成人專升本高數(shù)全真模擬試題二及答案一、選擇題（每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\)的定義域是（）A.\((-2,2)\)B.\([-2,2]\)C.\((-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\)D.\((-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\)答案：A解析：要使函數(shù)\(y=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\)有意義，則分母不為零且根號(hào)下的數(shù)大于零，即\(4-x^2>0\)，也就是\(x^2-4<0\)，因式分解得\((x+2)(x-2)<0\)。解得\(-2<x<2\)，所以函數(shù)的定義域?yàn)閈((-2,2)\)。2.已知\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2+ax+3}{x-1}=b\)（\(b\)為常數(shù)），則\(a\)的值為（）A.-4B.-3C.3D.4答案：A解析：因?yàn)閈(\lim\limits_{x\to1}(x-1)=0\)，而\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2+ax+3}{x-1}=b\)存在，所以當(dāng)\(x\to1\)時(shí)，分子\(x^2+ax+3\)的值必為\(0\)，即\(1^2+a\times1+3=0\)，解得\(a=-4\)。此時(shí)\(\frac{x^2-4x+3}{x-1}=\frac{(x-1)(x-3)}{x-1}=x-3\)（\(x\neq1\)），\(\lim\limits_{x\to1}(x-3)=1-3=-2=b\)。3.設(shè)\(y=\sin(2x+3)\)，則\(y'\)等于（）A.\(\cos(2x+3)\)B.\(2\cos(2x+3)\)C.\(-\cos(2x+3)\)D.\(-2\cos(2x+3)\)答案：B解析：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，若\(y=f(u)\)，\(u=g(x)\)，則\(y^\prime=f^\prime(u)\cdotg^\prime(x)\)。令\(u=2x+3\)，則\(y=\sinu\)，\(y^\prime_{u}=\cosu\)，\(u^\prime_{x}=2\)，所以\(y^\prime=2\cos(2x+3)\)。4.曲線\(y=x^3-3x^2+1\)在點(diǎn)\((1,-1)\)處的切線方程為（）A.\(y=3x-4\)B.\(y=-3x+2\)C.\(y=-4x+3\)D.\(y=4x-5\)答案：B解析：首先對(duì)\(y=x^3-3x^2+1\)求導(dǎo)，\(y^\prime=3x^2-6x\)。將\(x=1\)代入導(dǎo)數(shù)\(y^\prime\)中，得到切線的斜率\(k=y^\prime|_{x=1}=3\times1^2-6\times1=-3\)。由點(diǎn)斜式方程\(y-y_0=k(x-x_0)\)（其中\(zhòng)((x_0,y_0)=(1,-1)\)，\(k=-3\)），可得切線方程為\(y+1=-3(x-1)\)，即\(y=-3x+2\)。5.若\(\intf(x)dx=F(x)+C\)（\(C\)為常數(shù)），則\(\intf(2x-1)dx\)等于（）A.\(F(2x-1)+C\)B.\(\frac{1}{2}F(2x-1)+C\)C.\(2F(2x-1)+C\)D.\(F(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2})+C\)答案：B解析：令\(u=2x-1\)，則\(du=2dx\)，\(dx=\frac{1}{2}du\)。所以\(\intf(2x-1)dx=\frac{1}{2}\intf(u)du\)，又因?yàn)閈(\intf(x)dx=F(x)+C\)，所以\(\frac{1}{2}\intf(u)du=\frac{1}{2}F(u)+C=\frac{1}{2}F(2x-1)+C\)。6.定積分\(\int_{0}^{1}e^xdx\)的值為（）A.\(e-1\)B.\(1-e\)C.\(e\)D.\(1\)答案：A解析：根據(jù)牛頓-萊布尼茨公式，若\(F^\prime(x)=f(x)\)，則\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\)。因?yàn)閈((e^x)^\prime=e^x\)，所以\(\int_{0}^{1}e^xdx=e^x|_{0}^{1}=e^1-e^0=e-1\)。7.設(shè)\(z=x^2y+\sin(xy)\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}\)等于（）A.\(2xy+y\cos(xy)\)B.\(x^2+y\cos(xy)\)C.\(2xy+x\cos(xy)\)D.\(x^2+x\cos(xy)\)答案：A解析：求\(\frac{\partialz}{\partialx}\)時(shí)，把\(y\)看作常數(shù)。對(duì)\(z=x^2y+\sin(xy)\)求偏導(dǎo)數(shù)，根據(jù)求導(dǎo)公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)和\((\sinu)^\prime=\cosu\cdotu^\prime\)。\(\frac{\partialz}{\partialx}=(x^2y)^\prime+(\sin(xy))^\prime=2xy+y\cos(xy)\)。8.已知向量\(\vec{a}=(1,-2,3)\)，\(\vec=(2,1,0)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec\)等于（）A.0B.-2C.2D.4答案：C解析：若\(\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2,z_2)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2\)。已知\(\vec{a}=(1,-2,3)\)，\(\vec=(2,1,0)\)，所以\(\vec{a}\cdot\vec=1\times2+(-2)\times1+3\times0=2-2+0=2\)。9.微分方程\(y^\prime+2y=0\)的通解為（）A.\(y=Ce^{-2x}\)B.\(y=Ce^{2x}\)C.\(y=Cxe^{-2x}\)D.\(y=Cxe^{2x}\)答案：A解析：這是一階線性齊次微分方程\(y^\prime+P(x)y=0\)的形式，其中\(zhòng)(P(x)=2\)。其通解公式為\(y=Ce^{-\intP(x)dx}\)，\(\intP(x)dx=\int2dx=2x\)，所以通解\(y=Ce^{-2x}\)。10.冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\)的收斂半徑\(R\)為（）A.0B.1C.\(+\infty\)D.2答案：C解析：對(duì)于冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)，其收斂半徑\(R=\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|\)（當(dāng)極限存在時(shí)）。在冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\)中，\(a_n=\frac{1}{n!}\)，\(a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)!}\)，則\(R=\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|=\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{\frac{1}{n!}}{\frac{1}{(n+1)!}}|=\lim\limits_{n\to\infty}(n+1)=+\infty\)。二、填空題（每小題4分，共20分）11.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\)______。答案：3解析：根據(jù)重要極限\(\lim\limits_{u\to0}\frac{\sinu}{u}=1\)，令\(u=3x\)，當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(u\to0\)，則\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\times\frac{3}{3}=3\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}=3\times1=3\)。12.設(shè)\(y=\ln(1+x^2)\)，則\(y^\prime|_{x=1}=\)______。答案：1解析：對(duì)\(y=\ln(1+x^2)\)求導(dǎo)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，令\(u=1+x^2\)，則\(y=\lnu\)，\(y^\prime_{u}=\frac{1}{u}\)，\(u^\prime_{x}=2x\)，所以\(y^\prime=\frac{2x}{1+x^2}\)。將\(x=1\)代入\(y^\prime\)中，\(y^\prime|_{x=1}=\frac{2\times1}{1+1^2}=1\)。13.\(\intxe^{x^2}dx=\)______。答案：\(\frac{1}{2}e^{x^2}+C\)解析：令\(u=x^2\)，則\(du=2xdx\)，\(xdx=\frac{1}{2}du\)。所以\(\intxe^{x^2}dx=\frac{1}{2}\inte^udu=\frac{1}{2}e^u+C=\frac{1}{2}e^{x^2}+C\)。14.設(shè)\(z=x^y\)，則\(\frac{\partialz}{\partialy}\big|_{(e,1)}=\)______。答案：1解析：對(duì)\(z=x^y\)求關(guān)于\(y\)的偏導(dǎo)數(shù)，根據(jù)求導(dǎo)公式\((a^x)^\prime=a^x\lna\)，把\(x\)看作常數(shù)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=x^y\lnx\)。將\((x,y)=(e,1)\)代入\(\frac{\partialz}{\partialy}\)中，\(\frac{\partialz}{\partialy}\big|_{(e,1)}=e^1\lne=e\times1=1\)。15.已知直線\(l:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-3}{3}\)與平面\(\pi:2x-y+3z+5=0\)，則直線\(l\)與平面\(\pi\)的位置關(guān)系是______。答案：平行解析：直線\(l\)的方向向量\(\vec{s}=(2,-1,3)\)，平面\(\pi\)的法向量\(\vec{n}=(2,-1,3)\)。因?yàn)閈(\vec{s}=\vec{n}\)，所以直線\(l\)的方向向量與平面\(\pi\)的法向量平行，直線\(l\)與平面\(\pi\)垂直于同一條直線，所以直線\(l\)與平面\(\pi\)平行。三、解答題（共90分。解答應(yīng)寫出推理、演算步驟）16.（本題滿分10分）求\(\lim\limits_{x\to2}\frac{x^2-4}{x^2-3x+2}\)。解：先對(duì)分子分母進(jìn)行因式分解：分子\(x^2-4=(x+2)(x-2)\)；分母\(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\)。則\(\lim\limits_{x\to2}\frac{x^2-4}{x^2-3x+2}=\lim\limits_{x\to2}\frac{(x+2)(x-2)}{(x-1)(x-2)}\)（\(x\neq2\)時(shí)可約去\(x-2\)）\(=\lim\limits_{x\to2}\frac{x+2}{x-1}\)將\(x=2\)代入\(\frac{x+2}{x-1}\)得：\(\frac{2+2}{2-1}=4\)。17.（本題滿分10分）設(shè)\(y=x\cosx\)，求\(y^\prime\)。解：根據(jù)乘積的求導(dǎo)法則\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)，其中\(zhòng)(u=x\)，\(v=\cosx\)。\(u^\prime=(x)^\prime=1\)，\(v^\prime=(\cosx)^\prime=-\sinx\)。所以\(y^\prime=(x\cosx)^\prime=(x)^\prime\cosx+x(\cosx)^\prime=\cosx-x\sinx\)。18.（本題滿分10分）求\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2xdx\)。解：根據(jù)三角函數(shù)的二倍角公式\(\cos2x=1-2\sin^2x\)，可得\(\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}\)。則\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1-\cos2x}{2}dx\)\(=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos2x)dx\)\(=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}1dx-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos2xdx\right)\)對(duì)于\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}1dx=x|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}\)；對(duì)于\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos2xdx\)，令\(u=2x\)，則\(du=2dx\)，當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(u=0\)，當(dāng)\(x=\frac{\pi}{2}\)時(shí)，\(u=\pi\)，\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos2xdx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cosudu=\frac{1}{2}(\sinu)|_{0}^{\pi}=\frac{1}{2}(\sin\pi-\sin0)=0\)。所以\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2xdx=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}-0\right)=\frac{\pi}{4}\)。19.（本題滿分10分）設(shè)\(z=f(x^2+y^2)\)，其中\(zhòng)(f\)為可導(dǎo)函數(shù)，求\(\frac{\partialz}{\partialx}\)和\(\frac{\partialz}{\partialy}\)。解：令\(u=x^2+y^2\)，則\(z=f(u)\)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的法則：\(\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{dz}{du}\cdot\frac{\partialu}{\partialx}\)因?yàn)閈(\frac{dz}{du}=f^\prime(u)\)，\(\frac{\partialu}{\partialx}=2x\)，所以\(\frac{\partialz}{\partialx}=2xf^\prime(x^2+y^2)\)。\(\frac{\partialz}{\partialy}=\frac{dz}{du}\cdot\frac{\partialu}{\partialy}\)因?yàn)閈(\frac{dz}{du}=f^\prime(u)\)，\(\frac{\partialu}{\partialy}=2y\)，所以\(\frac{\partialz}{\partialy}=2yf^\prime(x^2+y^2)\)。20.（本題滿分10分）求過點(diǎn)\(M(1,-2,3)\)且與平面\(2x-y+3z-5=0\)平行的平面方程。解：已知所求平面與平面\(2x-y+3z-5=0\)平行，則它們的法向量相同。平面\(2x-y+3z-5=0\)的法向量\(\vec{n}=(2,-1,3)\)。設(shè)所求平面方程為\(2x-y+3z+D=0\)，因?yàn)槠矫孢^點(diǎn)\(M(1,-2,3)\)，將點(diǎn)\(M\)的坐標(biāo)代入方程得：\(2\times1-(-2)+3\times3+D=0\)\(2+2+9+D=0\)\(13+D=0\)解得\(D=-13\)。所以所求平面方程為\(2x-y+3z-13=0\)。21.（本題滿分10分）求微分方程\(y^{\prime\prime}-3y^\prime+2y=0\)的通解。解：這是一個(gè)二階常系數(shù)線性齊次微分方程，其特征方程為\(r^2-3r+2=0\)。對(duì)特征方程進(jìn)行因式分解得\((r-1)(r-2)=0\)。解得特征根\(r_1=1\)，\(r_2=2\)。因?yàn)樘卣鞲鵟(r_1\neqr_2\)，所以該微分方程的通解為\(y=C_1e^x+C_2e^{2x}\)，其中\(zhòng)(C_1\)，\(C_2\)為任意常數(shù)。22.（本題滿分15分）求函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2-9x+5\)的單調(diào)區(qū)間、極值和凹凸區(qū)間。解：（1）求函數(shù)的定義域，函數(shù)\(f(x)\)的定義域?yàn)閈((-\infty,+\infty)\)。（2）求一階導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\)：\(f^\prime(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x+1)(x-3)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，即\(3(x+1)(x-3)=0\)，解得\(x=-1\)或\(x=3\)。當(dāng)\(x\in(-\infty,-1)\)時(shí)，\(f^\prime(x)>0\)，函數(shù)\(f(x)\)單調(diào)遞增；當(dāng)\(x\in(-1,3)\)時(shí)，\(f^\prime(x)<0\)，函數(shù)\(f(x)\)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x\in(3,+\infty)\)時(shí)，\(f^\prime(x)>0\)，函數(shù)\(f(x)\)單調(diào)遞增。所以函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,-1)\)和\((3,+\infty)\)，單調(diào)遞減區(qū)間為\((-1,3)\)。（3）求極值：當(dāng)\(x=-1\)時(shí)，\(f(-1)=(-1)^3-3\times(-1)^2-9\times(-1)+5=-1-3+9+5=10\)，為極大值。當(dāng)\(x=3\)時(shí)，\(f(3)=3^3-3\times3^2-9\times3+5=27