第18章《平行四邊形》期末知識點復習題

【題型1四邊形中的多解問題】

1.在正方形4BCD中，對角線AC、BD交于點。，/4DB的平分線交ZB于點E,交2C于點G.過

點E作EF1BD于點F,NEDM交2C于點M.下列結(jié)論：①（遮+1）&E；②四邊形2EFG

是菱形；③BE=20G；④若NEDM=45°,則GF=CM.其中正確的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.如圖，在菱形2BCD中，AB=2曲,4BC=60。，點￡為對角線8。上一動點（不與點6

重合），且連接CE交ZM延長線于點?

?^AFE=ZBAE-,

②當AZEF為直角三角形時，BE=2；

③當aaEF為等腰三角形時，4FC=20?；蛘?FC=40

④連接BF,當BE=CE時，F(xiàn)C平分4FB.

以上結(jié)論正確的是（填正確的序號）.

3.如圖，在矩形幺的中，。是對角線的交點，AB=1,ZBOA=60°,過。作CE1BD于點

E,EC的延長線與的平分線相交于點〃，AH與BC交干點F,與BD交于點〃.給出下列

四個結(jié)論：①BF=BO；②AC=CH；③BE=3DE；?S^ACF=⑤2"=*>+&..其

中正確的結(jié)論有（填寫正確的序號）.

4.勾股定理是平面幾何中一個極為重要的定理，世界上各個文明古國都對勾股定理的發(fā)現(xiàn)和研

究做出過貢獻，特別是定理的證明，據(jù)說有400余種.如圖是希臘著名數(shù)學家歐幾里得證明這

個定理使用的圖形.以Rt2\4BC（N%BC=90°）的三邊a,b,c為邊分別向外作三個正方形：正

方形ACE。、正方形正方形BCNM,再作CG1F”垂足為G,交于尸，連接BD,CF.

則結(jié)論：?^DAB=ZCAF,②A/MB三力F,③S正方形〃ED=2S&ADB，④S矩形AFGP=

2SNCF.正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【題型2四邊形中的動點問題】

1.如圖，在正方形2BCD中，￡是邊上的一動點，點/在邊BC的延長線上，且CF=2E,連

接DE、DF.

(1)求證DEIDF；

(2)連接EF,取EF中點G,連接DG并延長交BC于“，連接BG.

①依題意，補全圖形：

②求證BG=DG；

③若NEGB=45°,用等式表示線段BG、HG與2E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

2.如圖，在平行四邊形2BCD中，ZBAC=90。，CD=6,2C=8.動點P從點4出發(fā)沿以

2cm/s速度向終點。運動，同時點Q從點C出發(fā)，以8cm/s速度沿射線CB運動，當點P到達終點

時，點Q也隨之停止運動，設(shè)點P的運動時間為t秒(t>0)

(1)CB的長為.

(2)用含t的代數(shù)式表示線段BQ的長.

(3)連結(jié)PQ.是否存在t的值，使得PQ與ZB互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，請說

明理由；

⑷若點P關(guān)于直線2Q對稱的點恰好落在直線上，請直接寫出t的值.

3.如圖，已知菱形ZBCD的邊長為2,/ABC=60°,點M、N分別是邊BC、CD上的兩個動點,

/MAN=60。，連接MN.

(口△4MN是等邊三角形嗎？如是，請證明；如不是，請說明理由.

(2)在M、N運動的過程中，△CMN的面積存在最大值嗎？如存在，請求出該最大值；如不存

在，請說明理由.

4.如圖，在矩形紙片ABC。中，ZB=2,4。=2<2,E是的中點，F(xiàn)是邊上的一個動點（點

F不與點4。重合）.將AaEF沿EF所在直線翻折，點a的對應(yīng)點為a',連接a'。，A7c.當

△a'DC是等腰三角形時，4F的長為.

【題型3四邊形中的最值問題】

1.如圖，在菱形ZBCD中，AB=6,^BAD=60°.￡是對角線BD上的一個動點（不與點民

。重合），連接2E,以2E為邊作菱形2EFG,其中，點G位于直線的上方，且/E2G=60°,

點9是的中點，連接PG,則線段PG的最小值是.

2.如圖，正方形2BCD的邊長為5,點E,F,G,H分別在正方形的四條邊上，且GH〃EF,G”=

EF,則四邊形EFG”的周長的最小值是.

3.在平面直角坐標系久。y中，四邊形O4BC是矩形，OB=2g,^AOB=30

(1)如圖1,點夕為射線。B上的動點，連接P4若是等腰三角形,求P4的長度;

(2)如圖2,是否在x軸上存在點瓦在直線BC上存在點以0,B,E,廠為頂點的四邊形是

菱形？若存在，求出點￡,戶的坐標；若不存在，請說明理由;

(3)如圖3,點〃是BC邊上的動點，過點〃作。B的垂線交直線。4于點”求0M+MN+NB的

最小值.

4.如圖，矩形ZBCD中，AD=4,AB=m,E、6分別在邊BC、CD上，并且aaEF為等邊三角

形，則口的取值范圍為,若點G是邊上的一點，且G4=2,則隨著R的變化，GE的最

小值為,

【題型4四邊形中的折疊問題】

1.通過對下面幾何圖形的？作探究，解決下列問題.

E

圖1

【操作發(fā)現(xiàn)】

如圖1,探究小組將矩形紙片4BCD沿對角線BD所在的直線折疊，點C落在點E處，DE與AB邊

交于點F,再將紙片沿直線DM折疊，使邊落在直線DE上，點N與點N重合.

(1)ZMDB=度.

(2)若4B=6,AD=3,求線段DF的長.

【遷移應(yīng)用】

(3)如圖2,在正方形紙片2BCD中，點E為CD邊上一點，探究小組將△4DE沿直線4E折疊得

到△4FE,再將紙片沿過N的直線折疊，使與2F重合，折痕為4”，探究小組繼續(xù)將正方形

紙片沿直線E”折疊，點C的對應(yīng)點恰好落在折痕2”上的點M處，EM與2F相交于點N,若BH=

1,求aaEN的面積.

2.如圖1,一張矩形紙片/BCD,其中/D=8cm,AB=6cm,先沿對角線BD折疊，點C落在

點C'的位置，BC'交AD于點G.

(1)求證：BG=DG-,

⑵求C'G的長；

(3)如圖2,再折疊一次，使點。與/重合，折痕EN交2D于M,求EM的長.

3.問題原型

(1)如圖1,在菱形4BCD中，NB=60AE1BCTE,6為CD中點，連結(jié)4F,EF.試猜

想AZEF的形狀，并說明理由.

⑵如圖2,在。2BCD中，AE1BCTE,戶為CD中點，連結(jié)ZF,EF.試猜想△2EF的形狀,

并說明理由.

(3)如圖3,在中，/為C。上一點，連結(jié)BF,將/C沿BF折疊，點。的對應(yīng)點為C'.連

結(jié)DC'并延長交于G,若4G=C'F,求證：戶為CD中點.

(4)如圖4,直角坐標系中有。4BCD,點幺與原點重合，點8在x軸正半軸上，CD與y軸交

于點反將其沿過N的直線折疊，點8對應(yīng)點B'恰好落在y軸上，且折痕交BC于〃,B'M交C。

于點兒若口48。。的面積為48,AB=8,AD=3V5,求點〃的坐標和陰影部分面積(直接

寫出結(jié)果).

4.課本再現(xiàn)：

（1）如圖1,2BCD是一個正方形花園，E,6是它的兩個門，且DE=CF.要修建兩條路BE和

AF,這兩條路等長嗎？它們有什么位置關(guān)系？BE和2F的數(shù)量關(guān)系是：——；BE^AF

的位置關(guān)系是;（無需證明）

知識應(yīng)用：

（2）如圖2,ZBCD是一個正方形草地，現(xiàn)要在內(nèi)部修建兩條路MN、EF,且MN1EF,

①請問這兩條路MN、EF還相等嗎？為什么？

②如圖3,將邊長為12的正方形紙片沿EF折疊，點。落在BC邊上的點N處，若折痕EF的長

為13,求此時DE的長；

拓展延伸：

（3）如圖4,將邊長為12的正方形紙片沿EF折疊，點。落在BC邊上的點N處，DN與EF交于

點R取4。的中點〃，連接PM、PC,則PM+PC的最小值為,此時EF的長度是

圖1圖2圖3

【題型5矩形與等腰三角形】

L【問題背景】

某“數(shù)學學習興趣小組”在學習了“等腰三角形的性質(zhì)”和“平行四邊形的性質(zhì)和判定”后，

在習題中發(fā)現(xiàn)了這樣一個問題：如圖1,在等腰AABC中，ZB=ac,點。、￡分別是邊ZB、AC

上的點，點夕是底邊BC上的點，且4DB=NPEC=90°,過點8作BF12C于點R請寫

出線段P。、PE、BF之間滿足的數(shù)量關(guān)系式.

同學們經(jīng)過交流討論，得到了如下兩種解決思路：

解決思路1：如圖2,過點尸作PG1BF于點G-,

解決思路2：如圖3,過點8作BH1PE,交EP的延長線于點〃；

⑴上述兩種解決思路都可以證明一組三角形全等，判定一個四邊形為平行四邊形，從而可證

得線段P。、PE、BF之間滿足的數(shù)量關(guān)系式為

圖1圖2圖3

【類比探究】

⑵如圖4,在等腰△ABC中，AB^AC,點。、￡分別是邊ZB、4C上的點，點夕是底邊BC上

的點，且NPDB=/PEC=a,過點8作BF||PE交AC于點片請寫出線段PD、PE、BF之間

滿足的數(shù)量關(guān)系式，并說明理由.

⑶如圖5,在△2CP與ABOP中，4=NB=75°,NAPC=NBPD=60°,點4反產(chǎn)

在同一條直線上，若4B=6,PC=2,則PD=

2.已知在矩形ABC。中，4。=9,4B=12,。為矩形的中心，在等腰中，ZEAF=90°

AE=AF=6.則EF邊上的高為;將42EF繞點幺按順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，連接CE,

取CE中點M,連接FM,則FM的最大值為.

3.畫一個四邊形，使得該四邊形的面積等于已知圖形面積的一半.

(1)如圖1,已知等腰△ABC,D,后分別是ZB,2C的中點，畫四邊形。BCE；

(2)如圖2,已知四邊形ABC。，AC1BD.四邊的中點分別為及F,G,H,畫四邊形EFG”；

(3)如圖3,已知平行四邊形2BCD,點及G分別在4。，BC上，且EG||4B.點?〃分別在

AB,C。上，畫四邊形EFG”.

以上三種畫法中，所有正確畫法的序號是()

圖1圖2圖3

A.(1)(3)B.(2)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)

4.如圖①，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=—：％+3分別與x軸和y軸交于點4點且

4

四邊形OACB為矩形.

備用圖

⑴如圖②，點〃在8。上,連接把AZCF沿著幺/折疊，點。剛好與線段N8上一點重

合.

①求點6的坐標;

②請直接寫出直線FC,的解析式：;

(2)如圖③，動點P(%,y)在一次函數(shù)y=2x-3(1.5<%<4)的圖象上運動，點〃在線段NC上，

是否存在直角頂點為夕的等腰直角△BDP,若存在，請求出點2的坐標；若不存在，請說明理

由.

【題型6菱形中的全等三角形的構(gòu)造】

1.如圖，已知菱形ZBCD的邊長為2,ZABC=60°，點M、N分別是邊BC、CD上的兩個動點,

/MAN=60°,連接MN.

（口△4MN是等邊三角形嗎？如是，請證明；如不是，請說明理由.

（2）在M、N運動的過程中，△CMN的面積存在最大值嗎？如存在，請求出該最大值；如不存

在，請說明理由.

2.如圖，菱形。2BC的一邊OC在x軸的正半軸上，。是坐標原點，8點坐標為（8,4）,點。是

對角線OB上一點，連結(jié)D4,DC,AE1OC,垂足為￡.

(1)求證：DA=DC；

⑵求菱形。ABC的面積；

(3)連接DE,當，DAE=2時，求點。的坐標.

3.已知在菱形2BCD中，/4BC=60°,連接對角線AC.

(1)如圖1,E為力。邊上一點，尸為。C邊延長線上一點，且=連接/凡BE交于點G.

①求證：BE=AF；

②過點C作C”_LBE,垂足為“，求證：C”=/BG；

(2)如圖2,已知ZB=4,將△ac。沿射線ac平移，得到△a‘c'。'，連接BA',BD'，請直

接寫出B4'+BD'的最小值.

4.如圖，在菱形ABCD中，M,N分別是邊AB,8。的中點，MPLAB交迫切于點尸，連接NM,NP.

(1)若N后60°,這時點夕與點C重合，則N陰度;

(2)求證：N后NP；

(3)當△極為等腰三角形時，求N8的度數(shù).

【題型7正方形中線段的和差倍分關(guān)系】

1.如圖，在正方形ABCD中，動點M在CD上，過點M作MN1CD,過點C作CN12C,點E是4V

的中點，連接BE交AC于點F.

(1)求證：BELAC；

(2)請?zhí)骄烤€段BE、AD.CN長度之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)設(shè)4B=2,若點M沿著線段CD從點C運動到點。，則在該運動過程中，線段EN所掃過的圖

形面積為(直接寫出答案).

2.過正方形2BCD(四邊都相等，四個角都是直角)的頂點2作一條直線MN.

(1)當MN不與正方形任何一邊相交時，過點8作BE1MN于點瓦過點。作DF1MN于點￡

如圖(1),請寫出EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(2)若改變直線MN的位置，使MN與CD邊相交如圖(2),其它條件不變，EF,BE,DF的關(guān)系

會發(fā)生變化，請直接寫出EF,BE,DF的數(shù)量關(guān)系，不必證明；

(3)若繼續(xù)改變直線MN的位置，使MN與BC邊相交如圖(3),其它條件不變，EF,BE,DF的

關(guān)系又會發(fā)生變化，請直接寫出EF,BE,。尸的數(shù)量關(guān)系，不必證明.

3.感知：如圖(1)所示，四邊形ZBCD是正方形，點G是線段上的任意一點，DE12G于點

E,BF//DE,且交4G于點F,求證：AF—BF=EF.

探究一：如圖(2)所示，若點G在CB的延長線上，上述其余條件不變，則4F,BF,EF存在

怎樣的等量關(guān)系？猜想并證明這一結(jié)論.

探究二：若點G在BC的延長線上，上述其余條件不變，則力F,BF,EF又存在怎樣的等量關(guān)系？

直接寫出結(jié)論.

4.已知：在△ZBC中，2D為中線，以4B、2C為邊向△ABC的形外作正方形2BEF、正方形ZCGH.

E

圖③

(1)如圖①，當NB4C=90°時，求證：FH=2AD.

(2)如圖②③，當NBZCW9O°時，F(xiàn)”與2。有怎樣的關(guān)系？在圖②和圖③中可任選一個圖,

證明你的結(jié)論.

【題型8坐標系中的四邊形】

1.如圖1,在/CEF中，CE=CF,ZECF=90°,點4是NEC尸的平分線上一點，4G1CE于

G,交FE的延長線于B,4。12E交CF的延長線于。，連接BC.

D

圖1

(1)直接寫出4BF的大??；

(2)求證：四邊形2BCD是平行四邊形；

(3)建立如圖2所示的坐標系，若BG=2,BC=歷,直線繞點。順時針旋轉(zhuǎn)45°得到

2.如圖，在坐標系中放置一菱形的8a已知/幺a一60。，0A=\,先將菱形物比1沿X軸的正

方向無滑動翻轉(zhuǎn)，每次翻轉(zhuǎn)60。，連續(xù)翻轉(zhuǎn)2019次，點8的落點依次為5,B2,B3,則

6Mg的坐標為.

3.如圖，在坐標系中，正方形04BC的邊長為2,點P是％軸上一動點.若BP與/4BC的兩邊所

組成的角的度數(shù)之比為1:3,則點P的坐標為

o

4.如圖，在AABC中，AC=BC=1,ZC=90°,E、F是AB上的動點，且NECF=45°,分別過E、

F作BC、AC的垂線，垂足分別為H、G,兩垂線交于點M.

(1)當點E與點B重合時，請直接寫出MH與AC的數(shù)量關(guān)系」

(2)探索AF、EF、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)以C為坐標原點，以BC所在的直線為x軸，建立直角坐標系，請畫出坐標系并利用(2)

中的結(jié)論證明MH-MG=

【題型9四邊形中存在性問題】

1.如圖，四邊形04BC是矩形，點4、C在坐標軸上，B點坐標(—4,12),△ODE是△OCB繞點。順

時針旋轉(zhuǎn)90。得到的，點。在X軸上，直線BD交y軸于點F,交OE于點”.

(1)求直線BD的解析式；

(2)求△B。”的面積；

(3)點M在為軸上，平面內(nèi)是否存在點N,使以點小F、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在,

請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

2.如圖，在平面直角坐標系中，矩形(MBC的頂點。，幺分別在x軸，y軸上，。為坐標原點,

8點的坐標為(8,6),過幺點的直線/與x軸交于點K(—3,0),產(chǎn)是線段BC上一動點，設(shè)PC=TH.

(1)。是第一象限直線/上一點，作PEly軸于￡,DFly軸于？若NPZD=90°,ADAP.

①求證：/^APE=^DAF-,

②求直線1的表達式及。點的坐標；

(2)將直線/向下平移12個單位得到直線廠，在直線上方的直線〃上，是否存在這樣的點

D,使得NNPD=90°,且aP=DP,若存在，請求出點〃的坐標，若不存在，請說明理由.

3.如圖1所示，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，四邊形ZBC。是菱形，點2的坐標為(一3,4),

點C在％軸正半軸上，直線AC交y軸于點〃，連接BM,邊交y軸于點

(1)求MH的長；

⑵如圖2所示，動點P從點a出發(fā)，沿折線a-B-c方向以每秒1個單位的速度向終點c勻

速運動，設(shè)APMB的面積為S(SAO),點P的運動時間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑶在(2)的情況下，當點P在線段上運動時，是否存在以BM為腰的等腰三角形？如存在，

直接寫出t的值；如不存在，說明理由.

4.定義“點P對圖形Q的可視度”：在平面直角坐標系中，對于點夕和圖形Q,若圖形Q上所有

的點都在NP的內(nèi)部或NP的邊上，則NP的最小值稱為點P對圖形Q的可視度.如圖1,點。對

線段的可視度為的度數(shù).

(1)如圖2,已知點4(一3,1),C(0,2),。(1,3).連接D4,DB,則4DB的度數(shù)為點。對

△4BC的可視度.求證：^ADB=90°；

⑵如圖3,已知四邊形2BCD為正方形，其中點2(—1,1),B(-l,-1).直線y=+b與久軸

交于點E,與y軸交于點F,其中點F對正方形2BCD的可視度為60°.求點E的坐標；

(3)在(2)的條件下，在平面直角坐標系內(nèi)是否存在點M,使以點4B,E,M為頂點的四邊

形為平行四邊形?若存在，請直接寫出點M坐標；若不存在，請說明理由.

參考答案

1.D

【分析】設(shè)ZE=%，則8后=/為，可算出4。=(a+1)%=(/+1)2號故①正確；先證明

△AEGNAFEG,再由4G〃EF得4GE=4EG,即4E=4G,四邊形AEFG是菱形，故②正

確；由4G—x,AB—(V2+1)%得2。=疆=《+1)%，可求出0G=^-x—：BE,故③正確；

由四邊形ZEFG是菱形證明AGDF三△MDC,即可得GF=CM,故④正確.

【詳解】解：?.?￡)￡■平分4DB,EF1BD,AE1AD,

AE=EF,

???四邊形4BCQ是正方形，

/ABD=45°,

EF=BF,

設(shè)ZE=X,則BE=V2x,

=ZE+BE=(迎+l)x=(/+V)AE,故①正確；

在^AEG^AFEG中，

AE=FE

ZAEG=NFEG，

-EG=EG

AEG三△FEG(SAS),

4G=FG,ZAEG=ZFEG,

???四邊形ABC。是正方形，

OA1OB,

又；EF1OB

AG//EF,

：.NFEG=^AGE,

NAGE=ZAEG,

AE-AG,

:.AE—AG—EF—FG,

四邊形ZEFG是菱形，故②正確；

由①②知，AG=%,4B=(VI+1)%,

OG^AO-AG=故③正確；

BD-AC-20A-(V2+2)x,EF—BF—AE-x,

DF=(V2+l)x=CD,

???四邊形4EFG是菱形，

NEFG=ZBAC=45°,

/DFG=45°=/DCM,

???/EDM=45°=NODC,

NGDF=ZMDC,

GDF=△MDC(ASA),

：.GF=CM,故④正確.

故選：D.

2.①②③④

【分析】連接ac,交BD于點0,由題意易得2C1BD,AZBC是等邊三角形，/ABD=/ADB=

30°,AB=CB,/ABE=NCBE,則有BO=7AB?-AO2=3=加,則BD=6,然后根

據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)可進行求解.

【詳解】解：連接4C,交BD于點0,如圖所示，

:四邊形ZBCD是菱形，AB=2V3,ZABC=60

：.AC1BD,△ABC是等邊三角形,/ABD=/ADB=30°,AB=CB,ZABE=NCBE,

：.AC^AB=2V3,則2。=百，

：.BO=yjAB2-AO2=3=|BD,則BD=6,

：.BE<3,

VBE=BE,

?.△ABE=△CBE,

：./BCE=/BAE,

'：AD||CB,

：.^AFE=/BCE,

：.^AFE=ZBAE,故①正確；

當AZEF為直角三角形時，即N72E=90

,?ZADB=30°,ZEAD=90°,

1

：.AE=-ED,

2

：.AD=yjED2-AE2=yj3AE=2瓜

'.AE-2,則DE=4,

；.BE=BD-DE=2；故②正確；

當AaEF為等腰三角形時，則可分當時，即4FE=/4EF,

在菱形ABC。中，ZBAD=/BCD,

：./EAD=NECD,

"?ZEAD=2^AFE=NECD,

：.在^FCD中，ZAFE+NECD+ZADC=180°,

：.3^AFC+60°=180°

/.ZAFC=40°；

當ZF=EF時，即4EF=ZFAE,

'：ZFAE=NFAB+ZBAE=60°+ZAFE,

：.在^AFE中，/AFE+ZFAE+ZFEA=180°,

：.3^AFE+60°+60°=180°

，ZAFC=20°；

當4E=EF時，則4FE=N7ME=NBZE,此時點￡與點8重合，不符合題意;

故③正確；

連接BF,當BE=CE時，則ZCBE=4CB=30°=ZAFE=ZBAE,

：.ZEAF=/BAD-NBAE=120°-30°=90°,

由②可知BE=CE=AE=2,

'.AF-y[3AE-2-\/3,

：.AF=AB,

ZFAB=60°,

...△AFB是等邊三角形,

ZAFB=60°,

：.NBFE=30°=ZAFE,

平分/4FB,故④正確；

故答案為①②③④.

3.①②③⑤

【分析】先證明AOZB是等邊三角形，得。B=2B,再證AABF是等腰三角形，得BF=AB,

即可得出BF=B。，可判定①正確；求得=15°,得出4C=C”，可判定②正

確；利用含30°的直角三角形的性質(zhì)得出DE=1CD,AB=^BD,再由CD=AB,BD=DE+

BE,即可求得BE=3DE,可判定③正確；過程點"作MN1ZB于“分別求出工女尸=jCF?

AB=^,SABFM=MX1X"=?,即可得出S-CF=2SABFM，可判定④錯誤；過點〃

作HQ14B交延長線于。，延長DC交HQ于尸,先求出P”=1,從而求得4Q="Q=次+1,

即可求得a”=V^4Q=①+聲，可判定⑤正確.

【詳解】解：:.矩形/比〃

/.OA=OC=OD=OB,/BAD=/ABC=^ADC=90°,

,?/BOA=60°,

...△(MB是等邊三角形,

/.OBAB,^OAB=^ABO=60°

?.?4”平分/84。，

/.ZHAB=45°,

ZAFB=/HAB=45°,

：.BF=AB,

：.BF=OB,

故①正確；

/.NCAH=NOAB-ZBAF=60°-45°=15

/.ZEMF=ZAMB=180°-60°-45°=75

■:CE1BD,

：./HEM=90°,

=90°-75°=15°,

：./H=/CAH,

：.AC=CH,

故②正確；

?.?矩形2況》,

：.AB//CD,AB=CD,

：.NCDE=60°,

二./DCE=ZADB=30°,

11

：.DE=±CD,AB=-BD,

22

：.DE=4BD,

'：BD=DE+BE,

：.BE=3DE,

故③正確；

在RtZkZBC中，48=1,ZBAC=60°,

：.AC=2,BC=V3,

VBF=AB=1,

：.CF=V3-1,

???SucF=1CF.4B=第，

過程點〃作MN，ZB于其如圖,

H

D

,/ZHAB=45°,

/AMN=/HAB=45°,

：.AN=MN,

'：/MBN=60°,

：.MN=V3BN,

\'MN+BN=AN+BN=AB=1,

：.BN

2

.?1?V3-1V3-1

..S^BFM=5x1x---=---,

,?S*CF-2SABFM，

故④錯誤；

過點〃作HQ148交延長線于Q,延長DC交”Q于P,

■:HQ1AB,

：.NAQH=90°,

,NAHQ=NHAQ=45

：.AQ=HQ,NCHP=45°+15°=60°,

：.PC=V3PH,

*.?/BQP=NCBQ=NBCP=90°

：.四邊形BCPQ是矩形，

：.PQ=BC=瓜BQ=PC=y/3PH,

：.1+V3PH=V3+PH,

：.PH=1,

.,.AQ—HQ-V3+1,

：.AH=y[2AQ=V6+V2,

故⑤正確，

，正確的結(jié)論有①②③⑤

故答案為：①②③⑤.

4.D

【分析】根據(jù)題意，^DAB=ZDAC+NCAB,ZCAF=ZBAF+NC4B得到=/CAF,

得到△/MB三△CZF(SAS),延長D4至點3過點B做垂線BL1DL,由題意可知四邊形DLBE為

矩形，求出面積即可，延長F2至點K,過點C做垂線CK1KF,由題意可知四邊形KFGC為矩

形，求出面積即可.

【詳解】解：由題意可得2。=4C,=4尸，NEMC=NB4F=90°,

???NDAB=ZDAC+ZCAB,^CAF=ZBAF+ZCAB,

/DAB=^CAF,

"DA=AC

VNDAB=ZCAF,

AB=AF

DAB=△CAF(SAS),

故①、②符合題意，正確；

延長D4至點3過點B做垂線BL1DL,

由題意可知四邊形DLBE為矩形，

??.DE=BL=b,

故SAD4B=3XD4-BL=/2,

SUACED=塊，

故S正方形4CED=2s-DB，③符合題意，正確;

延長凡4至點K,過點C做垂線CK1KF,

由題意可知四邊形KFGC為矩形，

故KC=FG,

S矩形人的二川以二八成

11

S卜/=--AF-CK=-c-FG,

△A522

故S矩形AFGP=2s2ACF，④符合題意,正確.

故選：D.

【題型2四邊形中的動點問題】

1.（1）證明：???四邊形2BCQ是正方形，

ADCD,4==/BCD=^ADC=90°,

/DCF=90°,

又?.?ZE=CF,

ADE=△CDF(SAS),

^ADE=/CDF,

???^ADE+NCDE=90°,

NCDF+NCDE=90°,

即NEW=90°,

:.DE1DF；

(2)①解：依題意，補全圖形如圖所示:

②證明：由（1）可知，和ABEF都是直角三角形,

???G是EF的中點，

11

/.DG=-EF,BG=-EF,

22

:.BG=DG；

③解：BG2+HG2=4AE2,證明如下：

由（1）可知，AADENACDF,DE1DF,

DE=DF,

??.△DEF是等腰直角三角形，

/DEG=45°,

???G為EF的中點，

11

DG1EF,DG=-EF=EG,BG=-EF=EG=FG,

22

/EGD=/HGF=ZDGF=90°,NGDF=45°,NEDG=/DEG=45°,NGBF=

ZGFB,

???NEGB=45°,

NGBF=NGFB=22.5°,

???/DHF+NHFG=/DHF+/CDH=90°,

ZHFG=NCDH=22.5°,

NCDF=/GDF-NHDC=22.5°=NCDH,

又：ZDCH=ZDCF=90°,CD=CD,

CDH=△CDF(ASA),

CH=CF,

在RtZkGHF中，由勾股定理得：GF2+HG2=HF2,

???HF=2CF=2AE,GF=BG,

BG2+HG2=(2ZE)2,

BG2+HG2=4AE2.

2.(1)?..四邊形ABC。是平行四邊形，

.9.AB=DC=6,

ZBAC=90°,

：.BC=y/AC2+AB2=V82+62=10,

(2)在二ABC。中，AD=BC,AD//BC,

由題意得，CQ=8t,

當點0與點8重合時，8t=10,

.工5

??t=1S,

當點0在線段BC上時，QB=BC-CQ=10—8匕

當點0在線段CB的延長線上時，QB=CQ—BC=8t-10,

綜上所述，QB=10-8t(0<tO或QB=8t-10(t>Q；

(3)存在，理由如下：

如圖,連接PB,AQ,

若PQ與ZB互相平分，則四邊形2PBQ是平行四邊形，

：.AP=BQ,

2t=St-10,

?.工?t5―S,

3

.?.當t=|s時，PQ與AB

(4)當點夕關(guān)于直線2Q對稱的點落在點幺下方時，如圖,

由對稱得，ZPAQ=NP'ZQ,

'/AD//BC,

：.ZPAQ=/AQB,

：.ZP/AQ=^AQB,即NB2Q=4QB,

??BQ=AB=6,

ACQ=BC-BQ=4,

：.8t=4,

解得t=j;

當點尸關(guān)于直線2Q對稱的點落在點幺上方時，如圖,

由對稱得，/I=N2,

'JAD//BC,

二/1二^3,

：2=d

.?.^3=4,

BQ=AB=3,

：.CQ=BC+BQ=16,

：.8t=16,

解得t=2,

綜上所述，0的值為1或2.

3.(1)是，理由如下:

如圖，連接ac,

A

BMC

...四邊形ABC。是菱形,

NB—ND=60°,AB—BC=CD=AD,

.?.△ABC,△ac。都是等邊三角形，

：.AB=AC,NB=ZBAC=ZACD=/MAN=60°,

/.ZBAM=/CAN,

在484聞和AC4V中，

(ZB=/ACN

(AB^AC,

=/CAN

：.△BAM=△CAN(ASA),

：.AM=AN,

'：/MAN=60°,

...△ZMN是等邊三角形；

(2)ZkCMN的面積存在最大值，理由如下：

由(1)得：△BAM=△CAN,

??SABAM=S&CAN，

??S四邊形AMCN=S^AMC+SAACN=SAAMC+SAABM=S^ABC，

??S四邊形4MCN=S4ABe

?,S四邊形4MCN不發(fā)生變化，

則AAMN的面積最小時，AMCN的面積最大，

?..△2MN是等邊三角形，根據(jù)垂線段最短可知，4M1BC時，的值最小，ZkAMN的面積最

小,

，ZAMB=90°,

由（1）得：△ABC是等邊三角形，則有：BM=MC=|x2=1,

在Rt△ABM中，由勾股定理得：AM=^AB2-BM2=V22-l2=V3,

.?S四邊形AMCN=^^ABC=-X2XV3=V3,

同理：ME=-AM=—,

22

在Rt△AEM中，由勾股定理得：AE=VT4M2-ME2=J(V3)2-(y)2=|

,SAAMN=：xgx：=^,即：ZkAMN的面積最小值為當，

2244

...△知?？傻拿娣e的最大值=8—2=過，

44

4./或魚或1

【分析】存在三種情況：當a'D=DC,連接ED,勾股定理求得ED的長，可判斷E,2‘，。三

點共線，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；當a'。=a'c,證明ZEa'F是正方形，于是得到結(jié)

論；當a'C=DC時，連接EC,FC,證明點E,a',C三點共線，再用勾股定理可得答案.

【詳解】解：①當4'。=DC時，連接EQ,如圖:

???點E是ZB的中點，AB=2,BC=2V2,四邊形ZBCD是矩形,

:.AE-1,AD-BC-2V2,=90°,

DE=^AE2+AD2=3,

???將△ZEF沿EF所在直線翻折，得到△A,EF,

AE=AE=1,

vAD=DC=AB=2,

???DE=3=AE+AD,

.?.點E,A',。三點共線，

???4=90°,

：.A'E=A,。=90°,

設(shè)ZF=x,則a'F=x,FD=2a-x,

在Rt2\Fa'。中a'。2+a’尸2=。92,

22+%2=（2V2—%）2,

解得:X=y,

AF=—；

2

A/。=小C,

點小在線段CD的垂直平分線上,

???點小在線段的垂直平分線上,

???點E是的中點，

EA7是的垂直平分線，

ZAEA=90°,

???將尸沿EF所在直線翻折，得到△A'EF,

：.ZEA'F=90°,AFA',

.?.四邊形2￡2‘F是正方形，

”=ZE=1；

③當a'C=DC時，連接EC,FC,如圖：

???點E是ZB的中點，AB=2,BC=2V2,四邊形ABC。是矩形,

BE=1,=90°,

CE=y/BE2+BC2=3,

???將△4EF沿EF所在直線翻折，得到△A'EF,

AE=AE=1,

???力/C=DC=AB=2,

'?CE=3=力E+AC,

???點E,A7,C三點共線，

???4=90°,

：.A'E=A'C=90°,

設(shè)2F=x,則4'F—x,FD=2V2—x,

在Rt^Fa'c中，a'C2+Z'F2=FC2,

在Rt^DFC中，F(xiàn)D2+DC2=FC2,

：.A'C2+A'F2=FD2+DC2,

2

即22+久2=（2夜一%）+22

解得：x=V2,

AF—V2；

綜上所述，”的長為弓或魚或1,

故答案為：子或企或1.

【題型3四邊形中的最值問題】

1一百

2

【分析】連接。G,過點P作PG'1CD,則當G點位于G'點時，PG有最小值即PG'的長，根

據(jù)條件證明AZBE三△ZDG(SAS),可得NDPG'=90°-60°=30°,進而用勾股定理求

解即可.

【詳解】解：連接DG,過點尸作PG'1CD,則當G點位于G'點時，PG有最小值即PG'的長，

如圖，

四邊形ZBCD是菱形，ZBAD=60。，

：.AB=AD=6,AB||CD,

是等邊三角形，^ADC=120°,

:.NABD=60°,

,/四邊形ZEFG是菱形，ZEAG=60

AE-AG9

/./BAE=ZDAG,

/.△ABE三△ZDG(SAS),

/ABE=^ADG,

AZADG=60°,

：.aD、G三點共線,

?.?點尸是4。的中點，AD=6,

：.PD=3,

VZDPG'=90°—60°=30°,

:.DG'=-DP

22

：.PG'=JPD2-DG，2=|V3,

即線段PG的最小值是|g,

故答案為：|V3.

2.10V2

【分析】根據(jù)垂線段最短及平行四邊形的判定與性質(zhì)可知當G”IE“時，”G、EF最短，E”、GF

最短，四邊形EFG”是正方形即可解答.

【詳解】解：VGH//EF,GH=EF,

：.四邊形EFG”是平行四邊形，

/.ZEFG+ZFGH=180°,EH=FG,即四邊形EFG”的周長=2(EF+FG)

?.?四邊形ZBCD為正方形，

^AEF+^AFE=90°,NGFB+/FGB=90°,4==90°,

:ZGFB+ZAFE+NEFG=180°,ZFGH+ZHGC+/FGB=180°,

^AEF=NHGC,

：./^AEF=△CGH,即ZE=CG

：.AE+BG=5,

過作G點的對應(yīng)點N,連接EN,過N點作MN1EA,交瓦4延長線于M,

則EM=E4+AM=E2+NB=E4+BG=5,MN=5

EF+FG最短為EN=VFM2+MN2=5/，

/.四邊形EFG”的周長最短=2EN=10V2,

故答案為10迎.

【點睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，軸對稱的性質(zhì).掌握將

軍飲馬問題是解題關(guān)鍵.

3.(1)解：如圖1,

圖1

當點刀在OB上時，

...四邊形是矩形,

?.ZBAO=90°,

?:ZAOB=30

/.ZABO=90°-/AOB=60。，AB=gOB=?OA=3；

?..△2BP是等腰三角形，

..?△4BP是等邊三角形，

'.AP-AB—V3,

當點P(圖中P，)在。B的延長線上時,

"?ZABO=60°,

/./ABP'=120。，

?/△ABP'是等腰三角形，

：.AB=BP',

:.NP，=30°,

:.NP'=ZAOB,

：.AP'=04=3,

綜上所述：AP=g或3；

(2)如圖2,

存在點￡和人使以0,B,E,6為頂點的四邊形是菱形，理由如下:

OB是邊時，

當點尸在BC的延長線時，

,/OE=BF=OB=2V3,

：.CFBF-BC2V3-3,E（—2百，0）,

/.F（3-2V3,V3）,

當點）在。3的延長線上時，

,/CF'=CB+BF'=CB+OB=3+28，OE'=OB+2百,

：.Fr（3+V3,V3）,E，（2V3,0）

當。B是對角線時，（菱形BE〃OF,）

設(shè)。E=BE—m,則4E—3—m,

在Rtz\2BE"中，由勾股定理得，m2-（3-m）2=（V3）,

/.m=2,

，E"（2,0）,F/Z（l,V3）,

綜上所述：E（-2V3,0）,F（3—28,舊）或E（2g,0）,F（3+28，8）或E（2,0）,F（1,V3）；

（3）如圖3,

作點。關(guān)于BC的對稱點。’，作￡點關(guān)于。4的對稱點B',

連接。'B',交BC于點M',。2于點N',

此時OM+MN+NB的最小值為。M'+M'N‘+N’B的長，即。'B’的長,

作0'T1y軸，作B‘T1T?！赥,

,：OT'=CB=3,BT=AB+AB'+BT=3?

：.o'B'=VozT2+BZT2=J32+(3V3)2=6,

：.OM+MN+NB的最小值為：6.

4.2V3<m<|V34-V3

【分析】當點少與點〃重合時，此時有最小值，當點后與點8重合時，此時有最大值,

由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求的長，即可求加的范圍；可證△GAENA

HAF(SAS),即”F=GE,當點〃，點也點少共線時，有最小值，即可求解.

【詳解】解：如圖，當點戶與點。重合時，此時有最小值，

?..△2EF為等邊三角形,

，■=ZE=EF=4,ZFAE=60°,ZBAE=30

：.BE=^AE=2,AB=43BE=243,

如圖，當點￡與點6重合時，此時有最大值，

?..△2EF為等邊三角形，

：.AFAEEFm,ZEAF=600,ZDAE=30

：.DF=-AF=-m,AD=43DF=4,

22

.*.m=-V3,

3

/.2V3<m<|V3.

如圖，當64=2時，以4G為邊作等邊△4G”，作HN14B,連接HF,

：.AG=AH,AE=AF,/GAH=ZEAF=60°,

/.ZBAE=ZHAF,

：.△GAE=△HAF{SAS},

：.HF=GE,

二當點〃，點”點6共線時，有最小值，

此時，:/BAD=/D=/ANH=90°,

四邊形2DFN是矩形，

：.AD=NF=4,

?.?△4G”是等邊三角形，NHLAG,

.'.AN-~AG——1,NH——WAN-V3,

：.HF=4-V3.

故答案為：2百工血工日四；4-V3.

【題型4四邊形中的折疊問題】

1.解：(1)二?四邊形2BCD是矩形，

A^ADC=90°,

由折疊可知，^ADM=/NDM=|ZADE,NCDB=NEDB=|/CDE,

：./NDM+NEDB=-ZADE+-NCDE=-(^ADE+/CDE)=-^ADC=45°,

222vJ2

/./MDB=/NDM+/EDB=45

故答案為：45°

(2)?.,四邊形ABC。是矩形，AB=6,AD=3,

CD-AB—6,BC—AD—3,^A.—NC=90°,

由折疊可知，DN=AD=3,DE=CD=6,4=NC=4=90°,BE=BC=AD=3,

在^ADF^A.EBF中，

4=%=90°

^AFD=NEFB，

AD=EB

：.△ADF=△EBF(AAS),

：.AF=EF,

設(shè)2F=EF=x,

則DF=D