2024-2025學(xué)年第二學(xué)期期中階段性練習(xí)初二年級數(shù)學(xué)學(xué)科

（練習(xí)時間90分鐘，滿分100分）

學(xué)生須知：

1.本練習(xí)卷共8頁，共26道題；

2.在練習(xí)卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫班級、姓名和學(xué)號；

3.練習(xí)題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在練習(xí)卷上作答無效；

4.在答題卡上，選擇題用23鉛筆作答，其他練習(xí)題用黑色字跡簽字筆作答.

一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求）

1.下列二次根式中，最簡二次根式是（）

A.而B.V2C.D.V02

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐項判斷即可得.

【詳解】A、05=2百，則而不是最簡二次根式，此項不符題意；

B、行是最簡二次根式，此項符合題意；

c、A=￥，則不是最簡二次根式，此項不符題意；

D、加=白=冬則J適不是最簡二次根式，此項不符題意；

故選：B.

【點睛】本題考查了最簡二次根式，熟記定義是解題關(guān)鍵.

2.下列各組數(shù)中，能作為直角三角形邊長的是（）

A.1,2,3B.6,7,8C.1,1,也D.5,12,13

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】解：4???22+1l5彳32,.?.不能構(gòu)成直角三角形;

2、：62+72=85#2,.?.不能構(gòu)成直角三角形；

C、：12+12片（有『，.?.不能構(gòu)成直角三角形；

。、???52+122=169=132,.?.能構(gòu)成直角三角形.

故選D

【點睛】本題考查的是用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀，即只要三角形的三邊滿足/+62=c2,則

此三角形是直角三角形.

3.下列計算正確的是（）

A.行+退=君B.372-72=3C.拒X石=6D.屈+非=2

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查二次根式的加減乘除運算.利用二次根式的加減法的法則對A項和B項進(jìn)行運算即

可，利用二次根式的乘法和除法法則對C項和D項進(jìn)行運算即可.

【詳解】解：A、、歷和道，不是同類二次根式，不能合并，故此選項不符合題意；

B、3行-g=2行/3，故此選項不符合題意；

C、近義6=娓,故此選項符合題意；

D、回三亞=血.乎2,故此選項不符合題意；

故選：C.

4.下列曲線中，表示y是龍的函數(shù)的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義解答即可.

【詳解】解：A、不能表示y是尤的函數(shù)，故此選項不合題意；

B、不能表示y是x的函數(shù)，故此選項不合題意；

C、不能表示y是x的函數(shù)，故此選項不合題意；

D、能表示y是x的函數(shù)，故此選項符合題意；

故選：D.

【點睛】此題主要考查了函數(shù)概念，關(guān)鍵是掌握在一個變化過程中有兩個變量尤與》對于尤的每一個確

定的值，y都有唯一的值與其對應(yīng)，那么就說y是龍的函數(shù)，x是自變量.

5.如圖，矩形ABC。的對角線AC,8。的交點為。，點E為邊的中點，Z（9CB=30o,如果0E=2,

那么對角線8。的長為（）.

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和題意已知，可以知道OE是的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)可以得到

的長度，再根據(jù)NOC8=30。，即可得到對角線的長.

【詳解】:?矩形

...點。為AC邊中點，

:點E為8C邊的中點，

：.0后是小ABC的中位線，

：.AB=2OE=4.

'：ZOCB=30°,

：.AC=2AB=8,

.\BC=AC=8

故選C.

【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)和特殊直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)是本題的關(guān)

鍵.

6.下列命題中，不走確的是（）

A.平行四邊形的對角線互相平分B.矩形的對角線互相垂直且平分

C.菱形的對角線互相垂直且平分D.正方形的對角線相等且互相垂直平分

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)一一判斷即可；

【詳解】解：A、正確，平行四邊形的對角線互相平分；

B、錯誤，應(yīng)該是矩形的對角線相等且互相平分；

C、正確，菱形的對角線互相垂直且平分；

D、正確，正方形的對角線相等且互相垂直平分；

故選：B.

【點睛】本題考查命題與定理、特殊四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊四邊形的性質(zhì)，屬

于中考?？碱}型.

7.下列關(guān)系中，是正比例函數(shù)關(guān)系的是（）

A.矩形面積一定時，長和寬的關(guān)系

B.正方形的面積和邊長之間的關(guān)系

C.三角形的面積一定時，一邊長和該邊上的高之間的關(guān)系

D.勻速運動中，速度一定時，路程和時間之間的關(guān)系

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查正比例函數(shù)的判定，關(guān)鍵在于識別各選項中變量間的表達(dá)式是否符合y=區(qū)的形式.本

題根據(jù)正比例函數(shù)的定義，逐一分析選項中的各個關(guān)系，判斷是否滿足正比例函數(shù)的條件，即形如丁=-

（左為常數(shù)且女工0）.

【詳解】解：A、矩形面積S一定時，長。與寬匕的乘積為定值，即，則長和寬的關(guān)系不是正比例

函數(shù)關(guān)系，故選項A錯誤；

B、正方形的面積S與邊長。的關(guān)系為S=〃，則正方形的面積和邊長之間的關(guān)系不是正比例函數(shù)關(guān)系，

故選項B錯誤；

C、三角形面積S一定時，一邊長。與該邊上的高。的關(guān)系為工xox/z=S（S為常數(shù)），即ax"=2S,則

2

三角形的面積一定時，一邊長和該邊上的高之間的關(guān)系不是正比例函數(shù)關(guān)系，故選項C錯誤；

D、勻速運動中，速度v一定時，路程$與時間?的關(guān)系為5=4,符合正比例函數(shù)的形式，故選項D正

確.

故選：D.

8.正方形ABCD的邊長為4,點M，N在對角線AC上（可與點A,C重合），MN=2,點、P,。在正

方形的邊上.下面四個結(jié)論中：

①存在無數(shù)個四邊形PMQN是平行四邊形；

②存在無數(shù)個四邊形PMQN是菱形;

③存在無數(shù)個四邊形PMQN是矩形;

④至少存在一個四邊形PMQN是正方形.

其中結(jié)論正確的序號有（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形，菱形，矩形，正方形的性質(zhì)與判定先畫好圖形，再逐一分析判斷即可.

【詳解】解：如圖，記正方形ABCD的對角線的交點為0,

/.OA=OC,AB//CD,

AD

：.ZPAO=ZQCO,而NAOP=NCOQ,

?APO=^.CQO,

：.PO=QO,

當(dāng)。0=ON時，

四邊形PMQN是平行四邊形，

存在無數(shù)個四邊形PMQN是平行四邊形；故①符合題意;

如圖，過MN的中點T作交AB于P，交AD于Q，

:.PM=PN,QM=QN,

由對稱性可得：PM=QM,

PM=QM=QN=PN,

四邊形PMQN是菱形，

存在無數(shù)個四邊形PMQV是菱形，故②符合題意；

如圖，當(dāng)M與A重合時，過MN的中點T作尸交AB于尸，交AD于Q,

結(jié)合②可得：四邊形PMQN是菱形，

ZPMQ=90°,

四邊形PMQN是正方形，

至少存在一個四邊形PMQN是正方形，故④符合題意.

由④可得：四邊形PMQN是矩形存在，

此時PQ=MN=2,

結(jié)合①可得P,。不可能在正方形的對邊上（不含頂點）,

必在正方形的相鄰的兩邊上（含頂點），

如圖，過的中點T作線段尸。="N=2,且PT=QT=1,結(jié)合正方形的性質(zhì)可得P,。在正方形

ABCD的鄰邊上,

，此時四邊形PMQN一定是正方形,

，不存在無數(shù)個四邊形PMQN是矩形；故③不符合題意；

，正確的結(jié)論序號是①②④.

故選：B

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟記各定理是

解題的關(guān)鍵.

二、填空題(本題共8小題，每小題3分，共24分)

9.請寫出一個圖形經(jīng)過一、三象限的正比例函數(shù)的解析式—.

【答案】y=x(答案不唯一)

【解析】

【詳解】試題分析：設(shè)此正比例函數(shù)的解析式為y=kx(k#)),

:此正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三象限，；.k>0.

符合條件的正比例函數(shù)解析式可以為：y=x(答案不唯一).

io.若J7TT在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是.

【答案】x>-l

【解析】

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)即可得出答案.掌握二次根

式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)題意得，%+1>0,

X>—1?

故答案為：X>-1.

II.已知正比例函數(shù)丁=丘(%H0)的圖象過點(2,—6),則左=.

【答案】-3

【解析】

【分析】利用待定系數(shù)法把(2,-6)點代入正比例函數(shù)y=kx(k力0)中即可算出k的值

【詳解】把(2,—6)點代入正比例函數(shù)丁=履(4工0),得一6=2左

解得左=一3

故答案為：-3

【點睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是掌握凡是圖象經(jīng)過的點都能滿足解析

式.

12.如圖，A,B兩點被池塘隔開，在A8外選一點C,連接AC和BC.分別取AC,的中點。，E,測

得。，E兩點間的距離為30m,則A,8兩點間的距離為m.

【答案】60

【解析】

【分析】先判斷出。E是AABC的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可

得AB=2￡)E,問題得解.

【詳解】解：：點。，E分別是AC和的中點，

.'DE是AABC的中位線，

?：DE=30m,

.?.48=2DE=2x30=60(m).

故答案為：60.

【點睛】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記定理并準(zhǔn)確識圖是解題的

關(guān)鍵.

13.如圖，，ABCD中，BE平分/ABC,交AD于點E,3c=7,DE=3,則AB的長為.

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD=3C=7、AD//BC,利用線段間的數(shù)量關(guān)系可得AE=4,由

平行線及角平分線可得NAEB=N￡BC、NABE=N￡BC得出NAEB=NABE,即A6=AE=4即可

解答.

【詳解】解：：四邊形ABC。為平行四邊形，

：.AD=BC=7,AD//BC,

?/DE=3,

AAE=AD-ED=7-3=4,

'：AD//BC,BE平分/ABC,

；.ZAEB=NEBC,ZABE=NEBC,

???ZAEB=ZABE,

AB=AE-4"

故答案為:4.

【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等角對等邊求邊長等知識

點，理解題意、結(jié)合圖形、綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵.

14.如圖，在實踐活動課上，小華打算測量學(xué)校旗桿的高度，她發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面后還多出

1m,當(dāng)她把繩子斜拉直，且使繩子的底端剛好接觸地面時，測得繩子底端距離旗桿底部5m,若設(shè)學(xué)校

旗桿的高度是加，則可列方程為.

【答案】X2+52=(X+1)2

【解析】

【分析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意得出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

由題可知，旗桿，繩子與地面構(gòu)成直角三角形，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，用勾股定理即可解答.

【詳解】解：設(shè)學(xué)校旗桿的高度是何，根據(jù)勾股定理得到：X2+52=(X+1)2,

故答案為：%+52=(%+1)2.

15.如圖，將長方形A3CD沿AE折疊，使點。落在3c邊的點尸處，已知A3=8cm,BC=10cm,則

EC的長是cm.

【答案】3

【解析】

【分析】本題考查了矩形與折疊，勾股定理的運用，掌握折疊的性質(zhì)，正確運用勾股定理是關(guān)鍵.

根據(jù)矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理得到=設(shè)DE=EF=xcm,則

CE=CD-DE=8-x(cm),在RtCEE中，由勾股定理得到石/乂=。石？+”<,由此列式求解即

可.

【詳解】解：：四邊形ABCD是矩形，

AB=CD=8。私AD=5C=10cm,NO=NC=N3=90°,

:折疊，

AD=AF=10cm,DE=EF,

在及A即中，BF=y/AF2-AB2=7102-82=6cm-

:.CF=BC-BF=lQ-6^4cm,

設(shè)DE=EF=xcm，

:.CE=CD—DE=8—x(cm^,

在RjCEF中,EF2=CE2+CF2

x2=(8-x)2+42,

解得，x=5,

：.DE=EF=5

:.EC=CD—DE=8—5=3(cm),

故答案為：3.

16.如圖，在邊長為4的正方形ABC。中，若E方分別是AD,邊上的動點，AE=DF,AF與BE

交于點P,連接OP，則。。的最小值為

【答案】2G2

【解析】

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的綜合運用，理解點的運動，得

到點尸在以A3為直徑的圓弧上運動，掌握正方形的性質(zhì)，勾股定理的計算是關(guān)鍵.

根據(jù)正方形的性質(zhì)可證ADF^BAE（SAS）,得至（jNAPfi=90。，即AFLBE，則點尸在以AB為直

徑的圓弧上運動，根據(jù)兩點之間線段最短，得當(dāng)點G,P,D共線時，DP=DG—GP,此時0P的值最

小，結(jié)合勾股定理得到DG=2百，由此即可求解.

【詳解】解：：四邊形ABCD是正方形，

/.AB=BC=CD=AD=4,ZABC=/BCD=NCDA=NBAD=90°,

?/AE=DF,

ADF^BAE（SAS）,

ZABE=ZDAF,

,：ZDAF+ZBAF=9Q°,

：.ZABE+ZBAF^90°,

：.ZAPB=90°,即AFLBE,

...點P在以A5為直徑的圓弧上運動，如圖所示，取A3的中點G,以點G為圓心，以G4為半徑畫弧,

???根據(jù)兩點之間線段最短，得當(dāng)點G,RD共線時，DP=DG-GP,此時0P的值最小,

：.GA=GP=GB=-AB=2,

2

在HADG中，DG=A/AD2+AG2=V42+22=2A/5-

DP=DG-GP=2后-2,

，OP的最小值為26—2，

故答案為：26一2.

三、解答題（本題共52分，其中第17、18、19題，每題4分；第20、21、24題，每題5分;

第22、23、26題，每題6分；第25題7分）

17.計算：6杉+收+6—回.

【答案】572-473

【解析】

【分析】化簡二次根式，然后運用二次根式混合運算法則計算即可.

【詳解】計算：64+四+6—回

解：原式=6xm+J24t3-4有

=372+78-473

=30+20-46

=572-473

18.已知兀=百+2，求代數(shù)式Y(jié)一4%+3的值.

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)完全平方公式把原式變形，把x的值代入計算即可.

【詳解】解：x=y[3+2，

無？―4x+3

=爐-4x+4-l

=(1)2—1

=(A/3+2-2)2-1

=3-1

=2.

【點睛】本題考查的是二次根式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式.

19.如圖，在，48。。中，點￡*分別在40,8。上，且4￡=”,￡尸,60相交于點0,求證：OE=OF.

【答案】見解析

【解析】

【分析】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，連接證明四邊形為平行四邊形即可得證.

【詳解】證明：連接5￡,。尸,

ABCD,

AD=BC,ADBC,

/.DE〃BF，

?：AE=CF,

：.AD-AE=BC-CF,

，DE=BF,

..?四邊形BED尸為平行四邊形，

?.?EF,相交于點。，

OE=OF.

20.下面是小明設(shè)計的“作一個以已知線段為對角線正方形”的尺規(guī)作圖過程.

已知：線段AC

求證：四邊形ABC。為正方形

作法：如圖，

①作線段AC的垂直平分線MN交AC于點0-,

②以點。為圓心C。長為半徑畫圓，交直線于點3,D；

③順次連接AB,BC,CD,DA；

所以四邊形ABC。為所作正方形.

\M

W

根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，完成以下任務(wù).

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：-：OA=OB,OC=OD,

...四邊形ABC。為平行四邊形.（）（填寫推理依據(jù)）

OA=OB=OC=OD即AC=BD.

ABCD為（）（填寫推理依據(jù)）.

AC±BD,

...四邊形ABCL1為正方形（）.（填寫推理依據(jù)）

【答案】對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，矩形，對角線相等且互相平分的四邊形是矩形

【解析】

【分析】（1）根據(jù)作圖步驟畫出圖形即可；

（2）根據(jù)對角線相等且互相平分的四邊形是矩形進(jìn)行判定即可.

【詳解】（1）作圖如下；

（2）證明：\-OA=OB,OC=OD,

/.四邊形ABCD為平行四邊形.（一對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.）

OA=OB=OC=OD即AC=BD.

：.ABCD為矩形（一對角線相等且互相平分的四邊形是矩形一）（填寫推理依據(jù)）.

AC±BD,

，四邊形ABC。為正方形（一對角線互相垂直的矩形是正方形.）.（填寫推理依據(jù)）

故答案為對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；矩形；對角線相等且互相平分的四邊形是矩形；對角線

互相垂直的矩形是正方形.

【點睛】此題主要考查了基本作圖和證明四邊形是正方形，熟練掌握正方形的判定方法是解決此題的關(guān)鍵.

21.如圖，四邊形ABCD是菱形，AC、BD交于點O,AC=16,DB=12,DH1.AB于點H,求DH的長.

【解析】

【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得OA=OC,OB=OD,AC±BD,再利用勾股定理計算出AB=10,然后根據(jù)菱形

的面積公式得到g?AQBD=DH?AB,再解關(guān)于DH的方程即可.

【詳解】解：：四邊形ABCD是菱形，

.?.OA=OC=8,OB=OD=6,AC±BD,

在RtAAOB中，AB=JA02+602=10,

S菱形ABCD=?AC?BD,

S菱形ABCD=DH?AB,

.1.DH?10=1xl2xl6,

48

.\DH=—.

5

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角

線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形的面積等于對角線乘積的一半.

22.如圖，在.ABCD中，對角線AC,BD交于點O,過點B作BELCD于點E,延長CD到點F,使

DF=CE,連接AF.

AB

⑴求證泗邊形ABEF是矩形；

⑵連接OF,若AB=6,DE=2,ZADF=45°,求OF的長度.

【答案】（1）見解析；（2）OF=屈.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD〃BC且AD=BC,等量代換得到BC=EF,推出四邊形AEFD是平行

四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)直角三角形斜邊中線可得：OF=^AC,利用勾股定理計算AC的長，可得結(jié)論.

【詳解】（1）證明：：四邊形ABCD是平行四邊形

；.AB=CD,AB//CD.

VDF=CE,

；.DF+DE=CE+ED,

即:FE=CD.

:點F、E在直線CD上

；.AB=FE,AB//FE.

...四邊形ABEF是平行四邊形

又YBELCD,垂足是E,

ZBEF=90°.

.??四邊形ABEF是矩形.

⑵解：：四邊形ABEF是矩形O,

ZAFC=90°,AB=FE.

VAB=6,DE=2,

；.FD=4.

：FD=CE,

.\CE=4.

.?.FC=10.

在RtAAFD中，ZAFD=90°.

?/ZADF=45°,

；.AF=FD=4.

在Rt/kAFC中，ZAFC=90°.

AC=^AF2+FC2=2729-

,/點O是平行四邊形ABCD對角線的交點，

.?.O為AC中點

在RtAAFC中，ZAFC=90°.O為AC中點.

.\OF=|AC=V29.

【點睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

23.有這樣一個問題：探究函數(shù)丁=兇-1的圖象與性質(zhì).小彤根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y=|x|-1的圖

象與性質(zhì)進(jìn)行了探究.下面是小彤探究的過程，請補(bǔ)充完整：

(1)函數(shù)丁=忖—1的自變量x的取值范圍是；

(2)表格是y與x的幾組對應(yīng)值：

X-4-3-2-101234

y3m10-10123

則機(jī)的值為；

(3)請在下面的網(wǎng)格中，建立平面直角坐標(biāo)系并畫出函數(shù)y=兇-1的圖象;

(4)觀察圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：.

【答案】(1)全體實數(shù)

(2)2(3)見解析

(4)當(dāng)x20時，y隨x增大而增大(答案不唯一)

【解析】

【分析】本題主要考查了畫一次函數(shù)圖象，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，求自變量的取值范圍，求函數(shù)值等等,

靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意可知，自變量的取值范圍為全體實數(shù)；

(2)把x=—3代入y=|x|—1中求出y的值即可得到答案；

(3)先描點，再連線即可得到答案；

(4)根據(jù)所畫的函數(shù)圖象寫出其對應(yīng)的性質(zhì)即可.

小問1詳解】

解：根據(jù)題意可知，自變量的取值范圍為全體實數(shù)；

故答案為：全體實數(shù)；

【小問2詳解】

解：在丁=國一1中，當(dāng)％=—3時，y=|-3|-1=2,

m=2；

故答案為:2；

【小問3詳解】

解：如圖所示，

【小問4詳解】

t-x

由函數(shù)圖象可知，當(dāng)xNO時，y隨x增大而增大（答案不唯一）.

24.材料一：在學(xué)習(xí)《分式》一章后，小智同學(xué)對分式的某些變形進(jìn)行了深入的研究，他發(fā)現(xiàn)有些分式可以

轉(zhuǎn)化為一個整式和一個真分式（即分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)）的形式，例如：

或口=2x+2-5=2（》+1）-5=2一5,而且他發(fā)現(xiàn)這樣的變形可以優(yōu)化計算.

x+1x+1x+lX+1

材料二：配方法是初中數(shù)學(xué)思想方法中的一種重要的解題方法，它的應(yīng)用非常廣泛，在解方程、化簡根式、

因式分解等方面都經(jīng)常用到.

如：x?++3=f=+1.

（X+V2）2>0,

,-.（%+V2）2+l>b即f+2缶+32L

/+2缶+3的最小值為L

解決下列問題：

（1）如果分式2*+3省可以變形為。+_^（“，》為實數(shù)），則。=_____.b=______

x+V2x+12

3命+6&+11

（2）求分式的最大值.

-/—2,y[3x—5

【答案】（1）2,尬

（2）-1

【解析】

【分析】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，完全平方公式的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

（1）仿照題意求解即可;

（2）仿照題意得到原分式化簡為由（x+逐丁+222,推出當(dāng)x=—時,

1+6『+2有最小值為2,據(jù)此求解即可.

【小問1詳解】

解.2x+3氏_21+20+后_2卜+后)+行_2+后,

X+y/^2,X+yf2,X+y/2X+^^2.

:分式2*+3,可以變形為a+—^—f=,：.a=2；b=叵;

x+y/2x+J2

故答案為：2,、女；

【小問2詳解】

3x2+6A/3X+113卜?+2退x+5)-44

角犁*---------=----=--------------------——3H------------------

—x2—2^/3%—5-+2^/3x+5^x2+2y/3x+5

2

+2>2,

???當(dāng)x=—百時，（x+G『+2有最小值為2,

3%2+65/3x+11

?二分式的最大值為-1.

一12—2y[^x—5

25.如圖，菱形A5CD的對角線AC,8D相交于點。，點P為8邊上一點，連接"，E為VA5C內(nèi)

一點，且點E關(guān)于直線AP的對稱點為點尸，所與AP交于點G,連接DF.

2

A

(1)依題意補(bǔ)全圖形；

(2)求證：BE=DF；

(3)連接OG,若NB4Z)=60。，用等式表示線段跳與OG的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】(1)見解析(2)見解析

(3)OG^—BE，證明見解析

2

【解析】

【分析】本題考查了對稱的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì).

(1)根據(jù)題意，按要求作圖即可；

(2)先根據(jù)點E關(guān)于直線"的對稱點為點/，得EG=FG,AE=AF,ZEAG^ZFAG,進(jìn)而則可推

出ZBAE=ZDAF，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得A5=AD,證明ABE與皿乂SAS)即可得出結(jié)論；

(3)由ZSAD=60。得到===進(jìn)而得到AB=208,OA=6()B,

2

lAB2AE

AE=2EG,AGfEG，即可得到:人=不=二方，進(jìn)而證明ABE^.AOG,得到

ABBE2求出0G=同BE.

~Ad~~0G~^32

【小問1詳解】

解：補(bǔ)全圖形如下:

A

證明：如圖，連接AF,

ZEAP=-ZBAD,

2

:./BAD=7/FAP,

:點E關(guān)于直線AP的對稱點為點F,

EG=FG,AE=AF,

ZEAG=ZFAG,

ZEAF=2ZEAP,

/FAF=/BAD,BPZBAE+ZEAD=ZEAD+ZDAF,

:.ZBAE=ZDAF，

?.?四邊形ABC。菱形，

/.AB=AD,

在,ABE和△ADb中，

AE=AF

<ZBAE=ZDAF,

AB=AD

ABE^￡ADF(SAS),

BE=DF；

【小問3詳解】

解：OG=JBE,證明如下:

2

如圖，

:四邊形ABCD是菱形，

AAB=AD,AC與BD互相垂直平分，AC平分NA4。，

?：ZBAD=60°,

：.NEAP=-/BAD=30°,ZBAO=-/BAD=30°,

22

AB=2OB,0A7AB2_0B?=W>OB，