15.1.2線段的垂直平分線第1課時(shí)線段的垂直平分線的性質(zhì)及判定知識(shí)關(guān)聯(lián)探究與應(yīng)用 課堂小結(jié)與檢測(cè)2.線段的對(duì)稱軸是什么?知識(shí)關(guān)聯(lián)1.線段是軸對(duì)稱圖形嗎?3.什么叫作線段的垂直平分線?經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.

【回顧思考】

【探究1】線段的垂直平分線的性質(zhì)

【操作嘗試】探究與應(yīng)用

如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3，…是l上的點(diǎn)，分別量一量點(diǎn)P1，P2，P3，…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離，你有發(fā)現(xiàn)什么嗎？請(qǐng)猜想點(diǎn)P1，P2，P3，…到點(diǎn)A與點(diǎn)B

的距離之間的數(shù)量關(guān)系．ABlP1P2P3P1A____P1BP2A____P2BP3A____P3B＝＝＝

【探究1】線段的垂直平分線的性質(zhì)探究與應(yīng)用

點(diǎn)P1，P2，P3，…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離分別相等．

命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.由此你能得到什么結(jié)論？你能驗(yàn)證這一結(jié)論嗎？

【猜想交流】

【探究1】線段的垂直平分線的性質(zhì)探究與應(yīng)用已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點(diǎn)P

在l上．求證：PA=PB．

證明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°．

又

AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．PABlC【驗(yàn)證證明】

【探究1】線段的垂直平分線的性質(zhì)【概括新知】探究與應(yīng)用用幾何語言表示為：∵CA=CB，l⊥AB，（點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上）∴PA=PB．線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．PABlC線段垂直平分線的性質(zhì)

【理解應(yīng)用】探究與應(yīng)用例1

如圖，在△ABC中，AB邊的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接BE，△BCE的周長為16，△ABC的周長為24，求AD的長度．解：(1)∵DE是AB邊的垂直平分線，∴EA＝EB，AD＝DB.∵△BCE的周長為16，∴BC＋CE＋EB＝BC＋CE＋EA＝BC＋AC＝16.∵△ABC的周長為24，∴BC＋AC＋AB＝24.∴AB＝8.∴AD＝DB＝4.

【理解應(yīng)用】【變式】如圖，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，則△ADE的周長為 ()A.8

B.4

C.12

D.16探究與應(yīng)用

A

【探究2】

線段的垂直平分線的判定

【思考交流】把上面線段的垂直平分線的性質(zhì)的題設(shè)和結(jié)論反過來，得到的命題還成立嗎？即如果PA=PB，那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上呢?探究與應(yīng)用PAB

【探究2】

線段的垂直平分線的判定探究與應(yīng)用驗(yàn)證結(jié)論已知：如圖，PA=PB求證：點(diǎn)P在線段AB

的垂直平分線上．證明：過點(diǎn)P

作AB

的垂線PC，垂足為點(diǎn)C則∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB

中，∵PA=PB，PC=PC，∴

Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴

AC=BC．又

PC⊥AB，∴點(diǎn)P在線段AB

的垂直平分線上PABC【概況歸納】探究與應(yīng)用

【探究2】

線段的垂直平分線的判定線段垂直平分線的判定與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．應(yīng)用格式：∵

PA=PB，∴點(diǎn)P

在AB

的垂直平分線上．PAB作用：判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上.【概況歸納】探究與應(yīng)用

【探究2】

線段的垂直平分線的判定

這些點(diǎn)能組成什么幾何圖形？

你能再找一些到線段AB兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)嗎？能找到多少個(gè)到線段AB兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)？

與A，B

的距離相等的點(diǎn)都在直線l上，所以直線l可以看成與A、B兩點(diǎn)

的距離相等的所有點(diǎn)的集合.PABCl【驗(yàn)證證明】探究與應(yīng)用

【探究2】

線段的垂直平分線的判定應(yīng)用格式：∵AB=AC，∴點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上.∵M(jìn)B=MC∴點(diǎn)M在線段BC的垂直平分線上.∴直線AM是線段BC

的垂直平分線．A

B

C

D

M這是判斷一條直線是線段的垂直平分線的證明過程.探究與應(yīng)用

【理解應(yīng)用】

例2

已知：如圖，點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為C、D，連接CD.求證：OE是CD的垂直平分線.ABOEDC證明：∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB∴DE=CE.∠EDO=∠ECO=90°∴OC=OD.在Rt△OED和Rt△OEC中，∵DE=CEOE=OE，∴Rt△OED≌Rt△OEC(HL).∴點(diǎn)E在線段CD的垂直平分線上.∴點(diǎn)O在線段CD的垂直平分線上.∴OE垂直平分CD探究與應(yīng)用

【探究3】

互逆命題1.下面兩個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論有什么關(guān)系?①線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等;②與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.

【嘗試交流】這兩個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反.【概況歸納】探究與應(yīng)用

【探究3】

互逆命題2.你還學(xué)習(xí)過其他具有類似關(guān)系的命題嗎?

【嘗試交流】如果把其中一個(gè)叫作原命題,那么另一個(gè)叫作它的逆命題.互逆命題：

我們把具有這種關(guān)系的兩個(gè)命題叫作互逆命題。角平分線的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)與判定等.探究與應(yīng)用例3

寫出下列命題的逆命題，并判斷這些逆命題是否成立(1)兩直線平行，同位角相等;

【理解應(yīng)用】

逆命題

:

如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)數(shù)相等.逆命題不成立.(2)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等:(3)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.逆命題

:

同位角相等,兩直線平行.逆命題成立.逆命題

:

如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形全等.逆命題不成立.【概況歸納】探究與應(yīng)用

【探究3】

互逆命題

如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理。這兩個(gè)定理叫作互逆定理.

其中一個(gè)定理叫作另一個(gè)定理的逆定理。在幾何中,有許多互逆的定理.例如,上面關(guān)于垂直平分線的兩個(gè)互逆命題是互逆定理,“兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等”和“內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行”也是互逆定理.

探究:三角形的三條邊的垂直平分線的性質(zhì).我們已經(jīng)證明三角形的三條角平分線能夠交于一點(diǎn)，那么三角形的三條邊的垂直平分線也能交于一點(diǎn)嗎？如果能交于一點(diǎn),這一點(diǎn)又有什么性質(zhì)呢？【探究2】有理數(shù)的概念及分類探究與應(yīng)用

【拓展提升】

【概況歸納】探究與應(yīng)用已知:如圖，△ABC的邊AB、AC的垂直平分線相交于點(diǎn)O.求證:點(diǎn)O在邊BC的垂直平分線上.三角形的三條垂直平分線交于一點(diǎn),該點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

【拓展提升】

【小結(jié)】課堂小結(jié)與檢測(cè)線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定性質(zhì)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上

內(nèi)容判定內(nèi)容作用線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

作用見垂直平分線，得線段相等判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上互逆命題

【檢測(cè)】課堂小結(jié)與檢測(cè)1．如圖所示，AB垂直平分CD.若AC＝1.6，BC＝2.3，則四邊形ACBD的周長是(

)A.3.9 B.

7.8C.

4 D.

4.6B

【

檢測(cè)】課堂小結(jié)與檢測(cè)2.如圖，AB的垂直平分線DE，交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接AE。若AD=6cm，△ACE的周長為16cm，則△ABC的周長為

cm.

28

【

檢測(cè)】課