第一節(jié)函數(shù)的概念及其表示1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域.2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用.3.通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用.CONTENTS010203/目錄

知識·逐點夯實考點·分類突破課時·過關(guān)檢測01?1.函數(shù)的概念與表示（1）函數(shù)的概念（2）函數(shù)的表示法：表示函數(shù)的常用方法有

解析法

?、圖象法和列表法；（3）同一個函數(shù)：如果兩個函數(shù)的

定義域

?相同，并且

對應關(guān)系

?完全一致，即相同的自變量對應的函數(shù)值也相同，那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).提醒

若兩函數(shù)的值域與對應關(guān)系相同，則兩函數(shù)不一定相同，如：y＝x2（x≥0）與y＝x2.解析法

定義域

對應關(guān)系

2.分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的

不同

?取值區(qū)間，有著不同的

對應關(guān)系

?，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù).提醒

分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.不同

對應關(guān)系

?1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）函數(shù)y＝1與y＝x0是同一個函數(shù).

（

）答案：（1）×

（2）對于函數(shù)f：A→B，其值域是集合B.

（

）

（4）若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).

（

）答案：（2）×

答案：（3）×

答案：（4）×

A.－1D.1

答案：（－∞，0）∪（0，1]4.已知函數(shù)f（x＋1）＝x2，則f（x）＝

?.

解析：令x＋1＝t，則x＝t－1，f（t）＝（t－1）2＝t2－2t＋1，所以f（x）＝x2－2x＋1.答案：x2－2x＋15.已知函數(shù)f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，則函數(shù)f（x）的值域為

?.

解析：由f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，得f（1）＝－1，f（2）＝1，f（3）＝3，f（4）＝5，f（5）＝7，所以函數(shù)f（x）的值域為{－1，1，3，5，7}.答案：{－1，1，3，5，7}?1.直線x＝a（a是常數(shù)）與函數(shù)y＝f（x）的圖象有0個或1個交點.2.分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集.?1.（多選）下列所給圖象是函數(shù)圖象的是

（

）解析：CD

由結(jié)論1知，題圖A、B均不是函數(shù)圖象，C、D是函數(shù)圖象.

解析：根據(jù)結(jié)論2知答案為{0，1}.答案：{0，1}02?函數(shù)的概念及應用1.下列對應關(guān)系或關(guān)系式中是從A到B的函數(shù)的是

（

）A.A?R，B?R，x2＋y2＝1B.A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，f：x→y＝｜x｜＋1

2.（多選）下列各圖中，可能是函數(shù)圖象的是

（

）解析：ACD

B選項，x＞0時有兩個y值與之對應，不是函數(shù)圖象，故B錯誤；其他選項中的圖象中的x均有唯一確定的y值與之對應.故選A、C、D.3.（多選）下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的是

（

）

｜練后悟通｜

一個對應關(guān)系是否為函數(shù)，主要從以下三個方面去判斷：（1）A，B必須是非空數(shù)集；（2）A中任何一個元素在B中必須有元素與之對應；（3）A中任何一個元素在B中的對應元素必須唯一.函數(shù)的定義域

A.[－2，0）∪（0，2]B.（－1，0）∪（0，2]C.[－2，2]D.（－1，2]

答案

（1）B

A.（－∞，－2）∪（－2，3]B.（－8，－2）∪（－2，1]

答案

（2）C｜解題技法｜1.求給定函數(shù)解析式的定義域（1）求給定函數(shù)解析式的定義域轉(zhuǎn)化為使解析式有意義的不等式（組）求解；（2）當函數(shù)解析式較復雜時，要先確定全部限制條件，依次列出不等式或不等式組，再分別求出每個不等式的解集，最后求出這些集合的交集即為函數(shù)的定義域.2.求抽象函數(shù)定義域的方法?

A.（0，1）∪（1，4]B.（0，4]C.（0，1）D.（0，1）∪[4，＋∞）

2.如果函數(shù)f（x）＝ln（－2x＋a）的定義域為（－∞，1），那么實數(shù)a的值為（

）A.－2B.－1C.1D.2

函數(shù)的解析式【例2】

求下列函數(shù)的解析式：（1）已知f（1－sinx）＝cos2x，求f（x）的解析式；解

（1）（換元法）設(shè)1－sin

x＝t，t∈[0，2]，則sin

x＝1－t，∵f（1－sin

x）＝cos2x＝1－sin2x，∴f（t）＝1－（1－t）2＝2t－t2，t∈[0，2].即f（x）＝2x－x2，x∈[0，2].

（3）已知f（x）是一次函數(shù)且3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f（x）的解析式；

（4）已知f（x）滿足2f（x）＋f（－x）＝3x，求f（x）的解析式.解

（4）（方程組法）∵2f（x）＋f（－x）＝3x，

①∴將x用－x替換，得2f（－x）＋f（x）＝－3x，

②由①②解得f（x）＝3x.｜解題技法｜求函數(shù)解析式的4種方法?

A.x2－1（x≥0）C.x2－1（x≥1）

2.設(shè)函數(shù)f（x）是單調(diào)遞增的一次函數(shù)，滿足f（f（x））＝16x＋5，則f（x）＝（

）C.4x－1D.4x＋1

分段函數(shù)考向1

分段函數(shù)求值

B.2C.4D.11

答案

C｜解題技法｜求分段函數(shù)函數(shù)值的方法

先確定要求值的自變量的取值屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值.當出現(xiàn)f（f（a））的形式時，應從內(nèi)到外依次求值.考向2

分段函數(shù)與方程、不等式問題

A.－3B.－1C.1D.3

答案

（1）A

答案

（2）C｜解題技法｜1.已知分段函數(shù)的函數(shù)值，求自變量的值的方法：先假設(shè)自變量的值在分段函數(shù)定義域的各段上，然后求出相應自變量的值，切記要檢驗.2.在分段函數(shù)的前提下，求某條件下自變量的取值范圍的方法：先假設(shè)自變量的值在分段函數(shù)定義域的各段上，然后求出在相應各段定義域上自變量的取值范圍，再求它們的并集即可.提醒

當分段函數(shù)的自變量范圍不確定時，應分類討論.?

A.2B.9C.65D.513

解析：當a＞0時，f（a）＝log2a＝2，所以a＝4；當a≤0時，f（a）＝｜a－1｜＝1－a＝2，所以a＝－1.所以實數(shù)a的值為4或－1.答案：4或－1

答案：（－∞，－1）03?

A.（0，3）B.（0，1）∪（1，3）C.（0，3]D.（0，1）∪（1，3]

2.若函數(shù)y＝f（x）的定義域為M＝{x｜－2≤x≤2}，值域為N＝{y｜0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f（x）的圖象可能是

（

）解析：B

A中函數(shù)定義域不是[－2，2]；C中圖象不表示函數(shù)；D中函數(shù)值域不是[0，2].3.下列各組函數(shù)中是同一個函數(shù)的是

（

）D.y＝｜x＋1｜＋｜x｜與y＝2x＋1

A.f（－x）＋f（x）＝0B.f（－x）－f（x）＝0C.f（－x）＋f（x）＝1

A.（x＋1）2（x≠1）B.（x－1）2（x≠1）C.x2－x＋1（x≠1）D.x2＋x＋1（x≠1）

A.2C.1D.0

A.f（5）＝1B.f（f（5））＝1C.f（3）＝9D.f（f（3））＝log37

8.（多選）下列函數(shù)中，滿足f（18x）＝18f（x）的是（

）A.f（x）＝｜x｜B.f（x）＝x－｜x｜C.f（x）＝x＋2D.f（x）＝－2x解析：ABD

若f（x）＝｜x｜，則f（18x）＝｜18x｜＝18｜x｜＝18f（x）；若f（x）＝x－｜x｜，則f（18x）＝18x－｜18x｜＝18（x－｜x｜）＝18f（x）；若f（x）＝x＋2，則f（18x）＝18x＋2，而18f（x）＝18x＋18×2，故f（x）＝x＋2不滿足f（18x）＝18f（x）；若f（x）＝－2x，則f（18x）＝－2×18x＝18×（－2x）＝18f（x）.故選A、B、D.9.（多選）中國清朝數(shù)學家李善蘭在1859年翻譯《代微積拾級》中首次將“function”譯做“函數(shù)”，沿用至今，為什么這么翻譯，書中解釋說“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”.1930年美國人給出了我們課本中所學的集合論的函數(shù)定義.已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，給出下列四個對應法則，請由函數(shù)定義判斷，其中能構(gòu)成從M到N的函數(shù)的是

（

）A.y＝2xB.y＝x＋2C.y＝2｜x｜D.y＝x2解析：CD

在A中，當x＝4時，y＝8?N，故A錯誤；在B中，當x＝1時，y＝3?N，故B錯誤；在C中，任取x∈M，總有y＝2｜x｜∈N，故C正確；在D中，任取x∈M，總有y＝x2∈N，故D正確.故選C、D.10.若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[－1，2]上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式為

?.

?

A.1B.2C.log26D.3解析：A

因為6≥4，所以f（6）＝f（6－2）＝f（4），因為4≥4，所以f（4）＝f（4－2）＝f（2），而2∈（0，4），故f（6）＝f（2）＝log22＝1，故選A.

A.（－∞，1）B.（－∞，－1）C.（－∞，－1）∪（－1，0）D.（－∞，－1）∪（－1，1）

16.已知甲、乙兩車由同一起點同時出發(fā)，并沿同一路線（假定為直線）行駛.甲車、乙車的速度曲線分別為v甲和v乙（如圖所示）.那么對于圖中給定的t0和t1，下列判斷一定正確的是

（

）A.在t0，t1時刻，甲車均在乙車前面B.t1時刻后，甲車在乙車后面C.在t0時刻，兩車的位置相同D.t0時刻后，乙車在甲車前面解析：A

由圖象可知，曲線v甲比v乙在0～t0，0～t1與x軸所圍成圖形的面積大，則在t0，t1時刻，甲車均在乙車前面.

A.（－1，＋∞）B.（－