第14講第25章引入勾股定理、30。角性質(zhì)（二大題型）

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、掌握勾股定理及其逆定理;

2、能運(yùn)用直角三角形30。角的性質(zhì)及推論；

3、初步學(xué)會(huì)Rt△中由確定角度，到確定長(zhǎng)度（關(guān)系）。

02思維導(dǎo)圖

03知識(shí)清單

一、三角形的六要素（以直角三角形為例）

2、三條邊：a>b>c

二、勾股定理及其逆定理

A

勾股定理（數(shù)學(xué)符號(hào)語言）：在R3ABC中，：NC=90。，；.a2+b2=c2

勾股定理逆定理：：a2+b2=c2,.,.NC=90。（即AABC是RtAABC）

【即學(xué)即練1】如圖，在"BC中，CDLAB于點(diǎn)D,BD=9,3c=15,AC=20.

⑴求8的長(zhǎng)；⑵求—ACB的度數(shù).

三、直角三角形中30。角的性質(zhì)

a]

性質(zhì)：在RtZkABC中，ZC=90°,若NA=30。，則一二—

c2

a]

推論：在R3ABC中，ZC=90°,若一=—,則NA=30。

c2

【即學(xué)即練1】如圖，在&43c中，⑦,超于點(diǎn)。，BD=9,BC=15,AC=20.

⑴求co的長(zhǎng)；

（2）求NACB的度數(shù).

【即學(xué)即練2】如圖，AABC中，AB^AC,ZA=30°,CD是AB邊上的高.若AS=10,則CO

A

D

in題型精講

題型i：勾股定理及其逆定理

【典例1].如圖，在中NC=90。，AC=2,BC=5,則AB=（）

【典例2】.下列三個(gè)數(shù)中，能組成一組勾股數(shù)的是（）

_____2

A.瓜，瓜，屈B.12,[72）,32

C.12,15,9D.-,—,—

345

【典例3】.在中，斜邊3c=2,則AB?+AC?+8C?等于（）

A.8B.4C.6D.以上都不對(duì)

【典例4】.已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3、4.則第三邊長(zhǎng)為.

B,C在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上,則BC邊長(zhǎng)的高為（）

C.我

D.

【典例6].如圖，已知1號(hào)、4號(hào)兩個(gè)正方形的面積之和為7,2號(hào)、3號(hào)兩個(gè)正方形的面積之和為4,則

a、b、c三個(gè)正方形的面積之和為（）

【典例8].如圖所示，是一塊地的平面圖，其中AD=4米，C￡>=3米，AB=13米，3C=12米，ZADC=90°,

求這塊地的面積.

【典例9].如圖，AABC為一張紙片，AB=3,AC=9,BC=3M,現(xiàn)將AABC折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)2重合,

折痕為。E.則。C長(zhǎng)為

【典例10].如圖，四邊形ABC。中，ZA=ZC=90°,ZABC=135°,CD=6,AB=2,則四邊形ABC。的面

題型2：直角三角形30。角的性質(zhì)及其幾何應(yīng)用

【典例11].在RSABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=2,則8。為（）

A.4B.2C.1D.不能確定

【典例12].如圖，AABC的三個(gè)內(nèi)角比為1：1：2,且5D=2AD,則/。8。是（)

A

A.5°B.10°C.15°D.45°

【典例13].如圖，在AABC中，ZC=90°AC=3,ZB=30。，點(diǎn)尸是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則A尸長(zhǎng)不可能

是（）

r\

CPB

A.5B.4C.7D.6

【典例14].如圖，在AABC中，AB^ACZC=30°,AB±AD,AD=3cm,則BC為__________cm.

BDC

【典例15].如圖，在AABC中，BA=BC;=6,ZABC=120°,則點(diǎn)8到AC邊的距離為____.

力、

BC

【典例16].如圖，&4BC中，A。為中線，ADLAC,ZBAD=30°,AB=3,則AC長(zhǎng)（）

BDC

A.2.5B.2C.1D.1.5

【典例17].如圖，在“RC中，ZC=90°,ZB=30°,AB的垂直平分線ED交A3于點(diǎn)E,交3c于點(diǎn)O,

若C￡>=3,求BD的長(zhǎng).

瓦

B-----------------D\C

【典例18].如圖，在AABC中，AC=BC,NACB=120。，CD是邊AB上的中線，8。的垂直平分線交

BC于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)/，點(diǎn)G是AC上一點(diǎn)，且NCDG=15。.

⑴求證：AG=BD；

(2)若跖=1,求AC的長(zhǎng).

題型3：勾股定理與直角三角形30。角的性質(zhì)綜合

【典例19].如圖，在AABC中，AB=26，BC=6,AC=473,OE垂直平分AC,分別交邊BC、AC于

點(diǎn)D、E,連結(jié)AT>.

⑴求NC的度數(shù)；

⑵求AD的長(zhǎng).

【典例20].如圖，在AABC中，ZB=45°,ZC=30°,邊AC的垂直平分線分別交邊BC、AC于點(diǎn)。、E,

DC=6.求AB的長(zhǎng).

【典例21].如圖，在AABC中，/3=60。，NC=22.5。，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)。，8=30,AE1BC

于點(diǎn)E,求BE的長(zhǎng).

A

B

【典例22].如圖，在AABC中，ZACB=9Q°,ZA=15°,。是邊A3的中點(diǎn)，DE/AB交AC于點(diǎn)、E.

⑴求NCDE的度數(shù)；

(2)過點(diǎn)C作C尸垂直于AB,垂足為點(diǎn)如果45=6.求班'的長(zhǎng).

【典例23].已知，如圖，在"1BC中，AO為BC邊上的中線，且AO=《BC,AE±BC.

(1)求證：NCAE=ZB；

⑵若NC4E=30。，CE=2,求A2的長(zhǎng).

【典例24].如圖，在四邊形A3CD中，AB=2括，BC=4,AC=2幣.

(1)求證：ABJ.BC：

(2)如果C4平分ZBCD,且"=30。，求AACD的面積.

【典例25].如圖，AABC中，/3=60。，ZACB=90°,BC=6,點(diǎn)、D、E分別是邊AB、8C上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，且3￡>=助，過點(diǎn)。作OGLAB交射線8C于點(diǎn)G,交線段AC于點(diǎn)尸，設(shè)BD=x

(2)如圖2,設(shè)當(dāng)點(diǎn)G在8C的延長(zhǎng)線上時(shí)，F(xiàn)C=y,求y關(guān)于尤的函數(shù)解析式，并求出定義域;

(3)若ADEF為直角三角形,求尤的值.

強(qiáng)化訓(xùn)練

MBA

一、單選題

1.在44BC中，NA,/NC的對(duì)邊分別是a,b,c,且片一加=。2,貝|]()

A.ZA=90°B.IB90?C.NC=90。D.不確定哪個(gè)角是直角

2.如圖，ABAC^90°,ADJ.BC,ZBAD=30°,BD=1,則BC=()

AC

A.3B.4C.2A/3D.5

3.如圖：在RtAiABC中ZC=90°,ZA=30°,BE平分/ABC,交AC于E,貝!|CE:AE=().

4

------c

E

A.2B.1C.2:1D.1:2

4.如圖所示，在△ABC中,NACB=90。，々=30。，0為斜邊AB的中點(diǎn).若AC=5,則CD的長(zhǎng)為()

A

c2^-------------

A.4B.5C.6D.7

5.如圖，在等邊AABC中，AB=4,BD±AB,CO〃AB,則8的長(zhǎng)度為（）

C.2A/3D.6

6.如圖，在AABC中，ZACB=90°,OE垂直平分A3,分別交AB、BC于點(diǎn)D、E,AE平分/54C,ZB=30°,

DE=2,則BC的長(zhǎng)為（）

C.4D.6

7.如圖，AABC中，。為45中點(diǎn),E在AC上，且BELAC.若DE=5,AE=8,則班的長(zhǎng)度是（)

A.5B.5.5C.6D.6.5

8.如圖，在AABC中，AB=AC,NB=30。，AD±AB,AD=4,則下列各式中正確的是（）

A

A.AB=8B.BC=16C.DC=4D.BD=10

9.如圖，RtAABC中，ZACB=90°,ZABC=60°,BC=4cm,。為BC的中點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，沿

著A-8的方向運(yùn)動(dòng)，聯(lián)結(jié)QE,當(dāng)△8OE是直角三角形時(shí)，BE的值為（）

B

A.4B.1C.4或1D.4或7

10.如圖，在等邊AABC中，AB=6,點(diǎn)尸是邊8C上的動(dòng)點(diǎn),將“IBP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AACQ,

點(diǎn)。是AC邊的中點(diǎn)，連接則的最小值是（）

C.石+1D.&

二、填空題

11.已知，如圖所示，RSABC的周長(zhǎng)為4+2石，斜邊AB的長(zhǎng)為2后，則RSA8C的面積為

12.△48C中，ZC=90°,ZA=30°,貝!J8C：AC：AB=.

13.在RtZXABC中，ZC=90°,AO平分NA4C,交BC于D,如果CD=2:1,那么N3=

14.如圖，在AABC中，ZBCA=90°,AC=BC,ABCD是等邊三角形，BC=3+?貝UBE=.

15.如圖，在AABC中，ZA=90°,ZB=15°,斜邊BC的垂直平分線交邊48于點(diǎn)E,垂足為點(diǎn)。，取線

段BE的中點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)。凡如果AC=4,則。尸=.

16.在Rt^ABC中，/AC?=90。，點(diǎn)G是重心，如果AG=3,BG=4,那么CG=.

17.如圖，直線AB與無軸交于點(diǎn)4（-2,0）,與x軸夾角為30。，將AABO沿直線翻折，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C

k

恰好落在雙曲線y=彳化*0）上，則上的值為

18.在Rt^ABC中，NC=90。，NA=15。，AB=6,（如圖），點(diǎn)。是A2的中點(diǎn)，將AACD沿直線CO翻

折后點(diǎn)A落在點(diǎn)E,那么BE的長(zhǎng)為.

三、解答題

19.房梁的一部分如圖所示，其中8。，4。,乙4=30。,45=7.4111,點(diǎn)。是48的中點(diǎn)，且OE1AC,垂足

為E,求BC,DE的長(zhǎng).

20.如圖，在MAABC中，/C=90。，AC=8,BC=6,為AA3C角平分線，求CD的長(zhǎng)度.

c

D

21.如圖，ZACB=90°,ABAC=30°,AC=25BC=2,把AABC沿AB折疊，點(diǎn)C折疊到點(diǎn)。，AD

的延長(zhǎng)線與射線CB交于點(diǎn)E.

EBC

(1)求AE的長(zhǎng)；

(2)求AABE的面積.

22.如圖，四邊形ABC。中，NC=90。，ADLDB,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，DE//BC.

(2)連接EC,若NA=30。，DC=6求EC的長(zhǎng).

23.已知，如圖在AABC中，AD,BE分別是3C,AC邊上的高，AD,BE交于H,DA