21.5.1反比例函數(shù)的概念第21章二次函數(shù)與反比例函數(shù)【2025-2026學(xué)年】滬科版

數(shù)學(xué)

九年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********21.5.1反比例函數(shù)的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)理解反比例關(guān)系的含義，能識(shí)別生活中存在的反比例關(guān)系。掌握反比例函數(shù)的定義，明確反比例函數(shù)的表達(dá)式形式及自變量的取值范圍。能夠根據(jù)實(shí)際問題中的反比例關(guān)系，列出反比例函數(shù)表達(dá)式。課堂講解知識(shí)點(diǎn)一：反比例關(guān)系在日常生活中，我們會(huì)遇到一些變量之間的關(guān)系，當(dāng)其中一個(gè)變量增大時(shí)，另一個(gè)變量反而減小，且它們的乘積是一個(gè)固定的值，這種關(guān)系就是反比例關(guān)系。例如：路程一定時(shí)，速度與時(shí)間的關(guān)系。設(shè)路程為\(s\)（定值），速度為\(v\)，時(shí)間為\(t\)，則\(s=vt\)，當(dāng)\(s\)一定時(shí)，\(v\)隨著\(t\)的增大而減小，\(t\)隨著\(v\)的增大而減小，速度與時(shí)間成反比例關(guān)系。矩形的面積一定時(shí)，長(zhǎng)與寬的關(guān)系。設(shè)面積為\(S\)（定值），長(zhǎng)為\(a\)，寬為\(b\)，則\(S=ab\)，當(dāng)\(S\)一定時(shí)，\(a\)和\(b\)成反比例關(guān)系。知識(shí)點(diǎn)二：反比例函數(shù)的定義一般地，形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)為常數(shù)，\(ka?

0\)）的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)。其中，\(x\)是自變量，\(y\)是函數(shù)值。對(duì)于反比例函數(shù)的定義，需要注意以下幾點(diǎn)：表達(dá)式形式：反比例函數(shù)的表達(dá)式可以寫成\(y=\frac{k}{x}\)（\(ka?

0\)），也可以寫成\(y=kx^{-1}\)（\(ka?

0\)）或\(xy=k\)（\(ka?

0\)）的形式。這三種形式可以相互轉(zhuǎn)化，本質(zhì)是一致的。常數(shù)\(k\)：\(k\)稱為反比例函數(shù)的比例系數(shù)，它不能為\(0\)，否則函數(shù)表達(dá)式就變成了\(y=0\)，這是一個(gè)常數(shù)函數(shù)，不再是反比例函數(shù)。自變量\(x\)的取值范圍：由于分母不能為\(0\)，所以自變量\(x\)的取值范圍是\(xa?

0\)的一切實(shí)數(shù)。相應(yīng)地，函數(shù)值\(y\)的取值范圍也是\(ya?

0\)的一切實(shí)數(shù)。知識(shí)點(diǎn)三：反比例函數(shù)表達(dá)式的確定要確定一個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式，只需確定比例系數(shù)\(k\)的值。因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的表達(dá)式為\(y=\frac{k}{x}\)（\(ka?

0\)），所以只要知道函數(shù)圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)\((x_0,y_0)\)（\(x_0a?

0\)，\(y_0a?

0\)），就可以將其代入表達(dá)式中，求出\(k\)的值，即\(k=x_0y_0\)，進(jìn)而確定反比例函數(shù)的表達(dá)式。例如：已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)\((2,3)\)，求該反比例函數(shù)的表達(dá)式。解：設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為\(y=\frac{k}{x}\)（\(ka?

0\)），因?yàn)楹瘮?shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)\((2,3)\)，將\(x=2\)，\(y=3\)代入表達(dá)式得\(3=\frac{k}{2}\)，解得\(k=6\)，所以該反比例函數(shù)的表達(dá)式為\(y=\frac{6}{x}\)。例題講解例1：下列函數(shù)中，哪些是反比例函數(shù)？(1)\(y=\frac{3}{x}\)(2)\(y=\frac{x}{4}\)(3)\(y=-\frac{2}{x}\)(4)\(y=2x+1\)(5)\(xy=5\)(6)\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)為常數(shù)）解：(1)\(y=\frac{3}{x}\)，符合反比例函數(shù)的表達(dá)式形式\(y=\frac{k}{x}\)（\(k=3a?

0\)），是反比例函數(shù)。(2)\(y=\frac{x}{4}\)，可變形為\(y=\frac{1}{4}x\)，是正比例函數(shù)，不是反比例函數(shù)。(3)\(y=-\frac{2}{x}\)，符合反比例函數(shù)的表達(dá)式形式\(y=\frac{k}{x}\)（\(k=-2a?

0\)），是反比例函數(shù)。(4)\(y=2x+1\)，是一次函數(shù)，不是反比例函數(shù)。(5)\(xy=5\)，可變形為\(y=\frac{5}{x}\)，符合反比例函數(shù)的表達(dá)式形式（\(k=5a?

0\)），是反比例函數(shù)。(6)\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)為常數(shù)），當(dāng)\(k=0\)時(shí)，函數(shù)不是反比例函數(shù)，所以此函數(shù)不一定是反比例函數(shù)。綜上，(1)(3)(5)是反比例函數(shù)。例2：已知\(y\)與\(x\)成反比例，且當(dāng)\(x=-3\)時(shí)，\(y=4\)，求\(y\)與\(x\)之間的函數(shù)表達(dá)式。解：因?yàn)閈(y\)與\(x\)成反比例，所以設(shè)\(y=\frac{k}{x}\)（\(ka?

0\)）。將\(x=-3\)，\(y=4\)代入表達(dá)式得\(4=\frac{k}{-3}\)，解得\(k=-12\)。所以\(y\)與\(x\)之間的函數(shù)表達(dá)式為\(y=-\frac{12}{x}\)。例3：當(dāng)\(m\)為何值時(shí)，函數(shù)\(y=(m+2)x^{m^2-5}\)是反比例函數(shù)？解：因?yàn)楹瘮?shù)\(y=(m+2)x^{m^2-5}\)是反比例函數(shù)，所以需滿足：\(\begin{cases}m^2-5=-1\\m+2a?

0\end{cases}\)解第一個(gè)方程：\(m^2-5=-1\)，\(m^2=4\)，\(m=\pm2\)。解第二個(gè)不等式：\(m+2a?

0\)，\(ma?

-2\)。所以\(m=2\)。課堂小結(jié)反比例關(guān)系是指兩個(gè)變量的乘積為定值，當(dāng)一個(gè)變量增大時(shí)，另一個(gè)變量減小。反比例函數(shù)的定義：形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)為常數(shù)，\(ka?

0\)）的函數(shù)，其表達(dá)式還可寫成\(y=kx^{-1}\)或\(xy=k\)（\(ka?

0\)）。反比例函數(shù)中自變量\(x\)的取值范圍是\(xa?

0\)，函數(shù)值\(y\)的取值范圍是\(ya?

0\)。確定反比例函數(shù)表達(dá)式的關(guān)鍵是求出比例系數(shù)\(k\)，可利用函數(shù)圖象上一點(diǎn)的坐標(biāo)求解。作業(yè)提升下列函數(shù)中，是反比例函數(shù)的有哪些？(1)\(y=\frac{1}{x+1}\)(2)\(y=\frac{5}{2x}\)(3)\(y=-\frac{3}{x}\)(4)\(y=4x^{-1}\)(5)\(y=\frac{x}{2}\)已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)\((-4,2)\)，求該反比例函數(shù)的表達(dá)式。已知\(y\)與\(x\)成反比例，且當(dāng)\(x=6\)時(shí)，\(y=-2\)，求當(dāng)\(x=3\)時(shí)，\(y\)的值。若函數(shù)\(y=(a-3)x^{a^2-10}\)是反比例函數(shù)，求\(a\)的值。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解新課導(dǎo)入如圖，舞臺(tái)燈光可以瞬間將黑夜變成如白晝般明亮，這樣的效果是如何實(shí)現(xiàn)的？是通過改變電阻來控制電流的變化實(shí)現(xiàn)的.因?yàn)楫?dāng)電流

I

較小時(shí)，燈光較暗；反之，當(dāng)電流

I

較大時(shí)，燈光較亮.

問題：電流

I，電阻

R，電壓

U之間滿足關(guān)系式

U=IR，當(dāng)U=220V時(shí)，你能用含有

R

的代數(shù)式表示

I

嗎？那么

I

是

R

的函數(shù)嗎？I

是R

的什么函數(shù)呢？本節(jié)課我們開始學(xué)習(xí)反比例函數(shù).

推進(jìn)新課問題1某村有耕地200hm2，人口數(shù)量x逐年發(fā)生變化，該村人均耕地面積yhm2與人口數(shù)量x之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？反比例函數(shù)的概念

全村耕地面積應(yīng)是人均耕地面積與人口數(shù)量的乘積，即yx=200，所以變量yhm2與x之間的函數(shù)關(guān)系可以表示為

問題2某市距省城248km，汽車行駛?cè)趟钑r(shí)間th與平均速度vkm/h之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？由路程s=vt，變量th與vkm/h之間的函數(shù)關(guān)系可以表示為

問題3某住宅小區(qū)要種植一塊面積為1000m2

的矩形草坪，草坪的長(zhǎng)a（單位：m）隨寬b（單位：m）的變化而變化．

自變量x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù).（k≠0）

一般地，形如（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量.

1.①由

可得，xy=______，若y=x-n是反比例函數(shù)，則n=______.1

②反比例函數(shù)

的比例系數(shù)

k

是_________.練一練k

2.用函數(shù)解析式表示下列問題中變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并指出比例系數(shù)

k

的值.（1）一個(gè)游泳池的容積為2000m3，游泳池注滿水所用時(shí)間t（單位：h）隨注水速度v（單位：m3/h）的變化而變化；k=2000

（2）某長(zhǎng)方體的體積為1000cm3，長(zhǎng)方體的高h(yuǎn)（單位：cm）隨底面積S（單位：cm2）的變化而變化；（3）一個(gè)物體重100N，物體對(duì)地面的壓強(qiáng)p（單位：Pa）隨物體與地面的接觸面積S（單位：m2）的變化而變化．k=1000k=100

3.若函數(shù)

是反比例函數(shù)，則m的取值范圍是_________.m≠2

例已知y是x的反比例函數(shù)，并且當(dāng)x=2時(shí)，y=6．（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)x=4時(shí)，求y的值.反比例函數(shù)的解析式的確定

解：（1）設(shè)

，因?yàn)楫?dāng)x=2時(shí)，y=6，所以有解得

k=12.

因此（2）把x=4代入

，得求解析式時(shí)，①設(shè)②由已知條件求出k.①②

例

在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強(qiáng)pPa是它的受力面積Sm2的反比例函數(shù)，如圖.（1）求p和S之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)S=0.5時(shí)，求物體承受的壓強(qiáng)p的值.

O0.10.20.30.4S/m21000200030004000p/Pa解（1）根據(jù)題意，設(shè)函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(0.1，1000)，代入上式，得解方程，得k=100.答：p與S之間的函數(shù)表達(dá)式為

（2）當(dāng)S=0.5時(shí)，答：當(dāng)S=0.5時(shí)，物體承受的壓強(qiáng)p的值為200.O0.10.20.30.4S/m21000200030004000p/Pa

隨堂練習(xí)1.下列等式中，y

是x

的反比例函數(shù)的是（

）A. B.C.y=5x+6 D.B

2.指出下列函數(shù)中哪些是反比例函數(shù)，并指出k

的值.（1）

（2）（3）y=x2

（4）y=2x+1

3．已知y與x2成反比例，并且當(dāng)x=3時(shí)，y=4．（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)x=1.5時(shí)，求y的值；（3）當(dāng)y=6時(shí)，求x的值.

解:（1）設(shè)

，把x=3，y=4代入得k=36.即.（2）當(dāng)x=1.5時(shí)，（3）當(dāng)y=6時(shí)，

一般地，表達(dá)式形如y＝______(k為常數(shù)，且k≠______)的

函數(shù)叫做反比例函數(shù)，其中x是自變量，自變量x的取值范圍

是________．其表達(dá)式還可以表示為xy＝______或y＝

______．0x≠0kkx－1知識(shí)點(diǎn)1

反比例函數(shù)的概念1．

[2025年1月廣州期末]下列函數(shù)中，屬于反比例函數(shù)的是

(

)A．

y＝5xB．

y＝C．

y＝D．

y＝C2345678910111213141

≠2x≠0

02345678910111213141

解：(1)y不是x的反比例函數(shù)．(2)y是x的反比例函數(shù)，k＝－(3)y不是x的反比例函數(shù)．(4)y不是x的反比例函數(shù)．(5)y是x的反比例函數(shù)，k＝1.(6)y是x的反比例函數(shù)，k＝－3.2345678910111213141知識(shí)點(diǎn)2

判斷反比例函數(shù)關(guān)系4．

[2024·北京西城期中]下列關(guān)系中，成反比例關(guān)系的是

(

)A．

長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)一定時(shí)，相鄰兩邊的長(zhǎng)B．

三角形的面積一定時(shí)，它的底和高C．

機(jī)器人每小時(shí)采摘400個(gè)蘋果，它的采摘總量與采摘時(shí)間D．

一個(gè)人的跑步速度與他的體重B2345678910111213141知識(shí)點(diǎn)3用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)表達(dá)式5．

合安高速(合肥到安慶)全程約170km，小明的爸爸駕車走

高速?gòu)暮戏实桨矐c辦事，則他所需時(shí)間t(h)與平均速度

v(km/h)之間的函數(shù)表達(dá)式是______________．6.

[跨學(xué)科·生物]在某生物種群中，種群數(shù)量y(個(gè))與生存空間

x(m2)在一定范圍內(nèi)成反比例關(guān)系，當(dāng)生存空間x＝10m2

時(shí)，種群數(shù)量y＝50個(gè)，則該反比例函數(shù)表達(dá)式為

______________．23456789101112131417.

[跨學(xué)科·化學(xué)]一定質(zhì)量的二氧化碳，它的密度ρ(kg/m3)是它

體積V(m3)的反比例函數(shù)，當(dāng)V＝5m3時(shí)，ρ＝1.98kg/m3，

那么當(dāng)ρ＝1.1kg/m3時(shí)，V＝________m3.923456789101112131418．

[2025·淮北月考]若y＋2與x成反比例，且當(dāng)x＝2時(shí)，y＝0.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；解：(1)由題意，可設(shè)y＋2＝

(k≠0)．因?yàn)楫?dāng)x＝2時(shí)，y＝0，所以0＋2＝

，解得k＝4.所以y＋2＝

，所以y＝

－2，即y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y＝

－2.23456789101112131418．

[2025·淮北月考]若y＋2與x成反比例，且當(dāng)x＝2時(shí)，y＝0.(2)當(dāng)y＝－1時(shí)，求x的值；(3)y是x的反比例函數(shù)嗎？將y＝－1代入y＝

－2，得－1＝

－2，解得x＝4.y不是x的反比例函數(shù).23456789101112131419.

[跨學(xué)科·物理]用電器的輸出功率P與通過的電流I、用電器

的電阻R之間的關(guān)系是P＝I2R，下面說法正確的是(

)A．

P為定值，I與R成反比例B．

P為定值，I2與R成反比例C．

P為定值，I與R成正比例D．

P為定值，I2與R成正比例10.

[易錯(cuò)題]已知函數(shù)y＝(m＋2)xm2－5是關(guān)于x的反比例函

數(shù)，則m的值是______．B2易錯(cuò)點(diǎn)睛：易忽視反比例函數(shù)中k≠0而致錯(cuò)．234567891011121314111.

[真實(shí)情境]如圖，機(jī)器狗是一種模擬真實(shí)犬只形態(tài)和部分

行為的機(jī)器裝置，其最快移動(dòng)速度v(m/s)是載重后總質(zhì)量

m(kg)的反比例函數(shù)．已知一款機(jī)器狗載重后總質(zhì)量m＝60

kg時(shí)，它的最快移動(dòng)速度v＝6m/s，則當(dāng)其載重后總質(zhì)量m

＝90kg時(shí)，它的最快移動(dòng)速度

減少了________m/s.22345678910111213141【思維模型】求反比例函數(shù)表達(dá)式2345678910111213141

2234567891011121314113．

[2025·蚌埠月考]已知y＝y(tǒng)1＋2y2，y1與x－2成正比例，y2與x成反比例，且當(dāng)x＝1時(shí)，y＝－1；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝3.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；解：(1)因?yàn)閥1與x－2成正比例，y2與x成反比例，所以設(shè)y1＝m(x－2)，y2＝(m≠0