目錄

等差數(shù)列.........................................................................2

【課前診斷】...................................................................2

【知識(shí)點(diǎn)一：等差數(shù)列的定義及其表示】...........................................3

考點(diǎn)一：等差數(shù)列的定義等差中項(xiàng).................................................4

【知識(shí)點(diǎn)二：等差數(shù)列通項(xiàng)公式及性質(zhì)】...........................................5

考點(diǎn)一：等差數(shù)列求通項(xiàng)及性質(zhì)應(yīng)用...............................................6

考點(diǎn)二：等差數(shù)列判定...........................................................7

【知識(shí)點(diǎn)三：等差數(shù)列求和公式】.................................................9

考點(diǎn)一：等差數(shù)列求和...........................................................9

考點(diǎn)二：已知等差數(shù)列前N項(xiàng)和，求通項(xiàng)..........................................10

【知識(shí)點(diǎn)四：等差數(shù)列前力項(xiàng)和性質(zhì)與應(yīng)用】......................................11

考點(diǎn)一：等差數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用..................................................12

【小試牛刀】..................................................................13

等差數(shù)列

【課前診斷】

成績(jī)（滿分10）：完成情況：優(yōu)/中/差

1.數(shù)列2,3,4,5,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）

=

A.ann,B.a”=w+1,wGN*

C.a?=n+2,wGN*D.a?=2n,wGN*

【答案】B

2.已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為詼="2—50,wGN*,則一8是該數(shù)列的()

A.第5項(xiàng)B.第6項(xiàng)

C.第7項(xiàng)D.非任何一項(xiàng)

【答案】C

3.數(shù)列|,”，*小…的第10項(xiàng)是()

1618_2022

A-UB而C五D，23

【答案】C

4.觀察數(shù)列的特點(diǎn)，用一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)填空：1,小，小，巾，,由1,

【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)一：等差數(shù)列的定義及其表示】

1.一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)

數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，常用字母表示.

③等差數(shù)列的單調(diào)性

公差d數(shù)列｛4｝的增減性舉例

數(shù)列｛%｝的遞增數(shù)列

數(shù)列｛凡｝的常數(shù)列

數(shù)列｛%｝的遞減數(shù)列

2.等差中項(xiàng)：如果a,A,沙成等差數(shù)列，那么A叫做a與沙的等差中項(xiàng).

考點(diǎn)一：等差數(shù)列的定義等差中項(xiàng)

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

答案：35

A.數(shù)列｛4｝是以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列

B.數(shù)列｛q｝是以3為首項(xiàng)，-3為公差的等差數(shù)列

C.數(shù)列｛q｝是以-3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列

D.數(shù)列｛4｝是以-3為首項(xiàng)，-3為公差的等差數(shù)列

【答案】：B

A.2C.-屋

34

【答案】：A

例2.在等差數(shù)列｛〃“｝中，已知

A.4B.5C.6D.7

【答案】：A

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

A.3B.4

C.5D.10

【答案】C

A.14B.21C.28D.35

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)二：等差數(shù)列通項(xiàng)公式及性質(zhì)】

1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

注：對(duì)公式的理解

(1)從方程的觀點(diǎn)來看，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式中含有四個(gè)量，只要已知其中三個(gè)，即

可求出另外一個(gè).其中q和d是基本量，只要知道q和d即可求出等差數(shù)列的任一項(xiàng).

2.等差數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)：

3.等差數(shù)列的判定

【典型例題】

考點(diǎn)一：等差數(shù)列求通項(xiàng)及性質(zhì)應(yīng)用

A.79B.80C.81D.82

【答案】c

A.30B.31C.410D.411

【答案】B

-

練2.數(shù)列｛aQ滿足ai=l,an+i=an3(neN*),貝！Ja4=

A.10B.8C.-8D.-10

【答案】c

答案：0

【答案】38

【答案】18

1177

-艮-----

242D.4

【答案】B

練3.在等差數(shù)列｛4｝中,

【答案】（1）根據(jù)已知條件。2+的+〃23+〃24=48,

得4的3=48,**?（1\3=12.

（2）由〃2+〃3+〃4+〃5=34,得2（。2+。5）=34.

[。2，〃5=52,[42=4,[“2=13,

即。2+。5=17,解彳得彳或《

【。2十〃5=17,〔〃5=13,〔。5=4.

,6?5-^213—4,―一。24—13

?"=5—2=3=3或d=5—2=3=-3,

考點(diǎn)二：等差數(shù)列判定

【答案】數(shù)列｛瓦｝是等差數(shù)列，證明如下：

???等差數(shù)列｛斯｝中，ai=a,d=l,

=2=

ana~\-(n—1)=〃—1+m???兒=〃/—^n+i(n-1+〃>一(幾+1—1+。尸=1-2n—2〃,

=

bn+il—2(〃+1)—2a.

==

bn+i-bn[i—2(n+1)—2a]—(1—2n—2a)-2.

所以數(shù)列｛與｝是以"=〃/一念2=—2〃一1為首項(xiàng)，―2為公差的等差數(shù)列.

⑵數(shù)列｛為｝是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項(xiàng)公式；若不可能，說明理由.

【答案】(1)由于斯+1=(層+〃-2)斯，且41=1

所以當(dāng)。2=—1時(shí)，有一1=2—九故2=3.

從而。3=(2?+2—3)x(—1)=—3.

⑵數(shù)列｛斯｝不可能為等差數(shù)列，證明如下：

由勾=1,即+1=(九2+九一2)<1^

“2=2—九“3=(6—2)(2—2),。4=(12—2)(6—2)(2—A).

若存在九使｛〃〃｝為等差數(shù)列，則。3—〃2=〃2—。1，

即(5—2)(2—2)=1一九解得4=3.

故a2~ai=1—2=—2,〃4一43=(11—2)(6—2)(2—2)=-24.這與｛斯｝為等差數(shù)列矛盾.

所以，對(duì)任意人｛處｝都不可能是等差數(shù)列

【答案】

n

(1),.Z1=—3,an=2an-i+2+3(n>29且九￡N*),

**?。2=2的++3=1,的=2怎+2^+3=13.

(2)證明：對(duì)于任意〃金N*,

斯+1+3斯+311,

1+1

:bn+1-bn=2〃+i—2"=手芍[(〃〃+—2。〃)—3]=萍?[(2〃]+3)-3]=1,

...數(shù)列｛歷,｝是首項(xiàng)為審=二券=0,公差為I的等差數(shù)列.

【知識(shí)點(diǎn)三：等差數(shù)列求和公式】

等差數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和公式：

(1)公式一反映了等差數(shù)列的第女項(xiàng)與倒數(shù)第女項(xiàng)的和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這個(gè)內(nèi)在

性質(zhì).推導(dǎo)方法是倒序相加法.

(3)當(dāng)已知首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)時(shí)，用公式一較為方便；當(dāng)已知首項(xiàng)、公差和項(xiàng)數(shù)時(shí),

用公式二較為方便.

等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和

考點(diǎn)一：等差教列求和

A.4B.6C.8D.10

【答案】c

練1.已知等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn.若S2k+l>0，則一定有

A.ak>0B.Sk>0C.ak+i>0D.Sk+i>0

【答案】c

A.7B.14C.21D.28

【答案】B

【答案】7

A.28B.21

C.14D.7

答案：C

練1.已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列,sn為其前n項(xiàng)的和，若

答案：25

【答案】4；110

考點(diǎn)二：已知等差數(shù)列itn項(xiàng)和，求通項(xiàng)

【答案】14

A.是公差為2的等差數(shù)列B.是公比為2的等比數(shù)列

C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列D.既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)8：等差數(shù)列前?〃項(xiàng)和性質(zhì)與應(yīng)用】

方法1:等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用

(2)解出”的范圍，從而確定此范圍中的正整數(shù)”.

(3)設(shè)法確定前幾項(xiàng)為正，或是否有零項(xiàng)，那么所有非負(fù)整數(shù)項(xiàng)的和最大，若有零

項(xiàng)，則有兩個(gè)和相等并且最大.

方法3:利用等差數(shù)列前"項(xiàng)和通項(xiàng)公式之間的關(guān)系解題

等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式之間有著密切的關(guān)系，充分利用公式的關(guān)系解

題.

下面給出一個(gè)常用的結(jié)論：

等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和之比是由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式經(jīng)過變換得到的.在

理解上述性質(zhì)時(shí).要從這兩者的關(guān)系人手，不要死記硬背.

【典型例題】

考點(diǎn)一：等差數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用

1

A.-B.lC.2D.3

2

【答案】C

【答案】-

3

(I)求數(shù)列｛<?”｝的首項(xiàng)q和公差d;

(II)設(shè)數(shù)列｛?！埃那皀項(xiàng)和為S"，求S"的最小值.

【答案】：12；54

【小試牛刀】

【答案】15；6

A.90B.100C.110D.120

【答案】C

【答案】0

【答案】18

A.27B.39C.45D.63

【答案】B

A.810B.900C.870D.840

【答案】D

【鞏固練習(xí)基礎(chǔ)篇】

【答案】0

A.28B.21

C.14