第4章水動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)4.1理想液體元流的能量方程4.2實(shí)際液體元流的能量方程4.3實(shí)際液體總流的能量方程4.4恒定總流動(dòng)量方程4.5理想液體運(yùn)動(dòng)微分方程及其積分4.6實(shí)際液體運(yùn)動(dòng)微分方程4.7恒定平面勢流§4.5理想液體運(yùn)動(dòng)微分方程及積分

液體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律涉及力，在研究理想液體運(yùn)動(dòng)時(shí)，首先要了解理想液體中的應(yīng)力。因?yàn)槔硐胍后w沒有粘滯性，所以液體運(yùn)動(dòng)時(shí)不產(chǎn)生切應(yīng)力，表面力只有壓應(yīng)力，即動(dòng)水壓強(qiáng)。理想液體的動(dòng)水壓強(qiáng)與靜水壓強(qiáng)一樣亦具有兩個(gè)特性：

(1)動(dòng)水壓強(qiáng)的方向總是沿著作用面的內(nèi)法線方向；

(2)任意一點(diǎn)的動(dòng)水壓強(qiáng)大小與作用面的方位無關(guān)，

即同一點(diǎn)上各個(gè)方向的動(dòng)水壓強(qiáng)大小相等。4.5.1理想液體的運(yùn)動(dòng)微分方程液體是一種物質(zhì)，在運(yùn)動(dòng)過程中亦必須遵循牛頓第二定律。下面應(yīng)用牛頓第二定律建立理想液體的運(yùn)動(dòng)微分方程。在理想液體流場中，任取一點(diǎn)該點(diǎn)的動(dòng)水壓強(qiáng)為速度為以為中心，取微小平行六面體，如圖4-24所示?！?.5理想液體運(yùn)動(dòng)微分方程及積分設(shè)液體為均質(zhì)，密度為因?yàn)槭抢硐胍后w，表面力只有動(dòng)水壓力。

六面體上形心點(diǎn)的壓強(qiáng)仍采用泰勒級數(shù)并略去二階以上小量而得。根據(jù)牛頓第二定律，在x軸方向，所有作用于六面體上的力投影的代數(shù)和應(yīng)等于六面體的質(zhì)量與加速度投影之乘積。

§4.5理想液體運(yùn)動(dòng)微分方程及積分即對單位質(zhì)量而言，化簡得同理：即為理想液體的運(yùn)動(dòng)微分方程，是由歐拉在1775年首先推導(dǎo)出來的，所以又稱為歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程。它表示了液體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和作用力之間的相互關(guān)系，適用于不可壓縮的理想液體或可壓縮的理想氣體。對前者密度值為常量，而后者值為變量?！?.5理想液體運(yùn)動(dòng)微分方程及積分對于靜止液體，得即為液體的平衡微分方程，即歐拉液體平衡微分方程。

歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程可寫為§4.5理想液體運(yùn)動(dòng)微分方程及積分對于不可壓縮的均質(zhì)理想液體而言,未知數(shù)僅為,,,與連續(xù)性微分方程式聯(lián)合構(gòu)成封閉的方程組，結(jié)合具體問題的定解條件，才能求得不可壓縮理想液體運(yùn)動(dòng)的解?！?.5理想液體運(yùn)動(dòng)微分方程及積分4.5.2葛羅米柯（TpoMeko）運(yùn)動(dòng)微分方程因，由此可寫出對軸偏導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式:故將上式代入§4.5理想液體運(yùn)動(dòng)微分方程及積分整理得：因，代入上式整理后得：同理§4.5理想液體運(yùn)動(dòng)微分方程及積分若液體是不可壓縮均質(zhì)的，密度為常數(shù)則,,,可分別寫為,

,若為恒定流，則將以上條件代入可化簡為同理可得：§4.5理想液體運(yùn)動(dòng)微分方程及積分4.5.3理想液體運(yùn)動(dòng)微分方程的積分由理論力學(xué)可知，力勢場中的力在，，三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量可用某一函數(shù)的相應(yīng)坐標(biāo)軸的偏導(dǎo)數(shù)來表示即其中，稱為勢函數(shù)或力勢函數(shù)，而具有勢函數(shù)的質(zhì)量力稱為有勢力，例如重力和慣性力?！?.5理想液體運(yùn)動(dòng)微分方程及積分將以上各式分別乘以坐標(biāo)任意增量，，，并將它們相加，得因?yàn)楹愣鲿r(shí)各運(yùn)動(dòng)要素與時(shí)間無關(guān)上式等號左邊為對空間坐標(biāo)的全微分，§4.5理想液體運(yùn)動(dòng)微分方程及積分等號右邊可用行列式的形式來表示顯然，當(dāng)行列式的值等于零時(shí)，上式即可積分為=常數(shù)該式是理想液體恒定流的能量方程。這個(gè)方程式是瑞士科學(xué)家伯努利（Bernoulli）在1738年提出的，該方程又稱為伯努利方程?！?.5理想液體運(yùn)動(dòng)微分方程及積分應(yīng)用條件⑴液體是不可壓縮均質(zhì)的理想液體，密度為常數(shù)；

⑵作用于液體上的質(zhì)量力是有勢的；⑶液體運(yùn)動(dòng)是恒定流；⑷行列式§4.5理想液體運(yùn)動(dòng)微分方程及積分當(dāng)質(zhì)量力只有重力時(shí)，并取軸鉛垂向上為正，則

，，因此積分得=常數(shù)又由可得=常數(shù)任意兩點(diǎn)§4.5理想液體運(yùn)動(dòng)微分方程及積分4.5.4絕對運(yùn)動(dòng)和相對運(yùn)動(dòng)的能量方程⒈絕對運(yùn)動(dòng)的能量方程

絕對運(yùn)動(dòng)是指液流的固體邊界對地球沒有相對運(yùn)動(dòng)，作用在液體上的質(zhì)量力只有重力而沒有其它慣性力。若質(zhì)量力是有勢的，則故§4.5理想液體運(yùn)動(dòng)微分方程及積分稱為不可壓縮均質(zhì)理想液體恒定流的絕對運(yùn)動(dòng)能量方程，又稱為絕對運(yùn)動(dòng)的伯努利方程。

⒉相對運(yùn)動(dòng)的能量方程相對運(yùn)動(dòng)是指液流沿固體邊界運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，固體邊界相對于地球是運(yùn)動(dòng)的，例如水泵葉輪內(nèi)水流的運(yùn)動(dòng)就是這種情況。一方面液體在葉片之間由中心向外運(yùn)動(dòng)右圖為離心泵葉輪示意圖。另一方面葉輪以等角速度繞中心軸作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

§4.5理想液體運(yùn)動(dòng)微分方程及積分單位質(zhì)量力的分量為所以積分得§4.5理想液體運(yùn)動(dòng)微分方程及積分整理得即：應(yīng)用于同一條流線上的任意兩點(diǎn)，則即為相對運(yùn)動(dòng)的能量方程，它常用來分析流體機(jī)械，如離心泵及水輪機(jī)中的液體運(yùn)動(dòng)?！?.5理想液體運(yùn)動(dòng)微分方程及積分

在實(shí)際工程中，絕大部分液體運(yùn)動(dòng)其粘滯性是不能忽略的，因此，在本節(jié)將導(dǎo)出實(shí)際液體的運(yùn)動(dòng)微分方程。4.6.1液體質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)在實(shí)際液體的流場中任取一點(diǎn)由切應(yīng)力互等定理可得§4.6

實(shí)際液體運(yùn)動(dòng)微分方程4.6.2應(yīng)力與變形的關(guān)系牛頓內(nèi)摩擦定律給出二維平行直線流動(dòng)中切應(yīng)力大小為，速度梯度

實(shí)際上又代表了液體的切應(yīng)變率（又稱剪切變形速率或角變形率），即將這個(gè)結(jié)論推廣到一般的空間流動(dòng)，稱為廣義牛頓內(nèi)摩擦定律。§4.6

實(shí)際液體運(yùn)動(dòng)微分方程在平面上的角變形速率為

因?yàn)?，所以則切應(yīng)力同理可得§4.6

實(shí)際液體運(yùn)動(dòng)微分方程關(guān)于正應(yīng)力，即動(dòng)水壓強(qiáng)，在同一點(diǎn)上，三個(gè)互相垂直作用面上的動(dòng)水壓強(qiáng)之和，與那組垂直作用面的方位無關(guān)，也就是說，無論直角坐標(biāo)系如何轉(zhuǎn)動(dòng)，的值總是保持不變。平均值三個(gè)互相垂直方向的動(dòng)水壓強(qiáng)§4.6

實(shí)際液體運(yùn)動(dòng)微分方程對于不可壓縮液體附加動(dòng)水壓強(qiáng)和線變形速率之間有下列關(guān)系聯(lián)立上述公式整理得：§4.6

實(shí)際液體運(yùn)動(dòng)微分方程4.6.3實(shí)際液體運(yùn)動(dòng)微分方程在實(shí)際液體流場中，取一個(gè)以任意點(diǎn)，如下圖所示。

沿軸方向現(xiàn)根據(jù)牛頓第二定律，§4.6

實(shí)際液體運(yùn)動(dòng)微分方程同理可得y,z軸上的值，并化簡整理后可得

這就是以應(yīng)力表示的實(shí)際液體運(yùn)動(dòng)微分方程?？烧淼茫骸?.6

實(shí)際液體運(yùn)動(dòng)微分方程這就是不可壓縮均質(zhì)實(shí)際液體運(yùn)動(dòng)微分方程。稱納維埃－司托克斯（Navier–Stokes）方程，簡稱N-S方程。如果液體為理想液體，上式即成為理想液體運(yùn)動(dòng)微分方程；如果是靜止液體，上式即成為液體的平衡微分方程?！?.6

實(shí)際液體運(yùn)動(dòng)微分方程按液體質(zhì)點(diǎn)有無轉(zhuǎn)動(dòng)，將液體運(yùn)動(dòng)分為有旋流和無旋流，無旋流又稱為有勢流。嚴(yán)格地講，只有理想液體的運(yùn)動(dòng)才有可能是有勢流。4.7.1流速勢和等勢線在恒定有勢流中必然存在流速勢函數(shù)，對平面內(nèi)的勢流來說，且有所以§4.7

恒定平面勢流流速勢函數(shù)可表達(dá)為下列積分勢函數(shù)相等的點(diǎn)連成一條曲線，稱為等勢線，其方程為常數(shù)

給出不同的常數(shù)值，可在勢流場內(nèi)得到一簇等勢線。因?yàn)榈葎菥€方程滿足，所以若已知流速場，等勢線方程也可寫為平面流動(dòng)的連續(xù)性方程為§4.7

恒定平面勢流可得到可見流速勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程。

4.7.2流函數(shù)及其性質(zhì)對于平面流動(dòng)來說，流線的微分方程式為當(dāng)§4.7

恒定平面勢流即為不可壓縮液體的連續(xù)性方程令此函數(shù)為，稱為流函數(shù)，則有因?yàn)榇嬖诳傻昧魉賵雠c流函數(shù)的關(guān)系式為§4.7

恒定平面勢流

流函數(shù)存在的充分必要條件就是不可壓縮液體的連續(xù)性方程，所以，不可壓縮液體作平面連續(xù)運(yùn)動(dòng)時(shí)就有流函數(shù)存在。流函數(shù)有如下性質(zhì)：⑴同一條流線上各點(diǎn)的流函數(shù)為常數(shù)。⑵平面勢流的流函數(shù)是一個(gè)調(diào)和函數(shù)。⑶兩流線間所通過的單寬流量等于該兩條流線的流函數(shù)值之差?！?.7

恒定平面勢流4.7.3等勢線與流線的關(guān)系在恒定平面勢流中，流速勢函數(shù)取為常數(shù)則為等勢線方程即可得則等勢線上某一點(diǎn)的斜率為在平面流場中，流函數(shù)為常數(shù)的線即為流線，即可得在同一點(diǎn)上，流線的斜率為§4.7

恒定平面勢流因?yàn)樗?，通過平面勢流中任意一點(diǎn)的等勢線與流線是正交的。4.7.4流網(wǎng)及其繪制⒈流網(wǎng)及其性質(zhì)流速勢函數(shù)的等值線就是等勢線，其方程式為取為不同常數(shù)（如，…）§4.7

恒定平面勢流可得到一簇等勢線；流函數(shù)的等值線亦為流線，其方程式為取常數(shù)為不同數(shù)值（如，…），同樣可得到一簇流線。這兩組線形成的網(wǎng)格，就稱為流網(wǎng)，如圖4-30所示。流網(wǎng)的性質(zhì)如下：§4.7

恒定平面勢流（1）流網(wǎng)是正交網(wǎng)格。（2）流網(wǎng)中每一網(wǎng)格的邊長之比，等于流速勢函數(shù)與流函數(shù)的增值之比。（3）流網(wǎng)的每個(gè)網(wǎng)格均為曲線正方形，任意兩條流線之間的單寬流量為常數(shù)。根據(jù)流函數(shù)的性質(zhì)，不可壓縮液體恒定平面流動(dòng)中，任意兩條流線之間所通過的單寬流量等于該兩條流線的流函數(shù)值之差，即寫成差分形式，可得=常數(shù)§4.7

恒定平面勢流流場中的壓強(qiáng)分布，可應(yīng)用能量方程求得。恒定平面勢流中任何兩點(diǎn)之間都滿足能量方程：整理可得，兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差為⒉流網(wǎng)的繪制邊界條件：有固體邊界、自由表面邊界、入流斷面和出流斷面邊界等?！?.7

恒定平面勢流根據(jù)流網(wǎng)的性質(zhì)，可得=常數(shù)流場中某點(diǎn)的速度為已知，就可由上式求得其它各點(diǎn)的速度。兩條流線的間距愈大，則速度愈??；間距愈小，則速度愈大。則可以得出：§4.7

恒定平面勢流由于勢流是理想液體運(yùn)動(dòng)，液體質(zhì)點(diǎn)在固體邊界上允許有滑移，所以液體必然沿著固體邊界流動(dòng)。固體邊界是一條流線，等勢線必須與邊界正交。固體邊界上的流動(dòng)條件，是垂直于邊界的流速分量應(yīng)等于零。恒定流自由表面邊界與固體邊界的流動(dòng)條件關(guān)系流動(dòng)條件一樣，垂直于自由表面的速度分量應(yīng)等于零。即，自由表面也是一條流線，等勢線應(yīng)與之垂直。相同點(diǎn)：§4.7

恒定平面勢流不同點(diǎn)：（1）自由表面的壓強(qiáng)一般是大氣壓強(qiáng)，這是它的動(dòng)力學(xué)條件。（2）固體邊界的位置、形狀為已知，而自由表面的位置、形狀是未知的。因此，繪制有自由表面的流網(wǎng)比較復(fù)雜。入流斷面和出流斷面的流動(dòng)條件，有一部分應(yīng)該是已知的，根據(jù)這些已知條件