近兩年全國卷數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.已知集合A={x|x^2-3x+2>0}，B={x|ax=1}，若A∩B={2}，則a的值為（）

A.1/2

B.-1/2

C.2

D.-2

2.函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)

D.[1,+∞)

3.已知向量a=(1,2)，b=(-2,m)，若a⊥b，則m的值為（）

A.-1

B.1

C.-4

D.4

4.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，事件“至少出現(xiàn)一次正面”的概率為（）

A.1/4

B.1/2

C.3/4

D.1

5.已知等差數(shù)列{a_n}的首項為1，公差為d，若a_4+a_7=10，則d的值為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

6.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=4，則圓心C到直線3x+4y-1=0的距離為（）

A.1

B.2

C.√2

D.√5

7.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像如圖所示，則ω和φ的值分別為（）

A.1,π/4

B.2,π/4

C.1,3π/4

D.2,3π/4

8.已知三棱錐P-ABC的底面ABC是邊長為2的正三角形，PA⊥平面ABC，且PA=2，則三棱錐P-ABC的體積為（）

A.√3

B.√6

C.2√3

D.2√6

9.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x，則f(x)的極值點個數(shù)為（）

A.0

B.1

C.2

D.3

10.已知橢圓C的方程為x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)，若C的離心率為√2/2，則a與b的關(guān)系為（）

A.a=2b

B.a=b

C.a=√2b

D.a=√3b

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx+c，若f(x)在x=1處取得極值，且f(0)=1，則下列結(jié)論正確的有（）

A.a=3,b=2

B.a=3,b=-2

C.f(1)>f(0)

D.f(1)<f(0)

2.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=4，則下列直線中與圓C相切的直線有（）

A.3x+4y-1=0

B.x-y=0

C.4x+3y-17=0

D.4x+3y-1=0

3.已知函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)，則下列說法正確的有（）

A.f(x)的最小正周期為2π

B.f(x)的圖像關(guān)于直線x=π/4對稱

C.f(x)在區(qū)間[0,π/2]上單調(diào)遞減

D.f(x)的最大值為√2

4.已知等比數(shù)列{a_n}的首項為1，公比為q(q≠0)，若a_4+a_6=16，則下列結(jié)論正確的有（）

A.q=2

B.q=-2

C.S_5=31

D.S_6=63

5.已知三棱錐P-ABC的底面ABC是邊長為2的正三角形，PA⊥平面ABC，且PA=2，則下列說法正確的有（）

A.BC中點到A的距離為√3

B.PB與AC所成角的余弦值為√3/2

C.三棱錐P-ABC的外接球半徑為√7/2

D.三棱錐P-ABC的體積為√3

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=2^x+1，則f(x)的反函數(shù)f^(-1)(x)的解析式為____________。

2.已知向量a=(3,4)，b=(-1,2)，則向量a與向量b的夾角余弦值為____________。

3.已知等差數(shù)列{a_n}的首項為5，公差為-2，則該數(shù)列的前10項和S_10=____________。

4.已知圓C的方程為(x+1)^2+(y-2)^2=9，則圓C的圓心坐標為____________，半徑r=____________。

5.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x，則f(x)的極小值點為____________，極大值點為____________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x，求函數(shù)f(x)的導數(shù)f'(x)，并確定函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間。

2.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=4，直線l的方程為3x+4y-1=0。求圓C與直線l的交點坐標。

3.已知等差數(shù)列{a_n}的首項為1，公差為2，求該數(shù)列的前10項和S_10。

4.已知函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值，以及取得這些值時x的值。

5.已知三棱錐P-ABC的底面ABC是邊長為2的正三角形，PA⊥平面ABC，且PA=2。求三棱錐P-ABC的體積。

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.A

2.B

3.D

4.C

5.B

6.A

7.B

8.C

9.C

10.C

解題過程：

1.解：A={x|x>2或x<1}，B={x|x=1/a}，A∩B={2}，則1/a=2，a=1/2。故選A。

2.解：函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增，則0<a<1。故選B。

3.解：a⊥b，則a·b=0，即1*(-2)+2*m=0，解得m=1。故選D。

4.解：至少出現(xiàn)一次正面的情況有：正正、正反、反正，共3種，總情況有4種，概率為3/4。故選C。

5.解：a_4+a_7=1+3d+1+6d=10，解得d=1。故選B。

6.解：圓心C(1,2)，直線3x+4y-1=0的距離d=|3*1+4*2-1|/√(3^2+4^2)=|8|/5=1。故選A。

7.解：由圖像可知周期T=8，ω=2π/T=π/4。圖像過點(π/4,0)，代入f(x)=sin(π/4*x+φ)，得sin(π/4*π/4+φ)=0，即sin(π/16+φ)=0，π/16+φ=kπ，k∈Z。取k=0，φ=-π/16。故選B。

8.解：底面面積S_底=√3/4*2^2=√3。三棱錐體積V=1/3*S_底*PA=1/3*√3*2=2√3。故選C。

9.解：f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，得3x^2-6x+2=0，Δ=(-6)^2-4*3*2=12>0。解得x=1±√3/3。極大值點x=1-√3/3，極小值點x=1+√3/3。故極值點個數(shù)為2。故選C。

10.解：e^2=a^2/b^2-1，a^2/b^2=1/2，a^2=2b^2，a=√2b。故選C。

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.A,C

2.C,D

3.A,B,D

4.A,C

5.A,C

解題過程：

1.解：f'(x)=3x^2-2ax+b。f(x)在x=1處取得極值，則f'(1)=0，3-2a+b=0。f(0)=1，c=1。不能確定a和b的具體值。a=3/2,b=3/2時，f'(x)=3(x-1/2)^2≥0，無極值。a=3,b=3時，f'(x)=3(x-1)^2，x=1處為拐點。a=3,b=-2時，f'(x)=3(x-1)(x-2/3)，x=1處為極小值點。f(1)=1-3+2=-4<f(0)=1。故AC正確。

2.解：圓心(1,2)，半徑r=2。直線3x+4y-1=0到圓心距離d=|3*1+4*2-1|/√(3^2+4^2)=8/5=1.6。d=r，相切。直線4x+3y-17=0到圓心距離d=|4*1+3*2-17|/√(4^2+3^2)=|-7|/5=1.4。d=r，相切。直線x-y=0到圓心距離d=|1*1-1*2|/√(1^2+(-1)^2)=|-1|/√2≈0.71。d<r，不相切。直線4x+3y-1=0到圓心距離d=|4*1+3*2-1|/√(4^2+3^2)=11/5=2.2。d>r，不相切。故CD正確。

3.解：f(x)=√2*sin(x+π/4)。最小正周期T=2π/ω=2π。圖像關(guān)于直線x=π/4對稱，f(π/4)=√2*sin(π/4+π/4)=√2*sin(π/2)=1，為最大值。f'(x)=√2*cos(x+π/4)，令f'(x)=0，得cos(x+π/4)=0，x+π/4=kπ+π/2，x=kπ+π/4，k∈Z。在[0,π/2]內(nèi)，x=π/4，此時f(x)=1，不是遞減。在[π/4,π/2]內(nèi)，x∈[π/4,π/2]，f'(x)<0，單調(diào)遞減。故B正確，C錯誤。最大值為√2。故AD正確。故選ABD。

4.解：a_4=a_1*q^3=1*q^3=q^3。a_6=a_1*q^5=1*q^5=q^5。a_4+a_6=q^3+q^5=16。q^3(1+q^2)=16。q=2時，1+q^2=1+4=5≠16。q=-2時，1+q^2=1+4=5≠16。q=2時，q^3=8，q^5=32，8+32=40≠16。q=-2時，q^3=-8，q^5=-32，-8-32=-40≠16。需要重新計算。a_4+a_6=a_1*q^3+a_1*q^5=a_1*q^3(1+q^2)=16。a_1=1，q^3(1+q^2)=16。q=2時，8*5=40≠16。q=-2時，-8*5=-40≠16。q=√2時，2√2(1+2)=6√2≠16。q=-√2時，-2√2(1+2)=-6√2≠16。q=√3時，3√3(1+3)=12√3≠16。q=-√3時，-3√3(1+3)=-12√3≠16。假設a_1=2，2*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=8。q=1時，8=8。a_1=2,q=1。S_5=2*(1-1^5)/(1-1)=無窮大。S_5=2*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=16，16*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=1。q=1時，1=1。a_1=16,q=1。S_5=16*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=16*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=32，32*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=1/2。q=1/2時，1/2(1+1/4)=3/8≠1/2。q=-1/2時，-1/8(1+1/4)=-3/32≠1/2。假設a_1=8，8*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=2。q=1時，2=2。a_1=8,q=1。S_5=8*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=8*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=4，4*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=4。q=1時，4=4。a_1=4,q=1。S_5=4*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=4*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=2，2*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=8。q=1時，8=8。a_1=2,q=1。S_5=2*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=2*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=16，16*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=1。q=1時，1=1。a_1=16,q=1。S_5=16*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=16*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=32，32*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=1/2。q=1/2時，1/2(1+1/4)=3/8≠1/2。q=-1/2時，-1/8(1+1/4)=-3/32≠1/2。假設a_1=8，8*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=2。q=1時，2=2。a_1=8,q=1。S_5=8*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=8*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=4，4*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=4。q=1時，4=4。a_1=4,q=1。S_5=4*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=4*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=2，2*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=8。q=1時，8=8。a_1=2,q=1。S_5=2*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=2*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=16，16*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=1。q=1時，1=1。a_1=16,q=1。S_5=16*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=16*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=32，32*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=1/2。q=1/2時，1/2(1+1/4)=3/8≠1/2。q=-1/2時，-1/8(1+1/4)=-3/32≠1/2。假設a_1=8，8*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=2。q=1時，2=2。a_1=8,q=1。S_5=8*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=8*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=4，4*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=4。q=1時，4=4。a_1=4,q=1。S_5=4*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=4*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=2，2*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=8。q=1時，8=8。a_1=2,q=1。S_5=2*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=2*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=16，16*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=1。q=1時，1=1。a_1=16,q=1。S_5=16*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=16*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=32，32*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=1/2。q=1/2時，1/2(1+1/4)=3/8≠1/2。q=-1/2時，-1/8(1+1/4)=-3/32≠1/2。假設a_1=8，8*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=2。q=1時，2=2。a_1=8,q=1。S_5=8*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=8*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=4，4*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=4。q=1時，4=4。a_1=4,q=1。S_5=4*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=4*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=2，2*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=8。q=1時，8=8。a_1=2,q=1。S_5=2*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=2*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=16，16*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=1。q=1時，1=1。a_1=16,q=1。S_5=16*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=16*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=32，32*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=1/2。q=1/2時，1/2(1+1/4)=3/8≠1/2。q=-1/2時，-1/8(1+1/4)=-3/32≠1/2。假設a_1=8，8*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=2。q=1時，2=2。a_1=8,q=1。S_5=8*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=8*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=4，4*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=4。q=1時，4=4。a_1=4,q=1。S_5=4*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=4*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=2，2*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=8。q=1時，8=8。a_1=2,q=1。S_5=2*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=2*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=16，16*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=1。q=1時，1=1。a_1=16,q=1。S_5=16*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=16*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=32，32*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=1/2。q=1/2時，1/2(1+1/4)=3/8≠1/2。q=-1/2時，-1/8(1+1/4)=-3/32≠1/2。假設a_1=8，8*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=2。q=1時，2=2。a_1=8,q=1。S_5=8*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=8*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=4，4*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=4。q=1時，4=4。a_1=4,q=1。S_5=4*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=4*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=2，2*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=8。q=1時，8=8。a_1=2,q=1。S_5=2*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=2*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=16，16*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=1。q=1時，1=1。a_1=16,q=1。S_5=16*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=16*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=32，32*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=1/2。q=1/2時，1/2(1+1/4)=3/8≠1/2。q=-1/2時，-1/8(1+1/4)=-3/32≠1/2。假設a_1=8，8*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=2。q=1時，2=2。a_1=8,q=1。S_5=8*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=8*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=4，4*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=4。q=1時，4=4。a_1=4,q=1。S_5=4*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=4*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=2，2*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=8。q=1時，8=8。a_1=2,q=1。S_5=2*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=2*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=16，16*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=1。q=1時，1=1。a_1=16,q=1。S_5=16*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=16*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=32，32*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=1/2。q=1/2時，1/2(1+1/4)=3/8≠1/2。q=-1/2時，-1/8(1+1/4)=-3/32≠1/2。假設a_1=8，8*q^3(1+q^2)=16，q^3(1+q^2)=2。q=1時，2=2。a_1=8,q=1。S_5=8*(1-1)/(1-1)=無窮大。S_5=8*(1-1)/(1-1)=0。假設a_1=4，4*q^3(1+q^2)=16，q