10.2事件的相互獨(dú)立性「學(xué)習(xí)目標(biāo)」1.結(jié)合具體實(shí)例學(xué)習(xí)事件的獨(dú)立性的概念,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).2.通過利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題,提升數(shù)學(xué)建模、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).知識(shí)梳理自主探究「知識(shí)探究」相互獨(dú)立事件對(duì)任意兩個(gè)事件A與B,如果

成立,則稱事件A與事件B相互獨(dú)立,簡(jiǎn)稱為獨(dú)立.P(AB)=P(A)P(B)(2)與相互獨(dú)立事件A,B有關(guān)的概率的計(jì)算公式如表:師生互動(dòng)合作探究探究點(diǎn)一事件獨(dú)立性的判斷[例1]有3個(gè)相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,從中有放回地隨機(jī)取兩次,每次取1個(gè)球.用(x,y)表示樣本點(diǎn),其中x表示第一次取出球的數(shù)字,y表示第二次取出球的數(shù)字.設(shè)事件A=“第一次取出的球的數(shù)字是1”,事件B=“兩次取出的球的數(shù)字之和是4”.(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間;解:(1)依題意,試驗(yàn)的樣本空間Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}.(2)判斷事件A和事件B是否相互獨(dú)立,并說明理由.方法總結(jié)事件的獨(dú)立性的判斷(1)定義法:事件A,B相互獨(dú)立?P(AB)=P(A)·P(B).(2)由事件本身的性質(zhì)直接判斷兩個(gè)事件的發(fā)生是否相互影響.[針對(duì)訓(xùn)練]有6個(gè)相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機(jī)取兩次,每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是5”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是6”,則(

)A.甲與乙相互獨(dú)立 B.乙與丙相互獨(dú)立C.甲與丙相互獨(dú)立 D.乙與丁相互獨(dú)立√探究點(diǎn)二求獨(dú)立事件的概率(1)求該局打4個(gè)球甲贏的概率;(2)求該局打5個(gè)球結(jié)束的概率.方法總結(jié)求相互獨(dú)立事件的概率的步驟第一步,先用字母表示出事件,再分析題中涉及的事件,并把題中涉及的事件分為若干個(gè)彼此互斥事件的和;第二步,求出這些彼此互斥事件的概率;第三步,根據(jù)互斥事件的概率計(jì)算公式求出結(jié)果.此外,當(dāng)題目中涉及“至少”“至多”問題時(shí),也可以從對(duì)立事件入手計(jì)算概率.[針對(duì)訓(xùn)練]兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員甲和乙罰球時(shí)命中的概率分別是0.7和0.6,兩人各投一次,假設(shè)事件“甲命中”與“乙命中”是獨(dú)立的.求(1)甲和乙都命中的概率;解:(1)設(shè)“甲命中”為事件A,概率為P1=0.7,“乙罰球時(shí)命中”為事件B,概率為P2=0.6,則設(shè)“甲和乙都命中”為事件C,則P(C)=P1·P2=0.42.(2)甲和乙都不命中的概率;解:(2)設(shè)“甲和乙都不命中”為事件E,則P(E)=(1-P1)·(1-P2)=0.3×0.4=0.12.(3)甲和乙至少一人命中的概率.解:(3)設(shè)“甲和乙至少一人命中”為事件F,P(F)=1-0.12=0.88.探究點(diǎn)三相互獨(dú)立事件與互斥事件的綜合應(yīng)用(1)重復(fù)發(fā)送信號(hào)1三次,計(jì)算至少收到兩次1的概率;(2)依次發(fā)送1,1,0,判斷以下兩個(gè)事件:①事件A:至少收到一個(gè)正確信號(hào);②事件B:至少收到兩個(gè)0,是否相互獨(dú)立,并給出證明.方法總結(jié)求較為復(fù)雜事件的概率的方法(1)列出題中涉及的各事件,并且用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示.(2)厘清事件之間的關(guān)系(兩事件是互斥還是對(duì)立,或者是相互獨(dú)立),列出關(guān)系式.(3)根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確選取概率公式進(jìn)行計(jì)算.(4)當(dāng)直接計(jì)算符合條件的事件的概率較復(fù)雜時(shí),可先間接地計(jì)算對(duì)立事件的概率,再求出符合條件的事件的概率.(1)求乙投球1次的命中率;(2)若甲、乙兩人各投球2次,求兩人共命中3次的概率.「當(dāng)堂檢測(cè)」1.甲、乙兩個(gè)氣象臺(tái)同時(shí)做天氣預(yù)報(bào),如果它們預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率分別為0.8與0.7,且預(yù)報(bào)準(zhǔn)確與否相互獨(dú)立,那么在一次預(yù)報(bào)中這兩個(gè)氣象臺(tái)恰有一個(gè)預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率是(

)√解析:由題可得一次預(yù)報(bào)中這兩個(gè)氣象臺(tái)恰有一個(gè)預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率是0.8×(1-0.7)+(1-0.8)×0.7=0.38.故選B.2.若古典概型的樣本空間Ω={1,2,3,4},事件A={1,2},事件A,B相互獨(dú)立,則事件B可以是(

)A.{1,3} B.{1,2,3}C.{3,4} D.{2,3,4}√3.(多選題)甲、乙兩社團(tuán)各有3名男生、3名女生,從甲、乙兩社團(tuán)各隨機(jī)選出1人參加憲法知識(shí)比賽.設(shè)事件A為“從甲社團(tuán)中選出的是男生丁”,事件B為“從乙社團(tuán)中選出的是男生”,事件C為“甲、乙兩社團(tuán)選出的都是男生”,事件D為“從甲、乙兩社團(tuán)中選出的是1名男生和1名女生”,則(

)A.A與B相互獨(dú)立 B.B與C相互獨(dú)立C.B與D相互獨(dú)立 D.C與D互斥√√√4.甲、乙進(jìn)行五子棋比賽,兩人棋藝相當(dāng),每局中無平局,為了增加游戲樂趣