B'D中，由勾股定理，得ZB?=B'D?一人。2,所以ZB'=6m.則距離旗

桿底部6m范圍內(nèi)有被砸傷的危險(xiǎn).

23.(10分)/新考法構(gòu)造直角三角形法’如圖,在△ABC中，ZC=90°,點(diǎn)P在2C上

運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。在ZB上運(yùn)動(dòng)，PD始終保持與P4相等，BD的垂直平分線交BC于點(diǎn)E,

交BD于點(diǎn)F,連接DE.

(1)判斷DE與DP的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)若AC=6,BC=8,PA=2,求線段DE的長(zhǎng).

【答案】

(1)解：DE1DP.

理由如下：???PDPA,：.Z/1=^PDA.

EF是BD的垂直平分線，

.?.BE=DE,???Z-B=Z-EDB.

???ZC=90°,???+NB=90°,

???乙PDA+乙EDB=90°,???乙PDE=180°-90°=90°,

???DE1DP.

(2)如圖，連接PE.

r

設(shè)DE=x,則BE=DE=x,：.CE=8-x.

AC-6,PA-2,

PC=4,PD=PA=2.

???ZC=乙PDE=90°,

PC2+CE2=PE2=PD2+DE2,

即42+(8—%)2=22+x2,

解得％=4.75,即DE=4.75.

24.(12分)如圖，在正方形ABC。中，E是邊ZB的中點(diǎn)，將△BCE沿CE翻折

得到△GC瓦延長(zhǎng)CG交于點(diǎn)乩連接E”.

A

E

B

(1)求證：AEAH三△EGH.

(2)若=10,求的長(zhǎng).

【答案】(1)證明：四邊形ZBCD是正方形，.??41=28=90。.「后為邊43的

中點(diǎn)，.??？!￡1=BE.由翻折變換的性質(zhì)可知，GE=BE/EGC=LB=90°

{Ap=Cp

一二；；?△

EH=EH,RtEAH=

RtAEGH(HL).

(2)解：在正方形2BCD中，AD=CD=BC=AB=10.DH=AD-AH=

10-AH.vRt△EAH=RtAEGH,：.AH=GH,由翻折可知GC=BC=10,：-

CH=CG+GH=10+a”.在Rt△C?！敝?，由勾股定理得D4？+c￡)2=即

(10-AH)2+102=(10+AH)2,解得ZH=2.5,.-.CH=10+AH=12.5.

25.[[2025鹽城月考]](12分)綜合與實(shí)踐

【問(wèn)題驅(qū)動(dòng)】如何驗(yàn)證勾股定理及探究勾股數(shù)？

【活動(dòng)操作】小明參照教材用4張全等的直角三角形紙片拼成如圖所示的五邊

^ABEFG.

【探索新知】

aCDb

(1)從面積的角度思考，請(qǐng)用兩種方法計(jì)算五邊形4BEFG的面積，并寫出得

到等式。2+塊=02的過(guò)程.

(2)如果滿足等式。2+塊=02的底b,c是三個(gè)正整數(shù)，我們稱a,b,c為勾

股數(shù).已知律是正整數(shù)且zn>ri,證明：2nm,m2—n2,THZ+標(biāo)是勾股數(shù).

【靈活運(yùn)用】

(3)在如圖所示的五邊形2BEFG中，若a=4,5=8,則空白部分的面積為.

(4)請(qǐng)寫出任意一組含有85的“勾股數(shù)”：.

(5)小明在他找到的勾股數(shù)的表達(dá)式中，用2村+4n+4(n為任意正整數(shù))表

示勾股數(shù)中的最大的一個(gè)數(shù)，則另兩個(gè)數(shù)的表達(dá)式是,.

【答案】

(1)解：如圖所示，

方法一：$五邊形/BEFG=$正方形ABQN+S正方形“DEF+^^MFG+^^ANG=力+Q+

1197

-2ab+-2ab