初中相似三角形綜合練習(xí)題匯編一、核心知識(shí)點(diǎn)回顧相似三角形是初中幾何的核心內(nèi)容，其判定與性質(zhì)是解決幾何問(wèn)題的重要工具。以下是核心知識(shí)點(diǎn)梳理：1.相似三角形的判定定理（1）AA（兩角對(duì)應(yīng)相等）：若兩個(gè)三角形有兩組角對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形相似。（2）SAS（兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等）：若兩個(gè)三角形有兩組邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等，則這兩個(gè)三角形相似。（3）SSS（三邊對(duì)應(yīng)成比例）：若兩個(gè)三角形的三組邊對(duì)應(yīng)成比例，則這兩個(gè)三角形相似。2.相似三角形的性質(zhì)（1）對(duì)應(yīng)關(guān)系：對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等。（2）比例關(guān)系：周長(zhǎng)比等于相似比（相似比\(k=\frac{\text{對(duì)應(yīng)邊}}{對(duì)應(yīng)邊}\)）；面積比等于相似比的平方（\(k^2\)）；對(duì)應(yīng)高、中線、角平分線的比等于相似比。二、分類(lèi)練習(xí)題及解析（一）基礎(chǔ)判定類(lèi)例題1：如圖，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=60°，∠B=∠E=40°，判斷△ABC與△DEF是否相似，并說(shuō)明理由。解析：相似。理由：在△ABC中，∠C=180°-∠A-∠B=80°；在△DEF中，∠F=180°-∠D-∠E=80°。因此∠A=∠D，∠B=∠E，根據(jù)AA判定定理，△ABC∽△DEF。例題2：如圖，在△ABC和△A'B'C'中，AB=4，BC=6，∠B=60°；A'B'=2，B'C'=3，∠B'=60°，判斷△ABC與△A'B'C'是否相似，并說(shuō)明理由。解析：相似。理由：計(jì)算兩邊比例：\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{4}{2}=2\)，\(\frac{BC}{B'C'}=\frac{6}{3}=2\)，故\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=2\)；又∠B=∠B'=60°（夾角相等），根據(jù)SAS判定定理，△ABC∽△A'B'C'。例題3：如圖，在△ABC和△DEF中，AB=3，BC=4，AC=5；DE=6，EF=8，DF=10，判斷△ABC與△DEF是否相似，并說(shuō)明理由。解析：相似。理由：計(jì)算三邊比例：\(\frac{AB}{DE}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)，\(\frac{BC}{EF}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)，\(\frac{AC}{DF}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\)，故\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=\frac{1}{2}\)；根據(jù)SSS判定定理，△ABC∽△DEF。（二）性質(zhì)應(yīng)用類(lèi)例題1：若△ABC∽△DEF，相似比為2:3，AB=4，則DE=______。解析：相似比為\(\frac{AB}{DE}=\frac{2}{3}\)，代入AB=4得\(\frac{4}{DE}=\frac{2}{3}\)，解得DE=6。例題2：若△ABC∽△DEF，周長(zhǎng)比為3:4，則相似比為_(kāi)_____，面積比為_(kāi)_____。解析：周長(zhǎng)比等于相似比，故相似比為3:4；面積比等于相似比的平方，故面積比為9:16。例題3：如圖，△ABC∽△ADE，AD=2，AB=5，△ADE的面積為4，則△ABC的面積為_(kāi)_____。解析：相似比為\(\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}\)，面積比為\((\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}\)；設(shè)△ABC的面積為S，則\(\frac{4}{S}=\frac{4}{25}\)，解得S=25。（三）比例線段與相似構(gòu)造例題1：如圖，DE∥BC，交AB于D，交AC于E，AD=2，DB=3，則\(\frac{AE}{AC}=\)______，\(\frac{DE}{BC}=\)______。解析：DE∥BC→△ADE∽△ABC（AA判定），相似比為\(\frac{AD}{AB}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}\)；故\(\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}\)。例題2：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC上，∠BAD=∠C，AB=6，AC=9，求\(\frac{BD}{BC}\)的值。解析：∠BAD=∠C，∠B=∠B（公共角）→△ABD∽△CBA（AA判定）；由相似得\(\frac{BD}{BA}=\frac{BA}{BC}\)，即\(\frac{BD}{6}=\frac{6}{BC}\)→BD·BC=36；設(shè)BD=x，BC=y，則xy=36；又由相似得\(\frac{AD}{CA}=\frac{AB}{CB}\)→AD=\(\frac{6y}{9}=\frac{2y}{3}\)；在△ADC中，用余弦定理驗(yàn)證（略），最終得y=9（整數(shù)解），故BD=4，\(\frac{BD}{BC}=\frac{4}{9}\)。（四）相似與幾何變換例題1：如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，連接BD、CE，判斷△ABD與△ACE是否相似，并說(shuō)明理由。解析：相似。理由：旋轉(zhuǎn)后AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°（旋轉(zhuǎn)角相等）；故\(\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=1\)，∠BAD=∠CAE（夾角相等）；根據(jù)SAS判定定理，△ABD∽△ACE。（五）相似與函數(shù)結(jié)合例題1：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,0)，B(3,0)，C(0,4)，點(diǎn)D在x軸上，且△ABD∽△ABC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)。解析：△ABC為直角三角形（∠A=90°），△ABD∽△ABC需滿足兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等（∠A=90°）；情況1：\(\frac{AB}{AB}=\frac{AD}{AC}\)→AD=AC=4→D(4,0)（BD=5，符合相似）；情況2：\(\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}\)→\(\frac{3}{4}=\frac{AD}{3}\)→AD=\(\frac{9}{4}\)→D(\(\frac{9}{4}\),0)（BD=\(\frac{15}{4}\)，符合相似）。（六）綜合應(yīng)用（與圓結(jié)合）例題1：如圖，AB是⊙O的直徑，CD切⊙O于點(diǎn)C，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，AC平分∠BAD，求證：△ABC∽△ACD。解析：CD切⊙O于C→∠ACD=∠ABC（弦切角定理）；AC平分∠BAD→∠BAC=∠CAD；在△ABC和△ACD中，∠ABC=∠ACD，∠BAC=∠CAD→△ABC∽△ACD（AA判定）。三、綜合提升練習(xí)1.如圖，DE∥BC，AD=3，DB=2，AE=4，則EC=______。（答案：\(\frac{8}{3}\)）2.若△ABC∽△DEF，相似比為3:5，△ABC的周長(zhǎng)為18，則△DEF的周長(zhǎng)為_(kāi)_____。（答案：30）3.如圖，△ABC∽△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=3，AD=2，AE=4，則AC=______。（答案：6）4.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,0)，B(2,0)，C(1,3)，點(diǎn)D在y軸上，且△ABD∽△ABC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)。（答案：(0,6)或(0,-6)，提示：用兩邊對(duì)應(yīng)成比例）5.如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，CD⊥AB于點(diǎn)D，CE平分∠BCD交⊙O于點(diǎn)E，求證：AE=BE。（提示：連接OE，證OE⊥AB）6.如圖，在△ABC中，∠B=60°，點(diǎn)D在BC上，AD=AC，求證：△ABD∽△CBA。（提示：用外角定理證∠BAD=∠ACB）7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,0)，B(4,0)，C(0,3)，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且EF∥AB，若△CEF的面積為1，則△ABC的面積為_(kāi)_____。（答案：6）8.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，DE∥BC，若S△ADE=1，S△BDE=2，則S△ABC=______。（答案：9）9.如圖，AB是⊙O的切線，切點(diǎn)為B，AO交⊙O于點(diǎn)C，若AB=6，AC=3，則⊙O的半徑為_(kāi)_____。（答案：9）10.如圖，在△ABC中，∠A=60°，點(diǎn)D在BC上，BD=2，DC=3，且∠BAD=∠C，求AB的長(zhǎng)。（答案：\(\sqrt{10}\)）四、解題技巧總結(jié)1.對(duì)應(yīng)關(guān)系：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角需嚴(yán)格對(duì)應(yīng)，避免混淆（如△ABC∽△DEF與△ABC∽△DFE的區(qū)別）。2