南開區(qū)高三數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=ax^3-3x+1在x=1處取得極值，則a的值為（）

A.3

B.-3

C.2

D.-2

2.已知集合A={x|x^2-x-6>0}，B={x|2<x<4}，則A∩B=（）

A.(-∞,-2)∪(3,+∞)

B.(-2,3)

C.(2,4)

D.?

3.若復(fù)數(shù)z=1+i滿足z^2=a+bi，則a+b的值為（）

A.2

B.-2

C.0

D.1

4.拋擲兩個(gè)均勻的六面骰子，則兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為7的概率為（）

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

5.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(π/4,0)，且周期為π，則φ的值為（）

A.0

B.π/2

C.-π/2

D.π

6.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1=2，a_4=7，則a_10的值為（）

A.12

B.13

C.14

D.15

7.已知直線l1:y=kx+1與直線l2:x+y=4相交于點(diǎn)P，且∠OPP'=90°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P'為P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)），則k的值為（）

A.1

B.-1

C.2

D.-2

8.已知圓O的方程為x^2+y^2=4，則過(guò)點(diǎn)P(1,1)的直線與圓O相切的切線方程為（）

A.x+y=2

B.x-y=0

C.x+y=0

D.x-y=2

9.已知函數(shù)f(x)=e^x-x在區(qū)間(0,1)上的最小值是m，則m的值為（）

A.e-1

B.1-e

C.0

D.e

10.已知三棱錐A-BCD的底面BCD是邊長(zhǎng)為1的正三角形，且PA=PB=PC=AD=BD=CD=2，則三棱錐A-BCD的體積為（）

A.√3/2

B.√2/3

C.1/3

D.√3/3

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是（）

A.y=-x^2+1

B.y=log_a(x)(a>1)

C.y=e^x

D.y=sin(x)

2.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=4，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.圓心C的坐標(biāo)為(1,-2)

B.圓C的半徑為2

C.直線y=x+1與圓C相切

D.點(diǎn)P(2,0)在圓C內(nèi)部

3.已知函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx-1在x=1處取得極值，且f'(0)=2，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.a=3

B.b=-2

C.f(x)在x=-1處取得極小值

D.f(x)在x=1處取得極大值

4.已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=1，q=2，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.S_4=15

B.a_5=16

C.S_n=2^n-1

D.{a_n}是遞增數(shù)列

5.已知直線l1:y=kx+b與直線l2:y=mx+c相交于點(diǎn)P(1,2)，且l1與x軸交于點(diǎn)A，l2與y軸交于點(diǎn)B，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.k+m=4

B.OA=OB

C.l1與l2的夾角為45°

D.l1與l2的斜率之積為-1

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=2^x-1，則f^{-1}(3)=。

2.在△ABC中，若角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且a=3，b=4，c=5，則cosB=。

3.已知數(shù)列{a_n}滿足a_1=1，a_n+a_{n+1}=2n，則a_5=。

4.已知圓O的方程為x^2+y^2-4x+6y-3=0，則圓O的圓心坐標(biāo)為，半徑為。

5.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值為，最小值為。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)。

2.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=4，直線l的方程為y=kx。若直線l與圓C相切，求k的值。

3.已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a_1=1，a_n+a_{n+1}=n+1。求a_5的值。

4.已知函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2π]上的最大值和最小值。

5.已知三棱錐A-BCD的底面BCD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且PA=PB=PC=PD=2。求三棱錐A-BCD的體積。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.A

解析：f'(x)=3ax^2-6x，f'(1)=3a-6=0，得a=2。

2.C

解析：A=(-∞,-2)∪(3,+∞)，B=(2,4)，A∩B=(2,3)。

3.A

解析：z^2=(1+i)^2=1+2i-1=2i，即a+bi=2i，得a=0,b=2，a+b=2。

4.A

解析：總共有36種等可能結(jié)果，點(diǎn)數(shù)之和為7的組合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6種，概率為6/36=1/6。

5.C

解析：由周期為π，得ω=2。圖像過(guò)(π/4,0)，即sin(ωπ/4+φ)=sin(π/2+φ)=0，得ωπ/4+φ=kπ，即π/2+φ=kπ，得φ=kπ-π/2。取k=0，得φ=-π/2。

6.D

解析：由a_4=a_1+3d=7，得2+3d=7，解得d=5/3。a_10=a_1+9d=2+9×5/3=16/3+15/3=31/3=15。

7.A

解析：P在直線l1上，得k*1+1=2，解得k=1。P(1,2)，P'(-1,2)。直線OP的斜率為2，直線PP'的斜率為(2-2)/(1-(-1))=0。由∠OPP'=90°，得直線PP'的斜率應(yīng)為-1/2。但直線l2:x+y=4的斜率為-1。這里可能題目條件有誤，若理解為P在l1上且P'在l2上，則k=1時(shí)P(1,2)，P'(-1,2)，P在l1上，P'在l2上，滿足條件。或者題目意圖是求l1的斜率k，使得P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)P'在l2上。P(1,2),P'(-1,2)。若P'在l2上，則-1+2=4，即1=4，矛盾。若理解為求k使得l1⊥l2，則k*(-1)=-1，得k=1。

8.A

解析：圓心O(0,0)，半徑r=2。設(shè)切線方程為y=kx+b。點(diǎn)(1,1)在切線上，得1=k*1+b，即b=1-k。切線到圓心O的距離等于半徑，|0*0+0*1+b|/√(k^2+1)=2，即|1-k|/√(k^2+1)=2。兩邊平方得(1-k)^2=4(k^2+1)，即1-2k+k^2=4k^2+4，得3k^2+2k+3=0。解得k=(-2±√(-32))/6=(-1±i√22)/3。這是虛數(shù)，說(shuō)明過(guò)(1,1)的直線不存在與圓x^2+y^2=4相切的切線。題目可能有誤。若題目意圖是求過(guò)(1,1)的圓的切線方程，則方程為(x-1)(x-0)+(y-1)(y-0)=2^2，即x^2+y^2-x-y=4。代入(1,1)，1+1-1-1=4，即0=4，矛盾。若切線方程為x+y=c，代入(1,1)，1+1=c=4。切線方程為x+y=4。此方程為y=-x+4，斜率k=-1。檢查：|0*0+0*1+4|/√((-1)^2+1)=4/√2=2√2≠2。所以不存在實(shí)數(shù)k使得切線過(guò)(1,1)且與圓相切。題目可能有誤。如果題目是求過(guò)點(diǎn)(1,1)的圓心為(1,1)，半徑為√2的圓x^2+y^2=2的切線方程，則切線方程為x+y=2，滿足過(guò)(1,1)。但這與原題不符。如果題目是求過(guò)點(diǎn)(1,1)的直線與圓x^2+y^2=4相交，求其中一條切線的方程，則可能需要其他條件確定。假設(shè)題目本意是求過(guò)(1,1)的圓x^2+y^2=4的切線方程y=-x+4。

9.B

解析：f'(x)=e^x-1。令f'(x)=0，得x=0。f'(x)在(0,1)上小于0。因此f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減。最小值在右端點(diǎn)x=1處取得，m=f(1)=e^1-1=e-1。

10.A

解析：取BC中點(diǎn)O，連接AO，CO。AO⊥平面BCD，CO⊥平面BCD?！螾AC=∠PBC=∠PCD=90°。BC=1，PA=PC=2，所以AO=√(PA^2-AO^2)=√(4-1/4)=√(15/4)=√15/2。同理，取AD中點(diǎn)M，連接OM。OM⊥平面BCD。AD=2，PM=PD=2，所以O(shè)M=√(PD^2-OM^2)=√(4-1/4)=√15/2。所以AO=OM=√15/2。BO=√(BC^2-BO^2)=√(1-1/4)=√3/2。同理，DO=√3/2。底面BCD是正三角形，高h(yuǎn)=√(BC^2-(BC/2)^2)=√(1-1/4)=√3/2。三棱錐A-BCD的體積V=(1/3)*底面積*高=(1/3)*(1/2*BC*h)*AO=(1/3)*(1/2*1*√3/2)*(√15/2)=(√3/12)*(√15/2)=√(45)/24=√5/8。這里計(jì)算有誤。更正：V=(1/3)*底面積*高=(1/3)*(1/2*BC*h)*AO=(1/3)*(1/2*1*√3/2)*(√15/2)=(√3/12)*(√15/2)=√(45)/24=√5/8。再次檢查AO和h，AO=√15/2，h=√3/2。V=(1/3)*(1/2*1*√3/2)*(√15/2)=(√3/12)*(√15/2)=√45/24=3√5/24。再次檢查，AO=√15/2，h=√3/2。V=(1/3)*(1/2*BC*h)*AO=(1/3)*(1/2*1*√3/2)*(√15/2)=(√3/12)*(√15/2)=√45/24=3√5/24?？雌饋?lái)計(jì)算仍不匹配題目選項(xiàng)。讓我們換種方法。設(shè)BC的中點(diǎn)為E，連接AE，DE。AE⊥BC，DE⊥BC。AE=√(PA^2-AE^2)=√(4-1)=√3。DE=√(PD^2-DE^2)=√(4-1)=√3?！螦ED是側(cè)面PBC與側(cè)面PCD的角。AE=DE=√3，BC=1，所以△AED是等邊三角形，∠AED=60°。三棱錐P-BCD的體積V=(1/3)*底面積*高。底面BCD是邊長(zhǎng)為1的正三角形，面積S_BCD=(√3/4)*1^2=√3/4。高是PA在平面BCD上的投影，即AO。AO=√(PA^2-(BC/2)^2)=√(4-(1/2)^2)=√(4-1/4)=√(15/4)=(√15)/2。V=(1/3)*(√3/4)*(√15/2)=(√45)/(24)=(3√5)/24。還是3√5/24。題目給的答案是√3/2?？雌饋?lái)題目給出的答案與計(jì)算結(jié)果不符，或者題目條件有誤。

2.B,C

解析：圓心(1,-2)，半徑2。直線l與圓相切，圓心到直線l的距離等于半徑。直線l:y=kx。距離d=|1*k+(-2)-0|/√(k^2+1)=|k-2|/√(k^2+1)=2。兩邊平方得(k-2)^2=4(k^2+1)。k^2-4k+4=4k^2+4。0=3k^2+4k。k(3k+4)=0。得k=0或k=-4/3。所以BC正確。

3.A,B

解析：a_n+a_{n+1}=n+1。令n=1，a_1+a_2=2。令n=2，a_2+a_3=3。令n=3，a_3+a_4=4。a_2=2-a_1=2-1=1。a_3=3-a_2=3-1=2。a_4=4-a_3=4-2=2。a_5=5-a_4=5-2=3。所以a_5=3。A對(duì)。a_n+a_{n+1}=n+1。a_{n+1}+a_{n+2}=n+2。兩式相減，a_{n+2}-a_n=1。所以a_1,a_4和a_2,a_5差1。a_1=1,a_4=2。a_2=1,a_5=3。B對(duì)。

4.A,B,D

解析：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。周期為2π，A對(duì)?！?sin(x+π/4)在[0,2π]上，sin(x+π/4)在[π/4,2π+π/4]上，即[π/4,9π/4]上。最大值為√2，最小值為-√2。B對(duì)。f'(x)=√2cos(x+π/4)。令f'(x)=0，得cos(x+π/4)=0，即x+π/4=kπ+π/2，x=kπ+π/4。在[0,2π]上，k=0,x=π/4；k=1,x=5π/4。f(π/4)=√2sin(π/4+π/4)=√2sin(π/2)=√2。f(5π/4)=√2sin(5π/4+π/4)=√2sin(3π/2)=-√2。所以最大值√2，最小值-√2。C錯(cuò)。f(x)的圖像是正弦曲線向上平移了√2/2個(gè)單位，是振幅為√2，周期為2π的正弦曲線。D對(duì)。

5.A,B,D

解析：P(1,2)。直線l1:y=kx+b。l1過(guò)P，得2=k*1+b，b=2-k。l2:y=mx+c。l2過(guò)P，得2=m*1+c，c=2-m。l1與x軸交點(diǎn)A(-b/k,0)=(-(2-k)/k,0)。l2與y軸交點(diǎn)B(0,c)=(0,2-m)。OA=|-(2-k)/k|=(2-k)/|k|。OB=|2-m|=|2-m|。若OA=OB，則(2-k)/|k|=|2-m|。因?yàn)閙=4-k，代入得(2-k)/|k|=|2-(4-k)|=|k-2|。若k>0，(2-k)/k=k-2=>2/k=2k-4=>1/k=k-2=>k^2-3k+1=0。若k<0，(2-k)/(-k)=k-2=>-2/k=k-2=>-2=k(k-2)=>k^2-2k+2=0。此方程無(wú)實(shí)根。所以不可能OA=OB。B錯(cuò)。l1斜率k，l2斜率m=4-k。若夾角45°，則|k-(4-k)|/√(k^2+1)*√(m^2+1)=1。即|2k-4|/√(k^2+1)*√((4-k)^2+1)=1。計(jì)算復(fù)雜，且由B錯(cuò)可知不可能。D對(duì)。若l1⊥l2，則k*m=k*(4-k)=-1=>k^2-4k+1=0。這與夾角45°矛盾。若l1與l2垂直，則k*(4-k)=-1=>k^2-4k+1=0。這與夾角45°矛盾。所以D不成立。綜上所述，A、B、D正確。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.B,C

解析：y=-x^2+1在(0,+∞)上單調(diào)遞減。y=log_a(x)(a>1)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。y=e^x在(0,+∞)上單調(diào)遞增。y=sin(x)在(0,+∞)上非單調(diào)。

2.A,B,C

解析：圓心(1,-2)，半徑√(4+9-12)=√1=1。A對(duì)。B對(duì)。直線y=x+1，即x-y+1=0。圓心到直線距離|1-(-2)+1|/√(1^2+(-1)^2)=4/√2=2√2≠1。不切。D錯(cuò)。點(diǎn)(2,0)，(2-1)^2+(0-(-2))^2=1^2+2^2=5≠4。不在圓內(nèi)。D錯(cuò)。

3.A,B,C

解析：f'(x)=3x^2-6x。f'(1)=3-6=-3≠0。題目條件f'(1)=2與f(x)=x^3-ax^2+bx-1在x=1處取得極值矛盾。若忽略f'(1)=2，僅根據(jù)a_1=1,a_n+a_{n+1}=2n求a_5。a_1=1。a_1+a_2=2=>a_2=1。a_2+a_3=3=>a_3=2。a_3+a_4=4=>a_4=2。a_4+a_5=5=>a_5=3。A對(duì)。B對(duì)。由a_{n+2}-a_n=1可知a_n是等差數(shù)列。a_2-a_1=0，a_3-a_2=1，矛盾。所以忽略f'(1)=2求a_5是錯(cuò)誤的。若題目意圖是a_1=1,a_n+a_{n+1}=2n+1，則a_2=2,a_3=1,a_4=3,a_5=2。若a_1=1,a_n+a_{n+1}=2n，則a_2=1,a_3=2,a_4=2,a_5=3。B對(duì)。C對(duì)。

4.A,B,C

解析：a_1=1,q=2。S_4=a_1(1-q^4)/(1-q)=1(1-16)/(-1)=15。A對(duì)。a_5=a_1*q^4=1*16=16。B對(duì)。S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)=1(1-2^n)/(-1)=2^n-1。C對(duì)。

5.A,B,D

解析：l1:y=kx+b。l2:y=mx+c。l1過(guò)(1,2)，2=k+b。l2過(guò)(1,2)，2=m+c。b=2-k,c=2-m。l1與x軸交點(diǎn)A(-b/k,0)=(-(2-k)/k,0)。OA=|-(2-k)/k|=(2-k)/|k|。l2與y軸交點(diǎn)B(0,c)=(0,2-m)。OB=|2-m|。若OA=OB，則(2-k)/|k|=|2-m|。m=4-k，代入得(2-k)/|k|=|2-(4-k)|=|k-2|。若k>0，(2-k)/k=k-2=>2/k=2k-4=>1/k=k-2=>k^2-3k+1=0。若k<0，(2-k)/(-k)=k-2=>-2/k=k-2=>-2=k(k-2)=>k^2-2k+2=0。無(wú)實(shí)根。所以不可能OA=OB。B錯(cuò)。l1斜率k，l2斜率m=4-k。若夾角45°，則|k-(4-k)|/√(k^2+1)*√(m^2+1)=1。即|2k-4|/√(k^2+1)*√((4-k)^2+1)=1。計(jì)算復(fù)雜，且由B錯(cuò)可知不可能。D對(duì)。若l1⊥l2，則k*m=k*(4-k)=-1=>k^2-4k+1=0。這與夾角45°矛盾。若l1與l2垂直，則k*(4-k)=-1=>k^2-4k+1=0。這與夾角45°矛盾。所以D不成立。綜上所述，A、B、D正確。

三、填空題答案及解析

1.1

解析：f(x)=2^x-1。f^{-1}(3)即求x使得f(x)=3，即2^x-1=3=>2^x=4=>x=2。f^{-1}(3)=2。

2.3/4

解析：由余弦定理，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(3^2+5^2-4^2)/(2*3*5)=(9+25-16)/30=18/30=3/5。這里計(jì)算有誤，b=4。cosB=(3^2+5^2-4^2)/(2*3*5)=(9+25-16)/30=18/30=3/5。題目答案為3/4，計(jì)算錯(cuò)誤。正確答案應(yīng)為3/5。

3.3

解析：見多項(xiàng)選擇題第3題解析，a_5=3。

4.(2,-3),√10

解析：配方得(x-2)^2+(y+3)^2=4+9-(-3)=10。圓心(2,-3)，半徑√10。

5.3,-1

解析：f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0，得x=0或x=2。f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2=-1-3+2=-2。f(0)=0^3-3*0^2+2=2。f(2)=2^3-3*2^2+2=8-12+2=-2。f(3)=3^3-3*3^2+2=27-27+2=2。最大值為max{f(-1),f(0),f(2),f(3)}=max{-2,2,-2,2}=2。最小值為min{f(-1),f(0),f(2),f(3)}=min{-2,2,-2,2}=-2。題目答案為3,-1。最大值計(jì)算錯(cuò)誤。

四、計(jì)算題答案及解析

1.解：f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0，得3x^2-6x+2=0。解得x=(6±√(36-24))/6=(6±√12)/6=(6±2√3)/6=1±√3/3。f''(x)=6x-6。f''(1+√3/3)=6(1+√3/3)-6=2√3>0，所以x=1+√3/3是極小值點(diǎn)。f''(1-√3/3)=6(1-√3/3)-6=-2√3<0，所以x=1-√3/3是極大值點(diǎn)。

2.解：圓C:(x-1)^2+(y+2)^2=4。圓心(1,-2)，半徑2。直線l:y=kx。圓心到直線距離d=|1*k+(-2)-0|/√(k^2+1)=|k-2|/√(k^2+1)=2。兩邊平方得(k-2)^2=4(k^2+1)。k^2-4k+4=4k^2+4。0=3k^2+4k。k(3k+4)=0。k=0或k=-4/3。

3.解：見多項(xiàng)選擇題第3題解析。a_1=1。a_1+a_2=2=>a_2=1。a_2+a_3=3=>a_3=2。a_3+a_4=4=>a_4=2。a_4+a_5=5=>a_5=3。

4.解：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。周期T=2π。振幅A=√2。f(x)在[0,2π]上。令f'(x)=√2cos(x+π/4)=0。得x+π/4=kπ+π/2，x=kπ+π/4。在[0,2π]上，k=0,x=π/4；k=1,x=5π/4。f(π/4)=√2sin(π/4+π/4)=√2sin(π/2)=√2。f(5π/4)=√2sin(5π/4+π/4)=√2sin(3π/2)=-√2。端點(diǎn)f(0)=√2sin(π/4)=√2/√2=1。f(2π)=√2sin(2π+π/4)=√2sin(π/4)=√2/√2=1。最大值√2，最小值-√2。

5.解：見填空題第5題解析。f(x)=x^3-3x^2+2。f(-1)=-2。f(0)=2。f(2)=-2。f(3)=2。最大值為2，最小值為-2。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷所涵蓋的理論基礎(chǔ)部分的知識(shí)點(diǎn)分類和總結(jié)如下：

**一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)**

*函數(shù)的概念、定義域、值域。

*基本初等函數(shù)的性質(zhì)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）。

*函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性。

*函數(shù)的圖像變換（平移、伸縮）。

*導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義（切線斜率）。

*導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則）。

*導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值和最值）。

**二、三角函數(shù)**

*任意角的概念、弧度制。

*三角函數(shù)的定義（sin,cos,tan,cot,sec,csc）。

*三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)（定義域、值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性）。

*三角函數(shù)的恒等