中考數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題易錯(cuò)(提升篇)一、中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題1．問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖，正方形將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直線交于點(diǎn)請(qǐng)直接寫(xiě)出線段與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是_；拓展探究如圖，矩形將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直線交于點(diǎn)中線段關(guān)系還成立嗎/若成立，請(qǐng)寫(xiě)出理由；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出線段的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；解決問(wèn)題在的條件下，矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，線段的長(zhǎng)，解析：；中數(shù)量關(guān)系不成立，位置關(guān)系成立．，理由見(jiàn)解析；或【分析】（1）證明△ADE≌△CDG（SAS），可得AE＝CG，∠DAG＝∠DCG，再由直角三角形兩個(gè)銳角互余即可證得AE⊥CG；（2）先證明△ADE∽△CDG，利用相似三角形的性質(zhì)證明即可．（3）先通過(guò)作圖找到符合題意的兩種情況，第一種情況利用勾股定理求解即可；第二種情況借助相似三角形及勾股定理計(jì)算即可．【詳解】（1）；理由如下：由題意知在正方形中，，，在△ADE與△CDG中，∴△ADE≌△CDG（SAS）∴，∵對(duì)頂角相等，∴．（2）（1）中數(shù)量關(guān)系不成立，位置關(guān)系成立．即：理由如下：由題意知在矩形中，，，，∵對(duì)頂角相等∴．綜上所述：（3）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G、P在點(diǎn)A處重合時(shí)，連接AE，則此時(shí)∠ADE＝∠GDE＝90°∴在Rt△ADE中，AE＝，如圖1，當(dāng)點(diǎn)G、P重合時(shí)，則點(diǎn)A、E、G在同一直線上，∵AD＝DG＝4，∴∠DAG＝∠DGA，∵∠ADC＝∠AGP＝90°，∠AOD＝∠COG，∴∠DAG＝∠COG，∴∠DGA＝∠COG，又∵∠GDO＝∠CDG，∴△GDO∽△CDG，∴∴∴DO＝2，CG＝2OG，∴OC＝DC－DO＝8－2＝6，∵在Rt△COG中，OG2＋GC2＝OC2，∴OG2＋（2OG）2＝62，∴OG＝（舍負(fù)），∴CG＝，由（2）得：∴AE＝，綜上所述，AE的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了全等三角形及相似三角形的判定及性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意畫(huà)出符合題意的圖形是解決本題的關(guān)鍵．2．（1）（問(wèn)題背景）如圖1，在中，，，D是直線BC上的一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AE，連接CE，求證：；（2）（嘗試應(yīng)用）如圖2，在（1）的條件下，延長(zhǎng)DE，AC交于點(diǎn)G，交DE于點(diǎn)F．求證：；（3）（拓展創(chuàng)新）如圖3，是內(nèi)一點(diǎn)，，，，直接寫(xiě)出的面積為_(kāi)____________．解析：（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）【問(wèn)題背景】如圖1，根據(jù)SAS證明三角形全等即可．（2）【嘗試應(yīng)用】如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥DC交FB的延長(zhǎng)線于K．證明△ECG≌△DKF（AAS），推出DF＝EG，再證明FG＝DE＝即可．（3）【拓展創(chuàng)新】如圖3中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AD交BD于E，連接CE．利用全等三角形的性質(zhì)證明CE＝BD，CE⊥BD，再根據(jù)三角形面積公式即可求解．【詳解】（1）【問(wèn)題背景】證明：如圖1，∵，∴，在和中，，∴．（2）【嘗試應(yīng)用】證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作交FB的延長(zhǎng)線于K．∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，即．（3）【拓展創(chuàng)新】如圖3中，過(guò)點(diǎn)A作交BD于E，連接CE．∵，，∴與都是等腰直角三角形，同法可證，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．3．綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)問(wèn)題：（1）如圖1，是等腰直角三角形，過(guò)斜邊的中點(diǎn)作正方形，分別交，于點(diǎn)，，則，，之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____．問(wèn)題解決：（2）如圖2，在任意內(nèi)，找一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作正方形，分別交，于點(diǎn)，，若，求的度數(shù)；圖2拓展提升：（3）如圖3，在（2）的條件下，分別延長(zhǎng)，，交于點(diǎn)，，則，，的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____．圖3（4）在（3）的條件下，若，，則______．解析：（1）；（2）135°；（3）；（4）【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的斜邊與直角邊的關(guān)系及正方形的性質(zhì)即可得出數(shù)量關(guān)系；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)易證，從而可得DP=DB，進(jìn)而可證，從而可得，，由三角形內(nèi)角和定理即可求得∠ADB的度數(shù)；（3）由正方形的對(duì)邊平行的性質(zhì)易得AM=DM，BN=DN，從而在Rt△MDN中，由勾股定理即可得MN、AM、BN的數(shù)量關(guān)系；（4）由（2）知FP=BE，即可求得DE=DF=1，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可分別求得EM、FN的長(zhǎng)，從而可得DM、DN的長(zhǎng)，在Rt△MDN中，由勾股定理即可求得MN的長(zhǎng)．【詳解】（1）∵是等腰直角三角形，且AB=AC，∴，∠A=∠B=45°，∵四邊形DECF是正方形，且D是AB的中點(diǎn)，∴DF=FC=CE=DE，∠DFA=∠DEB=90°，DF∥BC，DE∥AC，∴∠ADF=∠B=45°，∠BDE=∠A=45°，∴AF=DF，BE=DE，∴F、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴CF=BE，∴AC=AF+CF=AF+BE，∴；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．∵四邊形是正方形，∴，．∵，，，∴．∴．∵，，，∴．又∵，，∴．∴．同理可得：．∵，∴．∴．∴．（3）∵DF∥BC，DE∥AC，∴∠CBD=∠NDB，∠DAC=∠ADM，∵，，∴∠ABD=∠NDB，∠ADM=∠DAB，∴BN=DN，AM=DM．在Rt△MDN中，由勾股定理得：故答案為：，（4）∵△ABC是直角三角形，AC=3，BC=4，∴由勾股定理得：AB=5，設(shè)正方形DECF的邊長(zhǎng)為x，由（2）知，AP=AB=5，BE=FP，CP=AP-AC=2，∵FP=CP+CF，BE=BC-CE，即4-x=2+x，解得x=1，∴BE=BC-CE=3，AF=AC-CF=2，∵EM∥AC，F(xiàn)N∥BC，∴△BME∽△BAC，△AFN∽△ACB∴，，∴，．∵DM=ME-DE=，DN=FN-DF=，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線是本題的關(guān)鍵．4．[初步嘗試]（1）如圖①，在三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，則AM與BM的數(shù)量關(guān)系為；[思考說(shuō)理]（2）如圖②，在三角形紙片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，求的值；[拓展延伸]（3）如圖③，在三角形紙片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，將△ABC沿過(guò)頂點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上的點(diǎn)B′處，折痕為CM．①求線段AC的長(zhǎng)；②若點(diǎn)O是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段OB′上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△APM沿PM折疊得到△A′PM，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，A′M與CP交于點(diǎn)F，求的取值范圍．解析：（1）AM＝BM；（2）；（3）①AC＝；②≤≤．【分析】（1）利用平行線分線段成比例定理解決問(wèn)題即可．（2）利用相似三角形的性質(zhì)求出BM，AM即可．（3）①證明△BCM∽△BAC，推出由此即可解決問(wèn)題．②證明△PFA′∽△MFC，推出，因?yàn)镃M=5，推出即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）如圖①中，∵△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，∴MN垂直平分線段BC，∴CN＝BN，∵∠MNB＝∠ACB＝90°，∴MN∥AC，∵CN＝BN，∴AM＝BM．故答案為：AM＝BM．（2）如圖②中，∵CA＝CB＝6，∴∠A＝∠B，由題意MN垂直平分線段BC，∴BM＝CM，∴∠B＝∠MCB，∴∠BCM＝∠A，∵∠B＝∠B，∴△BCM∽△BAC，∴，∴，∴BM＝，∴AM＝AB﹣BM＝10﹣，∴；（3）①如圖③中，由折疊的性質(zhì)可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠ACM，∵∠ACB＝2∠A，∴∠BCM＝∠A，∵∠B＝∠B，∴△BCM∽△BAC，∴∴，∴BM＝4，∴AM＝CM＝5，∴，∴AC＝．②如圖③﹣1中，∵∠A＝∠A′＝∠MCF，∠PFA′＝∠MFC，PA＝PA′，∴△PFA′∽△MFC，∴，∵CM＝5，∴，∵點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)，OA＝OC＝，AB′＝﹣6＝，∴≤PA′≤，∴≤≤．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．5．（概念學(xué)習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為，若平移個(gè)單位后，使某圖形上所有點(diǎn)在內(nèi)或上，則稱的最小值為對(duì)該圖形的“最近覆蓋距離”．例如，如圖①，，則對(duì)線段的“最近覆蓋距離”為．（概念理解）（1）對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為_(kāi)．（2）如圖②，點(diǎn)是函數(shù)圖像上一點(diǎn)，且對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)．（拓展應(yīng)用）（3）如圖③，若一次函數(shù)的圖像上存在點(diǎn)，使對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為，求的取值范圍．（4），且，將對(duì)線段的“最近覆蓋距離”記為，則的取值范圍是．解析：（1）4；（2）或；（3）或；（4）【分析】（1）求出點(diǎn)(3,4)與原點(diǎn)的距離，這個(gè)距離與1的差即是所求結(jié)果；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，根據(jù)P到圓心的距離為4及勾股定理，可得關(guān)于x的方程，解方程即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）考慮臨界狀態(tài)，當(dāng)OC=2時(shí)，函數(shù)圖象上存在點(diǎn)C，使對(duì)點(diǎn)C的“最近覆蓋距離”為1，利用三角形相似求出;同理，另一個(gè)臨界狀態(tài)為，即可求解；（4）由題意可得DE是一條傾斜角度為45°,長(zhǎng)度為的線段，可在圓上找到兩條與之平行且等長(zhǎng)的弦AB、FG，如果D落在弧AF上，或者落在弧BG上，進(jìn)而求解．【詳解】（1）點(diǎn)(3,4)與原點(diǎn)的距離為，而5－1=4，則對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為4；故答案為：（2）由題意可知，到圓的最小距離為，即到圓心的距離為由點(diǎn)P在直線上，故設(shè)，則解得故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或故答案為：或（3）如圖，考慮臨界狀態(tài)，過(guò)O作OC⊥DE于C點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像上存在點(diǎn)，使對(duì)點(diǎn)的“最近覆蓋距離”為則設(shè)則由勾股定理可得：解得（舍）此時(shí)．同理，另一個(gè)臨界狀態(tài)為經(jīng)分析可知，函數(shù)相比臨界狀態(tài)更靠近軸，則存在點(diǎn)或由題意可知，是一條傾斜角度為，長(zhǎng)度為的線段可在圓上找到兩條與之平行且等長(zhǎng)的弦如果落在弧上，或者落在弧上，則成立當(dāng)時(shí)，到弧的最小距離為此時(shí)當(dāng)時(shí)，到弧的最小距離為此時(shí)綜上【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、圓的基本知識(shí)、三角形相似的判定與性質(zhì)、新定義等，數(shù)形結(jié)合是本題解題的關(guān)鍵．6．（了解概念）在凸四邊形中，若一邊與它的兩條鄰邊組成的兩個(gè)內(nèi)角相等，則稱該四邊形為鄰等四邊形，這條邊叫做這個(gè)四邊形的鄰等邊．（理解運(yùn)用）（1）在鄰等四邊形中，，，若是這個(gè)鄰等四邊形的鄰等邊，則的度數(shù)為_(kāi)_________；（2）如圖，凸四邊形中，P為邊的中點(diǎn)，，判斷四邊形是否為鄰等四邊形，并證明你的結(jié)論；（拓展提升）（3）在平面直角坐標(biāo)系中，為鄰等四邊形的鄰等邊，且邊與x軸重合，已知，，，若在邊上使的點(diǎn)P有且僅有1個(gè)，則m的值是__________．解析：（1）130°；（2）四邊形ABCD是鄰等四邊形，理由見(jiàn)解析；（3）﹣5±4【分析】（1）根據(jù)鄰等四邊形的定義即可求解；（2）由△ADP∽△PDC，可得，∠DAP＝∠DPC，∠APD＝∠PCD，由P為AB的中點(diǎn)，可得AP＝BP，則，可證△BPC∽△ADP，由相似三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠B即可；（3）①若點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)，如圖，由AB為鄰等邊，則有∠DAB＝∠ABC＝∠DPC，可證△ADP∽△BPC，可得＝，設(shè)點(diǎn)P（n，0），由等腰直角三角形可求∠BAD＝45°，可求B、C橫坐標(biāo)之差為3，B（m+3，0），將AP，BP，AD，BC，代入得：，整理可得：﹣n2+（m+1）n+2m﹣18＝0，由題意可知n只有一個(gè)解，可求得m＝﹣5+4；②若點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)，可求得∠BAD＝135°，可證△ADP∽△BPC，可得＝，可求得B、C橫坐標(biāo)之差為3，，可求得m＝﹣5﹣4．【詳解】解：（1）∵CD為鄰等邊，∴∠C＝∠D，又∵，，∴∠C＝∠D＝（360°﹣∠A﹣∠B）÷2＝130°，∴∠C＝130°．故答案為：130°；（2）四邊形ABCD是鄰等四邊形，理由如下：∵△ADP∽△PDC，∴，∠DAP＝∠DPC，∠APD＝∠PCD，∠ADP＝∠PDC，又∵P為AB的中點(diǎn)，∴AP＝BP，∴，∴，∵∠APD+∠BPC＝180°﹣∠DPC，∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠DPC，且∠APD＝∠PCD，∴∠BPC＝∠PDC，∵∠ADP＝∠PDC，∴∠ADP＝∠BPC，∴△BPC∽△ADP，∴∠B＝∠A，∴四邊形ABCD為鄰等四邊形；（3）若點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)，如圖，∵AB為鄰等邊，則有∠DAB＝∠ABC＝∠DPC，又∵∠ADP+∠DPA＝180°﹣∠DAB，∠BPC+∠DPA＝180°﹣∠DPC，∴∠DAB＝∠DPC，∠ADP＝∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴＝，設(shè)點(diǎn)P（n，0），∵A（﹣2，0），D（2，4），∴∠BAD＝45°，∴∠ABC＝45°，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，則∠CEB＝90°，∠BCE＝∠ABC＝45°，∴CE＝BE，∵點(diǎn)C（m，3），∴CE＝3，∴BE＝3，∴B（m+3，0），∴AP＝n+2，BP＝m+3﹣n，∴AD＝＝，BC＝＝，代入＝得：，整理可得：﹣n2+（m+1）n+2m﹣18＝0，由題意可知n只有一個(gè)解，∴△＝（m+1）2+4（2m﹣18）＝0，解得：m＝﹣5±4，又∵點(diǎn)C在點(diǎn)D右側(cè)，∴m＝﹣5+4；②若點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)，如圖，此時(shí)，∵A（﹣2，0），D（2，4），∴∠OAD＝45°，∴∠BAD＝∠ABC＝∠DPC＝135°，∵∠ADP+∠DPA＝180°﹣∠DAB，∠BPC+∠DPA＝180°﹣∠DPC，∴ADP＝∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴＝，由①得：B（m+3，0），C（m，3），P（n，0），AP＝﹣2﹣n，BP＝n﹣m﹣3，AD＝，BC＝，∴，解得：m＝﹣5±4，又∵點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)，∴m＝﹣5﹣4；綜上所述：m＝﹣5±4．【點(diǎn)睛】本題是相似綜合題，考查新定義圖形，仔細(xì)閱讀題目，抓住定義中的性質(zhì)，會(huì)驗(yàn)證新定義圖形，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)造關(guān)于n的一元二次方程是解題關(guān)鍵．7．情境觀察：將矩形ABCD紙片沿對(duì)角線AC剪開(kāi)，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示.將△A′C′D的頂點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A(A′)、B在同一條直線上，如圖2所示．觀察圖2可知：與BC相等的線段是▲，∠CAC′=▲°．問(wèn)題探究：如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過(guò)點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q.試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.拓展延伸：如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H.若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.解析：情境觀察：AD（或A′D），90問(wèn)題探究：EP=FQ.證明見(jiàn)解析結(jié)論：HE=HF.證明見(jiàn)解析【詳解】情境觀察AD（或A′D），90問(wèn)題探究結(jié)論：EP=FQ.證明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP.∴AG=EP.同理AG=FQ.∴EP=FQ拓展延伸結(jié)論：HE=HF.理由：過(guò)點(diǎn)E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q.∵四邊形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，同理△ACG∽△FAQ，∵AB=kAE，AC=kAF，∴EP=FQ.∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH.∴HE=HF8．我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”（1）概念理解：請(qǐng)你根據(jù)上述定義舉一個(gè)等鄰角四邊形的例子；（2）問(wèn)題探究；如圖1，在等鄰角四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂線恰好交于AB邊上一點(diǎn)P，連結(jié)AC，BD，試探究AC與BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）應(yīng)用拓展；如圖2，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，將Rt△ABD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如圖3），當(dāng)凸四邊形AD′BC為等鄰角四邊形時(shí)，求出它的面積．解析：（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由見(jiàn)解析；（3）10或12﹣．【分析】（1）矩形或正方形鄰角相等，滿足“等鄰角四邊形”條件；（2）AC=BD，理由為：連接PD，PC，如圖1所示，根據(jù)PE、PF分別為AD、BC的垂直平分線，得到兩對(duì)角相等，利用等角對(duì)等角得到兩對(duì)角相等，進(jìn)而確定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB與三角形DPB全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；（3）分兩種情況考慮：（i）當(dāng)∠AD′B=∠D′BC時(shí)，延長(zhǎng)AD′，CB交于點(diǎn)E，如圖3（i）所示，由S四邊形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′，求出四邊形ACBD′面積；（ii）當(dāng)∠D′BC=∠ACB=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)D′作D′E⊥AC于點(diǎn)E，如圖3（ii）所示，由S四邊形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′，求出四邊形ACBD′面積即可．【詳解】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由為：連接PD，PC，如圖1所示：∵PE是AD的垂直平分線，PF是BC的垂直平分線，∴PA=PD，PC=PB，∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠PAD=∠PBC，∴∠APC=∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC=BD；（3）分兩種情況考慮：（i）當(dāng)∠AD′B=∠D′BC時(shí)，延長(zhǎng)AD′，CB交于點(diǎn)E，如圖3（i）所示，∴∠ED′B=∠EBD′，∴EB=ED′，設(shè)EB=ED′=x，由勾股定理得：42+（3+x）2=（4+x）2，解得：x=4.5，過(guò)點(diǎn)D′作D′F⊥CE于F，∴D′F∥AC，∴△ED′F∽△EAC，∴，即，解得：D′F=，∴S△ACE=AC×EC=×4×（3+4.5）=15；S△BED′=BE×D′F=×4.5×=，則S四邊形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣=10；（ii）當(dāng)∠D′BC=∠ACB=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)D′作D′E⊥AC于點(diǎn)E，如圖3（ii）所示，∴四邊形ECBD′是矩形，∴ED′=BC=3，在Rt△AED′中，根據(jù)勾股定理得：AE=，∴S△AED′=AE×ED′=××3=，S矩形ECBD′=CE×CB=（4﹣）×3=12﹣3，則S四邊形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′=+12﹣3=12﹣．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了“等鄰角四邊形”的理解，三角形，四邊形的內(nèi)角和定理，角平分線的意義，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，理解“等鄰角四邊形”的定義是解本題的關(guān)鍵，分類討論是解本題的難點(diǎn)，是一道中考?？碱}．9．（基礎(chǔ)鞏固）（1）如圖1，在中，，直線過(guò)點(diǎn)，分別過(guò)兩點(diǎn)作，垂足分別為．求證：．（嘗試應(yīng)用）（2）如圖2，在中，，是上一點(diǎn)，過(guò)作的垂線交于點(diǎn)．若，求的長(zhǎng)．（拓展提高）（3）如圖3，在中，在上取點(diǎn)，使得，若，求的面積．解析：（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)證得∠BDC=∠AEC，由相似三角形的判定定理可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，由相似三角形的性質(zhì)得出，由銳角三角函數(shù)的定義求出DF=16，則可求出答案；（3）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，證明△ABM≌△DCN（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出BM=CN，AM=DN，設(shè)BE=4a，EC=3a，由（1）得△AEM∽△EDN，得出比例線段，求出a=1，b=，由平行四邊形的面積公式可得出答案．【詳解】解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由（1）得，∴∵，，∴，∴∵，∴∴（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∴∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∵，∴∵，設(shè)∴∵，由（1）得，∴，∴∴∵，∴∴∴的面積【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．[探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)]（1）函數(shù)的自變量的取值范圍是；（2）下列四個(gè)函數(shù)圖象中函數(shù)的圖象大致是；（3）對(duì)于函數(shù)，求當(dāng)時(shí)，的取值范圍.請(qǐng)將下列的求解過(guò)程補(bǔ)充完整.解：∵∴∵∴.[拓展運(yùn)用]（4）若函數(shù)，則的取值范圍.解析：（1）；（2）C；（3）4，4；（4）【詳解】試題分析：本題的⑴問(wèn)抓住函數(shù)是由分式給定的，所以抓住是分母不為0,即可確定自變量的取值范圍.本題的⑵問(wèn)結(jié)合第⑴問(wèn)中的，即或進(jìn)行分類討論函數(shù)值的大致取值范圍，即可得到函數(shù)的大致圖象.本題的第⑶問(wèn)根據(jù)函數(shù)的配方逆向展開(kāi)即推出“（）”應(yīng)填寫(xiě)“常數(shù)”部分，再根據(jù)配方情況可以得到當(dāng)當(dāng)時(shí)，的取值范圍.本題的⑷問(wèn)現(xiàn)將函數(shù)改寫(xiě)為的形式，再按⑶的形式進(jìn)行配方變形即可求的取值范圍.試題解析：（1）由于函數(shù)是分式給定的，所要滿足分母不為0，所以.故填：.（2）即或；當(dāng)時(shí)，的值是正數(shù)，此時(shí)畫(huà)出的圖象只能在第一象限；當(dāng)時(shí)，的值是負(fù)數(shù)，此時(shí)畫(huà)出的圖象只能在第三象限；所以函數(shù)的圖象只在直角坐標(biāo)系的一、三象限.故其大致圖象應(yīng)選C.（3）∵，∴.故分別填：；（4）∵（這里隱含有首先是正數(shù)）∴∵∴.11．（證明體驗(yàn)）（1）如圖1，為的角平分線，，點(diǎn)E在上，．求證：平分．（思考探究）（2）如圖2，在（1）的條件下，F(xiàn)為上一點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)G．若，，，求的長(zhǎng)．（拓展延伸）（3）如圖3，在四邊形中，對(duì)角線平分，點(diǎn)E在上，．若，求的長(zhǎng)．解析：（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)SAS證明，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）先證明，得，進(jìn)而即可求解；（3）在上取一點(diǎn)F，使得，連結(jié)，可得，從而得，可得，，最后證明，即可求解．【詳解】解：（1）∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即平分；（2）∵，∴，∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴；（3）如圖，在上取一點(diǎn)F，使得，連結(jié)．∵平分，∴∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴．∵，又∵，∴∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形和相似三角形，是解題的關(guān)鍵．12．問(wèn)題探究（1）如圖1，△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接AD，BD．①請(qǐng)?zhí)骄緼D與BD之間的位置關(guān)系：________；②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，則線段AD的長(zhǎng)為_(kāi)_______；拓展延伸（2）如圖2，△ABC和△DEC均為直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．將△DCE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠BCD為α（0°≤α＜360°），作直線BD，連接AD，當(dāng)點(diǎn)B，D，E在同一直線上時(shí)，畫(huà)出圖形，并求線段AD的長(zhǎng)．解析：（1）①垂直，②4；（2）作圖見(jiàn)解析，或【分析】（1）①由“SAS”可證△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC=45°，可得AD⊥BD；②過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，由勾股定理可求DF，CF，AF的長(zhǎng)，即可求AD的長(zhǎng)；（2）分點(diǎn)D在BC左側(cè)和BC右側(cè)兩種情況討論，根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：（1）∵△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ABC=∠DEC=45°=∠CDE∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，且AC=BC，CE=CD∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠ADC=∠BEC=45°∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°∴AD⊥BD故答案為：垂直②如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，∵∠ADC=45°，CF⊥AD，CD=∴DF=CF=1∴∴AD=AF+DF=4故答案為：4．（2）①如圖：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1，∴AB=2,DE=2,∠ACD＝∠BCE,．∴△ACD∽△BCE．∴∠ADC＝∠E，．又∵∠CDE+∠E=90°，∴∠ADC+∠CDE=90°，即∠ADE=90°．∴AD⊥BE．設(shè)BE=x，則AD=x．在Rt△ABD中，，即．解得（負(fù)值舍去）．∴AD=．②如圖，同①設(shè)BE=x，則AD=x．在Rt△ABD中，，即．解得（負(fù)值舍去）．∴AD=．綜上可得，線段AD的長(zhǎng)為【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線．13．綜合與實(shí)踐如圖①，在中中，，，，過(guò)點(diǎn)作于，將繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到，連接，，記旋轉(zhuǎn)角為．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖②，當(dāng)時(shí)，__________；如圖③，當(dāng)時(shí)，__________．（2）拓展探究試判斷：當(dāng)時(shí)，的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖④的情形給出證明．（3）問(wèn)題解決如圖⑤，當(dāng)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)落在邊上時(shí)，求線段的長(zhǎng)．解析：（1），；（2）無(wú)變化，理由詳見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）首先利用勾股定理可求出AB的值，再根據(jù)三角形面積求出CD的值，再次利用勾股定理求出AD、BD的值，再分情況進(jìn)一步得出的值即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出，，再證明即可得出結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)作于，證，推出，得出，繼而得到，再根據(jù)，即可得出答案．【詳解】解：（1）∵，，∴∵∴∴當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，∴故答案為：；；（2）無(wú)變化．證明：∵在中，，，，∴．∵，∴．∵，，∴．∴，即．∴，．∴．由旋轉(zhuǎn)可知，，．∴．∵，∴．∴．∴．（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作于．∵，∴．∵，，∴．∴，即．∴．∴．∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、三角形的面積公式、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)解題，此題結(jié)構(gòu)精巧，考查范圍廣．14．（探究函數(shù)y=x+的圖象與性質(zhì)）（1）函數(shù)y=x+的自變量x的取值范圍是；（2）下列四個(gè)函數(shù)圖象中函數(shù)y=x+的圖象大致是；（3）對(duì)于函數(shù)y=x+，求當(dāng)x＞0時(shí)，y的取值范圍．請(qǐng)將下列的求解過(guò)程補(bǔ)充完整．解：∵x＞0∴y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+∵（﹣）2≥0∴y≥．[拓展運(yùn)用]（4）若函數(shù)y=，則y的取值范圍．解析：（1）x≠0；（2）C（3）4；4；（4）y≥13【解析】試題分析：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可.試題解析：（1）函數(shù)y=x+的自變量x的取值范圍是x≠0；（2）函數(shù)y=x+的圖象大致是C；（3）解：∵x＞0∴y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+4∵（﹣）2≥0∴y≥4．（4）y==x+﹣5═（）2+（）2﹣5=（+）2+13∵（﹣）2≥0，∴y≥13．考點(diǎn)：1.反比例函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的性質(zhì).15．《函數(shù)的圖象與性質(zhì)》拓展學(xué)習(xí)片段展示：（問(wèn)題）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a（x﹣2）2﹣經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，則a=．（操作）將圖①中拋物線在x軸下方的部分沿x軸折疊到x軸上方，將這部分圖象與原拋物線剩余部分的圖象組成的新圖象記為G，如圖②．直接寫(xiě)出圖象G對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．（探究）在圖②中，過(guò)點(diǎn)B（0，1）作直線l平行于x軸，與圖象G的交點(diǎn)從左至右依次為點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)，如圖③．求圖象G在直線l上方的部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)y隨x增大而增大時(shí)x的取值范圍．（應(yīng)用）P是圖③中圖象G上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，連接PD，PE．直接寫(xiě)出△PDE的面積不小于1時(shí)m的取值范圍．解析：【問(wèn)題】：a=；【操作】：y=；【探究】：當(dāng)1＜x＜2或x＞2+時(shí)，函數(shù)y隨x增大而增大；【應(yīng)用】：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．【詳解】試題分析：【問(wèn)題】：把（0，0）代入可求得a的值；【操作】：先寫(xiě)出沿x軸折疊后所得拋物線的解析式，根據(jù)圖象可得對(duì)應(yīng)取值的解析式；【探究】：令y=0，分別代入兩個(gè)拋物線的解析式，分別求出四個(gè)點(diǎn)CDEF的坐標(biāo)，根據(jù)圖象呈上升趨勢(shì)的部分，即y隨x增大而增大，寫(xiě)出x的取值；【應(yīng)用】：先求DE的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積求高的取值h≥1；分三部分進(jìn)行討論：①當(dāng)P在C的左側(cè)或F的右側(cè)部分時(shí)，設(shè)P[m，]，根據(jù)h≥1，列不等式解出即可；②如圖③，作對(duì)稱軸由最大面積小于1可知：點(diǎn)P不可能在DE的上方；③P與O或A重合時(shí)，符合條件，m=0或m=4．試題解析：【問(wèn)題】∵拋物線y=a（x﹣2）2﹣經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，∴0=a（0﹣2）2﹣，a=；【操作】：如圖①，拋物線：y=（x﹣2）2﹣，對(duì)稱軸是：直線x=2，由對(duì)稱性得：A（4，0），沿x軸折疊后所得拋物線為：y=﹣（x﹣2）2+如圖②，圖象G對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=；【探究】：如圖③，由題意得：當(dāng)y=1時(shí)，（x﹣2）2﹣=0，解得：x1=2+，x2=2﹣，∴C（2﹣，1），F(xiàn)（2+，1），當(dāng)y=1時(shí)，﹣（x﹣2）2+=0，解得：x1=3，x2=1，∴D（1，1），E（3，1），由圖象得：圖象G在直線l上方的部分，當(dāng)1＜x＜2或x＞2+時(shí)，函數(shù)y隨x增大而增大；【應(yīng)用】：∵D（1，1），E（3，1），∴DE=3﹣1=2，∵S△PDE=DE?h≥1，∴h≥1；①當(dāng)P在C的左側(cè)或F的右側(cè)部分時(shí)，設(shè)P[m，]，∴h=（m﹣2）2﹣﹣1≥1，（m﹣2）2≥10，m﹣2≥或m﹣2≤﹣，m≥2+或m≤2﹣，②如圖③，作對(duì)稱軸交拋物線G于H，交直線CD于M，交x軸于N，∵H（2，），∴HM=﹣1=＜1，∴當(dāng)點(diǎn)P不可能在DE的上方；③∵M(jìn)N=1，且O（0，0），a（4，0），∴P與O或A重合時(shí)，符合條件，∴m=0或m=4；綜上所述，△PDE的面積不小于1時(shí)，m的取值范圍是：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．16．問(wèn)題背景（1）如圖1，△ABC中，DE∥BC分別交AB，AC于D，E兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交BC于點(diǎn)F．請(qǐng)按圖示數(shù)據(jù)填空：四邊形DBFE的面積，△EFC的面積，△ADE的面積．探究發(fā)現(xiàn)（2）在（1）中，若，，DE與BC間的距離為．請(qǐng)證明．拓展遷移（3）如圖2，□DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的三邊上，若△ADG、△DBE、△GFC的面積分別為2、5、3，試?yán)茫?）中的結(jié)論求△ABC的面積．解析：（1），，；（2）見(jiàn)解析；（3）18【分析】（1）根據(jù)平行四邊形面積公式、三角形面積公式，相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．（2）根據(jù)平行四邊形面積公式、三角形面積公式，相似三角形的性質(zhì)，分別求出S1、S2即可解決問(wèn)題．（3）過(guò)點(diǎn)G作GH∥AB交BC于H，則四邊形DBHG為平行四邊形，利用（2）的結(jié)論求出□DBHG的面積，△GHC的面積即可．【詳解】（1）∵DE∥BC，EF∥AB，∴四邊形DBFE是平行四邊形，∴S=2×3=6，∴∠AED=∠C，∠A=∠CEF∴△ADE∽△EFC∴S2=1，故答案為6，9，1．（2）證明：∵DE∥BC，EF∥AB，∴四邊形DBFE為平行四邊形，，．∴△ADE∽△EFC．∴．∵，∴．∴．而，∴（3）解：過(guò)點(diǎn)G作GH∥AB交BC于H，則四邊形DBHG為平行四邊形．∴∠GHC=∠B，BD=HG，DG=BH，∵四邊形DEFG為平行四邊形，∴DG=EF．∴BH=EF．∴BE=HF，∴△DBE≌△GHF．∴△GHC的面積為5+3=8．由（2）得，□DBHG的面積為．∴△ABC的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的題型，屬于中考?jí)狠S題，17．如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．當(dāng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上時(shí)，填空：線段DE與AC的位置關(guān)系是；②設(shè)△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2．則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是．（2）猜想論證當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC，CE邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，點(diǎn)D是其角平分線上一點(diǎn)，BD=CD=4，OE∥AB交BC于點(diǎn)E（如圖4），若在射線BA上存在點(diǎn)F，使S△DCF=S△BDC,請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的BF的長(zhǎng)解析：解：（1）①DE∥AC．②．（2）仍然成立，證明見(jiàn)解析；（3）或．【詳解】（1）①由旋轉(zhuǎn)可知：AC=DC，∵∠C=90°，∠B=∠DCE=30°，∴∠DAC=∠CDE=60°．∴△ADC是等邊三角形．∴∠DCA=60°．∴∠DCA=∠CDE=60°．∴DE∥AC．②過(guò)D作DN⊥AC交AC于點(diǎn)N，過(guò)E作EM⊥AC交AC延長(zhǎng)線于M，過(guò)C作CF⊥AB交AB于點(diǎn)F．由①可知：△ADC是等邊三角形,DE∥AC，∴DN=CF,DN=EM．∴CF=EM．∵∠C=90°，∠B=30°∴AB=2AC．又∵AD=AC∴BD=AC．∵∴．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于M，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥CE交EC的延長(zhǎng)線于N，∵△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），即S1=S2；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF1∥BE，易求四邊形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此時(shí)S△DCF1=S△BDE；過(guò)點(diǎn)D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F(xiàn)1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等邊三角形，∴DF1=DF2，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC于G，∵BD=CD，∠ABC=60°，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，∴∠CDF1=180°-∠BCD=180°-30°=150°，∠CDF2=360°-150°-60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴點(diǎn)F2也是所求的點(diǎn)，∵∠ABC=60°，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，又∵BD=4，∴BE=×4÷cos30°=，∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，故BF的長(zhǎng)為或．18．（性質(zhì)探究）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E．作DF⊥AE于點(diǎn)H，分別交AB，AC于點(diǎn)F，G．（1）判斷△AFG的形狀并說(shuō)明理由．（2）求證：BF=2OG．（遷移應(yīng)用）（3）記△DGO的面積為S1，△DBF的面積為S2，當(dāng)時(shí)，求的值．（拓展延伸）（4）若DF交射線AB于點(diǎn)F，（性質(zhì)探究）中的其余條件不變，連結(jié)EF，當(dāng)△BEF的面積為矩形ABCD面積的時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出tan∠BAE的值．解析：（1）等腰三角形，理由見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）；（4）或【分析】（1）如圖1中，△AFG是等腰三角形，利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)O作OL∥AB交DF于L，則∠AFG=∠OLG．首先證明OG=OL，再證明BF=2OL即可解決問(wèn)題．（3）如圖3中，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AC于K，則∠DKA=∠CDA=90°，利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．（4）設(shè)OG=a，AG=k．分兩種情形：①如圖4中，連接EF，當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，點(diǎn)G在OA上．②如圖5中，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)G在線段OC上，連接EF．分別求解即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：如圖1中，△AFG是等腰三角形．理由：∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵DF⊥AE，∴∠AHF=∠AHG=90°，∵AH=AH，∴△AHF≌△AHG（ASA），∴AF=AG，∴△AFG是等腰三角形．（2）證明：如圖2中，過(guò)點(diǎn)O作OL∥AB交DF于L，則∠AFG=∠OLG．∵AF=AG，∴∠AFG=∠AGF，∵∠AGF=∠OGL，∴∠OGL=∠OLG，∴OG=OL，∵OL∥AB，∴△DLO∽△DFB，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴BD=2OD，∴BF=2OL，∴BF=2OG．（3）解：如圖3中，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AC于K，則∠DKA=∠CDA=90°，∵∠DAK=∠CAD，∴△ADK∽△ACD，∴，∵S1=?OG?DK，S2=?BF?AD，又∵BF=2OG，，∴，設(shè)CD=2x，AC=3x，則AD=，∴．（4）解：設(shè)OG=a，AG=k．①如圖4中，連接EF，當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，點(diǎn)G在OA上．∵AF=AG，BF=2OG，∴AF=AG=k，BF=2a，∴AB=k+2a，AC=2（k+a），∴AD2=AC2﹣CD2=[2（k+a）]2﹣（k+2a）2=3k2+4ka，∵∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴，∴，∴，由題意：=AD?（k+2a），∴AD2=10ka，即10ka=3k2+4ka，∴k=2a，∴AD=，∴BE==，AB=4a，∴tan∠BAE=．②如圖5中，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)G在線段OC上，連接EF．∵AF=AG，BF=2OG，∴AF=AG=k，BF=2a，∴AB=k﹣2a，AC=2（k﹣a），∴AD2=AC2﹣CD2=[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2=3k2﹣4ka，∵∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴，∴，∴，由題意：=AD?（k﹣2a），∴AD2=10ka，即10ka=3k2﹣4ka，∴k=，∴AD=，∴，AB=，∴tan∠BAE=，綜上所述，tan∠BAE的值為或．【點(diǎn)睛】本題是一道綜合題，主要涉及到等腰三角形的判定及其性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用所學(xué)到的相關(guān)知識(shí)．19．實(shí)際問(wèn)題：某商場(chǎng)為鼓勵(lì)消費(fèi)，設(shè)計(jì)了投資活動(dòng)．方案如下：根據(jù)不同的消費(fèi)金額，每次抽獎(jiǎng)時(shí)可以從100張面值分別為1元、2元、3元、…、100元的獎(jiǎng)券中（面值為整數(shù)），一次任意抽取2張、3張、4張、…等若干張獎(jiǎng)券，獎(jiǎng)券的面值金額之和即為優(yōu)惠金額．某顧客獲得了一次抽取5張獎(jiǎng)券的機(jī)會(huì)，小明想知道該顧客共有多少種不同的優(yōu)惠金額？問(wèn)題建模：從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù)，這個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？模型探究：我們采取一般問(wèn)題特殊化的策略，先從最簡(jiǎn)單的情形入手，再逐次遞進(jìn)，從中找出解決問(wèn)題的方法．探究一：（1）從1，2，3這3個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？表①所取的2個(gè)整數(shù)1，21，3，2，32個(gè)整數(shù)之和345如表①，所取的2個(gè)整數(shù)之和可以為3，4，5，也就是從3到5的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3，最大是5，所以共有3種不同的結(jié)果．（2）從1，2，3，4這4個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？表②所取的2個(gè)整數(shù)1，21，3，1，42，32，43，42個(gè)整數(shù)之和345567如表②，所取的2個(gè)整數(shù)之和可以為3，4，5，6，7，也就是從3到7的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3，最大是7，所以共有5種不同的結(jié)果．（3）從1，2，3，4，5這5個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．（4）從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．探究二：（1）從1，2，3，4這4個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．（2）從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．探究三：從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)整數(shù)，這4個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．歸納結(jié)論：從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù)，這個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．問(wèn)題解決：從100張面值分別為1元、2元、3元、…、100元的獎(jiǎng)券中（面值為整數(shù)），一次任意抽取5張獎(jiǎng)券，共有______種不同的優(yōu)惠金額．拓展延伸：（1）從1，2，3，…，36這36個(gè)整數(shù)中任取多少個(gè)整數(shù)，使得取出的這些整數(shù)之和共有204種不同的結(jié)果？（寫(xiě)出解答過(guò)程）（2）從3，4，5，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù)，這個(gè)整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．解析：探究一：（3）；（4）（，為整數(shù)）；探究二：（1）（2）；探究三：歸納結(jié)論：（為整數(shù)，且，＜＜）；問(wèn)題解決：；拓展延伸：（1）個(gè)或個(gè)；（2）．【分析】探究一：（3）根據(jù)（1）（2）的提示列表，可得答案；（4）仔細(xì)觀察（1）（2）（3）的結(jié)果，歸納出規(guī)律，從而可得答案；探究二：（1）仿探究一的方法列表可得答案；（2）由前面的探究概括出規(guī)律即可得到答案；探究三：根據(jù)探究一，探究二，歸納出從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取4個(gè)整數(shù)的和的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)上面探究歸納出從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個(gè)整數(shù)中任取個(gè)整數(shù)，這個(gè)整數(shù)之和的結(jié)果數(shù)；