2025年三角的邊角關(guān)系競賽題庫本文借鑒了近年相關(guān)經(jīng)典試題創(chuàng)作而成，力求幫助考生深入理解測試題型，掌握答題技巧，提升應試能力。一、選擇題（每題5分，共50分）1.在△ABC中，若a=3，b=2，C=120°，則c的值為（）。A.√7B.√13C.5D.√192.已知△ABC中，sinA=1/2，sinB=√3/2，則△ABC的形狀為（）。A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.等腰三角形3.在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，則cosA的值為（）。A.1/2B.3/4C.1/4D.2/34.在△ABC中，若a=√3，b=1，A=60°，則sinB的值為（）。A.1/2B.√3/2C.1/√2D.√3/45.已知△ABC中，a=5，b=7，c=8，則cosC的值為（）。A.1/2B.1/3C.1/4D.1/56.在△ABC中，若a=4，b=3，A=60°，則△ABC的面積為（）。A.6B.6√3C.12D.12√37.已知△ABC中，a=6，b=8，c=10，則△ABC的周長為（）。A.20B.24C.28D.308.在△ABC中，若a=5，b=12，c=13，則△ABC的最大角為（）。A.30°B.45°C.60°D.90°9.已知△ABC中，a=3，b=4，c=5，則△ABC的內(nèi)角和為（）。A.90°B.180°C.270°D.360°10.在△ABC中，若a=2，b=2，c=√2，則△ABC的形狀為（）。A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.等腰三角形二、填空題（每題6分，共60分）1.在△ABC中，若a=5，b=7，C=60°，則c=________。2.已知△ABC中，sinA=1/2，sinB=√3/2，則A+B=________。3.在△ABC中，若a:b:c=1:√3:2，則cosA=________。4.在△ABC中，若a=3，b=4，A=60°，則sinB=________。5.已知△ABC中，a=4，b=5，c=6，則cosC=________。6.在△ABC中，若a=5，b=12，c=13，則△ABC的面積為________。7.已知△ABC中，a=7，b=24，c=25，則△ABC的周長為________。8.在△ABC中，若a=8，b=15，c=17，則△ABC的最大角為________。9.已知△ABC中，a=3，b=4，c=5，則△ABC的形狀為________。10.在△ABC中，若a=6，b=8，c=10，則△ABC的內(nèi)角和為________。三、解答題（每題10分，共100分）1.在△ABC中，已知a=5，b=7，C=60°，求c的值，并判斷△ABC的形狀。2.在△ABC中，已知a=3，b=4，c=5，求cosA、cosB、cosC的值。3.在△ABC中，已知a=8，b=15，c=17，求△ABC的面積。4.在△ABC中，已知a=5，b=12，c=13，求sinA、sinB、sinC的值。5.在△ABC中，已知a=7，b=24，c=25，求△ABC的周長，并判斷△ABC的形狀。6.在△ABC中，已知a=9，b=12，c=15，求cosA、cosB、cosC的值。7.在△ABC中，已知a=10，b=6，c=8，求△ABC的面積。8.在△ABC中，已知a=5，b=5，c=8，求cosA、cosB、cosC的值。9.在△ABC中，已知a=12，b=16，c=20，求△ABC的面積。10.在△ABC中，已知a=7，b=24，c=25，求△ABC的內(nèi)角和，并判斷△ABC的形狀。答案與解析一、選擇題1.D解析：根據(jù)余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC=32+22-2×3×2×cos120°=9+4+12=25，所以c=√25=5。2.C解析：因為sinA=1/2，sinB=√3/2，所以A=30°，B=60°，C=90°，所以△ABC是直角三角形。3.C解析：設(shè)a=3k，b=4k，c=5k，根據(jù)余弦定理，cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(16k2+25k2-9k2)/(2×4k×5k)=1/4。4.A解析：根據(jù)正弦定理，sinB=bsinA/a=1sin60°/√3=√3/(2√3)=1/2。5.B解析：根據(jù)余弦定理，cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(25+49-64)/(2×5×7)=10/70=1/7。6.A解析：根據(jù)余弦定理，cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=32+42-52/(2×3×4)=7/24，所以sinA=√(1-cos2A)=√(1-(7/24)2)=√(576/576-49/576)=√(527/576)=√527/24，所以△ABC的面積=(1/2)bcsinA=(1/2)×3×4×√527/24=6。7.C解析：△ABC的周長=a+b+c=6+8+10=24。8.D解析：根據(jù)余弦定理，cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=122+132-52/(2×12×13)=169/312，所以A=arccos(169/312)，同理可求B和C，因為A+B+C=180°，所以最大角為90°。9.B解析：因為a=3，b=4，c=5，所以△ABC是直角三角形，內(nèi)角和為180°。10.C解析：根據(jù)余弦定理，cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=22+√22-22/(2×2×√2)=√2/2，所以A=45°，同理可求B和C，因為A+B+C=180°，所以△ABC是直角三角形。二、填空題1.√19解析：根據(jù)余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC=52+72-2×5×7×cos60°=25+49-35=39，所以c=√39。2.90°解析：因為sinA=1/2，sinB=√3/2，所以A=30°，B=60°，所以A+B=90°。3.1/2解析：設(shè)a=k，b=k√3，c=2k，根據(jù)余弦定理，cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(3k2+4k2-k2)/(2×k√3×2k)=1/2。4.√3/2解析：根據(jù)正弦定理，sinB=bsinA/a=4sin60°/3=2√3/3，所以sinB=√3/2。5.1/2解析：根據(jù)余弦定理，cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=42+52-62/(2×4×5)=1/2。6.30解析：根據(jù)余弦定理，cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=52+122-132/(2×5×12)=0，所以C=90°，所以△ABC的面積=(1/2)ab=30。7.36解析：△ABC的周長=a+b+c=7+24+25=36。8.90°解析：根據(jù)余弦定理，cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=152+172-82/(2×15×17)=0，所以A=90°，所以△ABC是直角三角形，最大角為90°。9.直角三角形解析：因為a=3，b=4，c=5，所以△ABC是直角三角形。10.180°解析：因為a=6，b=8，c=10，所以△ABC是直角三角形，內(nèi)角和為180°。三、解答題1.解：根據(jù)余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC=52+72-2×5×7×cos60°=25+49-35=39，所以c=√39。因為a:b:c=5:7:√39，所以△ABC是銳角三角形。2.解：根據(jù)余弦定理，cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=42+52-32/(2×4×5)=12/40=3/10，所以sinA=√(1-cos2A)=√(1-(3/10)2)=√(100/100-9/100)=√91/10。同理可求cosB和cosC。3.解：根據(jù)余弦定理，cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=82+152-172/(2×8×15)=-7/240，所以sinC=√(1-cos2C)=√(1-(-7/240)2)=√(57600/57600-49/57600)=√(57551/57600)，所以△ABC的面積=(1/2)absinC=(1/2)×8×15×√(57551/57600)=60√57551/5760。4.解：根據(jù)余弦定理，cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=122+132-52/(2×12×13)=169/312，所以sinA=√(1-cos2A)=√(1-(169/312)2)=√(97344/97344-28561/97344)=√(68783/97344)=√68783/312。同理可求sinB和sinC。5.解：△ABC的周長=a+b+c=7+24+25=56。因為a2+b2=c2，所以△ABC是直角三角形。6.解：根據(jù)余弦定理，cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=122+152-92/(2×12×15)=117/360=39/120=13/40，所以sinA=√(1-cos2A)=√(1-(13/40)2)=√(1600/1600-169/1600)=√(1431/1600)=√1431/40。同理可求cosB和cosC。7.解：根據(jù)余弦定理，cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=62+82-102/(2×6×8)=-2/24=-1/12，所以sinA=√(1-cos2A)=√(1-(-1/12)2)=√(144/144-1/144)=√143/144，所以△ABC的面積=(1/2)absinA=(1/2)×6×8×√143/144=24√143/144。8.解：根據(jù)余弦定理，cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=52+52-82/(2×5×5)=25/50=1/2，所以sinA=√(1-cos2A)=√(1-(1/2)2)=√(4/4-1/4)=√3/2。同理可求cosB和cosC。9.解：根據(jù)余弦定理，cosC=(a2+